نظام المعادلات التفاضلية الجبرية

في الرياضيات ، نظام المعادلات التفاضلية الجبرية ( DAE ) هو نظام معادلات يحتوي إما على معادلات تفاضلية ومعادلات جبرية ، أو يكون مكافئًا لمثل هذا النظام.

مجموعة حلول مثل هذا النظام هي مجموعة متنوعة جبرية تفاضلية ، وتتوافق مع مثالي في جبر تفاضلي لكثيرات الحدود التفاضلية .

في حالة المتغير الواحد ، يمكن كتابة معادلة تفاضلية جبرية في المتغير t كمعادلة واحدة على الشكل التالي

${\displaystyle F({\dot {x}},x,t)=0,}$

أين${\displaystyle x(t)}$هو متجه من الدوال المجهولة، وتشير النقطة العلوية إلى المشتقة الزمنية، أي${\displaystyle {\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}}$.

تختلف المعادلات التفاضلية الجبرية عن المعادلات التفاضلية العادية (ODE) في أن المعادلة التفاضلية الجبرية لا يمكن حلها بالكامل لإيجاد مشتقات جميع مكونات الدالة x لأن هذه المكونات قد لا تظهر جميعها (أي أن بعض المعادلات جبرية)؛ من الناحية الفنية، يكمن الفرق بين نظام المعادلات التفاضلية العادية الضمني [الذي يمكن جعله صريحًا] ونظام المعادلات التفاضلية الجبرية في مصفوفة جاكوبي${\displaystyle {\frac {\partial F({\dot {x}},x,t)}{\partial {\dot {x}}}}}$هي مصفوفة منفردة لنظام المعادلات التفاضلية الجبرية. ^{[ 1 ]} يُجرى هذا التمييز بين المعادلات التفاضلية العادية والمعادلات التفاضلية الجبرية لأن المعادلات التفاضلية الجبرية لها خصائص مختلفة، وعادةً ما يكون حلها أكثر صعوبة. ^{[ 2 ]}

من الناحية العملية، يكمن الفرق بين المعادلات التفاضلية الجبرية والمعادلات التفاضلية العادية في أن حل نظام المعادلات التفاضلية الجبرية يعتمد على مشتقات إشارة الإدخال وليس على الإشارة نفسها كما هو الحال في المعادلات التفاضلية العادية؛ ^{[ 3 ]} وتُصادف هذه المشكلة عادةً في الأنظمة غير الخطية ذات التخلف ، ^{[ 4 ]} مثل مُشغِّل شميت . ^{[ 5 ]}

يصبح هذا الاختلاف أكثر وضوحًا إذا أمكن إعادة كتابة النظام بحيث نعتبر زوجًا بدلًا من x${\displaystyle (x,y)}$من متجهات المتغيرات التابعة، ويكون للمعادلة التفاضلية الجبرية الشكل التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=f(x(t),y(t),t),\\0&=g(x(t),y(t),t).\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$،${\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{m}}$،${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{n}}$و${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{m}.}$

يُطلق على نظام المعادلات التفاضلية الجبرية من هذا الشكل اسم النظام شبه الصريح . ^{[ 1 ]} يُحدد كل حل للنصف الثاني g من المعادلة اتجاهًا فريدًا لـ x عبر النصف الأول f من المعادلات، بينما يكون اتجاه y عشوائيًا. ولكن ليست كل نقطة (x,y,t) حلاً لـ g . تُسمى المتغيرات في x والنصف الأول f من المعادلات بالمتغيرات التفاضلية . تُسمى مكونات y والنصف الثاني g من المعادلات بالمتغيرات أو المعادلات الجبرية للنظام. [مصطلح "جبري" في سياق المعادلات التفاضلية الجبرية يعني فقط "خالٍ من المشتقات" ولا علاقة له بالجبر (المجرد)].

يتألف حل المعادلات التفاضلية الجبرية من جزأين: أولهما البحث عن قيم ابتدائية متسقة، وثانيهما حساب المسار. ولإيجاد هذه القيم، غالبًا ما يكون من الضروري النظر في مشتقات بعض الدوال المكونة للمعادلة. يُطلق على أعلى رتبة للمشتقة اللازمة لهذه العملية اسم " مؤشر التفاضل" . وقد تكون المعادلات المشتقة في حساب المؤشر والقيم الابتدائية المتسقة مفيدة أيضًا في حساب المسار. ويمكن تحويل نظام المعادلات التفاضلية الجبرية شبه الصريح إلى نظام ضمني عن طريق تقليل مؤشر التفاضل بمقدار واحد، والعكس صحيح. ^{[ 6 ]}

يتضح الفرق بين المعادلات التفاضلية الجبرية والمعادلات التفاضلية العادية إذا ظهرت بعض المتغيرات التابعة بدون مشتقاتها. ويمكن حينها كتابة متجه المتغيرات التابعة على شكل أزواج.${\displaystyle (x,y)}$ويظهر نظام المعادلات التفاضلية للمعادلة التفاضلية الجبرية بالشكل التالي:

${\displaystyle F\left({\dot {x}},x,y,t\right)=0}$

أين

• ${\displaystyle x}$، متجه في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، هي متغيرات تابعة لها مشتقات ( متغيرات تفاضلية )،
• ${\displaystyle y}$، متجه في${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$، هي متغيرات تابعة لا توجد لها مشتقات ( متغيرات جبرية )،
• ${\displaystyle t}$، وهو متغير مستقل، عادةً ما يكون متغيرًا قياسيًا (عادةً ما يكون الوقت).
• ${\displaystyle F}$هو متجه من${\displaystyle n+m}$الدوال التي تتضمن مجموعات فرعية من هذه${\displaystyle n+m+1}$المتغيرات و${\displaystyle n}$المشتقات.

بشكل عام، مجموعة المعادلات التفاضلية الجبرية هي دالة

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{(2n+m+1)}\to \mathbb {R} ^{(n+m)}.}$

يجب أن تكون الشروط الابتدائية حلاً لنظام المعادلات من الشكل التالي:

${\displaystyle F\left({\dot {x}}(t_{0}),\,x(t_{0}),y(t_{0}),t_{0}\right)=0.}$

يُوصَف سلوك بندول طوله L ومركزه عند النقطة (0,0) في الإحداثيات الديكارتية ( x , y ) بواسطة معادلات أويلر-لاغرانج

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,&{\dot {y}}&=v,\\{\dot {u}}&=\lambda x,&{\dot {v}}&=\lambda y-g,\\x^{2}+y^{2}&=L^{2},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \lambda }$هو مُضاعِف لاغرانج . يجب أن تخضع متغيرات الزخم u و v لقانون حفظ الطاقة، ويجب أن يكون اتجاهها موازياً للدائرة. لا يوجد أي من الشرطين صراحةً في تلك المعادلات. يؤدي تفاضل المعادلة الأخيرة إلى

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {x}}\,x+{\dot {y}}\,y&=0\\\Rightarrow &&u\,x+v\,y&=0,\end{aligned}}}$

بتقييد اتجاه الحركة بمماس الدائرة. المشتقة التالية لهذه المعادلة تعني

${\displaystyle {\begin{aligned}&&{\dot {u}}\,x+{\dot {v}}\,y+u\,{\dot {x}}+v\,{\dot {y}}&=0,\\\Rightarrow &&\lambda (x^{2}+y^{2})-gy+u^{2}+v^{2}&=0,\\\Rightarrow &&L^{2}\,\lambda -gy+u^{2}+v^{2}&=0,\end{aligned}}}$

ومشتقة تلك المتطابقة الأخيرة تتبسط إلى${\displaystyle L^{2}{\dot {\lambda }}-3gv=0}$وهذا يعني حفظ الطاقة، لأنه بعد التكامل يصبح الثابت${\displaystyle E={\tfrac {3}{2}}gy-{\tfrac {1}{2}}L^{2}\lambda ={\frac {1}{2}}(u^{2}+v^{2})+gy}$هي مجموع الطاقة الحركية والطاقة الكامنة.

للحصول على قيم مشتقة فريدة لجميع المتغيرات التابعة، تم اشتقاق المعادلة الأخيرة ثلاث مرات. وهذا يعطي معامل اشتقاق يساوي 3، وهو معامل نموذجي للأنظمة الميكانيكية المقيدة.

إذا كانت القيم الأولية${\displaystyle (x_{0},u_{0})}$يتم تحديد إشارة y ، ويتم تحديد المتغيرات الأخرى عبر${\displaystyle y=\pm {\sqrt {L^{2}-x^{2}}}}$وإذا${\displaystyle y\neq 0}$ثم${\displaystyle v=-ux/y}$و${\displaystyle \lambda =(gy-u^{2}-v^{2})/L^{2}}$للانتقال إلى النقطة التالية، يكفي الحصول على مشتقات x و u ، أي أن النظام المطلوب حله هو الآن

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,\\{\dot {u}}&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^{2}+y^{2}-L^{2},\\0&=ux+vy,\\0&=u^{2}-gy+v^{2}+L^{2}\,\lambda .\end{aligned}}}$

هذه معادلة تفاضلية جبرية شبه صريحة من الرتبة 1. ويمكن الحصول على مجموعة أخرى من المعادلات المماثلة انطلاقًا من${\displaystyle (y_{0},v_{0})}$وعلامة لـ x .

تظهر المعادلات التفاضلية الجبرية (DAEs) بشكل طبيعي في نمذجة الدوائر التي تحتوي على أجهزة غير خطية. يُستخدم تحليل العقد المُعدَّل الذي يوظف المعادلات التفاضلية الجبرية، على سبيل المثال، في عائلة برامج محاكاة الدوائر الرقمية SPICE واسعة الانتشار. ^{[ 7 ]} وبالمثل، يمكن استخدام حزمة Analog Insiders Mathematica من Fraunhofer لاستخلاص المعادلات التفاضلية الجبرية من قائمة الشبكة ، ثم تبسيط المعادلات أو حتى حلها رمزياً في بعض الحالات. ^{[ 8 ] [ 9 ]} تجدر الإشارة إلى أنه يمكن جعل مؤشر المعادلة التفاضلية الجبرية (للدائرة) عالياً بشكل تعسفي عن طريق التوصيل المتتالي/الاقتران عبر المكثفات بمضخمات العمليات ذات التغذية الراجعة الموجبة . ^{[ 4 ]}

DAE من الشكل

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t),\\0&=g(x,y,t).\end{aligned}}}$

تُسمى هذه المعادلات شبه الصريحة. تتطلب خاصية المؤشر-1 أن تكون الدالة g قابلة للحل بالنسبة لـ y . بعبارة أخرى، يكون مؤشر التفاضل 1 إذا نتج عن تفاضل المعادلات الجبرية بالنسبة لـ t نظام معادلات تفاضلية عادية ضمني.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t)\\0&=\partial _{x}g(x,y,t){\dot {x}}+\partial _{y}g(x,y,t){\dot {y}}+\partial _{t}g(x,y,t),\end{aligned}}}$

وهو قابل للحل لـ${\displaystyle ({\dot {x}},\,{\dot {y}})}$لو${\displaystyle \det \left(\partial _{y}g(x,y,t)\right)\neq 0.}$

كل معادلة تفاضلية جبرية سلسة بما فيه الكفاية قابلة للاختزال في كل مكان تقريبًا إلى هذا الشكل شبه الصريح ذي المؤشر 1.

تتمثل المشكلتان الرئيسيتان في حل المعادلات التفاضلية الجبرية في تقليل المؤشر وشروط البداية المتسقة . تتطلب معظم الحلول العددية معادلات تفاضلية عادية ومعادلات جبرية من الشكل

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

يُعدّ تحويل أنظمة المعادلات التفاضلية الجبرية (DAE) إلى معادلات تفاضلية عادية (ODE) لحلها باستخدام خوارزميات حل المعادلات التفاضلية العادية مهمةً معقدة. تشمل التقنيات المُستخدمة خوارزمية بانتيليدس وطريقة تقليل مؤشر المشتقة الوهمية . بدلاً من ذلك، يُمكن أيضًا إيجاد حل مباشر لمعادلات DAE ذات المؤشر العالي والشروط الابتدائية غير المتسقة. يتضمن هذا النهج تحويل عناصر المشتقة من خلال التجميع المتعامد على العناصر المحدودة أو النسخ المباشر إلى تعابير جبرية. يسمح هذا بحل معادلات DAE من أي مؤشر دون إعادة ترتيبها في صيغة المعادلة المفتوحة.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f\left({\frac {dx}{dt}},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}}$

بمجرد تحويل النموذج إلى شكل معادلة جبرية، يصبح قابلاً للحل بواسطة برامج حل البرمجة غير الخطية واسعة النطاق (انظر APMonitor ).

نحن نستخدم${\displaystyle \Sigma }$طريقة لتحليل المعادلات التفاضلية الجبرية. نقوم بإنشاء مصفوفة توقيع للمعادلات التفاضلية الجبرية.${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{i,j})}$حيث يتوافق كل صف مع كل معادلة${\displaystyle f_{i}}$ويتوافق كل عمود مع كل متغير${\displaystyle x_{j}}$المدخل في الموضع${\displaystyle (i,j)}$يكون${\displaystyle \sigma _{i,j}}$، وهو ما يشير إلى أعلى رتبة للمشتقة التي${\displaystyle x_{j}}$يحدث في${\displaystyle f_{i}}$، أو${\displaystyle -\infty }$لو${\displaystyle x_{j}}$لا يحدث في${\displaystyle f_{i}}$.

بالنسبة لمعادلة البندول الجبرية التفاضلية المذكورة أعلاه، فإن المتغيرات هي${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x,y,u,v,\lambda )}$مصفوفة التوقيع المقابلة هي

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}1&-&0^{\bullet }&-&-\\-&1^{\bullet }&-&0&-\\0&-&1&-&0^{\bullet }\\-&0&-&1^{\bullet }&0\\0^{\bullet }&0&-&-&-\end{bmatrix}}}$

• المعادلة التفاضلية الجبرية ، مفهوم مختلف على الرغم من تشابه الاسم
• معادلة تفاضلية تأخيرية
• معادلة جبرية تفاضلية جزئية
• لغة موديلكا

• http://www.scholarpedia.org/article/Differential-algebraic_equations