صورة تفاعلية

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 28 صور
الموسوعة الحرة

في ميكانيكا الكم ، تُعدّ صورة التفاعل (المعروفة أيضًا بتمثيل التفاعل أو صورة ديراك نسبةً إلى بول ديراك الذي قدّمها) [ 1 ] [ 2 ] تمثيلًا وسيطًا بين صورة شرودنغر وصورة هايزنبرغ . فبينما في الصورتين الأخريين، إما أن يكون متجه الحالة أو المؤثرات مُعتمدًا على الزمن، فإنّ كلاهما في صورة التفاعل يحمل جزءًا من اعتماد الكميات القابلة للرصد على الزمن . [ 3 ] تُفيد صورة التفاعل في التعامل مع التغيرات التي تطرأ على الدوال الموجية والكميات القابلة للرصد نتيجةً للتفاعلات. وتستخدم معظم حسابات نظرية المجال [ 4 ] تمثيل التفاعل لأنها تُنشئ حل معادلة شرودنغر متعددة الأجسام كحل للجسيمات الحرة في وجود أجزاء متفاعلة غير معروفة.

المعادلات التي تتضمن مؤثرات تعمل في أوقات مختلفة، والتي تنطبق في نموذج التفاعل، لا تنطبق بالضرورة في نموذج شرودنغر أو نموذج هايزنبرغ. والسبب في ذلك هو أن التحويلات الوحدوية المعتمدة على الزمن تربط المؤثرات في أحد النموذجين بالمؤثرات المماثلة في النموذج الآخر.

صورة التفاعل هي حالة خاصة من التحويل الوحدوي المطبق على الهاميلتوني ومتجهات الحالة.

تنص نظرية هاج على أن صورة التفاعل غير موجودة في حالة الحقول الكمومية المتفاعلة .

تعريف

ترتبط المؤثرات ومتجهات الحالة في صورة التفاعل عن طريق تغيير الأساس ( التحويل الوحدوي ) بنفس المؤثرات ومتجهات الحالة في صورة شرودنغر.

للانتقال إلى صورة التفاعل، نقسم هاميلتونيان صورة شرودنغر إلى جزأين:

حS=ح0،S+ح1،S.{\displaystyle H_{\text{S}}=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}.}

أي اختيار ممكن للأجزاء سيؤدي إلى صورة تفاعل صالحة؛ ولكن لكي تكون صورة التفاعل مفيدة في تبسيط تحليل المشكلة، يتم عادةً اختيار الأجزاء بحيث يكون H 0,S مفهومًا جيدًا وقابلًا للحل بدقة، بينما يحتوي H 1,S على بعض الاضطرابات التي يصعب تحليلها لهذا النظام.

إذا كان للهاميلتوني اعتماد زمني صريح (على سبيل المثال، إذا كان النظام الكمومي يتفاعل مع مجال كهربائي خارجي مطبق يتغير مع الزمن)، فسيكون من المفيد عادةً تضمين الحدود المعتمدة على الزمن بشكل صريح مع H 1,S ، مع ترك H 0,S غير معتمد على الزمن:

حS(ت)=ح0،S+ح1،S(ت).{\displaystyle H_{\text{S}}(t)=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}(t).}

نمضي قدمًا بافتراض أن هذا هو الحال. إذا كان هناك سياق يكون فيه من المنطقي أن تكون H 0,S معتمدة على الزمن، فيمكن للمرء المضي قدمًا باستبدالهـ±أناح0،Sت/ℏ{\displaystyle \mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }}بواسطة عامل التطور الزمني المقابل في التعريفات أدناه.

متجهات الحالة

يترك|ψS(ت)⟩=هـ-أناحSت/ℏ|ψ(0)⟩{\displaystyle |\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle }ليكن متجه الحالة المتغير مع الزمن في صورة شرودنغر. متجه الحالة في صورة التفاعل،|ψأنا(ت)⟩{\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle }يتم تعريفها بتحويل وحدوي إضافي يعتمد على الزمن. [ 5 ]

|ψأنا(ت)⟩=هـأناح0،Sت/ℏ|ψS(ت)⟩.{\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle ={\text{e}}^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle .}

المشغلون

يُعرَّف العامل في صورة التفاعل على النحو التالي:

أأنا(ت)=هـأناح0،Sت/ℏأS(ت)هـ-أناح0،Sت/ℏ.{\displaystyle A_{\text{I}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }A_{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.}

لاحظ أن A S ( t ) لا تعتمد عادةً على t ويمكن إعادة كتابتها ببساطة كـ A S . ولا تعتمد على t إلا إذا كان للمؤثر "اعتماد زمني صريح"، على سبيل المثال، بسبب اعتماده على مجال كهربائي خارجي متغير مع الزمن. وقد يظهر مثال آخر للاعتماد الزمني الصريح عندما تكون A S ( t ) مصفوفة كثافة (انظر أدناه).

مشغل هاميلتوني

للمشغلح0{\displaystyle H_{0}}تتطابق صورة التفاعل وصورة شرودنغر في حد ذاتها:

ح0،أنا(ت)=هـأناح0،Sت/ℏح0،Sهـ-أناح0،Sت/ℏ=ح0،S.{\displaystyle H_{0,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.}

يتضح هذا بسهولة من خلال حقيقة أن المؤثرات تتبادل مع الدوال القابلة للتفاضل الخاصة بها. ويمكن تسمية هذا المؤثر المحدد بـح0{\displaystyle H_{0}}بدون أي لبس.

بالنسبة لهاملتونيان الاضطرابح1،أنا{\displaystyle H_{1,{\text{I}}}}، لكن،

ح1،أنا(ت)=هـأناح0،Sت/ℏح1،Sهـ-أناح0،Sت/ℏ،{\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar },}

حيث يصبح هاميلتونيان اضطراب صورة التفاعل هاميلتونيانًا يعتمد على الوقت، إلا إذا كان [ H1 ,S , H0 ,S ] = 0.

من الممكن الحصول على صورة التفاعل لهاملتونيان يعتمد على الزمن H 0,S ( t ) أيضًا، ولكن يجب استبدال الدوال الأسية بالمُوَصِّل الوحدوي للتطور الناتج عن H 0,S ( t )، أو بشكل أكثر وضوحًا بتكامل أسي مرتب زمنيًا.

مصفوفة الكثافة

يمكن إثبات أن مصفوفة الكثافة تتحول إلى صورة التفاعل بنفس طريقة تحول أي مؤثر آخر. على وجه الخصوص، لنفترض أن ρI و ρS هما مصفوفتا الكثافة في صورة التفاعل وصورة شرودنغر على التوالي. إذا كان هناك احتمال p <sub> n</sub> للتواجد في الحالة الفيزيائية | ψ <sub>n </sub> ⟩ ، فإن

ρأنا(ت)=∑نصن(ت)|ψن،أنا(ت)⟩⟨ψن،أنا(ت)|=∑نصن(ت)هـأناح0،Sت/ℏ|ψن،S(ت)⟩⟨ψن،S(ت)|هـ-أناح0،Sت/ℏ=هـأناح0،Sت/ℏρS(ت)هـ-أناح0،Sت/ℏ.{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}(t)\left|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)\right|\\&=\sum _{n}p_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\left|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)\right|\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.\end{aligned}}}

التطور الزمني

التطور الزمني للحالات

إن تحويل معادلة شرودنغر إلى صورة التفاعل يعطي

أناℏددت|ψأنا(ت)⟩=ح1،أنا(ت)|ψأنا(ت)⟩،{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ,}

ينص هذا على أنه في صورة التفاعل، تتطور الحالة الكمومية بواسطة جزء التفاعل من الهاميلتوني كما هو موضح في صورة التفاعل. [ 6 ] وقد ورد برهان على ذلك في فيتر وواليكا. [ 7 ]

التطور الزمني للمؤثرات

إذا كان المؤثر A S مستقلاً عن الزمن (أي، ليس له "اعتماد صريح على الزمن"؛ انظر أعلاه)، فإن التطور الزمني المقابل لـ A I ( t ) يُعطى بواسطة

أناℏددتأأنا(ت)=[أأنا(ت)،ح0،S].{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].}

في صورة التفاعل، تتطور المؤثرات بمرور الوقت مثل المؤثرات في صورة هايزنبرغ مع الهاميلتوني H ' = H 0 .

تطور مصفوفة الكثافة مع الزمن

تطور مصفوفة الكثافة في صورة التفاعل هو

أناℏددتρأنا(ت)=[ح1،أنا(ت)،ρأنا(ت)]،{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],}

بما يتوافق مع معادلة شرودنغر في صورة التفاعل.

القيم المتوقعة

للمشغل العامأ{\displaystyle A}، تُعطى القيمة المتوقعة في صورة التفاعل بواسطة

⟨أأنا(ت)⟩=⟨ψأنا(ت)|أأنا(ت)|ψأنا(ت)⟩=⟨ψS(ت)|هـ-أناح0،Sتهـأناح0،SتأSهـ-أناح0،Sتهـأناح0،Sت|ψS(ت)⟩=⟨أS(ت)⟩.{\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .}

باستخدام تعبير مصفوفة الكثافة للقيمة المتوقعة، سنحصل على

⟨أأنا(ت)⟩=Tr⁡(ρأنا(ت)أأنا(ت)).{\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.}

معادلة شوينجر-توموناغا

ابتكر شوينجر مصطلح "تمثيل التفاعل" . [ 8 ] [ 9 ] في هذا التمثيل المختلط الجديد، لم يعد متجه الحالة ثابتًا بشكل عام، ولكنه يظل ثابتًا في حال عدم وجود اقتران بين الحقول. ويؤدي تغيير التمثيل مباشرةً إلى معادلة توموناغا -شوينجر: [ 10 ] [ 9 ]

أناحج∂Ψ[σ]∂σ(x)=ح^(x)Ψ(σ){\displaystyle ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )}
ح^(x)=-1ججμ(x)أμ(x){\displaystyle {\hat {H}}(x)=-{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)}

حيث يكون الهاميلتوني في هذه الحالة هو هاميلتوني تفاعل الديناميكا الكهربائية الكمية، ولكنه قد يكون أيضًا تفاعلًا عامًا، وσ{\displaystyle \sigma }هو سطح فضائي يمر عبر النقطةx{\displaystyle x}يمثل المشتق رسميًا تغيرًا على ذلك السطح المعطىx{\displaystyle x}ثابت. من الصعب إعطاء تفسير رياضي رسمي دقيق لهذه المعادلة. [ 11 ]

يُطلق شوينجر على هذا النهج اسم نهج "التفاضل" و"المجال"، وذلك على عكس نهج "التكامل" و"الجسيم" في مخططات فاينمان. [ 12 ] [ 13 ]

تتلخص الفكرة الأساسية في أنه إذا كان للتفاعل ثابت اقتران صغير (أي في حالة الكهرومغناطيسية من رتبة ثابت البنية الدقيقة)، فإن الحدود الاضطرابية المتتالية ستكون قوى لثابت الاقتران، وبالتالي ستكون أصغر. [ 14 ]

يستخدم

إن الغرض من صورة التفاعل هو تحويل كل الاعتماد الزمني الناتج عن H 0 إلى المؤثرات، مما يسمح لها بالتطور بحرية، وترك H 1,I فقط للتحكم في التطور الزمني لمتجهات الحالة.

تُعدّ صورة التفاعل ملائمة عند دراسة تأثير إضافة حد تفاعل صغير، H₁ ,S ، إلى هاميلتوني نظام محلول، H₀ ,S . وباستخدام صورة التفاعل، يمكن تطبيق نظرية الاضطراب المعتمدة على الزمن لإيجاد تأثير H₁ ,I ، [ 15 ] : 355 وما بعدها، على سبيل المثال، في اشتقاق قاعدة فيرمي الذهبية ، [ 15 ] : 359-363 أو متسلسلة دايسون [ 15 ] : 355-357 في نظرية الحقل الكمومي : في عام 1947، أدرك شينيتشيرو توموناغا وجوليان شوينغر إمكانية صياغة نظرية الاضطراب المتغيرة بشكل أنيق في صورة التفاعل، حيث يمكن لمؤثرات الحقل أن تتطور مع الزمن كحقول حرة، حتى في وجود التفاعلات، التي تُعالج الآن بشكل اضطرابي في متسلسلة دايسون هذه.

مقارنة موجزة للتطور في جميع الصور

بالنسبة لهاملتوني مستقل عن الزمن H S ، حيث H 0,S هو الهاميلتوني الحر،

تطور:صورة (
  • v
  • ت
  • هـ
)
شرودنغر (S)هايزنبرغ (H)التفاعل (I)
حالة الكيتو|ψS(ت)⟩=هـ-أناحS ت/ℏ|ψS(0)⟩{\displaystyle |\psi _{\rm {S}}(t)\rangle =e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(0)\rangle }ثابت|ψأنا(ت)⟩=هـأناح0،S ت/ℏ|ψS(ت)⟩{\displaystyle |\psi _{\rm {I}}(t)\rangle =e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }|\psi _{\rm {S}}(t)\rangle }
قابل للملاحظةثابتأح(ت)=هـأناحS ت/ℏأSهـ-أناحS ت/ℏ{\displaystyle A_{\rm {H}}(t)=e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}أأنا(ت)=هـأناح0،S ت/ℏأSهـ-أناح0،S ت/ℏ{\displaystyle A_{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }A_{\rm {S}}e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}
مصفوفة الكثافةρS(ت)=هـ-أناحS ت/ℏρS(0)هـأناحS ت/ℏ{\displaystyle \rho _{\rm {S}}(t)=e^{-iH_{\rm {S}}~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(0)e^{iH_{\rm {S}}~t/\hbar }}ثابتρأنا(ت)=هـأناح0،S ت/ℏρS(ت)هـ-أناح0،S ت/ℏ{\displaystyle \rho _{\rm {I}}(t)=e^{iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }\rho _{\rm {S}}(t)e^{-iH_{0,\mathrm {S} }~t/\hbar }}

مراجع

  1. ↑ داك، إيان؛ سودارشان، إي سي جي (1998). "الفصل 6: اختراع ديراك لنظرية الحقل الكمومي". باولي ونظرية الإحصاء الدوراني . دار النشر العالمية العلمية. الصفحات 149-167 . ISBN  978-9810231149.
  2. ↑ "تمثيل التفاعل" (ملف PDF) . courses.physics.illinois . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 24 مايو 2024.
  3. ↑ ألبرت ميسيا (1966). ميكانيكا الكم ، نورث هولاند، جون وايلي وأولاده. ISBN 0486409244جي جي ساكوراي (1994). ميكانيكا الكم الحديثة (أديسون-ويسلي) ISBN 9780201539295.
  4. ↑ جيه دبليو نيجيل، إتش أورلاند (1988)، أنظمة الكم متعددة الجسيمات، ISBN 0738200522.
  5. ↑ "صورة التفاعل، ملاحظات محاضرة من جامعة نيويورك" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2013-09-04.
  6. ↑ نظرية الحقل الكمومي للهواة الموهوبين، الفصل 18 - لمن رأى هذه المعادلة تُسمى معادلة شوينجر-توموناغا، فهي ليست معادلة شوينجر-توموناغا. إنها تعميم لمعادلة شرودنغر لتشمل أي تشعبات مكانية للزمكان.
  7. ↑ فيتر، ألكسندر ل.؛ واليكا، جون ديرك (1971). النظرية الكمية لأنظمة الجسيمات المتعددة . ماكجرو هيل. ص 55. ISBN  978-0-07-020653-3.
  8. ↑ شوينجر، ج. (1958)، أوراق مختارة في الديناميكا الكهربائية الكمومية ، دوفر، ص 151، ISBN  0-486-60444-6{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  9. 1 2 شوينجر، ج. (1948)، "الديناميكا الكهربائية الكمومية. الجزء الأول: صياغة متغيرة." ، مجلة Physical Review ، 74 (10): 1439-1461 ، Bibcode : 1948PhRv...74.1439S ، doi : 10.1103/PhysRev.74.1439
  10. ↑ شوينجر، ج. (1958)، أوراق مختارة في الديناميكا الكهربائية الكمومية ، دوفر، ص 151، 163، 170، 276، ISBN  0-486-60444-6{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  11. ↑ واكيتا، هيتوشي (1976)، "تكامل معادلة توموناغا-شوينغر" ، مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية ، 50 (1): 61-68 ، رمز Bibcode : 1976CMaPh..50...61W ، doi : 10.1007/BF01608555 ، S2CID 122590381 
  12. ↑ في محاضرة شوينجر لجائزة نوبل (ملف PDF) ، صفحة 140، يُطلق شوينجر بشكل غير رسمي على التفاضل اسم المنهج المحلي، وعلى التكامل اسم نوع من المنهج العالمي. ويُستخدم مصطلح "العالمي" هنا فيما يتعلق بمجال التكامل. 
  13. ↑ شوينجر، ج. (1958)، أوراق مختارة في الديناميكا الكهربائية الكمية ، دوفر، ص. مقدمة 13، ISBN  0-486-60444-6،يُطلق شوينجر بشكل غير رسمي على المنهج المحلي مصطلح "المنهج المحلي" للإشارة إلى الحقول أيضًا في سياق التأثيرات المحلية. الجسيمات هي خصائص ناشئة من منهج تكاملي مُطبق على الحقل، أو منهج متوسط. وهو في الوقت نفسه يُجري مقارنة مع التمييز الكلاسيكي بين الجسيمات والحقول، ويُبين كيف يتحقق ذلك بالنسبة للحقول الكمومية.{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  14. ↑ شوينجر، ج. (1958)، أوراق مختارة في الديناميكا الكهربائية الكمومية ، دوفر، ص 152، ISBN  0-486-60444-6{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  15. 1 2 3 ساكوراي، جيه جيه؛ نابوليتانو، جيم (2010)، ميكانيكا الكم الحديثة ( الطبعة الثانية)، أديسون-ويسلي، ISBN  978-0805382914

للمزيد من القراءة

انظر أيضاً