مجموعة ورق الجدران

الموسوعة الحرة
مثال لتصميم مصري مع مجموعة ورق جدران p4m

مجموعة ورق الحائط (أو مجموعة التناظر المستوي أو المجموعة البلورية المستوية ) هي تصنيف رياضي لنمط متكرر ثنائي الأبعاد، استنادًا إلى التناظرات في النمط. تحدث مثل هذه الأنماط بشكل متكرر في الهندسة المعمارية والفنون الزخرفية ، وخاصة في المنسوجات والبلاط وورق الحائط .

تنطبق أبسط مجموعة ورق حائط، المجموعة p 1، عندما لا يوجد تماثل يتجاوز الترجمة البسيطة لنمط في بعدين. الأنماط التالية لها أشكال أكثر من التماثل، بما في ذلك بعض التناظرات الدورانية والانعكاسية:

المثالان A و B لهما نفس مجموعة ورق الحائط؛ تسمى p4m في تدوين IUCr و*442 في تدوين orbifold . المثال C له مجموعة ورق حائط مختلفة، تسمى p4g أو 4*2. حقيقة أن A و B لهما نفس مجموعة ورق الحائط تعني أنهما لهما نفس التناظرات، بغض النظر عن التفاصيل السطحية للتصميمات؛ بينما C له مجموعة مختلفة من التناظرات.

يعتمد عدد مجموعات التناظر على عدد الأبعاد في الأنماط. تنطبق مجموعات ورق الحائط على الحالة ثنائية الأبعاد، وهي متوسطة التعقيد بين مجموعات الإفريز الأبسط ومجموعات الفضاء ثلاثية الأبعاد .

تم إثبات وجود 17 مجموعة مميزة فقط من هذه التناظرات المستوية لأول مرة بواسطة إيفجراف فيدوروف في عام 1891 [1] ثم تم استخلاصها بشكل مستقل بواسطة جورج بوليا في عام 1924. [2] لم يأتي إثبات اكتمال قائمة مجموعات ورق الحائط إلا بعد إجراء الحالة الأصعب بكثير للمجموعات الفضائية . يتم سرد مجموعات ورق الحائط السبع عشرة أدناه؛ انظر § المجموعات السبع عشرة.

تماثلات الأنماط

إن تماثل النمط هو، بشكل عام، طريقة لتحويل النمط بحيث يبدو متماثلاً تمامًا بعد التحويل. على سبيل المثال، يكون التماثل الانتقالي موجودًا عندما يمكن نقل النمط (بعبارة أخرى، إزاحته) مسافة محدودة ويبدو كما هو دون تغيير. تخيل تحريك مجموعة من الخطوط العمودية أفقيًا بخط واحد. النمط لا يتغير. بالمعنى الدقيق للكلمة، لا يوجد تماثل حقيقي إلا في الأنماط التي تتكرر تمامًا وتستمر إلى ما لا نهاية. مجموعة من خمسة خطوط فقط، على سبيل المثال، لا تحتوي على تماثل انتقالي - عند إزاحتها، "يختفي" الشريط الموجود على أحد الطرفين ويتم "إضافة" شريط جديد في الطرف الآخر. ومع ذلك، في الممارسة العملية، يتم تطبيق التصنيف على الأنماط المحدودة، وقد يتم تجاهل العيوب الصغيرة.

أنواع التحويلات ذات الصلة هنا تسمى تماثلات المستوى الإقليدي . على سبيل المثال:

  • إذا تحركنا في المثال ب وحدة واحدة إلى اليمين، بحيث يغطي كل مربع المربع الذي كان مجاورًا له في الأصل، فإن النمط الناتج يكون مطابقًا تمامًا للنمط الأولي. يُطلق على هذا النوع من التناظر اسم " الترجمة". المثالان أ وج متشابهان ، باستثناء أن أصغر التحولات الممكنة تكون في اتجاهات قطرية.
  • إذا دار أحد المثالين ب في اتجاه عقارب الساعة بمقدار 90 درجة حول مركز أحد المربعين، فسنحصل مرة أخرى على نفس النمط تمامًا. وهذا ما يسمى بالدوران . يحتوي المثالان أ وج أيضًا على دوران بمقدار 90 درجة، على الرغم من أن الأمر يتطلب القليل من الإبداع للعثور على مركز الدوران الصحيح لـ ج .
  • يمكن أيضًا قلب المثال B عبر محور أفقي يمتد عبر منتصف الصورة. يُطلق على هذا انعكاسًا . يحتوي المثال B أيضًا على انعكاسات عبر محور رأسي وعبر محورين قطريين. ويمكن قول الشيء نفسه بالنسبة للمثال A.

ومع ذلك، فإن المثال C مختلف . فهو يحتوي فقط على انعكاسات في الاتجاهين الأفقي والرأسي، وليس عبر المحاور القطرية. وإذا انقلب المرء عبر خط قطري، فلن يحصل على نفس النمط مرة أخرى، بل النمط الأصلي متحركًا عبر مسافة معينة. وهذا جزء من السبب في أن مجموعة ورق الحائط A و B مختلفة عن مجموعة ورق الحائط C.

التحول الآخر هو "الانزلاق"، وهو مزيج من الانعكاس والترجمة بالتوازي مع خط الانعكاس.

سيقوم انعكاس الانزلاق برسم مجموعة من آثار الأقدام اليسرى واليمنى في بعضها البعض

التعريف الرسمي والمناقشة

من الناحية الرياضية، تعتبر مجموعة ورق الحائط أو المجموعة البلورية المستوية نوعًا من المجموعات المنفصلة طوبولوجيًا من التماثلات المتساوية في المستوى الإقليدي والتي تحتوي على ترجمتين مستقلتين خطيًا .

تكون مجموعتا القياس المتساوي من نفس النوع (من نفس مجموعة ورق الحائط) إذا كانتا متماثلتين حتى التحويل الأفيني للمستوى . وبالتالي، فإن انتقال المستوى (ومن ثم انتقال المرايا ومراكز الدوران) لا يؤثر على مجموعة ورق الحائط. وينطبق الشيء نفسه على تغيير الزاوية بين متجهات الترجمة، بشرط ألا يضيف أو يزيل أي تماثل (هذه هي الحالة فقط إذا لم تكن هناك مرايا ولا انعكاسات انزلاقية ، وكان التماثل الدوراني على الأكثر من الدرجة 2).

على عكس الحالة الثلاثية الأبعاد ، يمكننا تقييد التحولات التآلفية بشكل مكافئ على تلك التي تحافظ على الاتجاه .

يتبع من نظرية بيبرباخ أن جميع مجموعات ورق الحائط مختلفة حتى كمجموعات مجردة (على عكس مجموعات الإفريز ، والتي اثنتان منها متماثلتان مع Z ).

يمكن تصنيف الأنماط ثنائية الأبعاد ذات التناظر الترجمي المزدوج وفقًا لنوع مجموعة التناظر الخاصة بها .

تساويات القياس في المستوى الإقليدي

تنقسم تساويات القياس في المستوى الإقليدي إلى أربع فئات (انظر المقال تساويات القياس في المستوى الإقليدي لمزيد من المعلومات).

  • الترجمات ، والتي يشار إليها بـ T v ، حيث v هو متجه في R 2. وهذا له تأثير إزاحة المستوى بتطبيقمتجه الإزاحة v .
  • الدورات ، ويرمز لها بالرمز R c ، θ ، حيث c هي نقطة في المستوى (مركز الدوران)، و θ هي زاوية الدوران.
  • الانعكاسات ، أو تماثلات المرآة ، يشار إليها بالرمز F L ، حيث L هو خط في R 2. ( F تعني "انعكاس"). وهذا له تأثير انعكاس المستوى في الخط L ، والذي يسمى محور الانعكاس أو المرآة المرتبطة به .
  • انعكاسات الانزلاق ، والتي يشار إليها بالرمز G L ، d ، حيث L هو خط في R 2 و d هي مسافة. هذا مزيج من الانعكاس في الخط L والترجمة على طول L بمسافة d .

شرط الترجمة المستقلة

يعني الشرط في الترجمات المستقلة خطيًا وجود متجهات مستقلة خطيًا v و w (في R 2 ) بحيث تحتوي المجموعة على كل من T v و T w .

الغرض من هذا الشرط هو التمييز بين مجموعات ورق الحائط ومجموعات الإفريز ، التي تمتلك ترجمة ولكن ليس ترجمتين مستقلتين خطيًا، ومجموعات النقاط المنفصلة ثنائية الأبعاد ، التي ليس لها أي ترجمات على الإطلاق. بعبارة أخرى، تمثل مجموعات ورق الحائط أنماطًا تتكرر في اتجاهين متميزين، على عكس مجموعات الإفريز، التي تتكرر فقط على طول محور واحد.

(من الممكن تعميم هذا الوضع. على سبيل المثال، يمكننا دراسة مجموعات منفصلة من متماثلات R n مع m ترجمات مستقلة خطيًا، حيث m هو أي عدد صحيح في النطاق 0 ≤  m  ≤  n .)

حالة التمييز

تعني حالة الانفصال وجود عدد حقيقي موجب ε، بحيث يكون لكل ترجمة T v في المجموعة، المتجه v له طول لا يقل عن ε (باستثناء الحالة التي يكون فيها v هو المتجه الصفري، ولكن شرط الترجمات المستقلة يمنع ذلك، لأن أي مجموعة تحتوي على المتجه الصفري تعتمد خطيًا بحكم التعريف وبالتالي غير مسموح بها).

الغرض من هذا الشرط هو التأكد من أن المجموعة تحتوي على مجال أساسي مضغوط، أو بعبارة أخرى، "خلية" ذات مساحة محدودة غير صفرية، تتكرر عبر المستوى. بدون هذا الشرط، قد يكون لدينا على سبيل المثال مجموعة تحتوي على الترجمة T x لكل عدد نسبي x ، والتي لن تتوافق مع أي نمط ورق حائط معقول.

إحدى النتائج المهمة وغير التافهة لشرط الانفصال مع شرط الترجمات المستقلة هي أن المجموعة لا يمكن أن تحتوي إلا على دورات من الدرجة 2 أو 3 أو 4 أو 6؛ أي أن كل دورة في المجموعة يجب أن تكون دورة بمقدار 180 درجة أو 120 درجة أو 90 درجة أو 60 درجة. تُعرف هذه الحقيقة باسم نظرية التقييد البلوري ، [3] ويمكن تعميمها على الحالات ذات الأبعاد الأعلى.

ملاحظات لمجموعات ورق الحائط

التدوين البلوري

تحتوي علم البلورات على 230 مجموعة فراغية للتمييز بينها، وهو عدد أكبر بكثير من مجموعات ورق الحائط السبع عشرة، ولكن العديد من التناظرات في المجموعات متماثلة. وبالتالي، يمكن للمرء استخدام تدوين مماثل لكلا النوعين من المجموعات، وهو تدوين كارل هيرمان وتشارلز فيكتور ماوجين . مثال على اسم ورق حائط كامل بأسلوب هيرمان ماوجين (يُسمى أيضًا تدوين IUCr ) هو p31m، بأربعة أحرف أو أرقام؛ والأكثر شيوعًا هو الاسم المختصر مثل cmm أو pg.

بالنسبة لمجموعات ورق الحائط، يبدأ الترميز الكامل إما بـ p أو c ، لخلية بدائية أو خلية مركزية الوجه ؛ يتم شرح ذلك أدناه. يتبع ذلك رقم، n ، يشير إلى أعلى ترتيب للتناظر الدوراني: 1 أضعاف (لا شيء)، أو 2 أضعاف، أو 3 أضعاف، أو 4 أضعاف، أو 6 أضعاف. يشير الرمزان التاليان إلى التناظرات بالنسبة لمحور ترجمة واحد للنمط، يشار إليه باسم "المحور الرئيسي"؛ إذا كانت هناك مرآة عمودية على محور ترجمة يكون هو المحور الرئيسي (أو إذا كان هناك اثنان، أحدهما). الرموز هي إما m أو g أو 1 للمرآة أو انعكاس الانزلاق أو لا شيء. يكون محور المرآة أو انعكاس الانزلاق عموديًا على المحور الرئيسي للحرف الأول، ومتوازيًا أو مائلًا بمقدار 180 درجة / n (عندما يكون n  > 2) للحرف الثاني. تتضمن العديد من المجموعات تناظرات أخرى مستمدة من التناظرات المعطاة. يحذف التدوين القصير الأرقام أو الحرف m الذي يمكن استنتاجه، طالما أن ذلك لا يترك أي ارتباك مع مجموعة أخرى.

الخلية البدائية هي منطقة دنيا تتكرر بواسطة ترجمات شبكية. يتم وصف جميع مجموعات تماثل ورق الحائط باستثناء مجموعتين فيما يتعلق بمحاور الخلية البدائية، على أساس إحداثيات باستخدام متجهات ترجمة الشبكة. في الحالتين المتبقيتين، يكون وصف التماثل فيما يتعلق بالخلايا المركزية التي تكون أكبر من الخلية البدائية، وبالتالي يكون لها تكرار داخلي؛ تختلف اتجاهات جوانبها عن اتجاهات متجهات الترجمة التي تمتد عبر خلية بدائية. تستخدم تدوينة هيرمان-ماوجين لمجموعات الفضاء البلوري أنواع خلايا إضافية.

أمثلة
  • p2 ( p 2 ): خلية بدائية، تناسق دوراني مزدوج، لا يوجد مرايا أو انعكاسات انزلاقية.
  • p4gm ( p 4 gm ): خلية بدائية، دوران 4 أضعاف، انعكاس انزلاقي عمودي على المحور الرئيسي، محور المرآة عند 45 درجة.
  • c2mm ( c 2 mm ): خلية مركزية، دوران مزدوج، محاور مرآة عمودية ومتوازية مع المحور الرئيسي.
  • p31m ( p 31 m ): خلية بدائية، دوران ثلاثي، محور المرآة عند 60 درجة.

فيما يلي جميع الأسماء التي تختلف في التدوين القصير والكامل.

الأسماء البلورية القصيرة والكاملة
قصير مساءً ص.ج سم ب م م بي ام جي بى جى جى سممم ص4م ص4ج ص6م
ممتلىء ص 1 م 1 ص 1 ج 1 ج 1 م 1 ص 2 مم ص 2 ملغ ص 2 ج ج 2 مم ص 4 مم ص 4 جرام ص 6 مم

الأسماء المتبقية هي p1 ، p2 ، ​​p3 ، p3m1 ، p31m ، p4 ، و p6 .

تدوين أوربفولد

إن تدوين الأشكال الدائرية لمجموعات ورق الحائط، الذي اقترحه جون هورتون كونواي (كونواي، 1992) (كونواي 2008)، لا يعتمد على علم البلورات، بل على الطوبولوجيا. ويمكن للمرء أن يطوي البلاط الدوري اللانهائي للمستوى إلى جوهره، وهو شكل دائري ، ثم يصف ذلك ببضعة رموز.

  • يشير الرقم n إلى مركز دوران n -fold الذي يتوافق مع نقطة المخروط على الكرة. وفقًا لنظرية التقييد البلوري، يجب أن يكون n 2 أو 3 أو 4 أو 6.
  • تشير علامة النجمة، * ، إلى تماثل مرآوي يتوافق مع حدود الشكل الدائري. ويتفاعل مع الأرقام على النحو التالي:
    1. الأرقام الموجودة قبل * تشير إلى مراكز الدوران الخالص ( الدوري ).
    2. الأرقام بعد * تشير إلى مراكز الدوران مع المرايا من خلالها، والتي تتوافق مع "الزوايا" على حدود الشكل الدائري ( ثنائي السطوح ).
  • يحدث الصليب، × ، عندما يكون هناك انعكاس انزلاقي ويشير إلى غطاء تقاطعي على المجسم الدائري. تتحد المرايا النقية مع انتقال الشبكة لإنتاج انزلاقات، ولكن هذه الانزلاقات يتم حسابها بالفعل وبالتالي لا تحتاج إلى تدوين.
  • الرمز "لا تماثل" o يقف بمفرده، ويشير إلى وجود ترجمات شبكية فقط بدون أي تماثل آخر. الشكل الدائري الذي يحمل هذا الرمز هو حلقة؛ وبشكل عام، يشير الرمز o إلى مقبض على الشكل الدائري.

المجموعة التي يشار إليها في التدوين البلوري بـ cmm ستكون في تدوين كونواي 2*22 . يشير الرقم 2 قبل * إلى وجود مركز دوران ثنائي الأضلاع بدون مرآة من خلاله. يشير الرقم * نفسه إلى وجود مرآة. يشير الرقم 2 الأول بعد * إلى وجود مركز دوران ثنائي الأضلاع على مرآة. يشير الرقم 2 الأخير إلى وجود مركز دوران ثنائي الأضلاع ثانٍ مستقل على مرآة، وهو ليس نسخة مكررة من المركز الأول تحت التناظرات.

ستكون المجموعة التي يرمز لها بـ pgg هي 22× . يوجد مركزان للدوران ثنائي الطي، ومحور انعكاس الانزلاق. قارن هذا بـ pmg، Conway 22* ، حيث يذكر التدوين البلوري الانزلاق، ولكنه ضمني في التناظرات الأخرى للشكل الدائري.

تم أيضًا تضمين تدوين قوس Coxeter ، استنادًا إلى مجموعات Coxeter الانعكاسية ، وتم تعديله باستخدام علامات زائد علوية تأخذ في الاعتبار الدورانات والدوران غير السليم والترجمات.

كونواي، كوكستر والمراسلات البلورية
كونواي ا ×× *× ** 632 *632
كوكستر [∞ + ,2,∞ + ] [(∞,2) + ,∞ + ] [∞,2 + ,∞ + ] [∞,2,∞ + ] [6,3] + [6,3]
علم البلورات ص1 ص.ج سم مساءً ص6 ص6م
كونواي 333 *333 3 *3 442 *442 4 *2
كوكستر [3 [3] ] + [3 [3] ] [3 + ,6] [4,4] + [4,4] [4 + ,4]
علم البلورات ص3 ص3م1 ص31م ص4 ص4م ص4ج
كونواي 2222 22 × 22 * *2222 2 *22
كوكستر [∞,2,∞] + [((∞,2) + ,(∞,2) + )] [(∞,2) + ,∞] [∞,2,∞] [∞,2 + ,∞]
علم البلورات ص2 بى جى جى بي ام جي ب م م سممم

لماذا هناك سبعة عشر مجموعة بالضبط؟

يمكن النظر إلى المضلع الدائري على أنه مضلع ذو وجه وحواف ورؤوس يمكن فتحها لتكوين مجموعة لا نهائية محتملة من المضلعات التي تبلط إما الكرة أو المستوى أو المستوى الزائدي . عندما تبلط المستوى فإنها ستعطي مجموعة ورق حائط وعندما تبلط الكرة أو المستوى الزائدي فإنها تعطي إما مجموعة تماثل كروي أو مجموعة تماثل زائدي . يمكن إيجاد نوع الفضاء الذي تبلط فيه المضلعات عن طريق حساب خاصية أويلر ، χ  =  V  −  E  +  F ، حيث V هو عدد الزوايا (الرؤوس)، و E هو عدد الحواف و F هو عدد الوجوه. إذا كانت خاصية أويلر موجبة فإن المضلع الدائري له بنية إهليلجية (كروية)؛ وإذا كانت صفرية فإن لها بنية مكافئة، أي مجموعة ورق حائط؛ وإذا كانت سالبة فسيكون لها بنية زائدية. عندما يتم تعداد المجموعة الكاملة من الأشكال الدائرية المحتملة، نجد أن 17 فقط لها الخاصية أويلر 0.

عندما يتضاعف شكل دائري بالتناظر لملء المستوى، فإن سماته تخلق بنية من الرؤوس والحواف والوجوه المتعددة الأضلاع، والتي يجب أن تكون متسقة مع خاصية أويلر. وبعكس العملية، يمكن للمرء أن يعين أرقامًا لسمات الشكل الدائري، ولكن كسورًا، وليس أعدادًا صحيحة. ولأن الشكل الدائري نفسه هو حاصل قسمة السطح الكامل على مجموعة التناظر، فإن سمة أويلر للشكل الدائري هي حاصل قسمة سمة أويلر السطحية حسب ترتيب مجموعة التناظر.

خاصية أويلر الدائرية هي 2 ناقص مجموع قيم الميزات، والتي يتم تعيينها على النحو التالي:

  • الرقم n بدون أو قبل * يعد بمثابة ⁠ن  − 1/ن⁠ .
  • الرقم n بعد * يعد بمثابة ⁠ن  − 1/2 ن⁠ .
  • يعتبر كل من * و × بمثابة 1.
  • "عدم التماثل" o يعد 2.

بالنسبة لمجموعة ورق الحائط، يجب أن يكون مجموع الخاصية صفرًا؛ وبالتالي يجب أن يكون مجموع الخاصية 2.

أمثلة
  • 632: ⁠5/6+​​2/3+​​1/2= 2
  • 3*3 :2/3+ 1 +2/6= 2
  • 4*2 :3/4+ 1 +1/4= 2
  • 22×: ⁠1/2+​​1/2+ 1 = 2

الآن أصبح تعداد جميع مجموعات ورق الحائط مسألة حسابية، أي إدراج جميع سلاسل الميزات بقيم مجموعها 2.

إن سلاسل الميزات ذات المجاميع الأخرى ليست مجرد هراء؛ فهي تعني بلاطات غير مستوية، لم تتم مناقشتها هنا. (عندما تكون خاصية أويلر الدائرية سالبة، يكون البلاط زائديًا ؛ وعندما تكون موجبة، يكون كرويًا أو سيئًا ).

دليل التعرف على مجموعات ورق الحائط

لتحديد مجموعة ورق الحائط التي تتوافق مع تصميم معين، يمكن للمرء استخدام الجدول التالي. [4]

حجم أصغر
دوران		 هل لديه انعكاس؟
نعم لا
360 درجة / 6 ص6م (*632) ص6 (632)
360 درجة / 4 هل يوجد مرايا بزاوية 45 درجة؟ ص4 (442)
نعم: p4m (*442) لا: p4g (4*2)
360 درجة / 3 هل يوجد تعفن في مركز المرايا؟ ص3 (333)
نعم: ص31م (3*3) لا: p3m1 (*333)
360 درجة / 2 هل له انعكاسات عمودية؟ هل يوجد انعكاس انزلاقي؟
نعم لا
هل يوجد تعفن في مركز المرايا؟ بي ام جي (22*) نعم: pgg (22×) رقم: ص2 (2222)
نعم: سم (2*22) لا: pmm (*2222)
لا أحد هل تم إزالة محور الانزلاق من المرايا؟ هل يوجد انعكاس انزلاقي؟
نعم: سم (*×) لا: مساءا (**) نعم: ص (××) لا: ص1(و)

انظر أيضًا هذه النظرة العامة مع المخططات البيانية.

المجموعات السبعة عشر

تحتوي كل مجموعة من المجموعات في هذا القسم على مخططين لبنية الخلية، والتي يجب تفسيرها على النحو التالي (الشكل هو المهم، وليس اللون):

مركز دوران من الدرجة الثانية (180 درجة).
مركز دوران من الدرجة الثالثة (120 درجة).
مركز دوران من الدرجة الرابعة (90 درجة).
مركز دوران من الدرجة السادسة (60 درجة).
محور الانعكاس
محور انعكاس الانزلاق.

على المخططات الموجودة على الجانب الأيمن، يتم تلوين فئات التكافؤ المختلفة لعناصر التناظر (وتدويرها) بشكل مختلف.

تشير المنطقة البنية أو الصفراء إلى مجال أساسي ، أي الجزء الأصغر من النمط الذي يتكرر.

تظهر المخططات الموجودة على اليمين خلية الشبكة المقابلة لأصغر الترجمات؛ وتظهر المخططات الموجودة على اليسار أحيانًا منطقة أكبر.

مجموعةص1(و)

مثال ورسم بياني لـ p 1
هياكل الخلايا لـ p 1 حسب نوع الشبكة

منحرف
سداسي الشكل

مستطيل
معيني الشكل
مربع
  • توقيع أوربفولد: o
  • تدوين كوكسيتر (مستطيل): [∞ + ,2,∞ + ] أو [∞] + ×[∞] +
  • الشبكة: مائلة
  • المجموعة النقطية: C 1
  • تحتوي المجموعة p 1 على الترجمات فقط؛ ولا توجد دورانات أو انعكاسات أو انعكاسات انزلاق.
أمثلة على المجموعة p 1

يمكن أن يكون لكل من الترجمتين (أضلاع الخلية) أطوال مختلفة، ويمكنهما تكوين أي زاوية.

مجموعةص2 (2222)

مثال ورسم بياني لـ p 2
هياكل الخلايا لـ p2 حسب نوع الشبكة

منحرف
سداسي الشكل

مستطيل
معيني الشكل
مربع
  • توقيع أوربفولد: 2222
  • تدوين كوكسيتر (مستطيل): [∞,2,∞] +
  • الشبكة: مائلة
  • المجموعة النقطية: C 2
  • تحتوي المجموعة p 2 على أربعة مراكز دوران من الدرجة الثانية (180 درجة)، ولكن لا يوجد بها انعكاسات أو انعكاسات انزلاق.
أمثلة على المجموعة p 2

مجموعةمساءً(**)

مثال ورسم بياني لـ pm
بنية الخلية للـ PM

المرايا الأفقية
المرايا العمودية
  • توقيع أوربفولد: **
  • تدوين كوكستر: [∞,2,∞ + ] أو [∞ + ,2,∞]
  • الشبكة: مستطيلة
  • المجموعة النقطية: د 1
  • المجموعة pm ليس لها دورانات، بل لها محاور انعكاس، وكلها متوازية.
أمثلة على الرسائل الجماعية

(الأولى والثالثة لها محور تماثل رأسي، والثانية والأخيرة لكل منهما محور قطري مختلف.)

مجموعةص.ج(××)

مثال ورسم بياني للصفحة
هياكل الخلايا لـ pg

الانزلاقات الأفقية
الانزلاقات العمودية
مستطيل
  • توقيع أوربفولد: ××
  • تدوين كوكستر: [(∞,2) + ,∞ + ] أو [∞ + ,(2,∞) + ]
  • الشبكة: مستطيلة
  • المجموعة النقطية: د 1
  • تحتوي المجموعة pg على انعكاسات انزلاقية فقط، ومحاورها متوازية جميعها. ولا توجد أي دورانات أو انعكاسات.
أمثلة على المجموعة pg
  • تم إنشاؤه بواسطة الكمبيوتر
    تم إنشاؤه بواسطة الكمبيوتر
  • حصيرة ذات نقش متعرج وقف عليها الملك المصري
    حصيرة ذات نقش متعرج وقف عليها الملك المصري
  • حصيرة مصرية (تفاصيل)
    حصيرة مصرية (تفاصيل)
  • رصيف بنمط متعرج في سالزبورغ. يمتد محور انعكاس الانزلاق من الشمال الشرقي إلى الجنوب الغربي
    رصيف بنمط متعرج في سالزبورغ . يمتد محور انعكاس الانزلاق من الشمال الشرقي إلى الجنوب الغربي
  • أحد ألوان بلاط المربع المقلوب؛ خطوط انعكاس الانزلاق في الاتجاه العلوي الأيسر / السفلي الأيمن؛ مع تجاهل الألوان، هناك تناسق أكبر بكثير من مجرد pg، ثم يكون p4g (انظر هناك لهذه الصورة مع مثلثات ملونة بنفس القدر)[5]
    أحد ألوان بلاط المربع المقلوب ؛ خطوط انعكاس الانزلاق في الاتجاه العلوي الأيسر / السفلي الأيمن؛ مع تجاهل الألوان، هناك تناسق أكبر بكثير من مجرد pg ، ثم يكون p 4 g (انظر هناك لهذه الصورة مع مثلثات ملونة بنفس القدر) [5]
  • 6 بلاط موحد الشكل مصنوع من الخماسيات فقط
    6 بلاط موحد الشكل مصنوع من الخماسيات فقط

بدون التفاصيل داخل الأشرطة المتعرجة تكون السجادة pmg؛ مع التفاصيل ولكن بدون التمييز بين البني والأسود تكون pgg.

إذا تجاهلنا الحدود المتموجة للبلاط، فإن الرصيف هو pgg.

مجموعةسم(*×)

مثال ورسم تخطيطي لسم
بنية الخلية لسم

المرايا الأفقية
المرايا العمودية
معيني الشكل
  • توقيع أوربفولد: *×
  • تدوين كوكستر: [∞ + ,2 + ,∞] أو [∞,2 + ,∞ + ]
  • الشبكة: معينية الشكل
  • المجموعة النقطية: د 1
  • لا تحتوي المجموعة سم على أي دورانات. ولديها محاور انعكاس، كلها متوازية. يوجد على الأقل انعكاس انزلاقي واحد لا يكون محوره محور انعكاس؛ فهو يقع في منتصف المسافة بين محوري انعكاس متوازيين متجاورين.
  • تنطبق هذه المجموعة على الصفوف المتدرجة بشكل متماثل (أي أن هناك تحولًا في كل صف بمقدار نصف مسافة الترجمة داخل الصفوف) للأشياء المتطابقة، والتي لها محور تماثل عمودي على الصفوف.
أمثلة على المجموعة سم

مجموعةب م م(*2222)

مثال ورسم بياني لـ pmm
بنية الخلية لـ pmm

مستطيل الشكل
مربع
  • توقيع أوربفولد: *2222
  • تدوين كوكسيتر (مستطيل): [∞,2,∞] أو [∞]×[∞]
  • تدوين كوكسيتر (مربع): [4,1 + ,4] أو [1 + ,4,4,1 + ]
  • الشبكة: مستطيلة
  • المجموعة النقطية: د 2
  • تتمتع المجموعة pmm بانعكاسات في اتجاهين عموديين، وأربعة مراكز دوران من الدرجة الثانية (180 درجة) تقع عند تقاطعات محاور الانعكاس.
أمثلة على مجموعة pmm

مجموعةبي ام جي(22*)

مثال ورسم بياني لـ pmg
هياكل الخلايا لـ pmg

المرايا الأفقية
المرايا العمودية
  • توقيع أوربفولد: 22 *
  • تدوين كوكستر: [(∞,2) + ,∞] أو [∞,(2,∞) + ]
  • الشبكة: مستطيلة
  • المجموعة النقطية: د 2
  • تحتوي المجموعة pmg على مركزين للدوران من الدرجة الثانية (180 درجة)، وانعكاسات في اتجاه واحد فقط. تحتوي على انعكاسات انزلاقية تكون محاورها عمودية على محاور الانعكاس. تقع جميع مراكز الدوران على محاور انعكاس الانزلاق.
أمثلة على مجموعة pmg

مجموعةبى جى جى(22×)

مثال ورسم بياني لـ pgg
هياكل الخلايا لـ pgg حسب نوع الشبكة

مستطيل
مربع
  • توقيع أوربفولد: 22 ×
  • تدوين كوكستر (مستطيل): [((∞,2) + ,(∞,2) + )]
  • تدوين كوكسيتر (مربع): [4 + ,4 + ]
  • الشبكة: مستطيلة
  • المجموعة النقطية: د 2
  • تحتوي المجموعة pgg على مركزين للدوران من الدرجة الثانية (180 درجة)، وانعكاسات انزلاقية في اتجاهين عموديين. لا تقع مراكز الدوران على محاور انعكاس الانزلاق. لا توجد انعكاسات.
أمثلة على المجموعة pgg

مجموعةسممم(2*22)

مثال ورسم تخطيطي لـ cmm
هياكل الخلايا لـ cmm حسب نوع الشبكة

معيني الشكل
مربع
  • توقيع أوربفولد: 2 * 22
  • تدوين كوكسيتر (معيني): [∞,2 + ,∞]
  • تدوين كوكستر (مربع): [(4,4,2 + )]
  • الشبكة: معينية الشكل
  • المجموعة النقطية: د 2
  • تحتوي المجموعة cmm على انعكاسات في اتجاهين متعامدين، ودوران من الدرجة الثانية (180 درجة) لا يقع مركزه على محور انعكاس. كما تحتوي على دورتين يقع مركزهما على محور انعكاس.
  • تُرى هذه المجموعة بشكل متكرر في الحياة اليومية، نظرًا لأن الترتيب الأكثر شيوعًا للطوب في مبنى من الطوب ( الرابطة الجارية ) يستخدم هذه المجموعة (انظر المثال أدناه).

إن التماثل الدوراني من الدرجة الثانية مع مراكز الدوران في مراكز جوانب المعين هو نتيجة للخصائص الأخرى.

النمط يتوافق مع كل مما يلي:

  • صفوف متداخلة بشكل متماثل من الأشياء المتطابقة ذات التماثل المزدوج
  • نمط رقعة الشطرنج من قطعتين مستطيلتين متناوبتين، كل منهما، بمفردها، متماثلة بشكل مضاعف
  • نمط رقعة الشطرنج لبلاط مستطيل متماثل دورانيًا مكون من طبقتين متناوبتين وصورته المعكوسة
أمثلة على مجموعة CMM

مجموعةص4 (442)

مثال ورسم بياني للص 4
بنية الخلية لـ p 4
  • توقيع أوربفولد: 442
  • تدوين كوكستر: [4،4] +
  • الشبكة: مربعة
  • المجموعة النقطية: C 4
  • المجموعة p 4 لها مركزان للدوران من الدرجة الرابعة (90 درجة)، ومركز واحد للدوران من الدرجة الثانية (180 درجة). ولا يوجد بها انعكاسات أو انعكاسات انزلاق.
أمثلة للمجموعة ص 4

يمكن النظر إلى نمط p 4 باعتباره تكرارًا في صفوف وأعمدة من بلاطات مربعة متساوية ذات تماثل دوراني رباعي الأضلاع. كما يمكن النظر إليه باعتباره نمطًا على شكل رقعة شطرنج من بلاطتين من هذا القبيل، أصغر بعامل √ 2 ومدوران بزاوية 45 درجة.

مجموعةص4م(*442)

مثال ورسم بياني لـ p 4 m
بنية الخلية لـ p 4 m
  • توقيع أوربفولد: *442
  • تدوين كوكستر: [4،4]
  • الشبكة: مربعة
  • المجموعة النقطية: د 4
  • تحتوي المجموعة p 4 m على مركزي دوران من الدرجة الرابعة (90 درجة)، وانعكاسات في أربعة اتجاهات مميزة (أفقي، ورأسي، وقطري). كما تحتوي على انعكاسات انزلاقية إضافية لا تكون محاورها محاور انعكاس؛ حيث تتركز الدورات من الدرجة الثانية (180 درجة) عند تقاطع محاور انعكاس الانزلاق. وتقع جميع مراكز الدوران على محاور الانعكاس.

يتوافق هذا مع شبكة بسيطة من الصفوف والأعمدة من المربعات المتساوية ذات المحاور الأربعة للانعكاس. كما يتوافق أيضًا مع نمط رقعة الشطرنج المكون من مربعين من هذا النوع.

أمثلة على المجموعة p 4 m

أمثلة معروضة بأصغر الترجمات الأفقية والرأسية (كما في الرسم التخطيطي):

أمثلة معروضة بأصغر الترجمات قطريًا:

مجموعةص4ج(4*2)

مثال ورسم بياني لـ p 4 g
بنية الخلية لـ p 4 g
  • توقيع أوربفولد: 4 * 2
  • تدوين كوكستر: [4 + ،4]
  • الشبكة: مربعة
  • المجموعة النقطية: د 4
  • المجموعة p 4 g لها مركزان للدوران من الدرجة الرابعة (90 درجة)، وهما صورة طبق الأصل لبعضهما البعض، ولكن لها انعكاسات في اتجاهين فقط، وهما عموديان. وهناك دورانات من الدرجة الثانية (180 درجة) تقع مراكزها عند تقاطعات محاور الانعكاس. ولها محاور انعكاس انزلاقية موازية لمحاور الانعكاس، وبينها، وأيضًا بزاوية 45 درجة مع هذه المحاور.

يمكن النظر إلى نمط p 4 g على أنه نمط رقعة شطرنج من نسخ بلاطة مربعة ذات تماثل دوراني رباعي الأضلاع، وصورتها المرآة. أو يمكن النظر إليه (عن طريق تحريك نصف بلاطة) على أنه نمط رقعة شطرنج من نسخ بلاطة متماثلة أفقيًا ورأسيًا ونسختها التي تم تدويرها بزاوية 90 درجة. لاحظ أن أيًا منهما لا ينطبق على نمط رقعة شطرنج عادي من البلاط الأسود والأبيض، فهذه هي المجموعة p4m (مع خلايا ترجمة قطرية).

أمثلة على المجموعة p 4 g

مجموعةص3 (333)

مثال ورسم بياني لـ p 3
بنية الخلية لـ p3
  • توقيع أوربفولد: 333
  • تدوين كوكسيتر: [(3,3,3)] + أو [3 [3] ] +
  • الشبكة: سداسية الشكل
  • مجموعة النقاط: C 3
  • تحتوي المجموعة p 3 على ثلاثة مراكز دوران مختلفة من الدرجة الثالثة (120 درجة)، ولكن لا يوجد بها انعكاسات أو انعكاسات انزلاق.

تخيل فسيفساء للمستوى مع مثلثات متساوية الأضلاع بنفس الحجم، مع تقابل الأضلاع لأصغر حركات الانتقال. ثم يكون نصف المثلثات في اتجاه واحد، والنصف الآخر مقلوبًا. تتوافق مجموعة ورق الحائط هذه مع الحالة التي تكون فيها جميع المثلثات من نفس الاتجاه متساوية، في حين أن كلا النوعين لهما تماثل دوراني من الدرجة الثالثة، لكن الاثنين ليسا متساويين، وليسا صورة معكوسة لبعضهما البعض، وكلاهما ليسا متماثلين (إذا كان الاثنان متساويين يكون p 6 ، وإذا كانا صورة معكوسة لبعضهما البعض يكون p 31 م ، وإذا كان كلاهما متماثلًا يكون p 3 م 1 ؛ وإذا كان اثنان من الثلاثة ينطبقان، فإن الثالث ينطبق أيضًا، ويكون p 6 م ). بالنسبة لصورة معينة، تكون ثلاثة من هذه الفسيفساء ممكنة، ولكل منها مراكز دوران كرؤوس، أي بالنسبة لأي فسيفساء يكون هناك تحولان ممكنان. من حيث الصورة: يمكن أن تكون الرؤوس مثلثات حمراء أو زرقاء أو خضراء.

على نحو مماثل، تخيل فسيفساء للمستوى بها سداسيات منتظمة، ذات أضلاع تساوي أصغر مسافة ترجمة مقسومة على √ 3. ثم تتوافق مجموعة ورق الحائط هذه مع الحالة التي تكون فيها جميع السداسيات متساوية (وفي نفس الاتجاه) ولها تماثل دوراني من الدرجة الثالثة، بينما ليس لها تماثل صورة معكوسة (إذا كان لها تماثل دوراني من الدرجة السادسة يكون p 6 ، وإذا كانت متماثلة بالنسبة للأقطار الرئيسية تكون p 31 م ، وإذا كانت متماثلة بالنسبة للخطوط العمودية على الأضلاع تكون p 3 م 1 ؛ وإذا انطبق اثنان من الثلاثة فإن الثالث أيضًا يكون p 6 م ). بالنسبة لصورة معينة، تكون ثلاثة من هذه الفسيفساء ممكنة، كل منها مع ثلث مراكز الدوران كمراكز للسداسيات. من حيث الصورة: يمكن أن تكون مراكز السداسيات هي المثلثات الحمراء أو الزرقاء أو الخضراء.

أمثلة للمجموعة ص 3
  • تم إنشاؤه بواسطة الكمبيوتر
    تم إنشاؤه بواسطة الكمبيوتر
  • تجاهل البلاط السداسي الثلاثي (تجاهل الألوان: p6)؛ يتم تدوير متجهات الترجمة قليلاً إلى اليمين مقارنة بالاتجاهات في الشبكة السداسية الأساسية للصورة
    تجاهل البلاط السداسي الثلاثي (تجاهل الألوان: ص 6 )؛ يتم تدوير متجهات الترجمة قليلاً إلى اليمين مقارنة بالاتجاهات في الشبكة السداسية الأساسية للصورة
  • رصف الشوارع في زاكوباني، بولندا
    رصف الشوارع في زاكوباني ، بولندا
  • بلاط الجدران في قصر الحمراء بإسبانيا (والجدار بأكمله)؛ مع تجاهل جميع الألوان، هذا هو p3 (مع تجاهل ألوان النجوم فقط، هذا هو p1)
    بلاط الجدران في قصر الحمراء بإسبانيا (والجدار بأكمله )؛ مع تجاهل جميع الألوان، هذا هو p3 ( مع تجاهل ألوان النجوم فقط، هذا هو p1)
  • 6 بلاطات متجانسة، كل نقطة دوران محاطة بمجموعة ثلاثية الأبعاد
    6 بلاطات متجانسة ، كل نقطة دوران محاطة بمجموعة ثلاثية الأبعاد

مجموعةص3م1 (*333)

مثال ورسم بياني لـ p 3 m 1
بنية الخلية لـ p 3 m 1
  • توقيع أوربفولد: *333
  • تدوين كوكسيتر: [(3,3,3)] أو [3 [3] ]
  • الشبكة: سداسية الشكل
  • المجموعة النقطية: د 3
  • المجموعة ص 3 م 1 لها ثلاثة مراكز دوران مختلفة من الدرجة الثالثة (120 درجة). ولها انعكاسات في الأضلاع الثلاثة للمثلث المتساوي الأضلاع. ويقع مركز كل دوران على محور انعكاس. وهناك انعكاسات انزلاقية إضافية في ثلاثة اتجاهات مميزة، وتقع محاورها في منتصف المسافة بين محاور الانعكاس الموازية المجاورة.

كما هو الحال بالنسبة لـ p3 ، تخيل فسيفساء للمستوى مع مثلثات متساوية الأضلاع ذات حجم متساوٍ، مع تطابق الأضلاع مع أصغر حركات الانتقال. ثم يكون نصف المثلثات في اتجاه واحد، والنصف الآخر مقلوبًا. تتوافق مجموعة ورق الحائط هذه مع الحالة التي تكون فيها جميع المثلثات ذات الاتجاه نفسه متساوية، في حين أن كلا النوعين لهما تماثل دوراني من الدرجة الثالثة، وكلاهما متماثلان، لكنهما ليسا متساويين، وليسا صورة معكوسة لبعضهما البعض. بالنسبة لصورة معينة، تكون ثلاثة من هذه الفسيفساء ممكنة، ولكل منها مراكز دوران كرؤوس. من حيث الصورة: يمكن أن تكون الرؤوس مثلثات حمراء أو زرقاء أو خضراء.

أمثلة على المجموعة ص 3 م 1

مجموعةص31م(3*3)

مثال ورسم بياني لـ p 31 م
بنية الخلية لـ p 31 m
  • توقيع أوربفولد: 3 * 3
  • تدوين كوكستر: [6,3 + ]
  • الشبكة: سداسية الشكل
  • المجموعة النقطية: د 3
  • تحتوي المجموعة p 31 m على ثلاثة مراكز دوران مختلفة من الدرجة الثالثة (120 درجة)، اثنان منها عبارة عن صورة طبق الأصل للآخر. ولديها انعكاسات في ثلاثة اتجاهات مميزة. ولديها على الأقل دوران واحد لا يقع مركزه على محور انعكاس. وهناك انعكاسات انزلاقية إضافية في ثلاثة اتجاهات مميزة، وتقع محاورها في منتصف المسافة بين محاور الانعكاس الموازية المجاورة.

مثل p 3 و p 3 m 1 ، تخيل فسيفساء للمستوى مع مثلثات متساوية الأضلاع ذات حجم متساوٍ، مع تطابق الأضلاع مع أصغر حركات الانتقال. ثم يكون نصف المثلثات في اتجاه واحد، والنصف الآخر مقلوبًا. تتوافق مجموعة ورق الحائط هذه مع الحالة التي تكون فيها جميع المثلثات ذات الاتجاه نفسه متساوية، في حين أن كلا النوعين لهما تماثل دوراني من الدرجة الثالثة ويكون كل منهما صورة معكوسة للآخر، ولكن ليس متماثلًا بحد ذاته، وليس متساويًا. بالنسبة لصورة معينة، لا يمكن وجود سوى فسيفساء واحدة من هذا القبيل. من حيث الصورة: يجب أن تكون الرؤوس هي المثلثات الحمراء، وليس المثلثات الزرقاء.

أمثلة على المجموعة ص 31 م

مجموعةص6 (632)

مثال ورسم بياني لـ p 6
بنية الخلية لـ p6
  • توقيع أوربفولد: 632
  • تدوين كوكستر: [6،3] +
  • الشبكة: سداسية الشكل
  • المجموعة النقطية: C 6
  • تحتوي المجموعة p 6 على مركز دوران واحد من الدرجة السادسة (60 درجة)؛ ومركزي دوران من الدرجة الثالثة (120 درجة)، وهما صورتان لبعضهما البعض تحت دوران بمقدار 60 درجة؛ وثلاثة مراكز دوران من الدرجة الثانية (180 درجة) والتي هي أيضًا صور لبعضها البعض تحت دوران بمقدار 60 درجة. ولا يوجد بها انعكاسات أو انعكاسات انزلاقية.

يمكن النظر إلى النمط الذي يتمتع بهذا التناظر على أنه فسيفساء للمستوى ببلاطات مثلثية متساوية مع تناظر C 3 ، أو على نحو مكافئ، فسيفساء للمستوى ببلاطات سداسية متساوية مع تناظر C 6 (مع عدم كون حواف البلاط بالضرورة جزءًا من النمط).

أمثلة للمجموعة ص 6

مجموعةص6م(*632)

مثال ورسم بياني لـ p 6 m
بنية الخلية لـ p 6 m
  • توقيع أوربفولد: *632
  • تدوين كوكستر: [6،3]
  • الشبكة: سداسية الشكل
  • المجموعة النقطية: د 6
  • المجموعة p 6 m لها مركز دوران واحد من الدرجة السادسة (60 درجة)؛ ولها مركزان للدوران من الدرجة الثالثة، يختلفان فقط بدوران قدره 60 درجة (أو ما يعادله، 180 درجة)، وثلاثة مراكز من الدرجة الثانية، يختلفان فقط بدوران قدره 60 درجة. ولها أيضًا انعكاسات في ستة اتجاهات مميزة. وهناك انعكاسات انزلاقية إضافية في ستة اتجاهات مميزة، وتقع محاورها في منتصف المسافة بين محاور الانعكاس الموازية المجاورة.

يمكن النظر إلى النمط الذي يتمتع بهذا التناظر على أنه فسيفساء للمستوى ببلاطات مثلثية متساوية ذات تماثل D 3 ، أو على نحو مكافئ، فسيفساء للمستوى ببلاطات سداسية متساوية ذات تماثل D 6 (حيث لا تكون حواف البلاط بالضرورة جزءًا من النمط). وبالتالي فإن أبسط الأمثلة هي شبكة مثلثية مع أو بدون خطوط متصلة، وبلاط سداسي بلون واحد لتحديد الخطوط السداسية وآخر للخلفية.

أمثلة على المجموعة p 6 m

أنواع الشبكة

هناك خمسة أنواع من الشبكات أو شبكات برافيس ، تتوافق مع المجموعات الخمس المحتملة لورق الحائط في الشبكة نفسها. لا يمكن لمجموعة ورق الحائط في نمط به شبكة ذات تناسق ترجمي أن يكون لها تناسق أكبر من الشبكة نفسها، ولكن قد يكون لها تناسق أقل.

  • في الحالات الخمس للتناظر الدوراني من الدرجة 3 أو 6، تتكون الخلية الوحدوية من مثلثين متساويي الأضلاع (شبكة سداسية، ص 6 م ). ويشكلان معينًا بزوايا 60 درجة و120 درجة.
  • في الحالات الثلاث للتناظر الدوراني من الدرجة 4، تكون الخلية مربعة (شبكة مربعة، نفسها ص 4 م ).
  • في الحالات الخمس للانعكاس أو الانعكاس الانزلاقي، ولكن ليس كلاهما، تكون الخلية مستطيلة (شبكة مستطيلة، pmm نفسها ). ويمكن تفسيرها أيضًا على أنها شبكة معينية مركزية. حالات خاصة: مربع.
  • في حالتي الانعكاس المقترنة بانعكاس الانزلاق، تكون الخلية على شكل معين (شبكة معينية، سم مكعب في حد ذاتها ). ويمكن تفسيرها أيضًا على أنها شبكة مستطيلة مركزية. حالات خاصة: خلية وحدة مربعة، سداسية الشكل.
  • في حالة التناظر الدوراني فقط من الدرجة 2، وفي حالة عدم وجود أي تناظر آخر غير التناظر الانتقالي، تكون الخلية بشكل عام متوازي أضلاع (شبكة متوازية الأضلاع أو مائلة، هي نفسها ص 2 ). حالات خاصة: خلية وحدة مستطيلة، مربعة، معينة، سداسية.

مجموعات التماثل

يجب التمييز بين مجموعة التناظر الفعلية ومجموعة ورق الحائط. مجموعات ورق الحائط هي مجموعات من مجموعات التناظر. هناك 17 من هذه المجموعات، ولكن لكل مجموعة يوجد عدد لا نهائي من مجموعات التناظر، بمعنى مجموعات التماثل الفعلية. تعتمد هذه، بصرف النظر عن مجموعة ورق الحائط، على عدد من المعلمات لمتجهات الترجمة، واتجاه وموضع محاور الانعكاس ومراكز الدوران.

عدد درجات الحرية هي:

  • 6 لـ ص 2
  • 5 لـ pmm و pmg و pgg و cmm
  • 4 للباقي.

ومع ذلك، داخل كل مجموعة ورق حائط، تكون جميع مجموعات التناظر متماثلة جبريًا.

بعض تماثلات المجموعة التناظرية:

  • ص 1 : ز 2
  • مساءا : Z × D ∞
  • ب م م : د ∞ × د ∞ .

اعتماد مجموعات ورق الحائط على التحويلات

  • مجموعة ورق الحائط للنمط ثابتة تحت القياسات المتساوية والتدرج المنتظم ( تحويلات التشابه ).
  • يتم الحفاظ على التناظر الترجمي تحت التحولات الأفينية الثنائية التعسفية .
  • التناظر الدوراني من الدرجة الثانية كذلك؛ وهذا يعني أيضًا أن مراكز الدوران الرباعية والسداسية تحافظ على الأقل على التناظر الدوراني المزدوج.
  • يتم الحفاظ على الانعكاس في خط وانعكاس الانزلاق عند التمدد/الانكماش على طول محور الانعكاس وانعكاس الانزلاق أو عموديًا عليه. ويتغير p 6 m و p 4 g و p 3 m 1 إلى cmm و p 3 m 1 إلى cm و p 4 m ، اعتمادًا على اتجاه التمدد/الانكماش ، إلى pmm أو cmm . يعد نمط الصفوف المتدرجة المتماثلة من النقاط خاصًا لأنه يمكن تحويله عن طريق التمدد/الانكماش من p 6 m إلى p 4 m .

لاحظ أنه عندما يؤدي التحويل إلى تقليل التناظر، فإن التحويل من نفس النوع (العكس) من الواضح أنه يزيد التناظر لبعض الأنماط. مثل هذه الخاصية الخاصة للنمط (على سبيل المثال، التوسع في اتجاه واحد ينتج نمطًا بتناظر رباعي الأضلاع) لا يتم احتسابها كشكل من أشكال التناظر الإضافي.

لا يؤثر تغيير الألوان على مجموعة ورق الحائط إذا كان لأي نقطتين لهما نفس اللون قبل التغيير، لهما أيضًا نفس اللون بعد التغيير، وأي نقطتين لهما ألوان مختلفة قبل التغيير، لهما أيضًا ألوان مختلفة بعد التغيير.

إذا كان الأمر السابق ينطبق، ولكن ليس الأخير، كما هو الحال عند تحويل صورة ملونة إلى صورة بالأبيض والأسود، فسيتم الحفاظ على التناظرات، ولكنها قد تزداد، بحيث يمكن تغيير مجموعة ورق الحائط.

عرض ويب وبرمجيات

تتيح لك العديد من أدوات الرسوميات البرمجية إنشاء أنماط ثنائية الأبعاد باستخدام مجموعات تناسق ورق الحائط. عادةً يمكنك تحرير المربع الأصلي ويتم تحديث نسخه في النمط بالكامل تلقائيًا.

  • MadPattern، مجموعة مجانية من قوالب Adobe Illustrator التي تدعم مجموعات خلفيات الشاشة السبعة عشر
  • Tess هو برنامج تجميع فسيفساء مجاني متاح للمنصات المتعددة، ويدعم جميع مجموعات ورق الحائط، والأفاريز، والورود، بالإضافة إلى بلاط Heesch.
  • Wallpaper Symmetry هي أداة رسم JavaScript مجانية عبر الإنترنت تدعم المجموعات السبع عشرة. تحتوي الصفحة الرئيسية على شرح لمجموعات ورق الحائط، بالإضافة إلى أدوات الرسم وتوضيحات لمجموعات التناظر المستوي الأخرى أيضًا.
  • لعبة الحكايات، برنامج مجاني مصمم لأغراض تعليمية ويتضمن وظيفة التبليط.
  • Kali Archived 2018-12-16 at the Wayback Machine ، محرر التناظر الرسومي عبر الإنترنت، أداة Java applet (غير مدعومة افتراضيًا في المتصفحات).
  • تم أرشفة Kali في 2020-11-21 على موقع Wayback Machine ، وهو إصدار Kali Classic مجاني للتنزيل لنظامي التشغيل Windows وMac.
  • يدعم Inkscape ، وهو محرر رسوميات متجهية مجاني ، جميع المجموعات السبع عشرة بالإضافة إلى المقاييس التعسفية والتحولات والتدويرات وتغييرات الألوان لكل صف أو لكل عمود، مع إمكانية تغييرها عشوائيًا بدرجة معينة. (انظر [1])
  • SymmetryWorks هو مكون إضافي تجاري لبرنامج Adobe Illustrator ، ويدعم جميع المجموعات السبع عشرة.
  • EscherSketch هي أداة رسم JavaScript مجانية عبر الإنترنت تدعم 17 مجموعة.
  • Repper هي أداة رسم تجارية عبر الإنترنت تدعم 17 مجموعة بالإضافة إلى عدد من البلاط غير الدوري

انظر أيضا

تحتوي ويكيميديا ​​كومنز على وسائط متعلقة بـ مخططات مجموعة ورق الحائط .

ملحوظات

  1. ^ إي. فيدوروف (1891) "Simmetrija na ploskosti" ( Simmetrija na ploskosti ، التماثل في المستوى)، Записки Иператоского С.-Peterburgского MINERALOGICCHеского общества ( Zapiski Imper atorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva ، وقائع جمعية المعادن الإمبراطورية في سانت بطرسبرغ) ، السلسلة 2، 28  : 345-390 (بالروسية).
  2. ^ بوليا ، جورج (نوفمبر 1924). "Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene" [على تناظر التماثل البلوري في المستوى]. Zeitschrift für Kristallographie (باللغة الألمانية). 60 (1-6): 278-282. دوى :10.1524/zkri.1924.60.1.278. S2CID  102174323.
  3. ^ كلاريتش، إيريكا (5 مارس 2013). "كيفية صنع ورق حائط مستحيل". مجلة كوانتا . تم الاسترجاع في 2021-04-07 .
  4. ^ رادايلي، باولو ج. التناظر في علم البلورات . مطبعة جامعة أكسفورد.
  5. ^ إذا فكرنا في المربعات باعتبارها الخلفية، فإننا نستطيع أن نرى أنماطًا بسيطة من صفوف المعينات.

مراجع

  • قواعد الزخرفة (1856)، بقلم أوين جونز . العديد من الصور في هذه المقالة مأخوذة من هذا الكتاب؛ كما تحتوي على العديد من الصور الأخرى.
  • جون إتش كونواي (1992). "ترميز أوربفولد لمجموعات السطح". في: إم دبليو ليبيك وجيه ساكسل (المحرران)، المجموعات والتركيبات والهندسة ، وقائع ندوة دورهام لعلوم الرياضيات، 5-15 يوليو، دورهام، المملكة المتحدة، 1990؛ سلسلة ملاحظات محاضرات جمعية لندن للرياضيات 165. مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج. ص 438-447
  • جون إتش كونواي ، هايدي بورجيل، وحاييم جودمان شتراوس (2008): تماثلات الأشياء . ووستر، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز. رقم ISBN 1-56881-220-5 . 
  • برانكو جرونباوم وج. سي. شيبارد (1987): البلاط والأنماط . نيويورك: فريمان. ISBN 0-7167-1193-1 . 
  • تصميم الأنماط، لويس ف. داي
  • الجداول الدولية لعلم البلورات المجلد أ: تماثل المجموعة المكانية من قبل الاتحاد الدولي لعلم البلورات
  • مجموعات التناظر المستوي السبعة عشر بقلم ديفيد إي. جويس
  • مقدمة لأنماط ورق الحائط بقلم حاييم جودمان شتراوس وهايدي بورجيل
  • الوصف بقلم سيلفيو ليفي
  • مثال على تقسيم كل مجموعة، مع عروض توضيحية ديناميكية للخصائص
  • نظرة عامة مع أمثلة على تقسيم كل مجموعة، بقلم براين ساندرسون
  • Escher Web Sketch، تطبيق Java صغير يحتوي على أدوات تفاعلية للرسم في جميع مجموعات التناظر المستوي السبعة عشر
  • Burak، برنامج جافا صغير لرسم مجموعات التناظر. محفوظ في 2009-02-18 على موقع Wayback Machine
  • تطبيق JavaScript لرسم أنماط ورق الحائط
  • نمط الدائرة على الفسيفساء الرومانية في اليونان
  • سبعة عشر نوعًا من أنماط ورق الحائط أرشيف 2017-10-12 على موقع Wayback Machine التماثلات السبعة عشر الموجودة في الأنماط اليابانية التقليدية.
  • بالوغلو، جورج (2002). "تصنيف هندسي أولي بحت للمجموعات البلورية السبع عشرة المستوية (أنماط ورق الحائط)". مؤرشف من الأصل في 2018-08-07 . تم الاسترجاع في 2018-07-22 .
تم الاسترجاع من "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Wallpaper_group&oldid=1241203375"
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate