بيتر جوستاف ليجون ديريشليت

وُلد غوستاف ليجون ديريشليه في 13 فبراير 1805 في دورين ، وهي بلدة تقع على الضفة اليسرى لنهر الراين، وكانت آنذاك جزءًا من الإمبراطورية الفرنسية الأولى ، قبل أن تعود إلى بروسيا بعد مؤتمر فيينا عام 1815. كان والده، يوهان أرنولد ليجون ديريشليه، مديرًا للبريد وتاجرًا وعضوًا في مجلس المدينة. أما جده لأبيه فقد قدم إلى دورين من ريشيليه (أو على الأرجح ريشيل )، وهي بلدة صغيرة تقع على بُعد 5 كيلومترات (3 أميال) شمال شرق لييج في بلجيكا ، ومنها اشتق لقبه "ليجون ديريشليه" (" لو جون دو ريشيليه "، أي "شاب ريشيليه" بالفرنسية ). ^{[ 3 ]} 

على الرغم من أن عائلته لم تكن ثرية وكان أصغر إخوته السبعة، إلا أن والديه ساندوه في تعليمه. ألحقاه بمدرسة ابتدائية ثم بمدرسة خاصة على أمل أن يصبح تاجرًا فيما بعد. أقنع الشاب ديريشليه، الذي أبدى اهتمامًا كبيرًا بالرياضيات قبل بلوغه الثانية عشرة من عمره، والديه بالسماح له بمواصلة دراسته. في عام ١٨١٧، أرسلاه إلى مدرسة بون الثانوية تحت إشراف بيتر جوزيف إلفينيتش ، وهو طالب تعرفه عائلته. في عام ١٨٢٠، انتقل ديريشليه إلى مدرسة كولونيا الثانوية اليسوعية ، حيث ساعدته دروسه مع جورج أوم على توسيع معارفه في الرياضيات. غادر المدرسة الثانوية بعد عام بشهادة فقط، إذ حال عدم إتقانه للغة اللاتينية دون حصوله على شهادة الثانوية العامة (أبيتور ). ^{[ ٣ ]}

أقنع ديريشليه والديه مجددًا بتقديم المزيد من الدعم المالي لدراسته في الرياضيات، رغم رغبتهما في أن يمتهن المحاماة. ولأن ألمانيا لم تكن توفر فرصًا كثيرة لدراسة الرياضيات المتقدمة آنذاك، إذ لم يكن في جامعة غوتنغن سوى غاوس ، الذي كان أستاذًا لعلم الفلك اسميًا ، وكان يكره التدريس على أي حال، قرر ديريشليه الذهاب إلى باريس في مايو 1822. هناك، التحق بصفوف في كوليج دو فرانس وجامعة باريس ، وتعلم الرياضيات من هاشيت وغيره، بينما كان يدرس كتاب غاوس " Disquisitiones Arithmeticae" دراسة خاصة ، وهو كتاب ظلّ ملازمًا له طوال حياته. في عام 1823، رُشِّح ديريشليه للجنرال ماكسيميليان فوي ، الذي وظّفه كمدرس خصوصي لتعليم أطفاله اللغة الألمانية ، ومكّنه الأجر أخيرًا من الاستقلال المالي عن والديه. ^{[ 4 ]}

حقق بحثه الأصلي الأول، الذي تضمن جزءًا من برهان نظرية فيرما الأخيرة للحالة n = 5 ، شهرةً واسعةً فورًا، إذ كان أول تقدم في النظرية منذ برهان فيرما نفسه للحالة n = 4 وبرهان أويلر للحالة n = 3. أكمل أدريان ماري ليجندر ، أحد المحكمين، البرهان لهذه الحالة سريعًا؛ وأكمل ديريشليه برهانه الخاص بعد ليجندر بفترة وجيزة، وبعد بضع سنوات قدم برهانًا كاملًا للحالة n = 14. ^{[ 5 ]} في يونيو 1825 ، قُبل لإلقاء محاضرة حول برهانه الجزئي للحالة n = 5 في الأكاديمية الفرنسية للعلوم ، وهو إنجاز استثنائي لطالب يبلغ من العمر 20 عامًا ولم يحصل على شهادة جامعية. [ ^{3 ] كما} وضعته محاضرته في الأكاديمية على اتصال وثيق مع فورييه وبواسون ، اللذين أثارا اهتمامه بالفيزياء النظرية ، وخاصة نظرية فورييه التحليلية للحرارة .

بعد وفاة الجنرال فوي في نوفمبر 1825، وعدم تمكنه من إيجاد وظيفة بأجر في فرنسا، اضطر ديريشليه للعودة إلى بروسيا. عرّفه فورييه وبواسون على ألكسندر فون هومبولت ، الذي دُعي للانضمام إلى بلاط الملك فريدريك فيلهلم الثالث . كان هومبولت يخطط لجعل برلين مركزًا للعلوم والبحوث، فعرض مساعدته على الفور لديريشليه، وأرسل رسائل توصية إلى الحكومة البروسية والأكاديمية البروسية للعلوم . كما حصل هومبولت على رسالة توصية من غاوس، الذي أشاد به إشادة بالغة بعد قراءة مذكرته عن نظرية فيرما، قائلاً: "أظهر ديريشليه موهبة فائقة". ^{[ 6 ]} بدعم من هومبولت وغوس، عُرض على ديريشليه منصب تدريس في جامعة بريسلاو . إلا أنه، لعدم حصوله على شهادة الدكتوراه، قدّم مذكرته عن نظرية فيرما كرسالة إلى جامعة بون . ومرة أخرى، حال عدم إتقانه للغة اللاتينية دون تمكنه من إجراء المناظرة العلنية المطلوبة لأطروحته؛ وبعد نقاشات مطولة، قررت الجامعة تجاوز هذه المشكلة بمنحه درجة دكتوراه فخرية في فبراير 1827. كما منحه وزير التعليم إعفاءً من المناظرة اللاتينية المطلوبة للحصول على شهادة التأهيل . حصل ديريشليه على شهادة التأهيل، وألقى محاضرات في بريسلاو خلال العام الدراسي 1827-1828 بصفة محاضر خاص . ^{[ 3 ]}

أثناء إقامته في بريسلاو، واصل ديريشلي أبحاثه في نظرية الأعداد، ونشر إسهاماتٍ مهمة في قانون التبادلية التربيعية الثنائية ، الذي كان آنذاك محورًا رئيسيًا لأبحاث غاوس. استغل ألكسندر فون هومبولت هذه النتائج الجديدة، التي حظيت أيضًا بإشادةٍ حماسية من فريدريش بيسل ، لترتيب انتقاله إلى برلين. ونظرًا لصغر سن ديريشلي (كان يبلغ من العمر 23 عامًا آنذاك)، تمكن هومبولت من تأمين وظيفة تجريبية له في الأكاديمية العسكرية البروسية في برلين، مع بقائه موظفًا اسميًا في جامعة بريسلاو. مُدِّدت فترة التجربة لثلاث سنوات حتى أصبح المنصب نهائيًا في عام 1831.

بعد انتقال ديريشليه إلى برلين، عرّفه هومبولت على الصالونات الأدبية الراقية التي كان يعقدها المصرفي أبراهام مندلسون بارتولدي وعائلته. كان منزلهم ملتقى أسبوعيًا لفناني وعلماء برلين، بمن فيهم ابنا أبراهام، فيليكس وفاني مندلسون ، وكلاهما موسيقيان بارعان، والرسام فيلهلم هينسل (زوج فاني). أبدى ديريشليه اهتمامًا كبيرًا بابنة أبراهام الأخرى، ريبيكا، التي تزوجها عام ١٨٣٢.

ريبيكا هنرييت ليجون ديريشليه (اسمها قبل الزواج ريبيكا مندلسون؛ 11 أبريل 1811  - 1 ديسمبر 1858) هي حفيدة موسى مندلسون والأخت الصغرى لفيلكس مندلسون وفاني مندلسون . ^{[ 7 ] [ 8 ]} وُلدت ريبيكا في هامبورغ . ^{[ 9 ]} في عام 1816، رتب والداها لتعميدها، فاتخذت اسم ريبيكا هنرييت مندلسون بارتولدي. ^{[ 10 ]} انضمت إلى الصالون الأدبي المرموق لوالديها، أبراهام مندلسون وزوجته ليا، وكانت لها علاقات اجتماعية مع موسيقيين وفنانين وعلماء بارزين خلال فترة ازدهار فكري ألماني. في عام 1829 غنت دورًا صغيرًا في العرض الأول لفيلم فيليكس Singspiel Die Heimkehr aus der Fremde في منزل مندلسون . كتبت فيما بعد:

لقد سرق أخي وأختي الأكبر مني سمعتي كفنان. في أي عائلة أخرى، لكنتُ حظيتُ بتقدير كبير كموسيقي، وربما كنتُ قائدًا لفرقة موسيقية. لكن بجانب فيليكس وفاني، لم أكن لأطمح إلى أي تقدير. ^{[ 11 ]}

في عام 1832، تزوجت من ديريشليه، الذي عرّفه ألكسندر فون هومبولت على عائلة مندلسون . [ ^{12 ] وفي} عام 1833، وُلد ابنهما الأول، والتر. وتوفيت في غوتينغن عام 1858.

فور وصوله إلى برلين، تقدم ديريشليه بطلب للتدريس في جامعة برلين ، ووافق وزير التعليم على نقله، وفي عام 1831 عينه في كلية الفلسفة . اشترطت الكلية عليه تجديد شهادة التأهيل ، ورغم أن ديريشليه كتب أطروحة التأهيل المطلوبة، إلا أنه أرجأ إلقاء المحاضرة الإلزامية باللغة اللاتينية لعشرين عامًا أخرى، حتى عام 1851. ولأنه لم يُكمل هذا الشرط الرسمي، ظل مرتبطًا بالكلية بحقوق غير كاملة، بما في ذلك رواتب محدودة، مما اضطره إلى الاستمرار في منصبه التدريسي في المدرسة العسكرية. في عام 1832، أصبح ديريشليه عضوًا في الأكاديمية البروسية للعلوم ، وكان أصغر أعضائها سنًا، إذ لم يتجاوز عمره 27 عامًا. ^{[ 3 ]}

كان ديريشلي يتمتع بسمعة طيبة بين الطلاب بفضل وضوح شروحاته، وكان يستمتع بالتدريس، لا سيما وأن محاضراته الجامعية كانت تركز على المواضيع المتقدمة التي كان يجري فيها أبحاثًا: نظرية الأعداد (كان أول أستاذ ألماني يُلقي محاضرات في نظرية الأعداد)، والتحليل، والفيزياء الرياضية . أشرف على أطروحات الدكتوراه لعدد من علماء الرياضيات الألمان البارزين، مثل غوتهولد آيزنشتاين ، وليوبولد كرونكر ، ورودولف ليبشيتز ، وكارل فيلهلم بورشاردت ، وكان له تأثير كبير في التكوين الرياضي للعديد من العلماء الآخرين، بمن فيهم إلفين برونو كريستوفيل ، وفيلهلم فيبر ، وإدوارد هاينه ، ولودفيغ فون سايدل ، ويوليوس فينغارتن . في الأكاديمية العسكرية، نجح ديريشلي في إدخال حساب التفاضل والتكامل في المناهج الدراسية، مما رفع مستوى التعليم العلمي هناك. مع ذلك، بدأ يشعر تدريجيًا بأن عبء التدريس المزدوج، في الأكاديمية العسكرية والجامعة، يُقلل من الوقت المتاح له للبحث. ^{[ 3 ]}

أثناء إقامته في برلين، حافظ ديريشليه على تواصله مع علماء رياضيات آخرين. في عام ١٨٢٩، خلال إحدى رحلاته، التقى كارل جاكوبي ، أستاذ الرياضيات آنذاك في جامعة كونيغسبرغ . وعلى مر السنين، استمرا في اللقاء والتراسل بشأن مسائل بحثية، حتى أصبحا صديقين مقربين. في عام ١٨٣٩، خلال زيارة إلى باريس، التقى ديريشليه بجوزيف ليوفيل ، ونشأت بينهما صداقة، وظلا على تواصل، بل وتبادلا الزيارات مع عائلتيهما بعد بضع سنوات. في عام ١٨٣٩، أرسل جاكوبي إلى ديريشليه بحثًا لإرنست كومر ، الذي كان يعمل مدرسًا آنذاك. ولإدراكهما إمكانيات كومر، ساعداه في انتخابه عضوًا في أكاديمية برلين، وفي عام ١٨٤٢، حصلا له على منصب أستاذ متفرغ في جامعة بريسلاو. في عام ١٨٤٠، تزوج كومر من أوتيلي مندلسون، ابنة عم ريبيكا.

في عام 1843، عندما مرض جاكوبي، سافر ديريشليه إلى كونيغسبرغ لمساعدته، ثم استعان له بالطبيب الشخصي للملك فريدريش فيلهلم الرابع . ولما أوصى الطبيب جاكوبي بقضاء بعض الوقت في إيطاليا، انضم إليه ديريشليه في الرحلة مع عائلته. ورافقهم إلى إيطاليا لودفيغ شلافلي ، الذي جاء كمترجم؛ ولأنه كان مهتمًا بشدة بالرياضيات، فقد ألقى كل من ديريشليه وجاكوبي محاضرات له خلال الرحلة، وأصبح فيما بعد عالم رياضيات بارزًا. ^{[ 3 ]} مددت عائلة ديريشليه إقامتها في إيطاليا حتى عام 1845، حيث ولدت ابنتهم فلورا. وفي عام 1844، انتقل جاكوبي إلى برلين كمتقاعد ملكي، وتوطدت صداقتهما أكثر. وفي عام 1846، عندما حاولت جامعة هايدلبرغ استقطاب ديريشليه، قدم جاكوبي لفون هومبولت الدعم اللازم لمضاعفة راتب ديريشليه في الجامعة لإبقائه في برلين. ومع ذلك، حتى في ذلك الحين لم يتقاضَ راتباً كاملاً كأستاذ ولم يتمكن من مغادرة الأكاديمية العسكرية. ^{[ 13 ]}

انطلاقًا من آرائه الليبرالية، أيّد ديريشليه وعائلته ثورة 1848 ؛ بل إنه تولى حراسة قصر أمير بروسيا ببندقية. بعد فشل الثورة، أُغلقت الأكاديمية العسكرية مؤقتًا، مما تسبب له بخسارة كبيرة في دخله. وعندما أُعيد افتتاحها، ازدادت الأجواء عدائية تجاهه، إذ كان يُتوقع من الضباط الذين كان يُدرّسهم الولاء للحكومة القائمة. وقد وصفته بعض الصحف التي لم تُؤيد الثورة، إلى جانب جاكوبي وغيره من الأساتذة الليبراليين، بأنه "الجناح الأحمر من هيئة التدريس". ^{[ 3 ]}

في عام 1849 شارك ديريشليه، برفقة صديقه جاكوبي، في الاحتفال بحصول غاوس على درجة الدكتوراه.

على الرغم من خبرة ديريشليه والتكريمات التي نالها، وحتى بعد أن استوفى جميع المتطلبات الرسمية لشغل منصب أستاذ كامل بحلول عام ١٨٥١، إلا أن مسألة رفع راتبه في الجامعة ظلت عالقة، ولم يتمكن من مغادرة الأكاديمية العسكرية. في عام ١٨٥٥، وبعد وفاة غاوس، قررت جامعة غوتنغن تعيين ديريشليه خلفًا له. ونظرًا للصعوبات التي واجهها في برلين، قرر قبول العرض وانتقل فورًا إلى غوتنغن مع عائلته. وتم استدعاء كومر لتولي منصبه كأستاذ للرياضيات في برلين. ^{[ ٤ ]}

استمتع ديريشليه بوقته في غوتينغن، إذ أتاح له تخفيف عبء التدريس مزيدًا من الوقت للبحث، كما أتاح له التواصل الوثيق مع الجيل الجديد من الباحثين، ولا سيما ريتشارد ديديكيند وبرنهارد ريمان . بعد انتقاله إلى غوتينغن، تمكن من الحصول على راتب سنوي صغير لريمان لإبقائه ضمن هيئة التدريس هناك. حضر ديديكيند وريمان وموريتز كانتور وألفريد إينيبر ، على الرغم من حصولهم جميعًا على شهادات الدكتوراه، دروس ديريشليه للدراسة معه. شعر ديديكيند، الذي كان يرى ثغرات في تعليمه الرياضي، أن فرصة الدراسة مع ديريشليه جعلته "إنسانًا جديدًا". ^{[ 3 ]} قام لاحقًا بتحرير ونشر محاضرات ديريشليه ونتائج أخرى في نظرية الأعداد تحت عنوان " محاضرات في نظرية الأعداد ".

في صيف عام ١٨٥٨، وأثناء رحلة إلى مونترو ، أصيب ديريشليه بنوبة قلبية. وفي الخامس من مايو عام ١٨٥٩، توفي في غوتينغن، بعد عدة أشهر من وفاة زوجته ريبيكا. ^{[ ٤ ]} حُفظ دماغ ديريشليه في قسم علم وظائف الأعضاء بجامعة غوتينغن، إلى جانب دماغ غاوس. وقد كرّمته الأكاديمية في برلين بخطاب تأبيني رسمي ألقاه كومر عام ١٨٦٠، وأمرت لاحقًا بنشر أعماله الكاملة التي حررها كرونيكر ولازاروس فوكس .

كانت نظرية الأعداد محور اهتمام ديريشليه البحثي الرئيسي، ^{[ 14 ]} وهو مجالٌ توصل فيه إلى العديد من النتائج العميقة، وقدم في سبيل إثباتها أدواتٍ أساسية، سُمّي الكثير منها لاحقًا باسمه. في عام 1837، أثبت ديريشليه نظريته حول المتتابعات الحسابية مستخدمًا مفاهيم من التحليل الرياضي لمعالجة مسألة جبرية، مُؤسسًا بذلك فرعًا من نظرية الأعداد التحليلية . وفي سبيل إثبات النظرية، قدّم مُؤشرات ديريشليه ودوال L. ^{[ 14 ] [ 15 ]} كما أشار في تلك المقالة إلى الفرق بين التقارب المطلق والتقارب المشروط للمتسلسلات ، وتأثير ذلك فيما عُرف لاحقًا بنظرية متسلسلة ريمان . وفي عام 1841، عمّم ديريشليه نظريته حول المتتابعات الحسابية من الأعداد الصحيحة إلى حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية .${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$[ ^{3 ]​}

في ورقتين بحثيتين عامي 1838 و1839، برهن جاكوبي على أول صيغة عددية من الأصناف للأشكال التربيعية (والتي نقحها لاحقًا تلميذه كرونكر). هذه الصيغة، التي وصفها جاكوبي بأنها نتيجة "تلامس أقصى درجات الفطنة البشرية"، فتحت الطريق لنتائج مماثلة تتعلق بحقول عددية أكثر عمومية . ^{[ 3 ]} واستنادًا إلى بحثه في بنية زمرة الوحدة للحقول التربيعية ، برهن على نظرية ديريشليه للوحدة ، وهي نتيجة أساسية في نظرية الأعداد الجبرية . ^{[ 15 ]}

استخدم ديريشليه مبدأ خانة الحمام ، وهو حجة أساسية في العد، لأول مرة في إثبات نظرية في التقريب الديوفانتي ، والتي سُميت لاحقًا باسمه بنظرية ديريشليه للتقريب . ونشر إسهامات مهمة في نظرية فيرما الأخيرة ، حيث أثبت الحالتين n = 5 و n = 14 ، وفي قانون التبادلية التربيعية . ^{[ 3 ]} ولا تزال مسألة قاسم ديريشليه ، التي توصل إلى نتائجها الأولى من خلال تقديم طريقة القطع الزائد لديريشليه ، ^{[ 16 ]} مسألة غير محلولة في نظرية الأعداد على الرغم من إسهامات لاحقة من علماء رياضيات آخرين.

استلهم ديريشليه من عمل أستاذه في باريس، فنشر عام ١٨٢٩ مذكرةً شهيرةً تُبيّن الشروط التي تُحقق تقارب متسلسلة فورييه . ^{[ ١٧ ]} قبل حل ديريشليه، لم يقتصر الأمر على فورييه، بل حاول كلٌّ من بواسون وكوشي دون جدوى إيجاد برهانٍ دقيقٍ للتقارب. أشارت المذكرة إلى خطأ كوشي، وقدّمت اختبار ديريشليه لتقارب المتسلسلات. كما قدّمت دالة ديريشليه كمثالٍ على دالةٍ غير قابلةٍ للتكامل ( كان التكامل المحدد لا يزال موضوعًا قيد التطوير آنذاك)، وفي برهان نظرية متسلسلة فورييه، قدّمت نواة ديريشليه وتكامل ديريشليه . ^{[ ١٨ ]}

درس ديريشليه أيضًا أول مسألة قيمة حدية ، لمعادلة لابلاس ، مُثبتًا تفرد الحل؛ وقد سُميت هذه المسألة في نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية لاحقًا بمسألة ديريشليه نسبةً إليه. يجب أن يكون للدالة التي تُحقق معادلة تفاضلية جزئية خاضعة لشروط ديريشليه الحدية قيم ثابتة على الحدود. ^{[ 14 ]} في برهانه، استخدم ديريشليه بشكل خاص مبدأ أن الحل هو الدالة التي تُقلل ما يُسمى طاقة ديريشليه . أطلق ريمان لاحقًا على هذا النهج اسم مبدأ ديريشليه ، على الرغم من علمه بأنه قد استُخدم أيضًا من قِبل غاوس واللورد كلفن . ^{[ 3 ]}

أثناء محاولته تحديد نطاق الدوال التي يمكن إثبات تقارب متسلسلة فورييه لها، عرّف ديريشليه الدالة بأنها "لكل قيمة x تقابلها قيمة y واحدة منتهية "، ثم حصر اهتمامه بالدوال المتصلة قطعياً . وبناءً على ذلك، يُنسب إليه الفضل في تقديم المفهوم الحديث للدالة، على عكس الفهم القديم الغامض للدالة باعتبارها صيغة تحليلية. ^{[ 3 ]} يستشهد إيمري لاكاتوس بهيرمان هانكل باعتباره صاحب هذا الفضل المبكر، لكنه يعترض على هذا الادعاء قائلاً: "هناك أدلة كافية على أنه لم يكن لديه أي فكرة عن هذا المفهوم [...] فعلى سبيل المثال، عندما يناقش الدوال المتصلة قطعياً، يقول إن للدالة قيمتين عند نقاط عدم الاتصال". ^{[ 19 ]}

عمل ديريشليه أيضًا في الفيزياء الرياضية ، حيث حاضر ونشر أبحاثًا في نظرية الكمون (بما في ذلك مسألة ديريشليه ومبدأ ديريشليه المذكورين أعلاه)، ونظرية الحرارة ، وديناميكا الموائع . ^{[ 14 ]} وقد طور عمل لاغرانج على الأنظمة المحافظة من خلال إثبات أن شرط التوازن هو أن تكون طاقة الوضع في أدنى مستوياتها. ^{[ 20 ]}

كما ألقى ديريشليه محاضرات في نظرية الاحتمالات والمربعات الصغرى ، مقدماً بعض الأساليب والنتائج الأصلية، ولا سيما فيما يتعلق بنظريات النهايات وتحسين طريقة لابلاس للتقريب المرتبطة بنظرية النهاية المركزية . ^{[ 21 ]} وقد سُميت توزيعة ديريشليه وعملية ديريشليه ، القائمة على تكامل ديريشليه ، باسمه.