التوزيعية (نظرية الترتيب)

في مجال نظرية الترتيب الرياضي ، توجد مفاهيم متعددة للمفهوم الشائع للتوزيعية ، والتي تُطبق على تكوين القيم العليا والدنيا . ينطبق معظمها على المجموعات المرتبة جزئيًا التي هي على الأقل شبكات ، ولكن يمكن في الواقع تعميم المفهوم بشكل معقول ليشمل أنصاف الشبكات أيضًا.

ربما يكون النوع الأكثر شيوعًا من التوزيعية هو ذلك المحدد للشبكات ، حيث يوفر تكوين القيم العليا والدنيا الثنائية العمليات الكاملة للربط (${\displaystyle \vee }$) والالتقاء (${\displaystyle \wedge }$يتم التعبير عن خاصية التوزيع لهاتين العمليتين من خلال اشتراط أن تكون العملية المحايد

${\displaystyle x\wedge (y\vee z)=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)}$

ينطبق هذا على جميع العناصر x و y و z . يحدد قانون التوزيع هذا فئة الشبكات التوزيعية . تجدر الإشارة إلى أنه يمكن إعادة صياغة هذا الشرط بالقول إن التقاءات الثنائية تحافظ على عمليات الربط الثنائية. من المعروف أن العبارة السابقة مكافئة لنظيرتها من الرتبة الثانية.

${\displaystyle x\vee (y\wedge z)=(x\vee y)\wedge (x\vee z)}$

بحيث تكفي إحدى هذه الخصائص لتعريف خاصية التوزيعية للشبكات. ومن الأمثلة النموذجية على الشبكات التوزيعية: المجموعات المرتبة ترتيبًا كليًا ، والجبر البولياني ، وجبر هيتينغ . كل شبكة توزيعية منتهية متماثلة مع شبكة من المجموعات المرتبة حسب الاحتواء ( نظرية بيركوف للتمثيل ).

الشبكة الجزئية هي مجموعة مرتبة جزئيًا تحتوي على عملية واحدة فقط من عمليتي الشبكة، إما عملية التقاء أو عملية ضم . ونظرًا لوجود عملية ثنائية واحدة فقط ، فمن الواضح أنه لا يمكن تعريف التوزيعية بالطريقة القياسية. ومع ذلك، وبسبب تفاعل هذه العملية الوحيدة مع الترتيب المعطى، يظل التعريف التالي للتوزيعية ممكنًا. تكون الشبكة الجزئية ذات عملية التقاء توزيعية ، إذا كان لكل a و b و x :

إذا كان a ∧ b ≤ x فإنه يوجد a ′ و b ′ بحيث يكون a ≤ a ′ ، b ≤ b' و x = a ′ ∧ b' .

تُعرَّف الشبكات شبه المتصلة التوزيعية بشكل مزدوج : الشبكة شبه المتصلة تكون توزيعية ، إذا كان لكل a و b و x :

إذا كان x ≤ a ∨ b فإنه يوجد a ′ و b ′ بحيث يكون a ′ ≤ a و b ′ ≤ b و x = a ′ ∨ b' .

في كلتا الحالتين، ليس بالضرورة أن يكون a' و b' فريدين. وتُبرر هذه التعريفات بحقيقة أنه بالنظر إلى أي شبكة L ، فإن العبارات التالية كلها متكافئة:

• L توزيعي كشبكة التقاء
• L توزيعية كشبكة شبه متصلة
• L عبارة عن شبكة توزيعية.

وبالتالي، فإن أي شبكة شبهية توزيعية تحتوي على وصلات ثنائية هي شبكة توزيعية. وتكون الشبكة شبهية الوصلية توزيعية إذا وفقط إذا كانت شبكة مثالياتها ( تحت التضمين) توزيعية. ^{[ 1 ]}

يسمح هذا التعريف للتوزيعية بتعميم بعض العبارات المتعلقة بالشبكات التوزيعية إلى أنصاف الشبكات التوزيعية.

بالنسبة للشبكة الكاملة ، تمتلك المجموعات الجزئية العشوائية قيمًا دنيا وعليا، وبالتالي تتوفر عمليات التقاء وضم لا نهائية. ومن ثم، يمكن وصف العديد من المفاهيم الموسعة للتوزيعية. على سبيل المثال، بالنسبة لقانون التوزيع اللانهائي ، قد تتوزع عمليات الالتقاء المحدودة على عمليات ضم عشوائية، أي

${\displaystyle x\wedge \bigvee S=\bigvee \{x\wedge s\mid s\in S\}}$

قد ينطبق هذا على جميع العناصر x وجميع المجموعات الجزئية S من الشبكة. تُسمى الشبكات الكاملة التي تتمتع بهذه الخاصية بالإطارات أو المواقع أو جبر هيتينغ الكامل . وتنشأ هذه الشبكات في سياق الطوبولوجيا عديمة النقاط وازدواجية ستون . لا يُكافئ قانون التوزيع هذا صيغته الثنائية .

${\displaystyle x\vee \bigwedge S=\bigwedge \{x\vee s\mid s\in S\}}$

والتي تحدد فئة الإطارات المزدوجة أو جبر هيتينغ المشترك الكامل.

يمكننا الآن التوسع أكثر وتحديد ترتيبات تتوزع فيها عمليات الربط العشوائية على عمليات الالتقاء العشوائية. تُسمى هذه البنى بالشبكات التوزيعية الكاملة . مع ذلك، يتطلب التعبير عن هذا الأمر صياغات أكثر تخصصًا. لنفترض عائلة ذات فهرس مزدوج { x _{j , k} | j ∈ J , k ∈ K ( j )} من عناصر شبكة كاملة، ولتكن F مجموعة دوال الاختيار f التي تختار لكل فهرس j من J فهرسًا f ( j ) في K ( j ). تكون الشبكة الكاملة توزيعية كاملة إذا تحققت العبارة التالية لجميع هذه البيانات:

${\displaystyle \bigwedge _{j\in J}\bigvee _{k\in K(j)}x_{j,k}=\bigvee _{f\in F}\bigwedge _{j\in J}x_{j,f(j)}}$

التوزيع الكامل خاصيةٌ ذاتية التناظر، أي أن تطبيق التناظر على العبارة السابقة يُنتج نفس فئة الشبكات الكاملة. تُعدّ الشبكات الكاملة ذات التوزيع الكامل (وتُسمى اختصارًا الشبكات التوزيعية الكاملة ) هياكلَ مميزة للغاية. انظر المقال الخاص بالشبكات التوزيعية الكاملة .

في أي شبكة، يُسمى العنصر x عنصرًا توزيعيًا إذا كان ∀ y , z : x ∨ ( y ∨ z ) = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ). ويُسمى العنصر x عنصرًا توزيعيًا ثنائيًا إذا كان ∀ y , z : x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ).

في الشبكة التوزيعية، يكون كل عنصر توزيعيًا وتوزيعيًا مزدوجًا. أما في الشبكة غير التوزيعية، فقد توجد عناصر توزيعية، ولكنها ليست توزيعية مزدوجة (والعكس صحيح). على سبيل المثال، في شبكة الخماسي الموضحة N⁵ ، يكون العنصر x توزيعيًا، ^[ ₂ ^] ولكنه ليس توزيعيًا مزدوجًا، لأن x ∧ ( y ∨ z ) = x ∧ 1 = x ≠ z = 0 ∨ z = ( x ∧ y ) ∨ ( ^x ∧ z ) .

في شبكة عشوائية L ، تكون العبارات التالية متكافئة:

• x عنصر توزيعي؛
• الخريطة φ المعرفة بواسطة φ( y ) = x ∨ y هي تماثل شبكي من L إلى الإغلاق العلوي ↑ x = { y ∈ L : x ≤ y };
• العلاقة الثنائية Θ _x على L المعرفة بـ y Θ _x z إذا كان x ∨ y = x ∨ z هي علاقة تطابق ، أي علاقة تكافؤ متوافقة مع ∧ و ∨. ^{[ 3 ]}

في شبكة عشوائية، إذا كان x ₁ و x ₂ عنصرين توزيعيين، فإن x ₁ ∨ x ₂ كذلك . ^{[ 4 ]}

التوزيعية مفهوم أساسي يُتناول في أي كتاب دراسي عن نظرية الشبكات والترتيب. راجع المراجع المذكورة للاطلاع على المقالات المتعلقة بنظرية الترتيب ونظرية الشبكات . وتشمل المراجع الأكثر تخصصًا ما يلي:

• GN Raney، الشبكات الكاملة التوزيعية تمامًا ، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 3: 677 - 680، 1952.