الحزمة المرتبطة

يترك${\textstyle \pi :E\to X}$ليكن حزمة ألياف فوق فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$مع مجموعة هيكلية${\displaystyle G}$والألياف النموذجية${\displaystyle F}$بحسب التعريف، هناك فعل يساري لـ${\displaystyle G}$( كمجموعة تحويل ) على الألياف${\displaystyle F}$لنفترض كذلك أن هذا الفعل أمين . ^{[ 2 ]} هناك تبسيط محلي للحزمة${\displaystyle E}$يتكون من غطاء مفتوح${\displaystyle U_{i}}$ل${\displaystyle X}$ومجموعة من خرائط الألياف الضوئية$${\displaystyle \varphi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F}$$بحيث تُعطى خرائط الانتقال بواسطة عناصر من${\displaystyle G}$وبشكل أدق، هناك دوال متصلة${\displaystyle g_{ij}\colon U_{i}\cap U_{j}\to G}$بحيث$${\displaystyle \psi _{ij}(u,f):=\varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}(u,f)={\big (}u,g_{ij}(u)f{\big )},\quad {\text{لكل }}(u,f)\in (U_{i}\cap U_{j})\times F\,.}$$وهذا يحقق شرط الدورة المشتركة:$${\displaystyle g_{ij}(x)g_{jk}(x)=g_{ik}(x),\quad x\in U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$$والآن لنبدأ${\displaystyle F'}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا محددًا، مزودًا بفعل يساري مستمر من${\displaystyle G}$ثم الحزمة المرتبطة بـ${\displaystyle E}$مع الألياف${\displaystyle F'}$هي حزمة${\displaystyle E'}$مع تبسيط محلي تابع للغطاء${\displaystyle U_{i}}$والتي تُعطى دوال انتقالها بواسطة$${\displaystyle \psi '_{ij}(u,f')={\big (}u,g_{ij}(u)f'{\big )},\quad {\text{لكل }}(u,f')\in (U_{i}\cap U_{j})\times F'\,,}$$حيث${\displaystyle G}$الدوال ذات القيم السالبة${\displaystyle g_{ij}(u)}$وهي نفسها تلك التي تم الحصول عليها من التبسيط المحلي للحزمة الأصلية${\displaystyle E}$يحترم هذا التعريف بوضوح شرط الدورة المشتركة على دوال الانتقال، لأن الدوال${\displaystyle \{g_{ij}\}_{i,j}}$يُحقق شرط الدورة المشتركة. وبالتالي، وفقًا لجزء الوجود من نظرية بناء حزمة الألياف ، ينتج عن ذلك حزمة ألياف.${\displaystyle E'}$مع الألياف${\displaystyle F'}$، وهو ما يرتبط بـ${\displaystyle E}$كما هو مزعوم.

كما في السابق، افترض أن${\displaystyle E}$هي حزمة ألياف ذات مجموعة هيكلية${\displaystyle G}$في الحالة الخاصة عندما${\displaystyle G}$له فعل يساري حر ومتعدي على${\displaystyle F'}$، لهذا السبب${\displaystyle F'}$هو فضاء متجانس رئيسي للفعل الأيسر لـ${\displaystyle G}$ثم الحزمة المرتبطة بها${\displaystyle E'}$يُطلق عليه اسم المدير${\displaystyle G}$- حزمة مرتبطة بحزمة الألياف${\displaystyle E}$وإذا كان الأمر كذلك، فإن الألياف الجديدة${\displaystyle F'}$يُعرف بـ${\displaystyle G}$(لهذا السبب${\displaystyle F'}$يرث حق التصرف في${\displaystyle G}$بالإضافة إلى فعل يساري)، ثم الفعل الأيمن لـ${\displaystyle G}$على${\displaystyle F'}$يحفز على اتخاذ إجراء صحيح من${\displaystyle G}$على${\displaystyle E'}$مع هذا الاختيار للهوية،${\displaystyle E'}$تصبح حزمة رئيسية بالمعنى المعتاد.

بحسب جزء التشاكل من نظرية بناء حزمة الألياف، فإن البناء فريد حتى التشاكل. أي أنه بين أي بناءين، يوجد${\displaystyle G}$تماثل حزم متغيرة. يُسمى هذا أيضًا تحويلًا قياسيًا . يسمح لنا هذا بالحديث عن حزمة G الرئيسية المرتبطة بحزمة G. وبهذه الطريقة، حزمة رئيسية${\displaystyle G}$غالباً ما يُنظر إلى الحزمة المجهزة بإجراء صحيح على أنها جزء من البيانات التي تحدد حزمة الألياف ذات مجموعة البنية.${\displaystyle G}$. يمكن للمرء بعد ذلك، كما هو الحال في القسم التالي، أن يسلك الطريق الآخر ويستخلص أي حزمة ألياف باستخدام منتج ألياف.

يترك${\displaystyle \pi \colon P\to X}$ليكن حزمة رئيسية G. بالنظر إلى فعل يساري أمين${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {Homeo} (F)}$ل${\displaystyle G}$على مساحة الألياف${\displaystyle F}$(في الفئة الملساء، يجب أن يكون لدينا تأثير سلس على مشعب أملس)، والهدف هو بناء حزمة G${\displaystyle \pi _{\rho }:E\to X}$مساحة الألياف${\displaystyle F}$فوق المساحة الأساسية${\displaystyle X}$بحيث يرتبط بـ${\displaystyle P}$.

حدد الإجراء الصحيح لـ${\displaystyle G}$على${\displaystyle P\times F}$عبر ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle (p,f)\cdot g=(p\cdot g,g^{-1}\cdot f)\,.}$

خذ ناتج قسمة هذا الإجراء للحصول على المساحة${\displaystyle E=P\times _{\rho }F=(P\times F)/G}$. ...${\displaystyle (p,f)}$بواسطة${\displaystyle [p,f]}$. لاحظ أن

${\displaystyle [p\cdot g,f]=[p,g\cdot f]{\mbox{ لكل }}g\in G.}$

حدد خريطة إسقاط${\displaystyle \pi _{\rho }\colon E\to X}$بواسطة${\displaystyle \pi _{\rho }([p,f])=\pi (p)}$وهذا أمر محدد جيداً ، لأن${\displaystyle \pi (p)=\pi (p\cdot g)}$أي فعل${\displaystyle G}$على${\displaystyle P}$يحافظ على أليافه. ثم${\displaystyle \pi _{\rho }\colon E\to X}$هي حزمة ألياف تحتوي على ألياف${\displaystyle F}$ومجموعة الهيكل${\displaystyle G}$حيث تُعطى دوال الانتقال بواسطة${\displaystyle \rho \circ t_{ij}}$، أين${\displaystyle t_{ij}}$هي دوال الانتقال للحزمة الرئيسية${\displaystyle P}$.

في نظرية الفئات ، يُعرف هذا باسم بناء المُساواة المشتركة . يوجد تطبيقان متصلان${\displaystyle P\times G\times F\to P\times F}$، يتم الحصول عليها من خلال التصرف مع${\displaystyle G}$على اليمين${\displaystyle P}$وعلى اليسار${\displaystyle F}$حزمة الألياف المرتبطة بها${\displaystyle P\times _{\rho }F}$هو العامل المشترك لمعادلة هذه الخرائط.

لو${\displaystyle H\subset G}$ثم أ${\displaystyle H}$-باقة${\displaystyle C}$يمكن توسيعه ليشمل${\displaystyle G}$-باقة${\displaystyle B}$وبعد ذلك يتم تخفيضها إلى${\displaystyle H}$هو مجرد${\displaystyle C}$مرة أخرى.

بالنظر إلى مشعب أملس، فإن حزمة إطاره هي مجموعة خطية عامة رئيسية${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$- حزمة. يتم التعبير عن العديد من البنى الهندسية على مشعب أملس بشكل طبيعي على أنها اختزالات لـ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$المقياس الريماني هو اختزال لمجموعة البنية إلى المجموعة المتعامدة${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$التوجيه هو اختزال إلى المجموعة الخطية الخاصة${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$.

بالنظر إلى مشعب أملس، فإن حزمة المماس الخاصة به ، أو بشكل أعم، حزمة متجهات من الرتبة${\displaystyle n}$وهو أيضاً مبدأ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$-حزمة، ويمكننا إجراء اختزالات مماثلة. البنية شبه المعقدة على حزمة حقيقية هي اختزال لمجموعة البنية من المجموعة الخطية العامة الحقيقية${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$إلى المجموعة الخطية العامة المعقدة${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$. تحليل حزمة متجهات من الرتبة${\displaystyle n}$كمجموع ويتني (مجموع مباشر) لحزم فرعية من الرتبة${\displaystyle k}$و${\displaystyle n-k}$يؤدي إلى تقليل مجموعة البنية من${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ل${\displaystyle \mathrm {GL} (k,\mathbb {R} )\times \mathrm {GL} (n-k,\mathbb {R} )}$. شروط التكامل الإضافية ضرورية لجعلها بنية " معقدة "، وليس مجرد "شبه معقدة".

التوزيع على مشعب هو اختزال حزمة المماس الخاصة به إلى مجموعة فرعية من المصفوفات الكتلية. بتفصيل أكثر، أ${\textstyle p}$توزيع ذو أبعاد على${\textstyle n}$-متعدد المنافذ${\textstyle M}$يمثل ذلك تقليلاً لحزمة الإطار${\textstyle TM}$من${\textstyle \operatorname {GL} (n)}$إلى المجموعة الفرعية التي تحافظ على قيمة ثابتة${\textstyle p}$المستوى في${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$(أي علم)${\textstyle 0\subset \mathbb {R} ^{p}\subset \mathbb {R} ^{n}}$):$${\displaystyle G_{p,q}=\left\{\left({\begin{array}{cc}A&B\\0&C\end{array}}\right):A\in \mathrm {GL} (p,\mathbb {R} ),C\in \mathrm {GL} (q,\mathbb {R} ),B\in M_{p\times q}(\mathbb {R} )\right\},\quad q=n-p}$$عندما يكون التوزيع قابلاً للتكامل ، تنطبق نظرية فروبينيوس ، مما ينتج عنه توريق .