طاقة ديريشليه

في الرياضيات ، تُعدّ طاقة ديريشليه مقياسًا لمدى تغيّر الدالة . وبشكلٍ أكثر تجريدًا، هي دالة تربيعية على فضاء سوبوليف H1 ^. ترتبط طاقة ديريشليه ارتباطًا وثيقًا بمعادلة لابلاس ، وقد سُمّيت نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني بيتر غوستاف ليجون ديريشليه .

بفرض وجود مجموعة مفتوحة Ω ⊆ R ⁿ ودالة قابلة للتفاضل u  : Ω → R ، فإن طاقة ديريشليه للدالة u هي عدد حقيقي 

${\displaystyle E[u]={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\|\nabla u(x)\|^{2}\,dx,}$

حيث ∇ u  : Ω → R ⁿ يرمز إلى حقل متجه التدرج للدالة u . 

بما أنه تكامل لكمية غير سالبة، فإن طاقة ديريشليه نفسها غير سالبة، أي E [ u ] ≥ 0 لكل دالة u . 

حل معادلة لابلاس${\displaystyle -\Delta u(x)=0}$للجميع${\displaystyle x\in \Omega }$، مع مراعاة الشروط الحدية المناسبة ، يعادل حل مشكلة التباين لإيجاد دالة u التي تحقق الشروط الحدية ولها طاقة ديريشليه الدنيا. 

يُطلق على هذا الحل اسم الدالة التوافقية ، وتُعد هذه الحلول موضوعًا للدراسة في نظرية الكمون .

في سياق أعم، حيث يُستبدل Ω ⊆ R ⁿ بأي مشعب ريماني M ، ويُستبدل u  : Ω → R بـ u  : M → Φ لمشعب ريماني آخر (مختلف) Φ ، تُعطى طاقة ديريشليه بواسطة نموذج سيجما . حلول معادلات لاغرانج لنموذج سيجما لاغرانجيان هي تلك الدوال u التي تُقلل/تُعظم طاقة ديريشليه. بتقييد هذه الحالة العامة إلى الحالة الخاصة u  : Ω → R، يتضح أن معادلات لاغرانج (أو، بصورة مكافئة، معادلات هاميلتون-جاكوبي ) تُوفر الأدوات الأساسية للحصول على الحلول القصوى.

• مبدأ ديريشليه – مفهوم في نظرية الكمون 
• القيم الذاتية لـ Dirichlet – أنماط الاهتزاز في الرياضيات 
• التباين الكلي – مقياس لسلوك التذبذب المحلي 
• التذبذب المتوسط ​​المحدود – دالة ذات قيم حقيقية 
• الخريطة التوافقية - مفهوم في الرياضيات 
• سعة المجموعة - في الفضاء الإقليدي، مقياس "حجم" تلك المجموعة 

• لورانس سي. إيفانز (1998). المعادلات التفاضلية الجزئية . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 978-0821807729.