الاستيفاء

أبسط طرق الاستيفاء هي تحديد أقرب قيمة بيانات، ثم تعيين القيمة نفسها. في المسائل البسيطة، من غير المرجح استخدام هذه الطريقة، لأن الاستيفاء الخطي (انظر أدناه) سهلٌ تقريبًا، ولكن في الاستيفاء متعدد المتغيرات ذي الأبعاد الأعلى ، قد يكون هذا خيارًا مناسبًا لسرعته وبساطته.

إحدى أبسط الطرق هي الاستيفاء الخطي (المعروف أحيانًا باسم lerp). لنأخذ المثال السابق لتقدير f (2.5). بما أن 2.5 تقع في منتصف المسافة بين 2 و3، فمن المنطقي أن نأخذ f (2.5) في منتصف المسافة بين f (2) = 0.9093 و f (3) = 0.1411، وهو ما ينتج عنه 0.5252.

بشكل عام، يأخذ الاستيفاء الخطي نقطتي بيانات، على سبيل المثال ( x _a , y _a ) و ( x _b , y _b )، ويتم إعطاء الدالة المستوفاة بواسطة:

${\displaystyle y=y_{a}+\left(y_{b}-y_{a}\right){\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}{\text{ عند النقطة }}\left(x,y\right)}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{a}}{y_{b}-y_{a}}}={\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}}$

${\displaystyle {\frac {y-y_{a}}{x-x_{a}}}={\frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}}}$

تنص هذه المعادلة السابقة على أن ميل الخط الجديد بين${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$و${\displaystyle (x,y)}$وهو نفس ميل الخط بين${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$و${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$

الاستيفاء الخطي سريع وسهل، ولكنه ليس دقيقًا جدًا. ومن عيوبه الأخرى أن الدالة المستوفاة غير قابلة للتفاضل عند النقطة x _k .

يُظهر تقدير الخطأ التالي أن الاستيفاء الخطي ليس دقيقًا جدًا. لنرمز للدالة التي نريد استيفاؤها بالرمز g ، ولنفترض أن x تقع بين x_{_a} و x_{_b} وأن g قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر. عندئذٍ يكون خطأ الاستيفاء الخطي هو

${\displaystyle |f(x)-g(x)|\leq C(x_{b}-x_{a})^{2}\quad {\text{where}}\quad C={\frac {1}{8}}\max _{r\in [x_{a},x_{b}]}|g''(r)|.}$

بمعنى آخر، يتناسب الخطأ طرديًا مع مربع المسافة بين نقاط البيانات. أما في بعض الطرق الأخرى، بما في ذلك الاستيفاء متعدد الحدود والاستيفاء باستخدام الدوال التكعيبية (الموصوفة أدناه)، فيتناسب الخطأ طرديًا مع قوى أعلى للمسافة بين نقاط البيانات. كما تُنتج هذه الطرق دوال استيفاء أكثر سلاسة.

الاستيفاء متعدد الحدود هو تعميم للاستيفاء الخطي. لاحظ أن الدالة المستوفاة الخطية هي دالة خطية . الآن نستبدل هذه الدالة المستوفاة بكثير حدود من درجة أعلى .

لنعد إلى المسألة المذكورة أعلاه. تمر كثيرة الحدود التالية من الدرجة السادسة بجميع النقاط السبع:

${\displaystyle f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x.}$

وباستبدال x = 2.5، نجد أن f (2.5) = ~0.59678.

بشكل عام، إذا كان لدينا n نقطة بيانات، فهناك متعددة حدود واحدة فقط من الدرجة n − 1 على الأكثر تمر بجميع نقاط البيانات. يتناسب خطأ الاستيفاء طرديًا مع المسافة بين نقاط البيانات مرفوعة للأس n . علاوة على ذلك، فإن دالة الاستيفاء هي متعددة حدود، وبالتالي قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية. لذا، نرى أن الاستيفاء متعدد الحدود يتغلب على معظم مشاكل الاستيفاء الخطي.

مع ذلك، ينطوي الاستيفاء متعدد الحدود على بعض العيوب. فحساب متعدد الحدود المستخدم في الاستيفاء مكلف حسابيًا (انظر التعقيد الحسابي ) مقارنةً بالاستيفاء الخطي. علاوة على ذلك، قد يُظهر الاستيفاء متعدد الحدود تشوهات تذبذبية، خاصةً عند النقاط الطرفية (انظر ظاهرة رونج ).

يمكن للاستيفاء متعدد الحدود تقدير القيم العظمى والصغرى المحلية التي تقع خارج نطاق العينات، على عكس الاستيفاء الخطي. على سبيل المثال، للدالة المستوفاة المذكورة أعلاه قيمة عظمى محلية عند x ≈ 1.566، f ( x ) ≈ 1.003، وقيمة صغرى محلية عند x ≈ 4.708، f ( x ) ≈ -1.003. مع ذلك، قد تتجاوز هذه القيم العظمى والصغرى النطاق النظري للدالة؛ فعلى سبيل المثال، قد يكون للدالة الموجبة دائمًا دالة مستوفاة ذات قيم سالبة، وبالتالي قد يحتوي معكوسها على خطوط تقارب رأسية زائفة .

بشكل عام، قد يكون شكل المنحنى الناتج، خاصةً عند القيم العالية أو المنخفضة جدًا للمتغير المستقل، مخالفًا للمنطق السليم؛ أي لما هو معروف عن النظام التجريبي الذي ولّد نقاط البيانات. ويمكن تقليل هذه العيوب باستخدام الاستيفاء الخطي أو حصر الاهتمام على كثيرات حدود تشيبيشيف .

يستخدم الاستيفاء الخطي دالة خطية لكل فترة من الفترات [ x _{_k} , x _{_k+1} ]. أما استيفاء الدوال التكعيبية فيستخدم كثيرات حدود منخفضة الدرجة في كل فترة، ويختار أجزاء كثيرة الحدود بحيث تتلاءم معًا بسلاسة. وتُسمى الدالة الناتجة بالدالة التكعيبية.

على سبيل المثال، الدالة التكعيبية الطبيعية هي دالة تكعيبية مجزأة وقابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر. علاوة على ذلك، فإن مشتقتها الثانية تساوي صفرًا عند نقاط النهاية. تُعطى الدالة التكعيبية الطبيعية التي تُجري الاستيفاء بين النقاط في الجدول أعلاه بالصيغة التالية:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x,&{\text{if }}x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&{\text{if }}x\in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&{\text{if }}x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&{\text{if }}x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,&{\text{if }}x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,&{\text{if }}x\in [5,6].\end{cases}}}$

في هذه الحالة نحصل على f (2.5)  =  0.5972.

على غرار الاستيفاء متعدد الحدود، يُنتج الاستيفاء باستخدام الدوال التكعيبية خطأً أقل من الاستيفاء الخطي، كما أن الدالة المستوفاة أكثر سلاسة وأسهل في التقييم من كثيرات الحدود عالية الدرجة المستخدمة في الاستيفاء متعدد الحدود. مع ذلك، تؤدي الطبيعة العامة لدوال الأساس إلى سوء التكييف. ويتم التغلب على هذه المشكلة تمامًا باستخدام دوال تكعيبية ذات دعم مضغوط، كما هو مُطبق في مكتبة Boost.Math ومُناقش في كتاب Kress. ^{[ 3 ]}

قد تتطلب عملية الاستيفاء استخدام دوال استيفاء مختلفة تبعاً لطريقة تقسيم الحقول الأساسية. وعلى عكس طرق الاستيفاء الأخرى التي تُقدّر الدوال على نقاط الهدف، فإن الاستيفاء المحاكي يُقيّم تكامل الحقول على خطوط أو مساحات أو أحجام الهدف، وذلك تبعاً لنوع الحقل (عددي، متجه، شبه متجه، أو شبه عددي).

من السمات الرئيسية للاستيفاء المحاكي تحقيق متطابقات حساب المتجهات ، بما في ذلك نظرية ستوكس ونظرية التباعد . ونتيجة لذلك، يحافظ الاستيفاء المحاكي على تكاملات الخط والمساحة والحجم. ^{[ 4 ]} قد يكون الحفاظ على تكاملات الخط مرغوبًا عند استيفاء المجال الكهربائي ، على سبيل المثال، لأن تكامل الخط يعطي فرق الجهد الكهربائي عند نهايتي مسار التكامل. ^{[ 5 ]} يضمن الاستيفاء المحاكي أن يكون خطأ تقدير تكامل الخط للمجال الكهربائي هو نفسه الخطأ الناتج عن استيفاء الجهد عند نهايتي مسار التكامل، بغض النظر عن طول مسار التكامل.

يُعتبر الاستيفاء الخطي ، والاستيفاء ثنائي الخطية ، والاستيفاء ثلاثي الخطية من أساليب الاستيفاء المحاكية، حتى وإن كانت قيم الحقل هي التي تُحفظ (وليس تكامل الحقل). وبالإضافة إلى الاستيفاء الخطي، يُمكن اعتبار الاستيفاء الموزون بالمساحة من أوائل أساليب الاستيفاء المحاكية التي طُوّرت. ^{[ 6 ]}