مجموعة فريز

في الرياضيات ، يُعرف الإفريز أو نمط الإفريز بأنه تصميم ثنائي الأبعاد يتكرر في اتجاه واحد. وقد اشتُقّ المصطلح من الإفريزات في العمارة والفنون الزخرفية ، حيث تُستخدم هذه الأنماط المتكررة بكثرة. ويمكن تصنيف أنماط الإفريز إلى سبعة أنواع وفقًا لتناظراتها. وتُسمى مجموعة تناظرات نمط الإفريز بزمرة الإفريز .

مجموعات الزخرفة هي مجموعات خطية ثنائية الأبعاد ، تتكرر في اتجاه واحد فقط. وهي مرتبطة بمجموعات ورق الجدران الأكثر تعقيدًا ، والتي تصنف الأنماط المتكررة في اتجاهين، والمجموعات البلورية ، التي تصنف الأنماط المتكررة في ثلاثة اتجاهات.

تاريخ

تعود أصول الزخارف الرياضية إلى صيغ النجمة الخماسية الرائعة التي اكتشفها كارل فريدريش غاوس عام 1843، ودراسة هارولد سكوت ماكدونالد كوكسيتر للتناظرات في منتصف القرن العشرين. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} وقد قدم كوكسيتر أنماط الزخارف رسميًا عام 1971. ^{[ 1 ]} وفي سبعينيات وثمانينيات القرن العشرين، كانت أنماط الزخارف موضوعًا لأعمال رياضية لكوكسيتر، وجون هورتون كونواي ، وجيفري كولين شيبارد ، وبيير غابرييل ، وغيرهم في مجال التوافقية ونظرية تمثيلات السهم . ^{[ 1 ]}

في القرن الحادي والعشرين، تم اكتشاف علاقات جديدة بين أنماط الزخرفة وجبر المجموعات ، وغراسمان ، ومعادلات الفرق الخطية ، وفضاءات المعاملات للنقاط في الفضاءات الإسقاطية ، ومصفوفات النقل في نماذج الشبكة القابلة للحل . ^{[ 1 ]}

تعريف

المجموعات السبع من الزخارف الجدارية
p1: T (إزاحة فقط، في الاتجاه الأفقي) p1m1: التلفزيون (الترجمة وانعكاس الخط العمودي) ص11م: THG (الترجمة، انعكاس الخط الأفقي، وانعكاس الانزلاق) ص11غ: TG (انعكاس الانتقال والانزلاق) p2: TR (انتقال ودوران 180 درجة) p2mg: TRVG (إزاحة، دوران 180 درجة، انعكاس خط عمودي، وانعكاس انزلاقي) p2mm: TRHVG (إزاحة، دوران 180 درجة، انعكاس خط أفقي، انعكاس خط رأسي، وانعكاس انزلاقي)

بصورة رسمية، تُعرَّف مجموعة الزخرفة بأنها فئة من مجموعات التناظر المنفصلة اللانهائية للأنماط على شريط (مستطيل لا نهائي العرض)، وبالتالي فهي فئة من مجموعات التناظرات المتساوية في المستوى أو الشريط. تحتوي مجموعة التناظر لمجموعة الزخرفة بالضرورة على إزاحات ، وقد تحتوي على انعكاسات انزلاقية ، وانعكاسات على طول المحور الطويل للشريط، وانعكاسات على طول المحور الضيق للشريط، ودورانات بزاوية 180 درجة . توجد سبع مجموعات زخرفة، مُدرجة في الجدول الموجز. يعرض العديد من المؤلفين مجموعات الزخرفة بترتيب مختلف. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

مجموعات التناظر والمولدات

تتميز مجموعات التناظر الفعلية داخل مجموعة الزخرفة بأصغر مسافة إزاحة، وبالنسبة لمجموعات الزخرفة ذات الانعكاس الخطي الرأسي أو الدوران بزاوية 180 درجة (المجموعات 2، 5، 6، و7)، بمعامل إزاحة يحدد محور الانعكاس أو نقطة الدوران. أما في حالة مجموعات التناظر في المستوى، فتُضاف معلمات أخرى، منها اتجاه متجه الإزاحة، وبالنسبة لمجموعات الزخرفة ذات الانعكاس الخطي الأفقي، أو الانعكاس الانزلاقي، أو الدوران بزاوية 180 درجة (المجموعات من 3 إلى 7)، موضع محور الانعكاس أو نقطة الدوران في الاتجاه العمودي على متجه الإزاحة. وبالتالي، توجد درجتا حرية للمجموعة 1، وثلاث للمجموعات 2، 3، و4، وأربع للمجموعات 5، 6، و7.

بالنسبة لمجموعتين من مجموعات الزخرفة السبع (المجموعتان 1 و4)، تتولد مجموعات التناظر بشكل منفرد ، بينما تتولد مجموعات التناظر لأربع مجموعات أخرى (المجموعات 2 و3 و5 و6) من خلال زوج من المولدات، أما بالنسبة للمجموعة 7، فتتطلب مجموعات التناظر ثلاثة مولدات. مجموعة التناظر في المجموعة 1 أو 2 أو 3 أو 5 هي مجموعة فرعية من مجموعة تناظر في المجموعة الأخيرة لها نفس المسافة الانتقالية. أما مجموعة التناظر في المجموعة 4 أو 6 فهي مجموعة فرعية من مجموعة تناظر في المجموعة الأخيرة لها نصف المسافة الانتقالية. تحتوي هذه المجموعة الأخيرة على مجموعات التناظر لأبسط الأنماط الدورية في الشريط (أو المستوى)، وهي عبارة عن صف من النقاط. يمكن تحليل أي تحويل للمستوى مع الحفاظ على هذا النمط إلى إزاحة، ( س ، ص ) ↦ ( ن + س ، ص ) ، متبوعة اختيارياً بانعكاس حول المحور الأفقي، ( س ، ص ) ↦ ( س ، -ص ) ، أو حول المحور الرأسي، ( س ، ص ) ↦ (-س ، ص ) ، بشرط أن يمر هذا المحور عبر نقطتين أو في منتصف المسافة بينهما، أو دوران بزاوية 180 درجة، ( س ، ص ) ↦ ( -س ، -ص ) (كذلك). وبالتالي، يمكن القول إن مجموعة الزخرفة هذه تحتوي على أكبر مجموعات التناظر، والتي تتألف من جميع هذه التحويلات.

يهدف تضمين الشرط المنفصل إلى استبعاد المجموعة التي تحتوي على جميع الإزاحات، والمجموعات التي تحتوي على إزاحات صغيرة جدًا (مثل مجموعة الإزاحات الأفقية بمسافات نسبية). وبغض النظر عن تغيير المقياس والإزاحة، توجد حالات لا حصر لها، على سبيل المثال عند النظر في الأعداد النسبية التي تكون مقاماتها قوى لعدد أولي معين.

إن تضمين الشرط اللانهائي يهدف إلى استبعاد المجموعات التي ليس لها ترجمات:

المجموعة التي تحتوي على العنصر المحايد فقط (متماثلة مع C ₁ ، المجموعة التافهة من الرتبة 1).
المجموعة التي تتكون من عنصر الهوية والانعكاس في المحور الأفقي (متماثلة مع C ₂ ، المجموعة الدورية من الرتبة 2).
تتكون كل مجموعة من الهوية والانعكاس على محور رأسي (كذلك).
تتكون كل مجموعة من عنصر الهوية ودوران 180 درجة حول نقطة على المحور الأفقي (كذلك).
تتكون كل مجموعة من عنصر التطابق، والانعكاس حول محور رأسي، والانعكاس حول محور أفقي، ودوران 180 درجة حول نقطة التقاطع (متماثلة مع مجموعة كلاين الرباعية ).

وصف لمجموعات الزخارف السبع

توجد سبع مجموعات فرعية متميزة (مع مراعاة تغيير حجم الأنماط وإزاحتها) في مجموعة الزخارف المنفصلة (المسماة TRHVG) الناتجة عن الإزاحة والانعكاس (على طول المحور نفسه) والدوران بزاوية 180 درجة. كل مجموعة فرعية من هذه المجموعات هي مجموعة التناظر لنمط زخرفة، وتظهر نماذج من الأنماط في الجدول أدناه. تتوافق المجموعات السبع المختلفة مع السلاسل اللانهائية السبع لمجموعات النقاط المحورية في ثلاثة أبعاد ، ولكن مع اعتبار n مساويًا، كما لو كان، لللانهاية. ^{[ 5 ]} (تخيل قبةً يحيط بقاعدتها زخرفة. ستنتمي هذه الزخرفة إلى إحدى مجموعات النقاط، حيث n هو عدد مرات التكرار عند الدوران حول القبة بالكامل. مجموعات الزخارف متشابهة، لكن الإزاحات تستمر إلى ما لا نهاية دون العودة إلى نقطة البداية).

من السهل إدراك سبب وجود سبع مجموعات. فيما يتعلق بالانعكاسات والانزلاقات على محور الإفريز، توجد ثلاث احتمالات: قد توجد انزلاقات (G)، أو انزلاقات وانعكاس (H)، أو لا شيء منهما. أما فيما يتعلق بالانعكاسات على الخطوط "الرأسية" (V)، فهناك احتمالان: وجودها أو عدم وجودها. وهذا يُعطي ست مجموعات.

	لا انزلاق	الانزلاق فقط	الانزلاق والانعكاس حول المحور الأفقي
لا يوجد انعكاس حول الخطوط الرأسية	T (C _∞ )	TG (S _∞ )	THG (C _∞h )
وجود انعكاسات حول الخطوط الرأسية	التلفزيون (C _∞v )	TRVG (D _∞d )	TRHVG (D _∞h )

عندما يكون كل من V والانزلاقات موجودين، فإن هناك دورانات ثنائية R. لكن R يمكن أن يوجد بمفرده، مما يعطي المجموعة السابعة، TR (D _∞ ).

تم تحديد المجموعات في الجدول أدناه باستخدام تدوين هيرمان-ماوجين ، وتدوين كوكسيتر ، وتدوين شونفليس ، وتدوين أوربيفولد ، والألقاب التي ابتكرها عالم الرياضيات جون إتش كونواي ، وأخيرًا وصف من حيث الإزاحة والانعكاسات والدوران.

مجموعات الزخارف الجدارية
IUC	كوكس.	شون. ^*	أوربيفولد		وصف
ص1	[∞] ⁺	C _∞Z _∞	∞∞	قفزة	(T) عمليات الإزاحة فقط: يتم توليد هذه المجموعة بشكل فردي، عن طريق إزاحة بأصغر مسافة يكون النمط دوريًا عليها.
ص11غ	[∞ ⁺ ,2 ⁺ ]	S _∞ Z _∞	∞×	خطوة	(TG) الانعكاسات الانزلاقية والانتقالات: يتم توليد هذه المجموعة بشكل فردي، عن طريق انعكاس انزلاقي، مع الحصول على الانتقالات من خلال الجمع بين انعكاسين انزلاقيين.
p1m1	[∞]	C _∞vDih _∞	*∞∞	مشى جانبا	(TV) خطوط الانعكاس الرأسية والانتقالات: المجموعة هي نفسها المجموعة غير التافهة في الحالة أحادية البعد؛ يتم توليدها عن طريق الانتقال والانعكاس في المحور الرأسي.
ص2	[∞,2] ⁺	D _∞ Dih _∞	22∞	القفزة الدوارة	(TR) الانتقالات والدوران 180 درجة: يتم توليد المجموعة عن طريق الانتقال والدوران 180 درجة.
p2mg	[∞,2 ⁺ ]	D _∞d Dih _∞	2*∞	دوار جانبي	(TRVG) خطوط الانعكاس الرأسية، انعكاسات الانزلاق، الانتقالات والدوران 180 درجة: تنشأ الانتقالات هنا من انعكاسات الانزلاق، لذلك يتم توليد هذه المجموعة بواسطة انعكاس انزلاقي إما ودوران أو انعكاس رأسي.
ص11م	[∞ ⁺ ,2]	C _∞h Z _∞ ×Dih ₁	∞*	قفزة	(THG) الإزاحات، والانعكاسات الأفقية، والانعكاسات الانزلاقية: تنشأ هذه المجموعة من إزاحة وانعكاس حول المحور الأفقي. وينشأ الانعكاس الانزلاقي هنا نتيجةً لتركيب الإزاحة والانعكاس الأفقي.
p2mm	[∞,2]	D _∞h Dih _∞ × Dih ₁	*22∞	قفزة دورانية	(TRHVG) خطوط الانعكاس الأفقية والرأسية، والتحويلات والدوران بزاوية 180 درجة: تتطلب هذه المجموعة ثلاثة مولدات، مع مجموعة توليد واحدة تتكون من تحويل، وانعكاس في المحور الأفقي، وانعكاس عبر محور رأسي.

^* تم توسيع ترميز مجموعة النقاط لشونفليس هنا ليشمل حالات لا نهائية من تناظرات النقاط ثنائية السطوح المتكافئة

^§ يوضح الرسم التخطيطي مجالًا أساسيًا واحدًا باللون الأصفر، مع خطوط انعكاس باللون الأزرق، وخطوط انعكاس انزلاقية باللون الأخضر المتقطع، ومتجهات انتقالية عمودية باللون الأحمر، ونقاط دوران ثنائية على شكل مربعات خضراء صغيرة.

من بين مجموعات الزخارف السبع، لا يوجد سوى أربع مجموعات تصل إلى درجة التماثل . اثنتان منها مولدتان بشكل منفرد ومتماثلتان مع $\mathbb {Z}$ أربعة منها مولدة توليداً مزدوجاً، من بينها واحد تبديلي وثلاثة غير تبديلية ومتماثلة مع $D_{\infty }$ ، المجموعة ثنائية السطوح اللانهائية ؛ وأحدها له ثلاثة مولدات. ^{[ 7 ]}

أنواع الشبكات: مائلة ومستطيلة

يمكن تصنيف المجموعات حسب نوع الشبكة ثنائية الأبعاد أو الشبكة البلورية. ^{[ 8 ]} كون الشبكة البلورية مائلة يعني أن الاتجاه الثاني ليس بالضرورة أن يكون متعامدًا مع اتجاه التكرار.

نوع الشبكة	المجموعات
منحرف	ص1، ص2
مستطيل	p1m1، p11m، p11g، p2mm، p2mg

انظر أيضاً

عرض توضيحي عبر الإنترنت وبرنامج

توجد برامج رسومية تُنشئ أنماطًا ثنائية الأبعاد باستخدام مجموعات الزخارف. عادةً، يتم تحديث النمط بالكامل تلقائيًا استجابةً لتعديلات الشريط الأصلي.

EscherSketch برنامج مجاني عبر الإنترنت لرسم وحفظ وتصدير الأشكال الهندسية. يدعم جميع مجموعات الخلفيات.
كالي ، تطبيق برمجي مجاني ومفتوح المصدر للخلفيات والزخارف وغيرها من الأنماط.
تمت أرشفة كالي في 21 نوفمبر 2020 على موقع Wayback Machine ، ويمكن تنزيل كالي مجانًا لأنظمة ويندوز وماك كلاسيك.
يدعم برنامج Tess ، وهو برنامج تجزئة من نوع nagware لمنصات متعددة، جميع مجموعات ورق الحائط، والزخارف، والورود، بالإضافة إلى تبليطات Heesch.
FriezingWorkz ، حزمة برامج Hypercard مجانية لمنصة Classic Mac تدعم جميع مجموعات التجميد.

مراجع

1 2 3 4 مورييه-جينو، صوفي (2015). "أنماط إفريز كوكسيتر عند مفترق طرق الجبر والهندسة والتوافقية". نشرة جمعية لندن الرياضية 47 ( 6): 895-938 .
^ شيختمان، فاديم (2013). "الدوال الخماسية الخماسية والدوال الإهليلجية (نابير، غاوس، بونسيليه، جاكوبي، ...)" . حوليات كلية العلوم بتولوز: الرياضيات . 22 (2): 353-375 . دوى : 10.5802/afst.1375 .
↑ كوكسيتر، إتش إس إم (1969). مقدمة في الهندسة . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ص 47-49 . ISBN 0-471-50458-0.
^ سيديربيرج ، جوديث ن. (2001). دورة في الهندسة الحديثة، الطبعة الثانية . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 117 – 118، 165 – 171. ISBN 0-387-98972-2.
↑ فيشر، جي إل؛ ميلور، بي. (2007)، "مجموعات النقاط المحدودة ثلاثية الأبعاد وتناظر الخرزات المخرزة" (ملف PDF) ، مجلة الرياضيات والفنون ، 1 (2): 85-96 ، doi : 10.1080/17513470701416264 ، S2CID 40755219
↑ أنماط الزخارف الجدارية: ابتكر عالم الرياضيات جون كونواي أسماءً تتعلق بآثار الأقدام لكل مجموعة من مجموعات الزخارف الجدارية.
↑ لاندو، تايلر (10 مايو 2019). "تصنيفات مجموعات الفريز ومقدمة عن المجموعات البلورية" (ملف PDF) . كلية ويتمان.
↑ هيتزر، إي إس إم؛ إيشيكاوا، د. (2008)، "تمثيل المجموعات شبه الدورية البلورية بواسطة الجبر الهندسي" (ملف PDF) ، وقائع المؤتمر الإلكتروني لجمعية AGACSE (3، 17-19 أغسطس 2008)، لايبزيغ، ألمانيا، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 14 مارس 2012

روابط خارجية

[crossroads-1] 1 2 3 4 مورييه-جينو، صوفي (2015). "أنماط إفريز كوكسيتر عند مفترق طرق الجبر والهندسة والتوافقية". نشرة جمعية لندن الرياضية 47 ( 6): 895-938 .

[2] شيختمان، فاديم (2013). "الدوال الخماسية الخماسية والدوال الإهليلجية (نابير، غاوس، بونسيليه، جاكوبي، ...)" . حوليات كلية العلوم بتولوز: الرياضيات . 22 (2): 353-375 . دوى : 10.5802/afst.1375 .

[3] كوكسيتر، إتش إس إم (1969). مقدمة في الهندسة . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ص 47-49 . ISBN 0-471-50458-0.

[4] سيديربيرج ، جوديث ن. (2001). دورة في الهندسة الحديثة، الطبعة الثانية . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 117 – 118، 165 – 171. ISBN 0-387-98972-2.

[5] فيشر، جي إل؛ ميلور، بي. (2007)، "مجموعات النقاط المحدودة ثلاثية الأبعاد وتناظر الخرزات المخرزة" (ملف PDF) ، مجلة الرياضيات والفنون ، 1 (2): 85-96 ، doi : 10.1080/17513470701416264 ، S2CID 40755219

[6] أنماط الزخارف الجدارية: ابتكر عالم الرياضيات جون كونواي أسماءً تتعلق بآثار الأقدام لكل مجموعة من مجموعات الزخارف الجدارية.

[7] لاندو، تايلر (10 مايو 2019). "تصنيفات مجموعات الفريز ومقدمة عن المجموعات البلورية" (ملف PDF) . كلية ويتمان.

[8] هيتزر، إي إس إم؛ إيشيكاوا، د. (2008)، "تمثيل المجموعات شبه الدورية البلورية بواسطة الجبر الهندسي" (ملف PDF) ، وقائع المؤتمر الإلكتروني لجمعية AGACSE (3، 17-19 أغسطس 2008)، لايبزيغ، ألمانيا، مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 14 مارس 2012

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗