بندول مزدوج

يُعطى لاغرانجيان بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\text{الطاقة الحركية}}-{\text{الطاقة الكامنة}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}$$ يمثل الحد الأول الطاقة الحركية الخطية لمركز كتلة الأجسام، بينما يمثل الحد الثاني الطاقة الحركية الدورانية حول مركز كتلة كل قضيب. أما الحد الأخير فيمثل طاقة الوضع للأجسام في مجال جاذبية منتظم. وتشير النقطة إلى المشتقة الزمنية للمتغير المعني.

باستخدام قيم${\displaystyle x_{1}}$و${\displaystyle y_{1}}$كما هو موضح أعلاه، لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{1}&={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {1}{2}}\ell \cos \theta _{1}\right)\\[1ex]{\dot {y}}_{1}&={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {1}{2}}\ell \sin \theta _{1}\right)\end{aligned}}}$$ مما يؤدي إلى $${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}={\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\ell ^{2}\left(\cos ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{1}\right)={\tfrac {1}{4}}\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}.}$$

وبالمثل، بالنسبة لـ${\displaystyle x_{2}}$و${\displaystyle y_{2}}$لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}_{2}&=\ell \left({\dot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}\right)\\{\dot {y}}_{2}&=\ell \left({\dot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2}\right)\end{aligned}}}$$

وبالتالي

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{2}^{2}&={\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}\\[1ex]&=\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\[1ex]&=\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right).\end{aligned}}}$$

بإدخال الإحداثيات المذكورة أعلاه في تعريف لاغرانجيان، وإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}L&={\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+{\tfrac {1}{24}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\[1ex]&={\tfrac {1}{6}}m\ell ^{2}\left({\dot {\theta }}_{2}^{2}+4{\dot {\theta }}_{1}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).\end{aligned}}}$$

يمكن الآن اشتقاق معادلات الحركة باستخدام معادلات أويلر-لاغرانج ، والتي تُعطى بواسطة $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial \theta _{i}}}=0,\quad i=1,2.}$$ نبدأ بمعادلة الحركة لـ${\displaystyle \theta _{1}}$تُعطى مشتقات لاغرانجيان بواسطة $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {3}{2}}mg\ell \sin \theta _{1}}$$ و $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{1}}}={\tfrac {4}{3}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}).}$$ هكذا $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{1}}}={\tfrac {4}{3}}m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{2}({\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2})\sin(\theta _{1}-\theta _{2}).}$$ بدمج هذه النتائج وتبسيطها نحصل على معادلة الحركة الأولى، $${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\ell {\ddot {\theta }}_{1}+{\tfrac {1}{2}}\ell {\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+{\tfrac {1}{2}}\ell {\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\tfrac {3}{2}}g\sin \theta _{1}=0.}$$

وبالمثل، فإن مشتقات لاغرانجيان بالنسبة إلى${\displaystyle \theta _{2}}$و${\displaystyle {\dot {\theta }}_{2}}$يتم تقديمها بواسطة $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}={\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {1}{2}}mg\ell \sin \theta _{2}}$$ و $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{2}}}={\tfrac {1}{3}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{2}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}).}$$ هكذا $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}_{2}}}={\tfrac {1}{3}}m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}_{1}({\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2})\sin(\theta _{1}-\theta _{2}).}$$

بإدخال هذه النتائج في معادلة أويلر-لاغرانج وتبسيطها، نحصل على معادلة الحركة الثانية. $${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}\ell {\ddot {\theta }}_{2}+{\tfrac {1}{2}}\ell {\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-{\tfrac {1}{2}}\ell {\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\tfrac {1}{2}}g\sin \theta _{2}=0.}$$

لا توجد حلول مغلقة لـ${\displaystyle \theta _{1}}$و${\displaystyle \theta _{2}}$بما أن دوال الزمن معروفة، فلا يمكن حل النظام إلا عدديًا ، باستخدام طريقة رونج كوتا أو تقنيات مماثلة .