معادلة تفاضلية جبرية

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، المعادلة التفاضلية الجبرية هي معادلة تفاضلية يمكن التعبير عنها باستخدام الجبر التفاضلي . وهناك عدة مفاهيم من هذا القبيل، بحسب مفهوم الجبر التفاضلي المستخدم.

الهدف هو تضمين المعادلات المُشكَّلة باستخدام المؤثرات التفاضلية ، حيث تكون المعاملات دوالًا كسرية للمتغيرات (مثل المعادلة فوق الهندسية ). تُستخدم المعادلات التفاضلية الجبرية على نطاق واسع في الجبر الحاسوبي ونظرية الأعداد .

من المفاهيم البسيطة مفهوم حقل المتجهات متعدد الحدود ، أي حقل المتجهات المُعبَّر عنه بالنسبة إلى أساس إحداثيات قياسي كمشتقات جزئية أولى بمعاملات متعددة الحدود. وهذا نوع من أنواع المؤثرات التفاضلية الجبرية من الرتبة الأولى.

التركيبات

الحلول الجبرية

ليس من المعتاد أن يكون الحل العام لمعادلة تفاضلية جبرية دالة جبرية ، إذ ينتج عن حل المعادلات عادةً دوال متسامية جديدة . مع ذلك، تحظى حالة الحلول الجبرية باهتمام كبير؛ إذ تتناول قائمة شوارتز الكلاسيكية حالة المعادلة فوق الهندسية. في نظرية غالوا التفاضلية، تتمثل حالة الحلول الجبرية في كون زمرة غالوا التفاضلية G منتهية (أو مكافئة، ذات بُعد صفري، أو زمرة أحادية التفرع منتهية في حالة أسطح ريمان والمعادلات الخطية). ترتبط هذه الحالة بالنظرية ككل كما ترتبط نظرية الثوابت بنظرية تمثيل الزمر . يصعب حساب الزمرة G عمومًا، لذا فإن فهم الحلول الجبرية يُشير إلى حدود عليا لـ G.