اختبار ديريشليه-جوردان

في الرياضيات ، يوفر اختبار ديريشليه-جوردان شروطًا كافية لدالة دورية ذات قيم مركبة${\displaystyle f}$أن تكون مساوية لمجموع متسلسلة فورييه عند نقطة اتصال. علاوة على ذلك، يتحدد سلوك متسلسلة فورييه عند نقاط عدم الاتصال أيضًا (فهي نقطة المنتصف لقيم عدم الاتصال). وهذا أحد الشروط العديدة لتقارب متسلسلة فورييه .

وضع بيتر غوستاف ليجون ديريشليه الاختبار الأصلي عام 1829، ^{[ 1 ]} للدوال الرتيبة القطعية (الدوال التي لها عدد محدود من المقاطع في كل دورة، كل منها رتيب). وقد وُسِّع هذا الاختبار في أواخر القرن التاسع عشر على يد كاميل جوردان ليشمل الدوال ذات التغير المحدود في كل دورة (أي دالة ذات تغير محدود هي الفرق بين دالتين متزايدتين رتيبًا). ^{[ 2 ] [ 3 ]}

يترك${\displaystyle f(x)}$لتكن دالة قابلة للتكامل ذات قيم مركبة على الفترة${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$والمجاميع الجزئية لمتسلسلة فورييه الخاصة بها${\displaystyle S_{n}f(x)}$، مقدمة من $${\displaystyle S_{n}f(x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx},}$$ بمعاملات فورييه${\displaystyle c_{k}}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}\,dx.}$$ ينص اختبار ديريشليه-جوردان على أنه إذا${\displaystyle f}$إذا كان التباين محدودًا ، فعندئذٍ لكل${\displaystyle x\in [-\pi ,\pi ]}$الحد${\displaystyle S_{n}f(x)}$موجود ويساوي ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{2}}.}$$ أو بدلاً من ذلك، ينص اختبار جوردان على أنه إذا${\displaystyle f\in L^{1}}$يتميز بتغير محدود في جوار${\displaystyle x}$ثم حد${\displaystyle S_{n}f(x)}$^{[ 6 ]} يوجد ويتقارب بطريقة مماثلة.

وإذا، بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle f}$متصل عند${\displaystyle x}$، ثم $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).}$$ علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle f}$متصلة عند كل نقطة في${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$إذا كان التقارب منتظمًا بدلاً من أن يكون نقطيًا فقط .

ينطبق البيان المماثل بغض النظر عن اختيار الفترة الزمنية${\displaystyle f}$أو أي إصدار من متسلسلة فورييه يتم اختياره.

يوجد أيضًا اختبارٌ مُشابهٌ لتحويل فورييه على خط الأعداد الحقيقية. ^{[ 7 ]} لنفترض أن${\displaystyle f(x)}$هو في${\displaystyle L^{1}(-\infty ,\infty )}$وتغير محدود في جوار النقطة${\displaystyle x}$. ثم $${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\lim _{M\to \infty }\int _{0}^{M}du\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos u(xt)\,dt=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x+\varepsilon )+f(x-\varepsilon )}{2}}.}$$ لو${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة متصلة في فترة مفتوحة، فإن التكامل على الجانب الأيسر يتقارب بانتظام في تلك الفترة، وتكون النهاية على الجانب الأيمن هي${\displaystyle f(x)}$.

هذه النسخة من الاختبار (على الرغم من أنها لا تفي بالمتطلبات الحديثة للدقة) تسبق تاريخيًا اختبار ديريشليه، ويعود الفضل فيها إلى جوزيف فورييه . ^{[ 2 ]}

في معالجة الإشارات ، غالبًا ما يُحتفظ بالاختبار في شكله الأصلي بسبب دالة ديريشليه: ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} وهي دالة دورية محدودة رتيبة جزئيًا${\displaystyle f}$(التي تحتوي على عدد محدود من الفترات الرتيبة لكل دورة) لها متسلسلة فورييه متقاربة، وقيمتها عند كل نقطة هي المتوسط ​​الحسابي للنهايتين اليسرى واليمنى للدالة. ويشترط شرط الرتابة القطعية وجود عدد محدود فقط من القيم القصوى المحلية لكل دورة، مما يعني${\displaystyle f}$يتميز بتغير محدود (مع أن العكس غير صحيح). ^{[ 2 ]} (اشترط ديريشليه أيضًا أن يكون للدالة عدد محدود من نقاط الانقطاع، لكن هذا القيد صارم بشكل غير ضروري. ^{[ 11 ]} ) أي إشارة يمكن إنتاجها فعليًا في المختبر تُحقق هذه الشروط. ^{[ 12 ]}

كما هو الحال في اختبار جوردان النقطي، يمكن تخفيف شرط التقييد إذا افترضنا أن الدالة قابلة للتكامل المطلق (أي،${\displaystyle L^{1}}$) على مدى فترة زمنية، شريطة أن تستوفي الشروط الأخرى للاختبار في جوار النقطة${\displaystyle x}$حيث يتم تحديد الحد. ^{[ 13 ]}

• اختبار ديني

• إدواردز، ر. إي. (1979). متسلسلات فورييه . المجلد  64. نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. doi : 10.1007/978-1-4612-6208-4 . ISBN 978-1-4612-6210-7.
• لانكزوس، كورنيليوس (12 سبتمبر 2016). بحث في متسلسلات فورييه . فيلادلفيا، بنسلفانيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. doi : 10.1137/1.9781611974522 . ISBN 978-1-61197-451-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 ديسمبر 2024 .
• ليون، جورج أ. (1986). "برهان بسيط لاختبار تقارب ديريشليه-جوردان". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 93 (4): 281-282 . doi : 10.1080/00029890.1986.11971805 . ISSN 0002-9890 . 
• خاري، كيدار؛ بوتولا، مانسي؛ راجورا، سونينا (2023). بصريات فورييه والتصوير الحاسوبي . تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. doi : 10.1007/978-3-031-18353-9 . ISBN 978-3-031-18352-2.
• بروكيس، جون ج.؛ مانولاكيس، ديميتريس ج. (1996). معالجة الإشارات الرقمية: المبادئ والخوارزميات والتطبيقات (الطبعة الثالثة  ). برنتيس هول. ISBN 978-0-13-373762-2.
• زيغموند، أ .؛ فيفرمان، روبرت (2003-02-06). المتسلسلات المثلثية . مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/cbo9781316036587 . ISBN 978-0-521-89053-3.

• "شروط ديريشليه" . بلانيت ماث .