معادلة جبرية

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 29 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، المعادلة الجبرية أو معادلة كثير الحدود هي معادلة على الصورة التالية:P=0{\displaystyle P=0}، حيث P عبارة عن متعددة حدود ، وعادة ما تكون معاملاتها أعدادًا نسبية .

على سبيل المثال،x5-3x+1=0{\displaystyle x^{5}-3x+1=0}هي معادلة جبرية ذات معاملات صحيحة و

y4+xy2-x33+xy2+y2+17=0{\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}+xy^{2}+y^{2}+{\frac {1}{7}}=0}

هي معادلة متعددة المتغيرات على مجموعة الأعداد النسبية. بالنسبة للعديد من المؤلفين، يشير مصطلح المعادلة الجبرية فقط إلى حالة المتغير الواحد ، أي المعادلات متعددة الحدود التي تتضمن متغيرًا واحدًا فقط . من ناحية أخرى، قد تتضمن المعادلة متعددة الحدود عدة متغيرات ( حالة المتغيرات المتعددة )، وفي هذه الحالة يُفضل عادةً استخدام مصطلح المعادلة متعددة الحدود .

بعض المعادلات متعددة الحدود ذات المعاملات النسبية ، وليس جميعها، لها حلٌّ جبريٌّ يُمكن إيجاده باستخدام عدد محدود من العمليات التي تتضمن فقط نفس أنواع المعاملات (أي يُمكن حلها جبريًا ). يُمكن تطبيق ذلك على جميع هذه المعادلات من الدرجة الأولى والثانية والثالثة والرابعة؛ أما بالنسبة للمعادلات من الدرجة الخامسة فما فوق، فلا يُمكن تطبيقه إلا على بعض المعادلات، وليس جميعها . وقد خُصِّص قدرٌ كبيرٌ من البحث لحساب تقريبات دقيقة وفعّالة للحلول الحقيقية أو المركبة لمعادلة جبرية أحادية المتغير (انظر: خوارزمية إيجاد الجذور ) وللحلول المشتركة لعدة معادلات متعددة الحدود متعددة المتغيرات (انظر: نظام المعادلات متعددة الحدود ).

مصطلحات

يعود مصطلح "المعادلة الجبرية" إلى زمن كانت فيه المشكلة الرئيسية في الجبر هي حل المعادلات متعددة الحدود أحادية المتغير. وقد تم حل هذه المشكلة بالكامل خلال القرن التاسع عشر؛ انظر النظرية الأساسية للجبر ، ونظرية أبيل-روفيني، ونظرية غالوا .

منذ ذلك الحين، اتسع نطاق الجبر بشكل كبير. ويشمل على وجه الخصوص دراسة المعادلات التي تتضمن جذورًا من الرتبة n ، وبشكل أعم، التعبيرات الجبرية . وهذا ما يجعل مصطلح "المعادلة الجبرية" غامضًا خارج سياق المسألة القديمة. لذا يُفضل عمومًا استخدام مصطلح " المعادلة متعددة الحدود" عندما يكون هذا الغموض واردًا، لا سيما عند النظر في المعادلات متعددة المتغيرات.

تاريخ

من المحتمل أن تكون دراسة المعادلات الجبرية قديمة قدم الرياضيات نفسها: فقد تمكن علماء الرياضيات البابليون ، في وقت مبكر يعود إلى 2000 قبل الميلاد، من حل بعض أنواع المعادلات التربيعية (المعروضة على ألواح الطين البابلية القديمة ).

للمعادلات الجبرية أحادية المتغير على الأعداد النسبية (أي ذات المعاملات النسبية ) تاريخ طويل جدًا. أراد علماء الرياضيات القدماء إيجاد الحلول في صورة تعابير جذرية ، مثلx=1+52{\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}للحل الموجب لـx2-x-1=0{\displaystyle x^{2}-x-1=0}عرف المصريون القدماء كيفية حل المعادلات من الدرجة الثانية بهذه الطريقة. وقد وصف عالم الرياضيات الهندي براهمغوبتا (597-668 م) الصيغة التربيعية صراحةً في رسالته "براهمسفوتاسيدانتا" المنشورة عام 628 م، لكنه استخدم الكلمات بدلًا من الرموز. وفي القرن التاسع، استنتج محمد بن موسى الخوارزمي وعلماء رياضيات مسلمون آخرون الصيغة التربيعية ، وهي الحل العام للمعادلات من الدرجة الثانية، وأدركوا أهمية المميز . وخلال عصر النهضة، في عام 1545، نشر جيرولامو كاردانو حل سكيبيوني ديل فيرو ونيكولو فونتانا تارتاليا للمعادلات من الدرجة الثالثة ، وحل لودوفيكو فيراري للمعادلات من الدرجة الرابعة . وأخيرًا، أثبت نيلز هنريك أبيل ، في عام 1824، أن المعادلات من الدرجة الخامسة وما فوق لا تملك حلولًا عامة باستخدام الجذور. أظهرت نظرية غالوا ، التي سميت على اسم إيفاريست غالوا ، أن بعض المعادلات من الدرجة 5 على الأقل ليس لها حل خاص في الجذور، وقدمت معايير لتحديد ما إذا كانت المعادلة قابلة للحل بالفعل باستخدام الجذور.

مجالات الدراسة

تُشكّل المعادلات الجبرية أساسًا لعدد من فروع الرياضيات الحديثة: فنظرية الأعداد الجبرية هي دراسة المعادلات الجبرية (أحادية المتغير) على الأعداد النسبية (أي ذات المعاملات النسبية ). وقد وضع إيفاريست غالوا نظرية غالوا لتحديد معايير إمكانية حل معادلة جبرية بدلالة الجذور. وفي نظرية الحقول ، يُعرَّف الامتداد الجبري بأنه امتداد يكون فيه كل عنصر جذرًا لمعادلة جبرية على الحقل الأساسي. أما نظرية الأعداد المتسامية فهي دراسة الأعداد الحقيقية التي لا تُمثّل حلولًا لمعادلة جبرية على الأعداد النسبية. والمعادلة الديوفانتية هي معادلة متعددة الحدود (عادةً متعددة المتغيرات) ذات معاملات صحيحة، والتي يُراد إيجاد حلولها الصحيحة. والهندسة الجبرية هي دراسة حلول المعادلات متعددة الحدود في حقل مغلق جبريًا .

تكون المعادلتان متكافئتين إذا كان لهما نفس مجموعة الحلول . وعلى وجه الخصوص، المعادلةP=سؤال{\displaystyle P=Q}يعادلP-سؤال=0{\displaystyle PQ=0}ويترتب على ذلك أن دراسة المعادلات الجبرية تعادل دراسة كثيرات الحدود.

يمكن دائمًا تحويل معادلة كثيرة الحدود على الأعداد النسبية إلى معادلة مكافئة تكون معاملاتها أعدادًا صحيحة . على سبيل المثال، بضرب طرفي المعادلة في 42 = 2 × 3 × 7 وتجميع حدودها في الحد الأول، تصبح معادلة كثيرة الحدود المذكورة سابقًاy4+xy2=x33-xy2+y2-17{\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}يصبح

42y4+21xy-14x3+42xy2-42y2+6=0.{\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0.}

لأن دالة الجيب ، والأس ، و 1/ T ليست دوال متعددة الحدود،

هـتيx2+1تيxy+الخطيئة⁡(تي)z-2=0{\displaystyle e^{T}x^{2}+{\frac {1}{T}}xy+\sin(T)z-2=0}

ليست معادلة متعددة الحدود في المتغيرات الأربعة x و y و z و T على الأعداد النسبية. ومع ذلك، فهي معادلة متعددة الحدود في المتغيرات الثلاثة x و y و z على حقل الدوال الأولية في المتغير T.

نظرية

كثيرات الحدود

معطى معادلة في المجهول x

(هـ)أنxن+أن-1xن-1+⋯+أ1x+أ0=0{\displaystyle (\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0}،

بمعاملات في حقل K ، يمكن القول بشكل مكافئ أن حلول (E) في K هي جذور متعددة الحدود في K

P=أنXن+أن-1Xن-1+⋯+أ1X+أ0∈ك[X]{\displaystyle P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_{0}\quad \in K[X]}.

يمكن إثبات أن متعددة الحدود من الدرجة n في حقل ما لها على الأكثر n جذرًا. وبالتالي، فإن المعادلة (E) لها على الأكثر n حلًا.

إذا كان K' امتدادًا حقليًا لـ K ، فيمكن اعتبار (E) معادلةً بمعاملات في K ، وحلول (E) في K هي أيضًا حلول في K' (العكس غير صحيح عمومًا). من الممكن دائمًا إيجاد امتداد حقلي لـ K يُعرف بحقل التمزق لكثير الحدود P ، حيث يكون لـ (E) حل واحد على الأقل.

وجود حلول للمعادلات الحقيقية والمركبة

تنص النظرية الأساسية للجبر على أن حقل الأعداد المركبة مغلق جبرياً ، أي أن جميع المعادلات متعددة الحدود ذات المعاملات المركبة والدرجة التي لا تقل عن واحد لها حل.

يترتب على ذلك أن جميع المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الأولى أو أعلى ذات المعاملات الحقيقية لها حل مركب . من ناحية أخرى، فإن معادلة مثلx2+1=0{\displaystyle x^{2}+1=0}لا يوجد حل فيR{\displaystyle \mathbb {R} }(الحلول هي الوحدات التخيلية i و −i ).

في حين أن الحلول الحقيقية للمعادلات الحقيقية بديهية (فهي إحداثيات x للنقاط التي يتقاطع فيها المنحنى y = P ( x ) مع المحور x )، فإن وجود حلول معقدة للمعادلات الحقيقية يمكن أن يكون مفاجئًا وأقل سهولة في التصور.

مع ذلك، لا بد أن يكون لكثير الحدود أحادي الدرجة الفردية جذر حقيقي. دالة كثير الحدود المرتبطة به في x متصلة، وهي تقترب من-∞{\displaystyle -\infty }عندما يقترب x-∞{\displaystyle -\infty }و+∞{\displaystyle +\infty }عندما يقترب x+∞{\displaystyle +\infty }. بحسب نظرية القيمة المتوسطة ، يجب أن تأخذ القيمة صفر عند بعض القيم الحقيقية x ، والتي تكون عندئذ حلاً للمعادلة متعددة الحدود.

الصلة بنظرية غالوا

توجد صيغ رياضية تُعطي حلولًا لكثيرات الحدود الحقيقية أو المركبة من الدرجة الرابعة أو أقل، كدالة لمعاملاتها. وقد بيّن آبل أنه لا يمكن إيجاد صيغة كهذه عمومًا (باستخدام العمليات الحسابية الأربع فقط وإيجاد الجذور) للمعادلات من الدرجة الخامسة أو أعلى. وتُقدّم نظرية غالوا معيارًا يُتيح تحديد ما إذا كان حل معادلة كثيرة الحدود المعطاة يُمكن التعبير عنه باستخدام الجذور.

الحل الصريح للمعادلات العددية

يقترب

يُعدّ الحل الصريح لمعادلة حقيقية أو مركبة من الدرجة الأولى أمرًا بسيطًا. أما حل معادلة من درجة أعلى (n) فيختزل إلى تحليل متعددة الحدود المرتبطة بها، أي إعادة كتابة (E) على الصورة

أن(x-z1)...(x-zن)=0{\displaystyle a_{n}(x-z_{1})\dots (x-z_{n})=0}،

حيث توجد الحلول إذنz1،...،zن{\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}إذن، تكمن المشكلة في التعبير عنzأنا{\displaystyle z_{i}}فيما يتعلق بـ أأنا{\displaystyle a_{i}}.

ينطبق هذا النهج بشكل عام إذا كانت المعاملات والحلول تنتمي إلى مجال تكاملي .

التقنيات العامة

التحليل إلى عوامل

إذا كانت المعادلة P ( x ) = 0 من الدرجة n تحتوي على جذر نسبي α ، فيمكن تحليل متعددة الحدود المرتبطة بها إلى الشكل P ( X ) = ( X - α) Q ( X ) ( بقسمة P ( X ) على X - α أو بكتابة P ( X ) - P (α) كتركيبة خطية من حدود على الشكل Xk - αk ، ثم استخراج العامل المشترك X - α) . وبالتالي، فإن حل المعادلة P ( x ) = 0 يختزل إلى حل المعادلة Q ( x ) = 0 من الدرجة n - 1. انظر على سبيل المثال الحالة n = 3 .

حذف المصطلح الفرعي المهيمن

لحل معادلة من الدرجة n ،

(هـ)أنxن+أن-1xن-1+⋯+أ1x+أ0=0{\displaystyle (\mathrm {E} )\qquad a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0}،

تتمثل إحدى الخطوات التمهيدية الشائعة في حذف الحد ذي الدرجة n - 1 : عن طريق وضعx=y-أن-1نأن{\displaystyle x=y-{\frac {a_{n-1}}{n\,a_{n}}}}تصبح المعادلة (هـ)

أنyن+بن-2yن-2+⋯+ب1y+ب0=0{\displaystyle a_{n}y^{n}+b_{n-2}y^{n-2}+\dots +b_{1}y+b_{0}=0}.

قام ليونارد أويلر بتطوير هذه التقنية للحالة n = 3 ولكنها قابلة للتطبيق أيضًا على الحالة n = 4 ، على سبيل المثال.

المعادلات التربيعية

لحل معادلة تربيعية من الشكلأx2+بx+ج=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}يتم حساب المميز Δ المحدد بواسطةΔ=ب2-4أج{\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac}.

إذا كانت معاملات كثيرة الحدود حقيقية، فإنها تحتوي على:

  • جذران حقيقيان مختلفان إذاΔ>0{\displaystyle \Delta >0} ؛
  • جذر مزدوج حقيقي واحد إذاΔ=0{\displaystyle \Delta =0} ؛
  • لا يوجد جذر حقيقي إذاΔ<0{\displaystyle \Delta <0}، ولكن بجذرين مترافقين معقدين.

المعادلات التكعيبية

إن أفضل طريقة معروفة لحل المعادلات التكعيبية، عن طريق كتابة الجذور بدلالة الجذور، هي صيغة كاردانو .

المعادلات الرباعية

للاطلاع على مناقشات مفصلة حول بعض طرق الحل، انظر:

معادلة من الدرجة الرابعةأx4+بx3+جx2+دx+هـ=0{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}معأ≠0{\displaystyle a\neq 0}يمكن اختزالها إلى معادلة تربيعية عن طريق تغيير المتغير بشرط أن تكون إما ثنائية التربيع ( ب = د = 0 ) أو شبه متناظرة ( هـ = أ ، د = ب ).

يمكن حل بعض المعادلات التكعيبية والرباعية باستخدام حساب المثلثات أو الدوال الزائدية .

المعادلات ذات الدرجة الأعلى

أثبت إيفاريست غالوا ونيلز هنريك أبيل بشكل مستقل أن المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الخامسة أو أعلى لا يمكن حلها باستخدام الجذور بشكل عام. إلا أن بعض المعادلات الخاصة لها حلول، مثل تلك المرتبطة بمتعددات الحدود الدائرية من الدرجتين الخامسة والسابعة عشرة.

من ناحية أخرى، أثبت تشارلز هيرميت أن كثيرات الحدود من الدرجة 5 قابلة للحل باستخدام الدوال الإهليلجية .

وإلا، يمكن للمرء أن يجد تقريبات عددية للجذور باستخدام خوارزميات إيجاد الجذور ، مثل طريقة نيوتن .

انظر أيضاً

مراجع

مراجع عامة