التناظر ثنائي اللون

التناظر ثنائي اللون ^{[ 1 ]} - ويُسمى أيضًا التناظر المضاد ، ^{[ 2 ] [ 3 ]} أو التناظر الأبيض والأسود ، ^{[ 4 ] أو} التناظر المغناطيسي ، ^{[ 5 ]} أو تناظر التبادل المعاكس ، ^{[ 6 ]} أو التناظر ثنائي اللون ^{[ 7 ]} - هو عملية تناظر تعكس شكل الجسم إلى نقيضه. ^{[ 8 ]} والتعريف الأكثر دقة هو: "عمليات التناظر المضاد تُحوّل الأجسام التي تمتلك قيمتين محتملتين لخاصية معينة من قيمة إلى أخرى". ^{[ 9 ]} يشير التناظر ثنائي اللون تحديدًا إلى التناظر ثنائي اللون؛ ويمكن توسيعه ليشمل ثلاثة ألوان أو أكثر، وفي هذه الحالة يُسمى التناظر متعدد الألوان . ^{[ 10 ]} المصطلح العام للتناظر ثنائي اللون ومتعدد الألوان هو ببساطة تناظر اللون. يُستخدم التناظر ثنائي اللون لوصف البلورات المغناطيسية وفي مجالات أخرى من الفيزياء، ^{[ 11 ]} مثل عكس الزمن ، ^{[ 12 ]} والتي تتطلب عمليات تناظر ثنائية القيمة.  

مثال بسيط على ذلك هو أخذ جسم أبيض، مثل مثلث، وتغيير لونه ليصبح مثلثاً أسود. ثم إعادة تغيير اللون مرة أخرى ليعود المثلث الأبيض إلى حالته الأصلية.

يؤدي تغيير اللون، والذي يسمى هنا عملية مضادة للهوية (1')، إلى عملية الهوية (1) إذا تم تنفيذه مرتين.

مثال آخر هو إنشاء انعكاس مضاد للمرآة (m') من انعكاس المرآة (m) وعملية مضادة للهوية (1') يتم تنفيذها بأي ترتيب.

يمكن بعد ذلك استخدام عملية m' لإنشاء مجموعة النقاط المضادة للتناظر 3m' لمثلث ثنائي اللون.

لا توجد عمليات انعكاس مرآوي (m) للمثلث ثنائي اللون، كما هو الحال لو كانت جميع المثلثات الأصغر المكونة له ملونة باللون الأبيض. مع ذلك، بإدخال عملية الانعكاس المرآوي المضاد (m')، تُستعاد التناظرية الكاملة ثنائية السطوح D3 . العمليات الست التي تُشكل مجموعة النقاط D3 (3m') ثنائية اللون هي:

• الهوية ( هـ )
• دوران بمقدار 2π / 3 ( r )
• دوران بمقدار 4π / 3 ( r² ⁾
• انعكاس المرآة المضادة ( م' )
• مزيج m' مع r ( m'r )
• الجمع بين m' مع r ² ( m'r ² ).

لاحظ أن أرقام الرؤوس لا تشكل جزءًا من المثلث الذي يتم إجراء العملية عليه - يتم عرضها لتتبع مكان انتهاء الرؤوس بعد كل عملية.

في عام 1930، كان هاينريش هيش أول من افترض رسمياً عملية التناظر العكسي في سياق دراسة مجموعات الفضاء ثلاثية الأبعاد في أربعة أبعاد. ^{[ 13 ]} وقد تأثر عمل هيش بورقة ويبر البحثية لعام 1929 حول تلوين الأشرطة ثنائية الأبعاد بالأبيض والأسود. ^{[ 14 ]}

في عامي 1935-1936، نشر إتش جيه وودز سلسلة من أربع أوراق بحثية بعنوان " الأساس الهندسي لتصميم الأنماط" . وقد خُصصت الورقة الأخيرة منها ^{[ 15 ]} لتناظر التبادل المعاكس، وفيها تم اشتقاق مجموعات النقاط ثنائية اللون ثنائية الأبعاد الـ 46 لأول مرة.

لم يكن لعمل هيش وودز تأثير في ذلك الوقت، ولم يبدأ موضوع التناظر ثنائي اللون في اكتساب أهمية إلا بعد نشر كتاب أ. ف. شوبنيكوف بعنوان "التناظر والتناظر المضاد للأشكال المحدودة" في عام 1951. بعد ذلك، تطور الموضوع بسرعة، في البداية في روسيا ولكن لاحقًا في العديد من البلدان الأخرى، نظرًا لأهميته في الهياكل المغناطيسية والمجالات الفيزيائية الأخرى.

• 1951 قام لاندو وليفشيتز بإعادة تفسير الألوان السوداء والبيضاء لتتوافق مع تناظر انعكاس الزمن ^{[ 16 ]}
• 1952 أعاد دبليو كوكران اشتقاق مجموعات النقاط ثنائية اللون ثنائية الأبعاد الـ 46 مستشهداً بالعمل السابق لألكسندر وهيرمان (1928-9) وودز 1935 ^{[ 17 ]}
• 1953 قام زامورزاييف باشتقاق مجموعات الفضاء ثلاثية الأبعاد المضادة للتناظر 1651 لأول مرة ^{[ 18 ] [ 19 ]}
• 1956 استخدم تافجر وزايتسيف مفهوم انعكاس متجه العزوم المغناطيسية لاستنتاج مجموعات النقاط للبلورات المغناطيسية ^{[ 20 ].}
• 1957 قام بيلوف وزملاؤه بشكل مستقل باشتقاق المجموعات المتناظرة ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد ^{[ 21 ]}
• 1957 بدأ زامورزاييف وسوكولوف تعميم التناظر المضاد من خلال تقديم مفهوم أكثر من نوع واحد من عمليات التناظر المضاد ثنائية القيم ^{[ 11 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]}
• في عام 1957، نشر ماكاي أول مراجعة للعمل الروسي باللغة الإنجليزية. ^{[ 9 ]} ونُشرت مراجعات لاحقة بواسطة هولسر (1961)، ^{[ 25 ]} وكوبتسيك (1968)، ^{[ 26 ]} وشوارزنبرغر (1984)، ^{[ 27 ]} وفي كتاب غرونباوم وشيبارد " التبليط والأنماط" ( 1987)، ^{[ 28 ]} وبروكلر وستيلينوفيتش (2024) ^{[ 29 ].}
• في أواخر الخمسينيات من القرن العشرين، ساهمت أعمال إم سي إيشر الفنية القائمة على الأنماط ثنائية اللون ومتعددة الألوان في نشر مفهوم تناظر الألوان بين العلماء ^{[ 30 ] [ 31 ].}
• 1961 تعريف واضح من قبل فان دير واردن وبوركهارت لتناظر اللون من حيث نظرية المجموعة ، بغض النظر عن عدد الألوان أو الأبعاد المعنية ^{[ 32 ]}
• 1964 أول نشر لكتاب Shubnikov و Belov بعنوان Colored Symmetry بالترجمة الإنجليزية ^{[ 3 ]}
• 1965 قدم فلاديسلاف أوبيتشوفسكي وروزاليا غوتشيوني اشتقاقًا كاملاً وتعدادًا لمجموعات الفضاء ثلاثية الأبعاد ثنائية اللون ^{[ 33 ].}
• 1966 نشر كوبتسيك للأطلس الكامل للمجموعات الفضائية ثلاثية الأبعاد ثنائية اللون ^{[ 34 ]} (باللغة الروسية)
• 1971 اشتقاق لوب لتكوينات تناظر اللون ثنائية الأبعاد باستخدام مراكز الدوران ^{[ 1 ]}
• 1974 نشر كتاب التناظر في العلوم والفنون لشوبنيكوف وكوبتسيك مع تغطية شاملة للتناظر ثنائي اللون في 1D و2D و3D ^{[ 35 ]}
• 1988 قام واشبورن وكرو بتطبيق تحليل تناظر الألوان على الأنماط والأشياء الثقافية ^{[ 36 ]}
• 2008 نشر كونواي وبورجيل وجودمان-ستراوس كتاب "تناظرات الأشياء" الذي يصف تناظرات الحفاظ على اللون للأشياء الملونة باستخدام تدوين جديد يعتمد على Orbifolds ^{[ 37 ].}

يوضح الجدول أدناه عدد المجموعات العادية وثنائية اللون حسب البعد. رمز بوم ^{[ 38 ]}${\displaystyle G_{ol}^{a}}$يُستخدم للدلالة على عدد المجموعات حيث${\displaystyle o}$= البعد الكلي،${\displaystyle l}$= بُعد الشبكة و${\displaystyle a}$= عدد أنواع عمليات التناظر العكسي.${\displaystyle a=1}$للمجموعات ثنائية اللون ذات عملية تناظر مضاد واحدة.

الأبعاد الكلية	أبعاد الشبكة	المجموعات العادية				مجموعات ثنائية اللون
		اسم	رمز	عدد	المراجع	رمز	عدد	المراجع
0	0	مجموعة التناظر ذات البعد الصفري	${\displaystyle G_{0}}$	1		${\displaystyle G_{0}^{1}}$	2
1	0	مجموعات النقاط أحادية البعد	${\displaystyle G_{10}}$	2		${\displaystyle G_{10}^{1}}$	5
	1	مجموعات التناظر المنفصلة أحادية البعد	${\displaystyle G_{1}}$	2		${\displaystyle G_{1}^{1}}$	7
2	0	مجموعات النقاط ثنائية الأبعاد (الورود)	${\displaystyle G_{20}}$	10		${\displaystyle G_{20}^{1}}$	31
	1	مجموعات الشرائط (الشرائط)	${\displaystyle G_{21}}$	7	[ 39 ]	${\displaystyle G_{21}^{1}}$	31	[ 2 ] [ 35 ]
	2	مجموعات ورق الحائط (طائرة)	${\displaystyle G_{2}}$	17	[ 40 ] [ 41 ]	${\displaystyle G_{2}^{1}}$	80	[ 14 ] [ 35 ] [ 42 ]
3	0	مجموعات النقاط ثلاثية الأبعاد	${\displaystyle G_{30}}$	32	[ 43 ]	${\displaystyle G_{30}^{1}}$	122	[ 2 ] [ 13 ]
	1	مجموعات قضبان (أسطوانات)	${\displaystyle G_{31}}$	75	[ 39 ]	${\displaystyle G_{31}^{1}}$	394	[ 44 ]
	2	مجموعات الطبقات (الورقة)	${\displaystyle G_{32}}$	80	[ 39 ]	${\displaystyle G_{32}^{1}}$	528	[ 45 ]
	3	مجموعات الفضاء ثلاثية الأبعاد	${\displaystyle G_{3}}$	230	[ 46 ]	${\displaystyle G_{3}^{1}}$	1651	[ 18 ] [ 21 ]
4	0	مجموعات النقاط رباعية الأبعاد	${\displaystyle G_{40}}$	271	[ 47 ]	${\displaystyle G_{40}^{1}}$	1202	[ 48 ]
	1		${\displaystyle G_{41}}$	343	[ 49 ]
	2		${\displaystyle G_{42}}$	1091	[ 50 ]
	3		${\displaystyle G_{43}}$	1594	[ 51 ]
	4	مجموعات التناظر المنفصلة رباعية الأبعاد	${\displaystyle G_{4}}$	4894	[ 47 ]	${\displaystyle G_{4}^{1}}$	62227	[ 48 ]

• التناظر المضاد المتعدد

• كرو، د. و. (1986). أنماط الفسيفساء لـ هـ. ج. وودز ، تطبيقات الرياضيات الحاسوبية، 12ب (1/2)، 407-411
• شاتشنايدر، د. (1986). بالأبيض والأسود: كيفية إنشاء أنماط متناظرة ملونة بشكل مثالي ، تطبيقات الرياضيات الحاسوبية، 12ب (1/2)، 673-695، doi : 10.1016/0898-1221(86)90418-9
• سينشال، م. (1988). تناظر اللون ، تطبيقات الرياضيات الحاسوبية، 16(5-8)، 545-553، doi : 10.1016/0898-1221(88)90244-1
• رادوفيتش، ل. وجابلان، س. (2001). التناظر العكسي والنمطية في الفن الزخرفي ، وقائع مؤتمر الجسور: الروابط الرياضية في الفن والموسيقى والعلوم، كانساس، 55-66