التحويل الوحدوي (ميكانيكا الكم)

تذكر أنه بحسب تعريف المصفوفة الوحدوية ،${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$بدءًا من معادلة شرودنغر،

${\displaystyle {\dot {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}H\psi }$،

وبالتالي يمكننا إدخال الهوية${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$حسب الرغبة. على وجه الخصوص، إدراجه بعد${\displaystyle H/\hbar }$وكذلك ضرب كلا الطرفين من اليسار بـ${\displaystyle U}$، نحصل

${\displaystyle U{\dot {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(UHU^{\dagger }\right)U\psi \quad \quad (1)}$.

ثم لاحظ أنه وفقًا لقاعدة الضرب ،

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(U\psi \right)={\dot {U}}\psi +U{\dot {\psi }}}$.

إدخال آخر${\displaystyle U^{\dagger }U}$وبإعادة الترتيب، نحصل على

${\displaystyle U{\dot {\psi }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}-{\dot {U}}U^{\dagger }U\psi \quad \quad (2)}$.

وأخيرًا، يؤدي الجمع بين (1) و(2) أعلاه إلى التحويل المطلوب:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}=-{\frac {i}{\hbar }}{\Big (}UH{U^{\dagger }}+i\hbar \,{\dot {U}}{U^{\dagger }}{\Big )}{\Big (}U\psi {\Big )}\quad \quad \left(3\right)}$.

إذا اعتمدنا الترميز${\displaystyle {\breve {\psi }}:=U\psi }$لوصف الدالة الموجية المحولة، يمكن كتابة المعادلات بصيغة أوضح. على سبيل المثال،${\displaystyle (3)}$يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\breve {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}{\breve {H}}{\breve {\psi }}\quad \quad \left(4\right)}$،

والتي يمكن إعادة كتابتها على شكل معادلة شرودنغر الأصلية،

${\displaystyle {\breve {H}}{\breve {\psi }}=i\hbar {\operatorname {d} \!{\breve {\psi }} \over \operatorname {d} \!t}.}$

يمكن استعادة دالة الموجة الأصلية على النحو التالي:${\displaystyle \psi =U^{\dagger }{\breve {\psi }}}$.

يمكن اعتبار التحويلات الوحدوية تعميماً لصورة التفاعل (ديراك) . في هذا النهج الأخير، يتم تقسيم الهاميلتوني إلى جزء مستقل عن الزمن وجزء يعتمد على الزمن.

${\displaystyle H(t)=H_{0}+V(t)\quad \quad (a)}$.

في هذه الحالة، تصبح معادلة شرودنغر

${\displaystyle {\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(e^{iH_{0}t/\hbar }Ve^{-iH_{0}t/\hbar }\right)\psi _{I}}$، مع${\displaystyle \psi _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }\psi }$[ ^{4 ]​}

يمكن إظهار التطابق مع التحويل الوحدوي عن طريق اختيار${\textstyle U(t)=\exp \left[{+iH_{0}t/\hbar }\right]}$. نتيجة ل،${\displaystyle {U^{\dagger }}(t)=\exp \left[{-iH_{0}t}/\hbar \right].}$

باستخدام الترميز من${\displaystyle (a)}$أعلاه، يصبح الهاميلتوني المحوّل لدينا

${\displaystyle {\breve {H}}=U\left[H_{0}+V(t)\right]U^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }\quad \quad (b)}$

لاحظ أولاً أنه منذ${\displaystyle U}$هي وظيفة من${\displaystyle H_{0}}$يجب على الاثنين التنقل . ثم

${\displaystyle UH_{0}U^{\dagger }=H_{0}}$،

والذي يتولى معالجة الحد الأول في عملية التحويل في${\displaystyle (b)}$، أي${\displaystyle {\breve {H}}=H_{0}+UV(t)U^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }}$ثم استخدم قاعدة السلسلة لحساب

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }&=i\hbar \left({\operatorname {d} \!U \over \operatorname {d} \!t}\right)e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar {\Big (}iH_{0}/\hbar {\Big )}e^{+iH_{0}t/\hbar }e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar \left({iH_{0}}/\hbar \right)\\&=-H_{0},\\\end{aligned}}}$

والذي يلغي الآخر${\displaystyle H_{0}}$من الواضح أننا نتبقى مع${\displaystyle {\breve {H}}=UVU^{\dagger }}$، مما يؤدي إلى${\displaystyle {\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}UVU^{\dagger }\psi _{I}}$كما هو موضح أعلاه.

لكن عند تطبيق تحويل وحدوي عام، ليس من الضروري أن${\displaystyle H(t)}$أن تنقسم إلى أجزاء، أو حتى ذلك${\displaystyle U(t)}$أن تكون دالة لأي جزء من الهاميلتوني.

لنفترض وجود ذرة لها حالتان ، الحالة الأرضية${\displaystyle |g\rangle }$وحالة من الإثارة${\displaystyle |e\rangle }$للذرة هاميلتوني${\displaystyle H=\hbar \omega {|{e}\rangle \langle {e}|}}$، أين${\displaystyle \omega }$يمثل تردد الضوء المرتبط بالانتقال من الحالة الأرضية إلى الحالة المثارة . لنفترض الآن أننا نسلط ضوءًا على الذرة بتردد معين .${\displaystyle \omega _{d}}$والذي يربط بين الحالتين، وأن الهاميلتوني المُحفَّز المعتمد على الزمن هو

${\displaystyle H/\hbar =\omega |e\rangle \langle e|+\Omega \ e^{i\omega _{d}t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ e^{-i\omega _{d}t}|e\rangle \langle g|}$

بالنسبة لبعض قوة القيادة المعقدة${\displaystyle \Omega }$بسبب مقاييس التردد المتنافسة (${\displaystyle \omega }$،${\displaystyle \omega _{d}}$، و${\displaystyle \Omega }$)، من الصعب التنبؤ بتأثير المحرك (انظر الحركة التوافقية المدفوعة ).

بدون محرك، مرحلة${\displaystyle |e\rangle }$سوف يتذبذب بالنسبة إلى${\displaystyle |g\rangle }$في تمثيل كرة بلوخ لنظام ثنائي الحالة، يتوافق هذا مع الدوران حول المحور z. من الناحية النظرية، يمكننا إزالة هذا المكون من الديناميكيات عن طريق الدخول في إطار مرجعي دوار مُحدد بواسطة التحويل الوحدوي.${\displaystyle U=e^{i\omega t|e\rangle \langle e|}}$في ظل هذا التحويل، يصبح الهاميلتوني

${\displaystyle H/\hbar \to \Omega \,e^{i(\omega _{d}-\omega )t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\,e^{i(\omega -\omega _{d})t}|e\rangle \langle g|}$.

إذا كان تردد القيادة مساوياً لتردد انتقال ge،${\displaystyle \omega _{d}=\omega }$سيحدث الرنين ، ثم تختزل المعادلة أعلاه إلى

${\displaystyle {\breve {H}}/\hbar =\Omega \ |g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ |e\rangle \langle g|}$.

يتضح من هذا، حتى دون الخوض في التفاصيل، أن الديناميكيات ستتضمن تذبذبًا بين الحالة الأرضية والحالة المثارة عند تردد معين.${\displaystyle \Omega }$[ ^{4 ]​}

كحالة حدية أخرى، لنفترض أن المحرك بعيد كل البعد عن الرنين،${\displaystyle |\omega _{d}-\omega |\gg 0}$يمكننا تحديد الديناميكيات في هذه الحالة دون حل معادلة شرودنغر مباشرةً. لنفترض أن النظام يبدأ في الحالة الأرضية.${\displaystyle |g\rangle }$في البداية، سيملأ الهاميلتوني أحد مكونات${\displaystyle |e\rangle }$لكن بعد فترة وجيزة، سيبلغ عدد سكانها تقريبًا نفس العدد من${\displaystyle |e\rangle }$لكن بطور مختلف تمامًا. لذا، يميل تأثير المحرك غير الرنيني إلى إلغاء نفسه. ويمكن التعبير عن ذلك أيضًا بالقول إن المحرك غير الرنيني يدور بسرعة في إطار الذرة .

يتم توضيح هذه المفاهيم في الجدول أدناه، حيث تمثل الكرة كرة بلوخ ، ويمثل السهم حالة الذرة، وتمثل اليد المحرك.

	إطار المختبر	إطار دوار
محرك رنيني
محرك خارج الرنين

كان من الممكن تحليل المثال أعلاه أيضًا في إطار نموذج التفاعل. إلا أن المثال التالي أكثر صعوبة في التحليل دون الصياغة العامة للتحويلات الوحدوية. لنفترض وجود مذبذبين توافقيين ، نرغب في هندسة تفاعل بينهما باستخدام مقسم شعاع .

${\displaystyle g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b}$.

وقد تحقق ذلك تجريبياً باستخدام اثنين من رنانات تجويف الميكروويف التي تعمل كـ${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$[ ^{5 ] فيما يلي ،} نرسم مخططًا لتحليل نسخة مبسطة من هذه التجربة.

بالإضافة إلى تجاويف الميكروويف، تضمنت التجربة أيضًا كيوبت ترانسمون .${\displaystyle c}$، مقترنة بكلا الوضعين. يتم تشغيل الكيوبت في وقت واحد بترددين،${\displaystyle \omega _{1}}$و${\displaystyle \omega _{2}}$، والتي من أجلها${\displaystyle \omega _{1}-\omega _{2}=\omega _{a}-\omega _{b}}$.

${\displaystyle H_{\mathrm {drive} }/\hbar =\Re \left[\epsilon _{1}e^{i\omega _{1}t}+\epsilon _{2}e^{i\omega _{2}t}\right](c+c^{\dagger }).}$

بالإضافة إلى ذلك، توجد العديد من الحدود من الرتبة الرابعة التي تربط الأنماط ، ولكن يمكن إهمال معظمها. في هذه التجربة، هناك حدان من هذه الحدود سيصبحان مهمين هما

${\displaystyle H_{4}/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}{\Big )}c^{\dagger }c}$.

(Hc هو اختصار للمرافق الهيرميتي .) يمكننا تطبيق تحويل الإزاحة ،${\displaystyle U=D(-\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}-\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})}$، إلى الوضع${\displaystyle c}$بالنسبة للسعات المختارة بعناية، فإن هذا التحويل سيلغي نفسه.${\displaystyle H_{\textrm {drive}}}$مع إزاحة عامل السلم أيضاً ،${\displaystyle c\to c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t}}$وهذا يتركنا مع

${\displaystyle H/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+e^{i(\omega _{a}-\omega _{b})t}a^{\dagger }b{\big )}(c^{\dagger }+\xi _{1}^{*}e^{i\omega _{1}t}+\xi _{2}^{*}e^{i\omega _{2}t})(c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})}$.

بتوسيع هذا التعبير وإسقاط الحدود سريعة الدوران، نحصل على الهاميلتوني المطلوب.

${\displaystyle H/\hbar =g_{4}\xi _{1}^{*}\xi _{2}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a}+\omega _{1}-\omega _{2})t}\ ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}=g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b}$.

من الشائع كتابة المعاملات المستخدمة في التحويلات الوحدوية على شكل دوال أسية للمعاملات.${\displaystyle U=e^{X}}$كما هو موضح أعلاه. علاوة على ذلك، فإن المعاملات في الدوال الأسية تخضع عادةً للعلاقة التالية${\displaystyle X^{\dagger }=-X}$بحيث يكون تحويل المؤثر${\displaystyle Y}$يكون،${\displaystyle UYU^{\dagger }=e^{X}Ye^{-X}}$. الآن، نقدم لكم مُبدِّل المُكرِّر،

${\displaystyle [(X)^{n},Y]\equiv \underbrace {[X,\dotsb [X,[X} _{n{\text{ times }}},Y]]\dotsb ],\quad [(X)^{0},Y]\equiv Y,}$

يمكننا استخدام نتيجة خاصة من صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف لكتابة هذا التحويل بشكل مختصر كما يلي:

${\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(X)^{n},Y]}{n!}},}$

أو، بصيغة مطولة من أجل الإكمال،

${\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots .}$