علاقة التطابق

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 37 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر المجرد ، تُعرف علاقة التطابق (أو ببساطة التطابق ) بأنها علاقة تكافؤ على بنية جبرية (مثل الزمرة ، أو الحلقة ، أو الفضاء المتجهي ) تتوافق مع تلك البنية، بمعنى أن العمليات الجبرية التي تُجرى على عناصر متكافئة تُنتج عناصر متكافئة. [ 1 ] لكل علاقة تطابق بنية قسمة مقابلة ، عناصرها هي فئات التكافؤ (أو فئات التطابق ) لتلك العلاقة. [ 2 ]

تعريف

يعتمد تعريف التطابق على نوع البنية الجبرية قيد الدراسة. ويمكن وضع تعريفات خاصة للتطابق للمجموعات ، والحلقات ، والفضاءات المتجهة ، والوحدات ، وأنصاف المجموعات ، والشبكات ، وما إلى ذلك. ويتمثل المفهوم المشترك في أن التطابق هو علاقة تكافؤ على كائن جبري تتوافق مع البنية الجبرية، بمعنى أن العمليات مُعرَّفة تعريفًا جيدًا على فئات التكافؤ .

عام

يمكن تعريف المفهوم العام لعلاقة التطابق تعريفًا رسميًا في سياق الجبر الشامل ، وهو مجال يدرس الأفكار المشتركة بين جميع البنى الجبرية . في هذا السياق، العلاقةR{\displaystyle R}يُقال إن بنية جبرية معينة متوافقة إذا كان لكلن{\displaystyle n}وكلن{\displaystyle n}عملية -aryμ{\displaystyle \mu }مُحدد على البنية: كلماأ1Rأ1′{\displaystyle a_{1}\mathrel {R} a'_{1}}و... وأنRأن′{\displaystyle a_{n}\mathrel {R} a'_{n}}، ثمμ(أ1،...،أن)Rμ(أ1′،...،أن′){\displaystyle \mu (a_{1},\ldots ,a_{n})\mathrel {R} \mu (a'_{1},\ldots ,a'_{n})}.

تُعرَّف علاقة التطابق في البنية بأنها علاقة تكافؤ متوافقة أيضًا. [ 3 ] [ 4 ]

أمثلة

مثال أساسي

المثال النموذجي لعلاقة التطابق هو التطابق moduloن{\displaystyle n}على مجموعة الأعداد الصحيحة . لعدد صحيح موجب مُعطى.ن{\displaystyle n}عددان صحيحانأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}تُسمى هذه العمليات بالتطابق moduloن{\displaystyle n}مكتوب

أ≡ب(تعديلن){\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}

لوأ-ب{\displaystyle ab}يقبل القسمة علىن{\displaystyle n}(أو ما يعادل ذلك إذاأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}يكون باقي القسمة علىن{\displaystyle n}).

على سبيل المثال،37{\displaystyle 37}و57{\displaystyle 57}متطابقة بتردد10{\displaystyle 10}،

37≡57(تعديل10){\displaystyle 37\equiv 57{\pmod {10}}}

منذ37-57=-20{\displaystyle 37-57=-20}هو من مضاعفات العدد 10، أو ما يعادله لأن كلاهما37{\displaystyle 37}و57{\displaystyle 57}يتبقى لديك7{\displaystyle 7}عند القسمة على10{\displaystyle 10}.

التطابق moduloن{\displaystyle n}(لسعر ثابت)ن{\displaystyle n}) متوافق مع كل من الجمع والضرب على الأعداد الصحيحة. أي ،

لو

أ1≡أ2(تعديلن){\displaystyle a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}}وب1≡ب2(تعديلن){\displaystyle b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}}

ثم

أ1+ب1≡أ2+ب2(تعديلن){\displaystyle a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}} و أ1ب1≡أ2ب2(تعديلن){\displaystyle a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}}

تُعرف عملية الجمع والضرب المقابلة لفئات التكافؤ بالحساب النمطي . من وجهة نظر الجبر المجرد، فإن التطابق النمطين{\displaystyle n}هي علاقة تطابق على حلقة الأعداد الصحيحة، والحساب moduloن{\displaystyle n}يحدث ذلك على حلقة القسمة المقابلة .

مثال: المجموعات

على سبيل المثال، المجموعة هي كائن جبري يتكون من مجموعة بالإضافة إلى عملية ثنائية واحدة ، ويحقق بديهيات معينة. إذاجي{\displaystyle G}هي مجموعة ذات عمليات*{\displaystyle \ast }، علاقة تطابق علىجي{\displaystyle G}هي علاقة تكافؤ≡{\displaystyle \equiv }حول عناصرجي{\displaystyle G}مُرضٍ

ز1≡ز2  {\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}و  ح1≡ح2⟹ز1*ح1≡ز2*ح2{\displaystyle \ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}

للجميعز1،ز2،ح1،ح2∈جي{\displaystyle g_{1},g_{2},h_{1},h_{2}\in G}بالنسبة لتطابق على زمرة، فإن فئة التكافؤ التي تحتوي على العنصر المحايد هي دائمًا زمرة جزئية طبيعية ، وفئات التكافؤ الأخرى هي المشاركات الأخرى لهذه الزمرة الجزئية. وتشكل فئات التكافؤ هذه معًا عناصر زمرة خارج القسمة .

مثال: الخواتم

عندما يتضمن التركيب الجبري أكثر من عملية، يجب أن تكون علاقات التطابق متوافقة مع كل عملية. على سبيل المثال، تحتوي الحلقة على عمليتي الجمع والضرب، ويجب أن تحقق علاقة التطابق على الحلقة الشرط التالي:

ر1+s1≡ر2+s2{\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}}ور1s1≡ر2s2{\displaystyle r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}

حينمار1≡ر2{\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}}وs1≡s2{\displaystyle s_{1}\equiv s_{2}}بالنسبة للتطابق على حلقة، فإن فئة التكافؤ التي تحتوي على 0 هي دائمًا مثالية ثنائية الجوانب ، والعمليتان على مجموعة فئات التكافؤ تحددان حلقة القسمة المقابلة.

العلاقة بالتشاكلات

لوو:أ→ب{\displaystyle f:A\,\rightarrow B}إذا كان تماثلًا بين بنيتين جبريتين (مثل تماثل المجموعات ، أو تطبيق خطي بين فضاءات متجهة )، فإن العلاقةR{\displaystyle R}محدد بواسطة

أ1Rأ2{\displaystyle a_{1}\,R\,a_{2}}إذا وفقط إذاو(أ1)=و(أ2){\displaystyle f(a_{1})=f(a_{2})}

هي علاقة تطابق علىأ{\displaystyle A}بحسب نظرية التشاكل الأولى ، فإن صورة A تحتو{\displaystyle f}هي بنية فرعية من B متماثلة مع خارج قسمة A من خلال هذا التطابق.

من ناحية أخرى، علاقة التطابقR{\displaystyle R}يُحدث تماثلًا فريدًاو:أ→أ/R{\displaystyle f:A\rightarrow A/R}مقدم من

و(x)={y|xRy}{\displaystyle f(x)=\{y\mid x\,R\,y\}}.

وبالتالي، توجد علاقة طبيعية بين التطابقات والتشاكلات لأي بنية جبرية معينة.

تطابق المجموعات، والمجموعات الفرعية الطبيعية والمثل العليا

في حالة المجموعات تحديداً ، يمكن وصف علاقات التطابق بعبارات أولية كما يلي: إذا كانت G مجموعة (مع عنصر محايد e وعملية *) و ~ علاقة ثنائية على G ، فإن ~ تكون علاقة تطابق عندما:

  1. بالنظر إلى أي عنصر a من G ، فإن a ~ a ( انعكاسية )؛
  2. بالنظر إلى أي عنصرين a و b من G ، إذا كان a ~ b ، فإن b ~ a ( التناظر )؛
  3. بالنظر إلى أي عناصر a و b و c من G ، إذا كان a ~ b و b ~ c ، فإن a ~ c ( التعدي )؛
  4. بالنظر إلى أي عناصر a و a ′ و b و b ′ من G ، إذا كان a ~ a ′ و b ~ b ′ ، فإن a * b ~ a ′ * b ′ ؛
  5. بالنظر إلى أي عنصرين a و a ′ من G ، إذا كان a ~ a ′ ، فإن a −1 ~ a ′ −1 (هذا مضمن في العناصر الأربعة الأخرى، [ ملاحظة 1 ] لذا فهو زائد عن الحاجة تمامًا).

تنص الشروط 1 و2 و3 على أن ~ هي علاقة تكافؤ .

تُحدد العلاقة التطابقية (~) كليًا بواسطة المجموعة { a ∈ G | a ~ e } التي تضم عناصر G المتطابقة مع العنصر المحايد، وهذه المجموعة هي زمرة جزئية طبيعية . تحديدًا، a ~ b إذا وفقط إذا كان b −1 * a ~ e . لذا، بدلًا من الحديث عن العلاقات التطابقية على الزمر، يُستخدم عادةً مصطلح الزمر الجزئية الطبيعية لها؛ في الواقع، كل علاقة تطابقية تُقابل بشكل فريد زمرة جزئية طبيعية من G.

مُثُل الخواتم والحالة العامة

تتيح حيلة مماثلة للمرء أن يتحدث عن النوى في نظرية الحلقات على أنها مثاليات بدلاً من علاقات التطابق، وفي نظرية الوحدات النمطية على أنها وحدات فرعية بدلاً من علاقات التطابق.

يُمكن تطبيق هذه الحيلة في حالة أكثر عمومية، وهي مجموعات أوميغا (بمعناها العام الذي يسمح بمؤثرات متعددة المعاملات). لكن هذا لا ينطبق على المونويدات ، على سبيل المثال ، لذا فإن دراسة علاقات التطابق تلعب دورًا محوريًا في نظرية المونويدات.

الجبر الشامل

يُعدّ المفهوم العام للتطابق مفيدًا بشكل خاص في الجبر الشامل . ويمكن صياغة صيغة مكافئة في هذا السياق على النحو التالي: [ 4 ]

العلاقة التطابقية على الجبر A هي مجموعة فرعية من الضرب المباشر A × A والتي تمثل علاقة تكافؤ على A وجبر فرعي من A × A.

نواة أي تشاكل هي دائمًا تطابق. في الواقع، كل تطابق ينشأ كنواة. بالنسبة لتطابق معين ~ على A ، يمكن إعطاء مجموعة فئات التكافؤ A / ~ بنية جبر بطريقة طبيعية، وهي جبر القسمة . الدالة التي تربط كل عنصر من A بفئة التكافؤ الخاصة به هي تشاكل، ونواة هذا التشاكل هي ~.

الشبكة Con ( A ) لجميع علاقات التطابق على الجبر A هي جبرية .

وصف جون إم. هاوي كيف توضح نظرية شبه المجموعة علاقات التطابق في الجبر الشامل:

في الزمرة، يُحدد التطابق إذا عرفنا فئة تطابق واحدة، وبالأخص إذا عرفنا الزمرة الجزئية الطبيعية التي تمثل الفئة التي تحتوي على العنصر المحايد. وبالمثل، في الحلقة، يُحدد التطابق إذا عرفنا المثالي الذي يمثل فئة التطابق التي تحتوي على الصفر. أما في أنصاف الزمر، فلا يوجد مثل هذا التطابق، ولذلك نواجه ضرورة دراسة التطابقات في حد ذاتها. هذه الضرورة، أكثر من أي شيء آخر، هي التي تُضفي على نظرية أنصاف الزمر طابعها المميز. في الواقع، تُعد أنصاف الزمر أول وأبسط أنواع الجبر التي يجب تطبيق أساليب الجبر الشامل عليها  ... [ 5 ]

نظرية الفئات

في نظرية الفئات ، تُعطى علاقة التطابق R على فئة C بالصيغة التالية: لكل زوج من الكائنات X و Y في C ، توجد علاقة تكافؤ R( X , Y) على Hom( X , Y )، بحيث تحترم علاقات التكافؤ تركيب التشكلات. انظر قسم تعريف فئة القسمة  لمزيد من التفاصيل.

انظر أيضاً

ملاحظات توضيحية

  1. ↑ بما أن a ′ −1 = a ′ −1 * a * a −1 ~ a ′ −1 * a ′ * a −1 = a −1

ملحوظات

  1. ↑ هانغرفورد (1974) ، ص 27
  2. ↑ هانغرفورد (1974) ، ص 26
  3. ^ باريندريجت (1990) ، ص. 338، ديف. 3.1.1
  4. 1 2 بيرغمان (2011) ، القسم 1.5 والتمرين 1(أ) في مجموعة التمارين 1.26 (يستخدم بيرغمان التعبير الذي يتمتع بخاصية الاستبدال ليكون متوافقًا )
  5. ↑ هاوي (1975) ، ص. 5

مراجع

  • باريندريجت، هينك (1990). “البرمجة الوظيفية وحساب التفاضل والتكامل لامدا”. في جان فان ليوين (محرر). النماذج الرسمية والدلالات . دليل علوم الكمبيوتر النظرية. المجلد.  ب. إلسفير. ص 321 – 364. ISBN  0-444-88074-7.
  • بيرغمان، كليفورد (2011)، الجبر الشامل: الأساسيات ومواضيع مختارة ، تايلور وفرانسيس
  • هورن؛ جونسون (1985)، تحليل المصفوفات ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-38632-2(يناقش القسم 4.5 تطابق المصفوفات.)
  • هاوي، جيه إم (1975)، مقدمة في نظرية أنصاف الزمر ، دار النشر الأكاديمية
  • هانغرفورد، توماس و. (1974)، الجبر ، سبرينغر-فيرلاغ
  • روزن، كينيث هـ (2012). الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها . ماكجرو هيل للتعليم. ISBN 978-0077418939.