خط تأخير رقمي

يُمكن الحصول على الحل الأسهل من الناحية المفاهيمية عن طريق أخذ عينات من حل مجال الزمن المستمر، وهو أمر بديهي لأي قيمة تأخير. بالنظر إلى إشارة زمنية مستمرة${\displaystyle x}$تأخر بسبب${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$عينات، أو ${\displaystyle \tau =DT_{s}}$ثوانٍ ^{[ 6 ]} :

${\displaystyle y(t)=x(tD)}$${\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {F}}}}$${\displaystyle Y(\omega )=\overbrace {e^{-j\omega D}} ^{H_{ideal}(\omega )}X(\omega ).}$

في هذه الحالة،${\displaystyle e^{-j\omega D}=H_{مثالي}(\أوميغا )}$هو مرشح التأخير الجزئي في المجال الزمني المستمر مع:

${\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{كسب صفر ديسيبل}}\\\measuredangle =-\omega D,&{\text{طور خطي}}\\\tau _{gr}=-{d\measuredangle \over {d\omega }}=D,&{\text{تأخير مجموعة ثابت}}\\\tau _{ph}=-{\measuredangle \over {\omega }}=-D,&{\text{تأخير طور ثابت.}}\end{cases}}}$

الحل البسيط للمرشح المأخوذ عينات منه${\displaystyle h_{ideal}[n]}$هو التحويل العكسي لفورييه المأخوذ عينات منه${\displaystyle H_{ideal}(\omega )}$، مما ينتج عنه مرشح IIR غير سببي على شكل دالة جيبية أساسية${\displaystyle sinc()}$تم تغييرها بواسطة${\displaystyle D}$^{[ 6 ]} :

${\displaystyle h_{ideal}[n]={\mathcal {F}}^{-1}[H_{ideal}(\omega )]={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{+\pi }e^{j\omega D}e^{j\omega n}d\omega =sinc(n-D)={sin(\pi (n-D)) \over {\pi (n-D)}}}$

مجال الزمن المستمر${\displaystyle sinc}$يتم إزاحتها بمقدار التأخير الجزئي بينما تتم محاذاة أخذ العينات دائمًا مع المستوى الديكارتي، لذلك:

• عندما يكون التأخير عددًا صحيحًا من العينات${\displaystyle D\in \mathbb {N} }$، العينة التي تم تحويلها${\displaystyle sinc}$يتحول إلى نبضة منزاحة تمامًا كما هو الحال في الحل النظري.
• عندما يكون التأخير عددًا كسريًا من العينات${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$، العينة التي تم تحويلها${\displaystyle sinc}$ينتج مرشح IIR غير سببي، وهو أمر غير قابل للتنفيذ عمليًا.

إن الحل الأسهل من الناحية النظرية والقابل للتطبيق هو الحذف السببي للحل البسيط المذكور أعلاه. ^{[ 7 ]}

${\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}sinc(n-D)&{\text{for }}0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{N-1 \over {2}}<D<{N+1 \over {2}}\;\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;\;N\;{\text{is the order of the filter.}}}$

لكن تقليص استجابة النبضة قد يتسبب في عدم الاستقرار، والذي يمكن التخفيف منه بعدة طرق:

• يتم تطبيق نافذة على استجابة النبضة المقتطعة، وبالتالي تنعيمها. لاحظ أنه في هذه الحالة، يجب إضافة إزاحة أخرى.${\displaystyle L}$من أجل محاذاة النافذة و${\displaystyle sinc()}$وتوفير ترشيح متناظر ^{[ 7 ] [ 8 ]} .

  ${\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}w(n-D)sinc(n-D)&{\text{for }}L\leq n\leq L+N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;L={\begin{cases}round(D)-{N \over {2}}&{\text{for even }}N\\\lfloor D\rfloor -{N-1 \over {2}}&{\text{for odd }}N\end{cases}}}$

• طريقة المربعات الصغرى العامة (GLS): ^{[ 2 ]} تقوم بتعديل استجابة التردد بشكل متكرر عن طريق تحديد نافذة لتصميم خطأ التكامل للمربعات الصغرى، مما يقلل من خطأ التكامل التربيعي بين استجابات التردد المثالية والمقتطعة للمرشح، والمحددة على النحو التالي:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\alpha \pi }^{\alpha \pi }w(\omega )|H_{D}^{truncated}(e^{j\omega })-H_{D}^{id}(e^{j\omega })|^{2}d\omega \;\;\;\;\;{\text{where }}0<\alpha \leq 1{\text{ is the passband width parameter}}}$

• مُستكمِل لاغرانج (مُرشِّح التأخير الكسري ذو التسطيح الأقصى): ^{[ 9 ]} يُضيف قيود "التسطيح" إلى المشتقات N الأولى لخطأ التكامل التربيعي الأدنى. وتكتسب هذه الطريقة أهمية خاصة لأنها تمتلك حلاً مغلقاً.

${\displaystyle h_{D}[n]=\prod _{k=0,\;k\neq n}^{N}{D-k \over {n-k}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;0\leq n\leq N}$

فيما يلي شرح موسع للصيغة المذكورة أعلاه، يعرض نتائج التصفية حسب الترتيب حتى${\displaystyle N=3}$:

توسيع صيغة لاغرانج Interpolator [ 7 ]
	${\displaystyle h_{\tau }[0]}$	${\displaystyle h_{\tau }[1]}$	${\displaystyle h_{\tau }[2]}$	${\displaystyle h_{\tau }[3]}$
ن = 1	${\displaystyle 1-D}$	${\displaystyle D}$	-	-
ن = 2	${\displaystyle {(D-1)(D-2) \over {2}}}$	${\displaystyle -D(D-2)}$	${\displaystyle {D(D-1) \over {2}}}$	-
ن = 3	${\displaystyle -{(D-1)(D-2)(D-3) \over {6}}}$	${\displaystyle {D(D-2)(D-3) \over {2}}}$	${\displaystyle -{D(D-1)(D-3) \over {2}}}$	${\displaystyle {D(D-1)(D-2) \over {6}}}$

يتمثل نهج آخر في تصميم مرشح IIR من الرتبة${\displaystyle N}$مع بنية تحويل Z التي تجبرها على أن تكون تمريرة كاملة مع الاستمرار في تقريبها${\displaystyle D}$التأخير ^{[ 7 ]} :

${\displaystyle H_{D}(z)={z^{-N}A(z) \over {A(z^{-1})}}={a_{N}+a_{N-1}z^{-1}+...+a_{1}z^{-(N-1)}+z^{-N} \over {1+a_{1}z^{-1}+...+a_{N-1}z^{-(N-1)}+a_{N}z^{-N}}}\;\;\;\;\;{\text{which has}}\;\;\;\;\;{\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB&0dB{\text{ gain}}\\\measuredangle _{H_{D}(z)}=-N\omega +2\measuredangle _{A(z)}=-D\omega &{\text{desired value for delay }}D\end{cases}}}$

الأصفار والأقطاب الموضوعة بشكل متبادل لـ${\displaystyle A(z){\text{ and }}A(z^{-1})}$على التوالي، تسطيح التردد${\displaystyle |\centerdot |}$الاستجابة ، بينما الطور هو دالة لطور${\displaystyle A(z)}$وبالتالي، تصبح المشكلة هي تصميم مرشح FIR${\displaystyle A(z)}$أي إيجاد معاملاته${\displaystyle a_{k}}$كدالة لـ D (لاحظ أن${\displaystyle a_{0}=1}$دائماً)، بحيث تقترب المرحلة من القيمة المطلوبة على أفضل وجه${\displaystyle \measuredangle _{H_{D}(z)}=-D\omega }$[ ^{7 ]​}

الحلول الرئيسية هي:

• التقليل التكراري لخطأ الطور المربع الأدنى، ^{[ 2 ]} والذي يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|\underbrace {\underbrace {-D\omega } _{\measuredangle _{ID}}-\underbrace {(-N\omega +2\measuredangle _{A(z)})} _{\measuredangle _{H}}} _{\Delta \measuredangle _{H_{D}}}|^{2}d\omega }$

• التقليل التكراري لخطأ تأخير الطور في المربعات الصغرى ، ^{[ 2 ]} والذي يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|{{\Delta \measuredangle _{H_{D}}} \over {\omega }}|^{2}}$

• مرشح تمرير منخفض ذو أقطاب كاملة من نوع ثيران مع تأخير مجموعة مسطح إلى أقصى حد . ^{[ 11 ]} ينتج عن هذا حل مغلق لإيجاد المعاملات.${\displaystyle a_{k}}$للتأخير الإيجابي${\displaystyle D>0}$:

${\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}{\binom {N}{k}}\prod _{l=0}^{N}{D+l \over {D+k+l}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{\binom {n}{k}}={N! \over {k!(N-k)!}}}$

فيما يلي شرح موسع للصيغة أعلاه يعرض المعاملات الناتجة من الرتبة حتى${\displaystyle N=3}$:

توسيع صيغة معاملات مرشح تمرير الترددات المنخفضة ذي جميع الأقطاب من نوع ثيران [ 7 ]
	${\displaystyle a_{0}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{2}}$	${\displaystyle a_{3}}$
ن = 1	1	${\displaystyle -{D-1 \over {D+1}}}$	-	-
ن = 2	1	${\displaystyle -2{D-2 \over {D+1}}}$	${\displaystyle {(D-1)(D-2) \over {(D+1)(D+2)}}}$	-
ن = 3	1	${\displaystyle -3{D-3 \over {D+1}}}$	${\displaystyle 3{(D-2)(D-3) \over {(D+1)(D+2)}}}$	${\displaystyle -{(D-1)(D-2)(D-3) \over {(D+1)(D+2)(D+3)}}}$