البندول

البندول البسيط للجاذبية ^{[ 4 ]} هو نموذج رياضي مثالي للبندول. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} وهو عبارة عن ثقل (أو كرة ) معلق في نهاية حبل عديم الكتلة من نقطة ارتكاز ، دون احتكاك . عند دفعه دفعة أولية، يتأرجح ذهابًا وإيابًا بسعة ثابتة . أما البندولات الحقيقية فتخضع للاحتكاك ومقاومة الهواء ، لذا تتناقص سعة تأرجحها.

البندول

رسم متحرك للبندول يوضح القوى المؤثرة على الثقل: قوة الشد T في القضيب وقوة الجاذبية mg .

رسم متحرك لبندول يوضح متجهي السرعة والتسارع

تزداد فترة البندول مع زيادة السعة θ ₀ (عرض التأرجح).

تعتمد دورة تأرجح البندول البسيط على طوله ، وقوة الجاذبية المحلية ، وإلى حدٍ ما على أقصى زاوية تأرجح للبندول بعيدًا عن الوضع الرأسي، θ₀ _، والتي تُسمى السعة . ^{[ 8 ]} وهي مستقلة عن كتلة الثقل. إذا اقتصرت السعة على تأرجحات صغيرة، ^{[ ملاحظة 1 ]} فإن دورة البندول البسيط T ، أي الزمن اللازم لدورة كاملة، هي: ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\qquad \qquad \qquad \theta _{0}\ll 1{\text{ راديان}}}$$

1

أين${\displaystyle L}$هو طول البندول و${\displaystyle g}$هو التسارع المحلي للجاذبية .

بالنسبة للتأرجحات الصغيرة، تكون فترة التأرجح متقاربة بغض النظر عن حجم التأرجح، أي أن الفترة مستقلة عن السعة . هذه الخاصية، التي تُسمى التزامن الزمني ، هي السبب في أن البندول مفيد جدًا في قياس الوقت. ^{[ 10 ]} تستغرق التأرجحات المتتالية للبندول، حتى لو تغيرت سعتها، نفس المدة الزمنية.

مع زيادة سعة الاهتزاز ، يزداد زمن الدورة تدريجيًا مع السعة، لذا فهو أطول من القيمة المُعطاة في المعادلة (1). على سبيل المثال، عند سعة θ₀ = _{0.4 راديان (23°) ،} يكون زمن الدورة أكبر بنسبة 1% من القيمة المُعطاة في المعادلة (1). يزداد زمن الدورة تقاربًا (إلى ما لا نهاية) عندما تقترب θ₀ _من π راديان (180°)، لأن القيمة θ₀ = π تُمثل نقطة توازن غير مستقرة للبندول. يمكن كتابة زمن الدورة الحقيقي لبندول الجاذبية البسيط المثالي بعدة صيغ مختلفة (انظر البندول (الميكانيكا) )، ومن الأمثلة على ذلك المتسلسلة اللانهائية : ^{[ 11 ] [ 12 ]}$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}$$ أين${\displaystyle \theta _{0}}$بالراديان.

يُطلق على الفرق بين هذه الفترة الحقيقية وفترة التأرجحات الصغيرة (1) المذكورة أعلاه اسم الخطأ الدائري . في حالة ساعة جد نموذجية يتأرجح بندولها بزاوية 6 درجات، وبالتالي بسعة 3 درجات (0.05  راديان)، يبلغ الفرق بين الفترة الحقيقية وتقريب الزاوية الصغيرة (1) حوالي 15 ثانية في اليوم.

بالنسبة للتأرجحات الصغيرة، يقترب البندول من المذبذب التوافقي ، وتكون حركته كدالة للوقت، t ، حركة توافقية بسيطة تقريبًا : ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,t+\varphi \right)}$$ أين${\displaystyle \varphi }$هي قيمة ثابتة، تعتمد على الشروط الأولية .

بالنسبة للبندولات الحقيقية، يختلف زمن الدورة قليلاً تبعاً لعوامل مثل قوة الطفو ومقاومة لزوجة الهواء، وكتلة الخيط أو القضيب، وحجم وشكل ثقل البندول وكيفية تثبيته بالخيط، ومرونة الخيط وقابليته للتمدد. ^{[ 11 ] [ 13 ]} في التطبيقات الدقيقة، قد يلزم تطبيق تصحيحات لهذه العوامل على المعادلة (1) للحصول على زمن الدورة بدقة.

البندول المُخمد والمُحرك هو نظام فوضوي . ^{[ 14 ] [ 15 ]}

يُطلق على أي جسم صلب متأرجح حر الدوران حول محور أفقي ثابت اسم البندول المركب أو البندول الفيزيائي . ويكون للبندول المركب نفس دورة البندول البسيط الناتج عن الجاذبية والذي طوله${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$يُطلق عليه طول التذبذب المكافئ أو نصف قطر التذبذب ، وهو يساوي المسافة من نقطة الارتكاز إلى نقطة تُسمى مركز التذبذب . ^{[ 16 ]} تقع هذه النقطة أسفل مركز كتلة البندول، على مسافة تعتمد على توزيع كتلة البندول. إذا تركزت معظم الكتلة في ثقل صغير نسبيًا مقارنةً بطول البندول، فإن مركز التذبذب يكون قريبًا من مركز الكتلة. ^{[ 17 ]}

نصف قطر التذبذب أو الطول المكافئ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$يمكن إثبات أن أي بندول مادي $${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\mathrm {CM} }}}}$$

أين${\displaystyle I_{O}}$عزم القصور الذاتي للبندول حول نقطة الارتكاز${\displaystyle O}$،${\displaystyle m}$تمثل الكتلة الكلية للبندول، و${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$هي المسافة بين نقطة الارتكاز ومركز الكتلة . وبالتعويض بهذا التعبير في (1) أعلاه، نحصل على الدورة${\displaystyle T}$يُعطى طول البندول المركب بالعلاقة التالية: $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\mathrm {CM} }}}}}$$ بالنسبة للتذبذبات الصغيرة بما فيه الكفاية. ^{[ 18 ]}

على سبيل المثال، قضيب صلب منتظم طوله${\displaystyle \ell }$يدور حول أحد طرفيه وله عزم قصور ذاتي${\textstyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$يقع مركز الكتلة في مركز القضيب، لذا${\textstyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {1}{2}}\ell }$بتعويض هذه القيم في المعادلة أعلاه نحصل على${\textstyle T=2\pi {\sqrt {\frac {{\frac {2}{3}}\ell }{g}}}}$وهذا يدل على أن البندول ذو القضيب الصلب له نفس الفترة الزمنية للبندول البسيط الذي يبلغ طوله ثلثي طوله.

أثبت كريستيان هويغنز عام 1673 أن نقطة الارتكاز ومركز التذبذب قابلان للتبديل. ^{[ 19 ]} وهذا يعني أنه إذا قُلِبَ أي بندول رأسًا على عقب وتأرجح من نقطة ارتكاز تقع عند مركز تذبذبه السابق، فسيظل له نفس زمن الدورة كما كان من قبل، وسيكون مركز التذبذب الجديد عند نقطة الارتكاز القديمة. وفي عام 1817، استخدم هنري كاتر هذه الفكرة لإنتاج نوع من البندول القابل للعكس، يُعرف الآن باسم بندول كاتر ، لتحسين قياسات تسارع الجاذبية الأرضية.

في الفيزياء والرياضيات ، وتحديداً في مجال الأنظمة الديناميكية ، يُعرف البندول المزدوج ، أو البندول الفوضوي، بأنه بندول متصل بندول آخر في نهايته، مما يُشكل نظاماً فيزيائياً بسيطاً يُظهر سلوكاً ديناميكياً غنياً مع حساسية عالية للشروط الابتدائية . ^{[ 20 ]} وتخضع حركة البندول المزدوج لمجموعة من المعادلات التفاضلية العادية المترابطة ، وهي حركة فوضوية .

كان العالم الإيطالي غاليليو غاليلي أول من درس خصائص البندول، بدءًا من حوالي عام 1602. ^{[ 32 ]} أول اهتمام موثق بالبندول من قبل غاليليو كان حوالي عام 1588 في ملاحظاته التي نُشرت بعد وفاته بعنوان " في الحركة" ، ^{[ 33 ] [ 34 ]} حيث لاحظ أن الأجسام الأثقل تستمر في التذبذب لفترة أطول من الأجسام الأخف. أقدم تقرير موجود عن بحثه التجريبي موجود في رسالة إلى غيدو أوبالدو دال مونتي، من بادوا، بتاريخ 29 نوفمبر 1602. ^{[ 35 ]} ادعى كاتب سيرته وتلميذه، فينتشنزو فيفياني ، أن اهتمامه قد أُثير حوالي عام 1582 بسبب الحركة المتأرجحة لثريا في كاتدرائية بيزا . ^{[ 36 ] [ 37 ]} اكتشف غاليليو الخاصية الحاسمة التي تجعل البندول مفيدًا كأداة لقياس الوقت، والتي تُسمى التزامن الزمني. دورة البندول مستقلة تقريبًا عن سعة أو عرض تأرجحه. ^{[ 38 ]} كما وجد أن الدورة مستقلة عن كتلة الثقل، وتتناسب طرديًا مع الجذر التربيعي لطول البندول. استخدم البندولات الحرة لأول مرة في تطبيقات توقيت بسيطة. في عام 1602، اخترع سانتوريو سانتوري جهازًا لقياس نبض المريض عن طريق طول البندول؛ وهو جهاز النبض . ^{[ 39 ]} في عام 1641، أملى غاليليو على ابنه فينتشنزو تصميمًا لآلية تُبقي البندول متأرجحًا، والتي وُصفت بأنها أول ساعة بندول؛ ^{[ 38 ]} بدأ فينتشنزو في بنائها، لكنه لم يُكملها عند وفاته عام 1649. ^{[ 40 ]}

أول ساعة بندول

في عام 1656، صنع العالم الهولندي كريستيان هويغنز أول ساعة بندولية . ^{[ 41 ]} وقد مثّل هذا إنجازًا كبيرًا مقارنةً بالساعات الميكانيكية الموجودة آنذاك؛ إذ تحسّنت دقتها من انحراف يبلغ حوالي 15 دقيقة يوميًا إلى حوالي 15 ثانية يوميًا. ^{[ 42 ]} وانتشرت البندولات في جميع أنحاء أوروبا مع إضافة هذه الميزة إلى الساعات الموجودة . ^{[ 43 ]}

درس العالم الإنجليزي روبرت هوك البندول المخروطي حوالي عام 1666، وهو عبارة عن بندول يتحرك بحرية في بعدين، حيث يدور ثقله في دائرة أو قطع ناقص. ^{[ 44 ]} استخدم هوك حركات هذا الجهاز كنموذج لتحليل حركات الكواكب المدارية . [ 45 ^{] اقترح هوك} على إسحاق نيوتن عام 1679 أن مكونات الحركة المدارية تتكون من حركة قصورية على طول اتجاه مماس بالإضافة إلى حركة جاذبة في الاتجاه القطري. وقد ساهم هذا في صياغة نيوتن لقانون الجاذبية الكونية . ^{[ 46 ] [ 47 ]} كما يُنسب إلى روبرت هوك اقتراحه، في وقت مبكر من عام 1666، إمكانية استخدام البندول لقياس قوة الجاذبية. ^{[ 44 ]}

خلال رحلته الاستكشافية إلى كايين ، غيانا الفرنسية عام 1671، وجد جان ريشر أن ساعة البندول كانت أبطأ بمقدار دقيقتين ونصف يوميًا في كايين مقارنةً بباريس. واستنتج من ذلك أن قوة الجاذبية أقل في كايين. ^{[ 48} ] ^{[ 49} ] وفي عام 1687، ^{بيّن إسحاق} نيوتن في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" أن هذا يعود إلى أن الأرض ليست كروية تمامًا، بل مفلطحة قليلًا (مفلطحة عند القطبين) بفعل قوة الطرد المركزي الناتجة عن دورانها، مما يؤدي إلى زيادة الجاذبية مع خط العرض . ^{[ 50 ]} وبدأ استخدام البندولات المحمولة في الرحلات إلى الأراضي البعيدة، كمقاييس دقيقة للجاذبية لقياس تسارع الجاذبية في نقاط مختلفة على سطح الأرض، مما أدى في النهاية إلى وضع نماذج دقيقة لشكل الأرض . ^{[ 51 ]}

في عام 1673، أي بعد 17 عامًا من اختراعه ساعة البندول، نشر كريستيان هويغنز نظريته عن البندول، بعنوان "Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum" . ^{[ 52 ] [ 53 ]} وكان مارين ميرسين ورينيه ديكارت قد اكتشفا حوالي عام 1636 أن البندول ليس متزامنًا تمامًا؛ إذ تزداد دورته قليلًا مع اتساع اهتزازه. ^{[ 54 ]} حلل هويغنز هذه المشكلة بتحديد المنحنى الذي يجب أن يتبعه الجسم ليهبط بفعل الجاذبية إلى النقطة نفسها في الفترة الزمنية نفسها، بغض النظر عن نقطة البداية؛ وهو ما يُعرف بمنحنى التزامن الزمني . وباستخدام طريقة معقدة كانت من أوائل استخدامات حساب التفاضل والتكامل ، أثبت أن هذا المنحنى هو منحنى دائري ، وليس القوس الدائري للبندول، ^{[ 55 ]} مؤكدًا بذلك أن البندول ليس متزامنًا وأن ملاحظة غاليليو للتزامن كانت دقيقة فقط للاهتزازات الصغيرة. ^{[ 56 ]} كما حلّ هيغنز مشكلة كيفية حساب دورة البندول ذي الشكل العشوائي (المسمى بالبندول المركب )، واكتشف مركز التذبذب ، وإمكانية استبداله بنقطة الارتكاز. ^{[ 57 ]}

كانت آلية الساعة الموجودة آنذاك، وهي آلية الميزان ، تجعل البندول يتأرجح في أقواس واسعة جدًا تبلغ حوالي 100 درجة. ^{[ 58 ]} وقد بيّن هيغنز أن هذا كان مصدرًا لعدم الدقة، مما تسبب في تباين الدورة مع تغيرات السعة الناتجة عن اختلافات طفيفة لا مفر منها في قوة دفع الساعة. ^{[ 59 ]} ولجعل دورتها متزامنة، قام هيغنز بتركيب موجهات معدنية دائرية الشكل بجوار محاور ساعاته، مما قيّد حبل التعليق وأجبر البندول على اتباع قوس دائري (انظر البندول الدائري ). ^{[ 60 ]} لم يكن هذا الحل عمليًا مثل مجرد حصر تأرجح البندول في زوايا صغيرة لا تتجاوز بضع درجات. وقد حفّز إدراك أن التأرجحات الصغيرة فقط هي المتزامنة على تطوير آلية الميزان المرساة حوالي عام 1670، والتي قلّصت تأرجح البندول في الساعات إلى 4-6 درجات. ^{[ 58 ] [ 61 ]} أصبح هذا هو نظام الإفلات القياسي المستخدم في ساعات البندول.

خلال القرنين الثامن عشر والتاسع عشر، حفّز دور ساعة البندول كأكثر أجهزة ضبط الوقت دقةً الكثير من الأبحاث العملية لتحسين البندول. وقد تبيّن أن أحد المصادر الرئيسية للخطأ هو تمدد قضيب البندول وانكماشه مع تغيرات درجة الحرارة المحيطة، مما يؤدي إلى تغيير فترة تأرجحه. ^{[ 8 ] [ 62 ]} وقد تم حل هذه المشكلة باختراع البندولات المُعاوَضة حراريًا، وبندول الزئبق عام 1721 ^{[ 63 ]} وبندول الشبكة عام 1726، مما قلّل الأخطاء في ساعات البندول الدقيقة إلى بضع ثوانٍ في الأسبوع. ^{[ 60 ]}

كانت دقة قياسات الجاذبية باستخدام البندول محدودةً بصعوبة تحديد مركز تذبذبه . اكتشف هيغنز عام 1673 أن للبندول نفس الدورة سواءً عُلِّق من مركز تذبذبه أو من محوره، ^{[ 19 ]} وأن المسافة بين النقطتين تساوي طول بندول الجاذبية البسيط ذي الدورة نفسها. ^{[ 16 ]} في عام 1818، اخترع القبطان البريطاني هنري كاتر بندول كاتر العكسي ^{[ 64 ]} الذي استند إلى هذا المبدأ، مما أتاح قياسات دقيقة للغاية للجاذبية. وعلى مدى القرن التالي، ظل البندول العكسي الطريقة القياسية لقياس التسارع المطلق للجاذبية.

في عام ١٨٥١، أثبت جان برنارد ليون فوكو أن مستوى تذبذب البندول، كالجيروسكوب ، يميل إلى الثبات بغض النظر عن حركة محوره، وأن هذا يمكن استخدامه لإثبات دوران الأرض . علّق بندولًا حرًا يتأرجح في بُعدين (سُمّي لاحقًا بندول فوكو ) من قبة البانثيون في باريس. كان طول الحبل ٦٧ مترًا (٢٢٠ قدمًا) . بمجرد بدء حركة البندول، لُوحظ أن مستوى التأرجح يترنّح أو يدور ٣٦٠ درجة في اتجاه عقارب الساعة في حوالي ٣٢ ساعة. ^{[ ٦٥ ]} كان هذا أول برهان على دوران الأرض لا يعتمد على الرصد الفلكي، ^{[ ٦٦ ]} وانتشر ما يُعرف بـ"هوس البندول"، حيث عُرضت بندولات فوكو في العديد من المدن وجذبت حشودًا غفيرة. ^{[ ٦٧ ] [ ٦٨ ]}  

في حوالي عام 1900، بدأ استخدام مواد ذات معامل تمدد حراري منخفض في قضبان البندول في الساعات عالية الدقة وغيرها من الأدوات، وكان أولها مادة الإنفار ، وهي سبيكة من النيكل والفولاذ، ثم الكوارتز المنصهر ، مما سهّل عملية تعويض تغيرات درجة الحرارة. ^{[ 69 ]} وُضعت البندولات الدقيقة في خزانات منخفضة الضغط، مما حافظ على ثبات ضغط الهواء لمنع تغيرات دورة البندول نتيجة لتغيرات طفو البندول بسبب تغير الضغط الجوي . ^{[ 69 ]} وحققت أفضل ساعات البندول دقة تصل إلى ثانية واحدة تقريبًا في السنة. ^{[ 70 ] [ 71 ]}

تفوقت مذبذبات الكوارتز البلورية ، التي اختُرعت عام 1921، على دقة ضبط الوقت التي كان يوفرها البندول، وحلت ساعات الكوارتز ، التي اختُرعت عام 1927، محل ساعات البندول كأفضل أجهزة ضبط الوقت في العالم. ^{[ 2 ]} استُخدمت ساعات البندول كمعايير زمنية حتى الحرب العالمية الثانية، على الرغم من أن دائرة التوقيت الفرنسية استمرت في استخدامها ضمن مجموعتها الرسمية للمعايير الزمنية حتى عام 1954. ^{[ 72 ]} حلت أجهزة قياس الجاذبية "السقوط الحر" محل مقاييس الجاذبية البندولية في خمسينيات القرن العشرين، ^{[ 73 ]} لكن استمر استخدام أجهزة البندول حتى سبعينيات القرن العشرين.

آلية البندول والمرساة في ساعة جد

رسم متحرك لآلية الإفلات المرساة ، وهي واحدة من أكثر آليات الإفلات استخدامًا في ساعات البندول.

تُصنع البندولات في الساعات (انظر المثال على اليمين) عادةً من ثقل أو كرة (ب) مُعلقة بقضيب من الخشب أو المعدن (أ) . ^{[ 8 ] [ 76 ]} ولتقليل مقاومة الهواء (التي تُشكل معظم فقد الطاقة في الساعات الدقيقة) ^{[ 77 ]} ، تكون الكرة تقليديًا قرصًا أملسًا ذو مقطع عرضي على شكل عدسة، على الرغم من أنها كانت في الساعات العتيقة غالبًا ما تحتوي على نقوش أو زخارف خاصة بنوع الساعة. في الساعات عالية الجودة، تُصنع الكرة بأقصى وزن يُمكن أن يتحمله نظام التعليق ويُحركه نظام الحركة، لأن هذا يُحسّن ضبط الساعة (انظر الدقة أدناه). يبلغ الوزن الشائع لكرة بندول الثواني 15 رطلاً (6.8 كجم) . ^{[ 78 ]} وبدلاً من التعليق من محور ، تُدعم بندولات الساعات عادةً بنابض قصير مستقيم (د) من شريط معدني مرن. هذا يُجنب الاحتكاك و"الارتخاء" الناتج عن المحور، وتُضيف قوة الانحناء الطفيفة للنابض إلى قوة استعادة البندول . تتميز الساعات فائقة الدقة بمحاور من شفرات حادة تستقر على صفائح من العقيق. وتُوفَّر الدفعات اللازمة لتأرجح البندول بواسطة ذراع معلق خلفه يُسمى العكاز ( هـ ) ، وينتهي بشوكة ( و) تُحيط أطرافها بقضيب البندول. ويتم دفع العكاز ذهابًا وإيابًا بواسطة آلية ميزان الساعة ( ز، ح) . 

في كل مرة يتأرجح فيها البندول عبر موضعه المركزي، يُحرر سنًا واحدًا من عجلة الميزان (g) . وتتسبب قوة نابض الساعة الرئيسي أو ثقل مُعلق ببكرة، تنتقل عبر تروس الساعة ، في دوران العجلة، ويضغط سنٌّ على إحدى منصات الميزان (h) ، مما يُعطي البندول دفعة قصيرة. وتتحرك عجلات الساعة، الموصولة بعجلة الميزان، للأمام مسافة ثابتة مع كل تأرجح للبندول، مما يُحرك عقارب الساعة بمعدل ثابت.

يحتوي البندول دائمًا على وسيلة لضبط دورته، عادةً بواسطة صامولة ضبط (ج) أسفل ثقل البندول، والتي تحركه لأعلى أو لأسفل على القضيب. ^{[ 8 ] [ 79 ]} يؤدي تحريك الثقل لأعلى إلى تقليل طول البندول، مما يجعله يتأرجح بشكل أسرع ويتقدم في الوقت. تحتوي بعض الساعات الدقيقة على ثقل ضبط إضافي صغير على عمود ملولب في ثقل البندول، للسماح بضبط أدق. تستخدم بعض ساعات الأبراج والساعات الدقيقة صينية مثبتة بالقرب من منتصف قضيب البندول، حيث يمكن إضافة أو إزالة أوزان صغيرة. يؤدي هذا فعليًا إلى تغيير مركز التذبذب، مما يسمح بضبط المعدل دون إيقاف الساعة. ^{[ 80 ] [ 81 ]}

يجب تعليق البندول من دعامة صلبة. ^{[ 8 ] [ 82 ]} أثناء التشغيل، تسمح أي مرونة بحركات تأرجح طفيفة غير محسوسة للدعامة، مما يؤثر على دورة الساعة ويؤدي إلى خطأ. لذا، يجب تثبيت ساعات البندول بإحكام على جدار متين.

يُعدّ بندول الثواني ، الذي يبلغ طوله حوالي متر واحد (39 بوصة)، الطول الأكثر شيوعًا للبندول في الساعات عالية الجودة، ويُستخدم دائمًا في ساعات الجدّ . أما في ساعات الموقد ، فتُستخدم بندولات نصف الثانية، التي يبلغ طولها 25 سم (9.8 بوصة) أو أقل. وتستخدم بعض ساعات الأبراج الكبيرة بندولات أطول، مثل بندول 1.5 ثانية، الذي يبلغ طوله 2.25 متر (7.4 قدم) ، أو أحيانًا بندول ثانيتين، الذي يبلغ طوله 4 أمتار (13 قدمًا) ^{[ 8 ] [ 83 ]} ، وهو المستخدم في ساعة بيغ بن . ^{[ 84 ]}      

كان أكبر مصدر للخطأ في البندولات المبكرة هو التغيرات الطفيفة في الطول نتيجة التمدد والانكماش الحراري لقضيب البندول مع تغيرات درجة الحرارة المحيطة. ^{[ 85 ]} وقد اكتُشف ذلك عندما لاحظ الناس أن ساعات البندول تتأخر في الصيف، بما يصل إلى دقيقة واحدة أسبوعيًا ^{[ 62 ] [ 86 ]} (كان غودفروي ويندلين من أوائل من لاحظوا ذلك، كما ذكر هويغنز في عام 1658). ^{[ 87 ]} درس جان بيكار التمدد الحراري لقضبان البندول لأول مرة في عام 1669. ^{[ 88 ] [ 89 ]} يتمدد البندول ذو القضيب الفولاذي بحوالي 11.3 جزءًا في المليون (ppm) مع كل ارتفاع في درجة الحرارة بمقدار درجة مئوية واحدة، مما يؤدي إلى فقدانه حوالي 0.27 ثانية يوميًا لكل ارتفاع في درجة الحرارة بمقدار درجة مئوية واحدة، أو 9 ثوانٍ يوميًا لتغير قدره 33 درجة مئوية (59 درجة فهرنهايت) . تتمدد قضبان الخشب بشكل أقل، إذ لا تفقد سوى حوالي 6 ثوانٍ يوميًا عند تغير درجة الحرارة بمقدار 33 درجة مئوية (59 درجة فهرنهايت) ، ولهذا السبب غالبًا ما كانت الساعات عالية الجودة مزودة بقضبان بندول خشبية. وكان لا بد من طلاء الخشب بالورنيش لمنع تسرب بخار الماء، لأن تغيرات الرطوبة تؤثر أيضًا على طول القضيب.    

بندول كرة القدم

كان البندول الشبكي ، الذي اخترعه جون هاريسون عام 1726 ، أكثر أنواع البندولات المُعاوضة استخدامًا . ^{[ 8 ] [ 86 ] [ 90 ]} يتكون هذا البندول من قضبان متناوبة مصنوعة من معدنين مختلفين، أحدهما ذو معامل تمدد حراري منخفض ( الفولاذ )، والآخر ذو معامل تمدد حراري مرتفع ( الزنك أو النحاس الأصفر ). تتصل القضبان بإطار، كما هو موضح في الرسم على اليمين، بحيث يؤدي ازدياد طول قضبان الزنك إلى دفع ثقل البندول للأعلى، مما يُقصر طوله. مع ارتفاع درجة الحرارة، تُطيل قضبان الفولاذ ذات التمدد الحراري المنخفض البندول، بينما تُقصره قضبان الزنك ذات التمدد الحراري المرتفع. وبصنع القضبان بأطوال مناسبة، يُعادل التمدد الأكبر للزنك تمدد قضبان الفولاذ ذات الطول الإجمالي الأكبر، فيبقى طول البندول ثابتًا مع تغير درجة الحرارة.

تُصنع البندولات الشبكية المصنوعة من الزنك والفولاذ بخمسة قضبان، لكن التمدد الحراري للنحاس الأصفر أقرب إلى الفولاذ، لذا تتطلب البندولات الشبكية المصنوعة من النحاس الأصفر والفولاذ عادةً تسعة قضبان. تتكيف البندولات الشبكية مع تغيرات درجة الحرارة أسرع من البندولات الزئبقية، لكن العلماء وجدوا أن احتكاك القضبان المنزلقة في ثقوبها في الإطار يتسبب في تعديل البندولات الشبكية على شكل قفزات صغيرة متتالية. ^{[ 90 ]} في الساعات عالية الدقة، تسبب هذا في تغير معدل الساعة فجأة مع كل قفزة. لاحقًا، وُجد أن الزنك عرضة للزحف . لهذه الأسباب، استُخدمت البندولات الزئبقية في الساعات فائقة الدقة، بينما استُخدمت البندولات الشبكية في ساعات ضبط الجودة.

أصبحت البندولات الشبكية مرتبطة بالجودة العالية لدرجة أنه حتى يومنا هذا، تحتوي العديد من بندولات الساعات العادية على شبكات زخرفية "مزيفة" لا تحتوي في الواقع على أي وظيفة تعويض درجة الحرارة.

إن تأثير الهواء المحيط على البندول المتحرك معقد ويتطلب ميكانيكا الموائع لحسابه بدقة، ولكن بالنسبة لمعظم الأغراض، يمكن تفسير تأثيره على الفترة بثلاثة تأثيرات: ^{[ 69 ] [ 94 ]}

• بحسب مبدأ أرخميدس، يقل الوزن الفعلي للبندول بفعل قوة الطفو للهواء الذي يزيحه، بينما تبقى كتلته ( قصوره الذاتي ) ثابتة، مما يقلل من تسارع البندول أثناء تأرجحه ويزيد من زمن دورته. يعتمد هذا على ضغط الهواء وكثافة البندول، وليس على شكله.
• يحمل البندول معه كمية من الهواء أثناء تأرجحه، وتزيد كتلة هذا الهواء من قصور البندول الذاتي، مما يقلل من تسارعه ويزيد من دورته. ويعتمد ذلك على كل من كثافته وشكله.
• تُبطئ مقاومة الهواء اللزجة سرعة البندول. وهذا له تأثير ضئيل على دورة الساعة، ولكنه يُبدد الطاقة، مما يُقلل من سعة التذبذب. وهذا بدوره يُقلل من عامل الجودة (Q) للبندول ، مما يتطلب قوة دافعة أكبر من آلية الساعة للحفاظ على حركته، الأمر الذي يُسبب اضطرابًا أكبر في دورة الساعة.

تؤدي الزيادة في الضغط الجوي إلى زيادة طفيفة في دورة البندول نتيجةً للتأثيرين الأولين، بمقدار 0.11 ثانية تقريبًا في اليوم لكل كيلوباسكال (0.37 ثانية في اليوم لكل بوصة زئبقية ؛ 0.015 ثانية في اليوم لكل تور ) . ^{[ 69 ]} وقد اضطر الباحثون الذين استخدموا البندولات لقياس تسارع الجاذبية إلى تصحيح الدورة وفقًا لضغط الهواء عند ارتفاع القياس، وذلك بحساب الدورة المكافئة لبندول يتأرجح في الفراغ. وقد شُغِّلت ساعة بندول لأول مرة في خزان ذي ضغط ثابت على يد فريدريش تيدي عام 1865 في مرصد برلين ، ^{[ 95 ] [ 96 ]} وبحلول عام 1900، كانت الساعات ذات الدقة العالية تُركَّب في خزانات تُحفظ عند ضغط ثابت للتخلص من تغيرات الضغط الجوي. وبدلاً من ذلك، في بعض الساعات، كان يُستخدم مقياس ضغط جوي صغير لا سائل مُثبَّت على البندول لتعويض هذا التأثير.

تتأثر البندولات بتغيرات تسارع الجاذبية الأرضية، الذي يختلف بنسبة تصل إلى 0.5% في مواقع مختلفة على سطح الأرض، لذا يجب إعادة معايرة ساعات البندول الدقيقة بعد نقلها. حتى نقل ساعة البندول إلى قمة مبنى شاهق قد يتسبب في فقدانها لجزء من الوقت نتيجة انخفاض الجاذبية.

يُقاس مدى مقاومة المذبذب التوافقي للاضطرابات التي تؤثر على دورة تذبذبه بمعامل لا بُعدي يُسمى عامل الجودة (Q) ، وهو يساوي تردد الرنين مقسومًا على عرض نطاق الرنين . ^{[ 98 ] [ 99 ]} كلما زادت قيمة Q ، قلّ عرض نطاق الرنين، وازداد ثبات تردد أو دورة المذبذب عند تعرضه لاضطراب معين. ^{[ 100 ]} يتناسب مقلوب Q تقريبًا مع الحد الأقصى للدقة التي يمكن أن يحققها المذبذب التوافقي كمعيار زمني. ^{[ 101 ]}

يرتبط عامل الجودة (Q) بالمدة الزمنية اللازمة لتلاشي تذبذبات المذبذب. ويمكن قياس عامل الجودة للبندول عن طريق حساب عدد التذبذبات اللازمة لانخفاض سعة تأرجح البندول إلى 1/ e = 36.8% من تأرجحه الأولي، ثم ضرب الناتج في π .

في الساعة، يجب أن يتلقى البندول دفعات من حركة الساعة ليحافظ على تأرجحه، وذلك لتعويض الطاقة التي يفقدها البندول بسبب الاحتكاك. هذه الدفعات، التي تُطبَّق بواسطة آلية تُسمى الميزان ، هي المصدر الرئيسي لاضطراب حركة البندول. يُساوي Q ضعف الطاقة المُخزَّنة في البندول مقسومًا على الطاقة المفقودة بسبب الاحتكاك خلال كل دورة تذبذب، وهي نفسها الطاقة التي يُضيفها الميزان في كل دورة. يتضح أنه كلما قلّت نسبة طاقة البندول المفقودة بسبب الاحتكاك، قلّت الطاقة اللازمة لإضافتها، وقلّ الاضطراب الناتج عن الميزان، وازدادت استقلالية البندول عن آلية الساعة، وازدادت دورة تذبذبه ثباتًا. يُعطى Q للبندول بالعلاقة التالية: $${\displaystyle Q={\frac {M\omega }{\Gamma }}}$$ حيث M هي كتلة البندول، وω = 2 π / T هي التردد الزاوي لتذبذب البندول، وΓ هي قوة التخميد الاحتكاكي على البندول لكل وحدة سرعة.

تُحدد قيمة ω بدورة البندول، بينما تُحدد قيمة M بسعة التحميل وصلابة نظام التعليق. لذا، تزداد قيمة Q لبندولات الساعات بتقليل فقد الاحتكاك (Γ). تُعلق البندولات الدقيقة على محاور منخفضة الاحتكاك تتكون من حواف مثلثة الشكل تُشبه حواف السكاكين، تستقر على صفائح من العقيق. يُعزى حوالي 99% من فقد الطاقة في البندول الحر إلى احتكاك الهواء، لذا فإن تركيب البندول في خزان مفرغ من الهواء يُمكن أن يزيد قيمة Q ، وبالتالي الدقة، بمقدار 100 ضعف. ^{[ 102 ]}

يتراوح معامل الجودة (Q) للبندولات من بضعة آلاف في الساعات العادية إلى مئات الآلاف في بندولات الضبط الدقيقة التي تتأرجح في الفراغ. ^{[ 103 ]} قد تصل قيمة Q لساعة بندول منزلية عالية الجودة إلى 10,000، ودقتها إلى 10 ثوانٍ شهريًا. أما أدق ساعة بندول منتجة تجاريًا فهي ساعة شورت-سينكرونوم ذات البندول الحر ، التي اختُرعت عام 1921. ^{[ 2 ] [ 70 ] [ 104 ] [ 105 ] [ 106 ]} وقد بلغ معامل الجودة (Q) لبندولها الرئيسي المصنوع من مادة إنفار، والذي يتأرجح في خزان فراغ، 110,000 ^{[ 103 ]} ، ومعدل خطأ يبلغ حوالي ثانية واحدة سنويًا. ^{[ 70 ]}

يُعدّ عامل الجودة Q الذي يتراوح بين 10³ ^{و10⁵ أحد} الأسباب التي تجعل البندولات أكثر دقة في ضبط الوقت من عجلات التوازن في الساعات، التي يتراوح عامل الجودة Q فيها بين 100 و300، ولكنها أقل دقة من بلورات الكوارتز في ساعات الكوارتز ، التي يتراوح عامل الجودة Q فيها ^{بين 10⁵} و10⁶ . ^{[ 2 ] [ 10³ ]}

تتميز البندولات (على عكس بلورات الكوارتز مثلاً) بمعامل جودة منخفض للغاية ، بحيث يكون الاضطراب الناتج عن النبضات اللازمة لاستمرار حركتها هو العامل المحدد لدقة ضبط الوقت. لذا، فإن تصميم آلية الإفلات ، وهي الآلية التي توفر هذه النبضات، يؤثر بشكل كبير على دقة بندول الساعة. فلو كانت النبضات التي توفرها آلية الإفلات للبندول متطابقة تماماً في كل تأرجح، لكانت استجابة البندول متطابقة، ودورته ثابتة. إلا أن هذا غير ممكن؛ فالتقلبات العشوائية الحتمية في القوة الناتجة عن احتكاك صفائح الساعة، وتغيرات التشحيم، وتغيرات عزم الدوران الذي يوفره مصدر طاقة الساعة مع انخفاضه، تعني أن قوة النبضة التي توفرها آلية الإفلات تتغير.

إذا تسببت هذه التغيرات في قوة ميزان الساعة في تغييرات في عرض تأرجح البندول (سعته)، فسيؤدي ذلك إلى تغييرات طفيفة مقابلة في دورة البندول، لأن البندول ذو التأرجح المحدود (كما ذُكر سابقًا) ليس متزامنًا تمامًا. لذلك، يهدف تصميم ميزان الساعة التقليدي إلى تطبيق القوة بالشكل المناسب، وفي النقطة الصحيحة من دورة البندول، بحيث لا تؤثر تغيرات القوة على سعة تأرجح البندول. يُطلق على هذا النوع من التصميم اسم ميزان الساعة المتزامن .

عرف صانعو الساعات لقرون أن تأثير قوة دفع آلية الميزان على دورة البندول يكون في أدنى مستوياته إذا ما أُعطيت على شكل نبضة قصيرة أثناء مرور البندول بموضع اتزانه السفلي . ^{[ 2 ]} إذا حدثت النبضة قبل وصول البندول إلى أسفله، أثناء تأرجحه الهابط، فإنها ستؤدي إلى تقصير دورته الطبيعية، وبالتالي فإن زيادة قوة الدفع ستؤدي إلى تقصير الدورة. أما إذا حدثت النبضة بعد وصول البندول إلى أسفله، أثناء تأرجحه الصاعد، فإنها ستطيل الدورة، وبالتالي فإن زيادة قوة الدفع ستؤدي إلى زيادة دورة البندول. في عام 1826، أثبت عالم الفلك البريطاني جورج إيري ذلك؛ تحديدًا، أثبت أنه إذا تم تحريك البندول بنبضة متناظرة حول موضع اتزانه السفلي، فإن دورة البندول لن تتأثر بتغيرات قوة الدفع. ^{[ 107 ]} وتُحقق آليات الميزان الأكثر دقة، مثل آلية الميزان ذات النبضات المتقطعة ، هذا الشرط تقريبًا. ^{[ 108 ]}

كان بندول الثواني ، وهو بندول ذو دورة زمنية مدتها ثانيتان بحيث تستغرق كل تأرجحة ثانية واحدة، يُستخدم على نطاق واسع لقياس الجاذبية، إذ كان من السهل قياس دورته الزمنية بمقارنتها بساعات الضبط الدقيقة ، التي كانت جميعها مزودة ببندول ثواني. وبحلول أواخر القرن السابع عشر، أصبح طول بندول الثواني المقياس القياسي لقوة تسارع الجاذبية في موقع ما. وبحلول عام 1700، تم قياس طوله بدقة تصل إلى أجزاء من المليمتر في العديد من المدن الأوروبية. بالنسبة لبندول الثواني، تتناسب قيمة g طرديًا مع طوله. $${\displaystyle g\propto L.}$$

• 1620 : كان العالم البريطاني فرانسيس بيكون من أوائل من اقترحوا استخدام البندول لقياس الجاذبية، حيث اقترح أخذ واحد إلى أعلى الجبل لمعرفة ما إذا كانت الجاذبية تتغير مع الارتفاع. ^{[ 110 ]}
• 1644 : حتى قبل اختراع ساعة البندول، كان الكاهن الفرنسي مارين ميرسين أول من حدد طول بندول الثواني، والذي بلغ 990 ملم (39.1 بوصة ) ، وذلك بمقارنة تأرجح البندول بالزمن الذي يستغرقه ثقلٌ ليسقط مسافةً محددة. كما كان أول من اكتشف اعتماد دورة البندول على سعة التأرجح. 
• 1669 : حدد جان بيكار طول بندول الثواني في باريس، باستخدام كرة نحاسية قطرها بوصة واحدة (25 مم) معلقة بليف من الصبار، فحصل على 39.09 بوصة (993 مم) . ^{[ 111 ]} كما أجرى أولى التجارب على التمدد والانكماش الحراري لقضبان البندول مع تغير درجة الحرارة.  
• ١٦٧٢ : في عام ١٦٧٢، لاحظ جان ريشر لأول مرة اختلاف الجاذبية في نقاط مختلفة على سطح الأرض ، حيث أخذ ساعة بندولية إلى كايين في غيانا الفرنسية ، ووجد أنها تتأخر دقيقتين ونصف يوميًا؛ ولذلك كان لا بد من تقصير بندول الثواني بمقدار ٢.٦ ملم ( ١ وربع لاين ) مقارنةً بباريس، للحفاظ على دقة الوقت. ^{[ ١١٢ ] [ ١١٣ ]} وفي عام ١٦٨٧، بيّن إسحاق نيوتن في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" أن هذا الاختلاف يعود إلى الشكل المفلطح للأرض ( المسطحة عند القطبين) الناتج عن قوة الطرد المركزي لدورانها. ففي خطوط العرض العليا، يكون سطح الأرض أقرب إلى مركزها، وبالتالي تزداد الجاذبية مع زيادة خط العرض. ^{[ ١١٣ ]} ومنذ ذلك الحين، بدأ استخدام البندولات في أراضٍ بعيدة لقياس الجاذبية، وتم تجميع جداول توضح طول بندول الثواني في مواقع مختلفة على سطح الأرض. في عام 1743، ابتكر ألكسيس كلود كليروت أول نموذج هيدروستاتيكي للأرض، وهو نظرية كليروت ، ^{[ 111 ]} التي سمحت بحساب شكل الأرض الإهليلجي من قياسات الجاذبية. وتلت ذلك نماذج أكثر دقة لشكل الأرض. 
• في عام 1687 ، أجرى نيوتن تجارب على البندولات (كما هو موضح في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية ")، ووجد أن البندولات متساوية الطول ذات الكرات المصنوعة من مواد مختلفة لها نفس الدورة، مما يثبت أن قوة الجاذبية المؤثرة على المواد المختلفة تتناسب طرديًا مع كتلتها (قصورها الذاتي). هذا المبدأ، الذي يُسمى مبدأ التكافؤ ، والذي تم تأكيده بدقة أكبر في تجارب لاحقة، أصبح الأساس الذي بنى عليه ألبرت أينشتاين نظريته النسبية العامة .

• في عام ١٧٣٧ ، أجرى عالم الرياضيات الفرنسي بيير بوجيه سلسلة متطورة من الملاحظات باستخدام البندول في جبال الأنديز في بيرو. ^{[ ١١٤ ]} استخدم بوجيه بندولًا نحاسيًا على شكل مخروط مزدوج الرؤوس معلقًا بخيط؛ وكان من الممكن عكس اتجاه البندول للتخلص من تأثيرات عدم انتظام الكثافة. قام بوجيه بحساب المسافة إلى مركز تذبذب الخيط والبندول معًا، بدلًا من استخدام مركز البندول نفسه. وقد صحح النتائج لمراعاة التمدد الحراري لقضيب القياس والضغط الجوي، مُعطيًا نتائجه لبندول يتأرجح في الفراغ. قام بوجيه بتحريك البندول نفسه على ثلاثة ارتفاعات مختلفة، من مستوى سطح البحر إلى قمة هضبة ألتيبلانو البيروفية الشاسعة . من المفترض أن تتناقص الجاذبية عكسيًا مع مربع المسافة من مركز الأرض. وجد بوجيه أنها تتناقص ببطء، وعزا الجاذبية "الإضافية" بشكل صحيح إلى مجال الجاذبية لهضبة بيرو الشاسعة. ومن خلال كثافة عينات الصخور، قام بحساب تقدير لتأثير الهضبة على البندول، وبمقارنة ذلك مع جاذبية الأرض تمكن من وضع أول تقدير تقريبي لكثافة الأرض .
• 1747 : أوضح دانيال برنولي كيفية تصحيح إطالة دورة البندول الناتجة عن زاوية تأرجح محدودة θ ₀ باستخدام تصحيح الرتبة الأولى θ ₀ ² /16، مما يعطي دورة البندول ذي التأرجح الصغير للغاية. ^{[ 114 ]}
• ١٧٩٢ : لتحديد معيار طول البندول لاستخدامه مع النظام المتري الجديد ، قام جان شارل دي بوردا وجان دومينيك كاسيني في عام ١٧٩٢ بقياس دقيق لبندول الثواني في باريس. استخدموا كرة من البلاتين قطرها ١.٥ بوصة (١٤ ملم ) معلقة بسلك حديدي طوله ١٢ قدمًا (٣.٧ متر) . كان ابتكارهم الرئيسي تقنية تُسمى " طريقة التزامن "، والتي سمحت بمقارنة دورة البندول بدقة عالية. (كان بوغيه قد استخدم هذه الطريقة أيضًا). تم قياس الفاصل الزمني Δt بين اللحظات المتكررة التي يتأرجح فيها البندولان بتزامن. ومن هذا ، أمكن حساب الفرق بين دورتي البندول، T1 و _{T2 .}  $${\displaystyle {\frac {1}{\Delta t}}={\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}}$$
• في عام 1821 ، أجرى فرانشيسكو كارليني قياسات باستخدام البندول على قمة جبل سينيس في إيطاليا، ومن ثمّ، وباستخدام أساليب مشابهة لأساليب بوغير، حسب كثافة الأرض. ^{[ 115 ]} قارن كارليني قياساته بتقدير للجاذبية في موقعه بافتراض عدم وجود الجبل، محسوبًا من قياسات سابقة باستخدام البندول في مكان قريب عند مستوى سطح البحر. أظهرت قياساته وجود جاذبية زائدة، عزاها إلى تأثير الجبل. وبنمذجة الجبل كجزء من كرة قطرها 18 كيلومترًا وارتفاعها 1.6 كيلومتر ، حسب كارليني مجال جاذبيته من عينات صخرية، وقدّر كثافة الأرض بـ 4.39 ضعف كثافة الماء. أعطت حسابات لاحقة أجراها باحثون آخرون قيمًا بلغت 4.77 و4.95، مما يوضح عدم اليقين في هذه الأساليب الجغرافية.  

كانت دقة قياسات الجاذبية المبكرة المذكورة أعلاه محدودة بصعوبة قياس طول البندول، L. يُمثل L طول بندول جاذبية بسيط مثالي (موصوف أعلاه)، تتركز كتلته بالكامل في نقطة واحدة في نهاية الخيط. في عام 1673، أثبت هيغنز أن دورة بندول قضيب صلب (يُسمى بندولًا مُركبًا ) تُساوي دورة بندول بسيط طوله يُساوي المسافة بين نقطة الارتكاز ونقطة تُسمى مركز التذبذب ، تقع أسفل مركز الثقل ، وتعتمد على توزيع الكتلة على طول البندول. ولكن لم تكن هناك طريقة دقيقة لتحديد مركز التذبذب في بندول حقيقي. يُشار أحيانًا إلى اكتشاف هيغنز باسم قانون هيغنز للبندول (الدائري) . ^{[ 116 ]}

للتغلب على هذه المشكلة، قام الباحثون الأوائل المذكورون أعلاه بتقريب نموذج البندول البسيط المثالي قدر الإمكان باستخدام كرة معدنية معلقة بسلك أو حبل خفيف. إذا كان السلك خفيفًا بما يكفي، فإن مركز التذبذب يكون قريبًا من مركز ثقل الكرة، أي في مركزها الهندسي. لم يكن هذا النوع من البندول، "الكرة والسلك"، دقيقًا جدًا، لأنه لم يتأرجح كجسم صلب، كما أن مرونة السلك تسببت في تغير طفيف في طوله أثناء تأرجح البندول.

لكن هيغنز أثبت أيضاً أنه في أي بندول، يمكن تبديل نقطة الارتكاز ومركز التذبذب. ^{[ 19 ]} أي أنه إذا قُلِب البندول رأساً على عقب وعُلِّق من مركز تذبذبه، فسيكون له نفس الدورة التي كان لها في الوضع السابق، وستكون نقطة الارتكاز القديمة هي مركز التذبذب الجديد.

أدرك الفيزيائي البريطاني وقائد الجيش هنري كاتر عام 1817 أن مبدأ هيغنز يُمكن استخدامه لإيجاد طول البندول البسيط الذي له نفس دورة البندول الحقيقي. ^{[ 64 ]} إذا صُمم بندول بنقطة ارتكاز ثانية قابلة للتعديل بالقرب من قاعدته بحيث يُمكن تعليقه رأسًا على عقب، وتم ضبط نقطة الارتكاز الثانية حتى تتساوى دورات البندول عند تعليقه من كلا النقطتين، فإن نقطة الارتكاز الثانية ستكون في مركز التذبذب، والمسافة بين النقطتين ستكون طول البندول البسيط (L) الذي له نفس الدورة.

صنع كاتر بندولًا قابلًا للعكس ( انظر الرسم ) يتكون من قضيب نحاسي مزود بمحورين متقابلين مصنوعين من شفرات مثلثة قصيرة (أ) بالقرب من طرفيه. يمكن تأرجحه من أي من المحورين، حيث تُثبّت الشفرات على صفائح من العقيق. وبدلًا من جعل أحد المحورين قابلًا للتعديل، ثبّت كاتر المحورين على بُعد متر واحد، ثم عدّل فترات التأرجح باستخدام ثقل متحرك على قضيب البندول (ب، ج) . عند التشغيل، يُعلّق البندول أمام ساعة دقيقة، ويُقاس زمن التأرجح، ثم يُقلب رأسًا على عقب ويُقاس زمن التأرجح مرة أخرى. يُعدّل الثقل باستخدام برغي التعديل حتى تتساوى فترات التأرجح. بعد ذلك، يُعطى تسارع الجاذبية الأرضية (g) بدقة عالية عن طريق وضع زمن التأرجح والمسافة بين المحورين في المعادلة (1).

استخدم كاتر طريقة التزامن لقياس توقيت تأرجح بندوله، وقاس المسافة بين نقطتي ارتكازه باستخدام الميكرومتر. بعد تصحيح سعة التأرجح المحدودة، وقوة طفو الثقل، والضغط الجوي، والارتفاع، ودرجة الحرارة، حصل على قيمة 39.13929  بوصة لبندول الثواني في لندن، في فراغ، عند مستوى سطح البحر، ودرجة حرارة 62  فهرنهايت. كان أكبر انحراف عن متوسط ​​قياساته الاثنتي عشرة 0.00028 بوصة ^{[ 117 ]} ، ما يمثل دقة قياس للجاذبية تبلغ 7 × 10⁻⁶ ⁽ 7 ملي جال أو 70 ميكرومتر/ثانية² ⁾ . استُخدم قياس كاتر كمعيار رسمي للطول في بريطانيا (انظر أدناه ) من عام 1824 إلى عام 1855.

تم استخدام البندولات العكسية (المعروفة تقنيًا باسم البندولات "القابلة للتحويل") التي تستخدم مبدأ كاتر لقياسات الجاذبية المطلقة حتى ثلاثينيات القرن العشرين.

ساهمت الدقة المتزايدة التي أتاحها بندول كاتر في جعل قياس الجاذبية جزءًا أساسيًا من علم الجيوديسيا . ولأن الموقع الدقيق (خط العرض وخط الطول) لـ"المحطة" التي أُجري فيها قياس الجاذبية كان ضروريًا، فقد أصبحت قياسات الجاذبية جزءًا من أعمال المسح ، وأُجريت قياسات باستخدام البندول في المسوحات الجيوديسية الكبرى في القرن الثامن عشر، ولا سيما المسح المثلثي الكبير للهند.

• البندولات الثابتة: قدّم كاتر فكرة قياسات الجاذبية النسبية ، لتكملة القياسات المطلقة التي يُجريها بندول كاتر. ^{[ 118 ]} كانت مقارنة الجاذبية عند نقطتين مختلفتين أسهل من قياسها مطلقًا بطريقة كاتر. كل ما يلزم هو قياس زمن دورة بندول عادي (ذو محور ارتكاز واحد) عند النقطة الأولى، ثم نقل البندول إلى النقطة الأخرى وقياس زمن دورته هناك. ولأن طول البندول ثابت، فمن المعادلة (1) كانت نسبة تسارعات الجاذبية تساوي مقلوب نسبة مربعي زمن الدورة، ولم تكن هناك حاجة لقياسات دقيقة للطول. لذا، بمجرد قياس الجاذبية مطلقًا عند محطة مركزية، باستخدام طريقة كاتر أو أي طريقة دقيقة أخرى، يمكن إيجاد الجاذبية عند نقاط أخرى عن طريق تأرجح البندولات عند المحطة المركزية ثم نقلها إلى الموقع الآخر وقياس زمن تأرجحها هناك. قام كاتر بصنع مجموعة من البندولات "غير المتغيرة"، ذات محور واحد فقط على شكل حافة سكين، والتي تم نقلها إلى العديد من البلدان بعد أن تم تأرجحها لأول مرة في محطة مركزية في مرصد كيو بالمملكة المتحدة.
• تجارب إيري في منجم الفحم : ابتداءً من عام 1826، وباستخدام أساليب مشابهة لأساليب بوغير، حاول عالم الفلك البريطاني جورج إيري تحديد كثافة الأرض عن طريق قياسات الجاذبية باستخدام البندول في أعلى وأسفل منجم فحم. ^{[ 119 ] [ 120 ]} تتناقص قوة الجاذبية تحت سطح الأرض مع العمق بدلاً من أن تزداد، لأنه وفقًا لقانون جاوس، لا تُساهم كتلة القشرة الكروية فوق نقطة تحت السطح في الجاذبية. أُجهضت تجربة عام 1826 بسبب غمر المنجم بالمياه، لكنه أجرى في عام 1854 تجربة مُحسّنة في منجم هارتون للفحم، باستخدام بندولات الثواني المتأرجحة على ألواح من العقيق، مُوقّتة بواسطة كرونومترات دقيقة مُزامنة بدائرة كهربائية. ووجد أن البندول السفلي كان أبطأ بمقدار 2.24 ثانية في اليوم. هذا يعني أن تسارع الجاذبية في قاع المنجم، على عمق 1250  قدمًا تحت السطح، كان أقل بمقدار 1/14000 مما كان متوقعًا وفقًا لقانون التربيع العكسي؛ أي أن جاذبية الغلاف الكروي كانت 1/14000 من جاذبية الأرض. ومن خلال عينات من صخور السطح، قدّر فون ستيرنيك كتلة الغلاف الكروي للقشرة الأرضية، ومن ثمّ قدّر أن كثافة الأرض تبلغ 6.565 ضعف كثافة الماء. حاول فون ستيرنيك تكرار التجربة عام 1882، لكنه وجد نتائج غير متسقة.

• بندول ريبسولد-بيسل: كان تحريك بندول كاتر بشكل متكرر وتعديل الأوزان حتى تتساوى فتراته الزمنية عمليةً تستغرق وقتًا طويلاً وعرضةً للأخطاء. وقد أثبت فريدريك بيسل في عام 1835 أن هذه العملية غير ضرورية. ^{[ 121 ]} فما دامت الفترات الزمنية متقاربة، يمكن حساب الجاذبية من الفترتين الزمنيتين ومركز ثقل البندول. ^{[ 122 ]} لذا، لم يكن البندول العكسي بحاجة إلى أن يكون قابلاً للتعديل، بل يمكن أن يكون مجرد قضيب ذي محورين. كما أثبت بيسل أنه إذا صُمم البندول بشكل متناظر حول مركزه، ولكن تم تثقيله داخليًا عند أحد طرفيه، فإن الأخطاء الناتجة عن مقاومة الهواء ستُلغى. علاوة على ذلك، يمكن إلغاء خطأ آخر ناتج عن القطر المحدود لحواف السكين إذا تم تبديلها بين القياسات. لم يصنع بيسل مثل هذا البندول، ولكن في عام 1864، قام أدولف ريبسولد، بموجب عقد مع اللجنة الجيوديسية السويسرية، بصنع بندول على هذا النحو. كان طول بندول ريبسولد حوالي 56 سم ،  ودورته حوالي 0.75 ثانية. وقد استخدمته على نطاق واسع وكالات المسح الجيوديسي الأوروبية، إلى جانب بندول كاتر في هيئة المسح الهندية. وصمم تشارلز بيرس وسي. ديفورجيس بندولات مماثلة من هذا النوع .

• مقياسا الجاذبية فون ستيرنيك ومندنهال: في عام 1887، طوّر العالم النمساوي المجري روبرت فون ستيرنيك بندولًا صغيرًا لقياس الجاذبية، مُثبّتًا في خزان مفرغ من الهواء ومُتحكّم بدرجة حرارته، وذلك للتخلص من تأثيرات درجة الحرارة وضغط الهواء. استخدم هذا البندول "بندول نصف ثانية"، الذي تبلغ دورته حوالي ثانية واحدة،  وطوله حوالي 25 سم. ولأن البندول غير قابل للانعكاس، فقد استُخدم الجهاز لقياسات الجاذبية النسبية، إلا أن صغر حجمه جعله سهل الحمل. وقد حُدّدت دورة البندول عن طريق عكس صورة شرارة كهربائية ناتجة عن كرونومتر دقيق على مرآة مُثبّتة في أعلى قضيب البندول. استُخدم جهاز فون ستيرنيك، وجهاز مماثل طوّره توماس سي. مندنهال من هيئة المسح الساحلي والجيوديسي الأمريكية عام 1890، ^{[ 123 ]} على نطاق واسع في عمليات المسح حتى عشرينيات القرن العشرين.

كان بندول ميندنهال في الواقع أكثر دقة في ضبط الوقت من الساعات الأكثر دقة في ذلك الوقت، وباعتباره "أفضل ساعة في العالم"، فقد استخدمه ألبرت أ. ميكلسون في قياساته لسرعة الضوء عام 1924 على جبل ويلسون في كاليفورنيا. ^{[ 123 ]}

• مقاييس الجاذبية ذات البندول المزدوج: ابتداءً من عام 1875، كشفت الدقة المتزايدة لقياسات البندول عن مصدر آخر للخطأ في الأجهزة الموجودة آنذاك: تسبب تأرجح البندول في تذبذب طفيف لحامل ثلاثي القوائم المستخدم لدعم البندولات المحمولة، مما أدى إلى حدوث خطأ. في عام 1875، حسب تشارلز س. بيرس أن قياسات طول بندول الثواني التي أُجريت باستخدام جهاز ريبسولد تتطلب تصحيحًا قدره 0.2  مم بسبب هذا الخطأ. ^{[ 124 ]} في عام 1880، استخدم سي. ديفورج مقياس تداخل مايكلسون لقياس تذبذب الحامل ديناميكيًا، وأُضيفت مقاييس التداخل إلى جهاز ميندنهال القياسي لحساب تصحيحات التذبذب. ^{[ 125 ]} اقترح هيرفيه فاي طريقةً لمنع هذا الخطأ لأول مرة عام 1877، ودعا إليها بيرس وسيليرييه وفورتفانجلر: تثبيت بندولين متطابقين على نفس الدعامة، يتأرجحان بنفس السعة، بفارق طور 180 درجة. من شأن الحركة المتعاكسة للبندولين أن تلغي أي قوى جانبية على الدعامة. قوبلت الفكرة بالرفض بسبب تعقيدها، ولكن مع بداية القرن العشرين، تم تعديل جهاز فون ستيرنيك وأجهزة أخرى لتحريك عدة بندولات في وقت واحد.

• مقياس الجاذبية من شركة جلف : يُعدّ هذا الجهاز، الذي طُوّر عام 1929 من قِبل شركة جلف للأبحاث والتطوير، أحد آخر وأدق مقاييس الجاذبية البندولية. ^{[ 126 ] [ 127 ]} يستخدم الجهاز بندولين مصنوعين من الكوارتز المنصهر ، يبلغ طول كل منهما 270 مم (10.7 بوصة ) ودورتهما 0.89 ثانية، ويتأرجحان على محاور حادة من البايركس، بفارق طور 180 درجة. وُضع البندولان في حجرة مفرغة من الهواء مُحكمة الإغلاق ومُتحكّم بدرجة حرارتها ورطوبتها. كان لا بد من تفريغ الشحنات الكهروستاتيكية العالقة على بندولي الكوارتز بتعريضهما لملح مُشع قبل الاستخدام. تم قياس الدورة عن طريق عكس شعاع ضوئي من مرآة في أعلى البندول، وتسجيله بواسطة مُسجّل بيانات، ومقارنته بمذبذب بلوري دقيق مُعاير باستخدام إشارة التوقيت الإذاعي WWV . كانت دقة هذا الجهاز في حدود (0.3–0.5)×10⁻⁷ ⁽ 30–50 ميكروغال أو 3–5 نانومتر/ثانية² ⁾ . ^{[ 126 ]} وقد استُخدم حتى ستينيات القرن العشرين.  

استُبدلت مقاييس الجاذبية ذات البندول النسبي بمقياس الجاذبية الزنبركي ذي الطول الصفري من نوع لاكوست، الذي اخترعه لوسيان لاكوست عام 1934. ^{[ 123 ]} وفي خمسينيات القرن العشرين ، استُبدلت مقاييس الجاذبية ذات البندول المطلق (القابل للعكس) بمقاييس الجاذبية ذات السقوط الحر، حيث يُترك وزن ليسقط في خزان مفرغ من الهواء، ويُقاس تسارعه بواسطة مقياس تداخل بصري . ^{[ 73 ]}

كان العالم الفلمنكي إسحاق بيكمان من أوائل من اقترحوا تحديد الطول باستخدام البندول ^{[ 130 ]} ، حيث أوصى عام 1631 بجعل بندول الثواني "المقياس الثابت لجميع الناس في جميع الأوقات وفي جميع الأماكن". ^{[ 131 ]} كما اقترح مارين ميرسين ، الذي قاس بندول الثواني لأول مرة عام 1644، هذا الاقتراح أيضًا. وقدّمت الجمعية الملكية البريطانية أول اقتراح رسمي لمعيار البندول عام 1660، بدعم من كريستيان هويغنز وأولي رومر ، استنادًا إلى عمل ميرسين، ^{[ 132 ]} واقترح هويغنز في كتابه "Horologium Oscillatorium " "القدم الساعية" التي تُعرّف بأنها ثلث بندول الثواني. وكان كريستوفر رين من أوائل المؤيدين لهذا الاقتراح. لا بد أن فكرة معيار طول البندول كانت مألوفة للناس منذ عام 1663، لأن صموئيل بتلر يسخر منها في هوديبراس : ^{[ 133 ]}

سأتعامل معهم على مقاعد البدلاء.

أن اهتزاز هذا البندول

يجب أن يصنع جميع أقمشة الخياطين من قطعة واحدة

رأي بالإجماع

في عام 1671، اقترح جان بيكار "القدم العالمية" المُعرَّفة بالبندول في كتابه المؤثر " مقياس الأرض" . ^{[ 134 ]} وفي حوالي عام 1670، اقترح غابرييل موتون تعريف التويزة إما ببندول الثواني أو بدقيقة من الدرجة الأرضية. وفي عام 1675، قدّم العالم الإيطالي الموسوعي تيتو ليفيو بوراتيني خطةً لنظام وحدات كامل قائم على البندول. وفي فرنسا عام 1747، اقترح الجغرافي شارل ماري دي لا كوندامين تعريف الطول ببندول الثواني عند خط الاستواء؛ إذ أن تأرجح البندول في هذا الموقع لا يتأثر بدوران الأرض. وكان جيمس ستيوارت (1780) وجورج سكين كيث من المؤيدين لهذا الاقتراح.

مع نهاية القرن الثامن عشر، حين كانت العديد من الدول تُصلح أنظمة الوزن والقياس لديها ، أصبح بندول الثواني الخيار الأمثل لتعريف جديد للطول، وقد دافع عنه علماء بارزون في عدة دول كبرى. في عام ١٧٩٠، اقترح وزير الخارجية الأمريكي آنذاك، توماس جيفرسون، على الكونغرس نظامًا متريًا أمريكيًا شاملًا مُقسّمًا إلى عشري، قائمًا على بندول الثواني عند خط عرض ٣٨ درجة شمالًا، وهو متوسط ​​خط عرض الولايات المتحدة. ^{[ ١٣٥ ]} لم يُتخذ أي إجراء بشأن هذا الاقتراح. في بريطانيا، كان السياسي جون ريغز ميلر أبرز المدافعين عن البندول . ^{[ ١٣٦ ]} عندما فشلت جهوده في الترويج لنظام متري بريطاني-فرنسي-أمريكي مشترك في عام ١٧٩٠، اقترح نظامًا بريطانيًا قائمًا على طول بندول الثواني في لندن. وقد اعتُمد هذا المعيار في عام ١٨٢٤ (انظر أدناه).

في المناقشات التي سبقت اعتماد فرنسا للنظام المتري عام ١٧٩١، كان البندول الثاني عند خط عرض ٤٥° شمالاً هو المرشح الأبرز لتعريف وحدة الطول الجديدة، المتر . وقد دافعت عنه مجموعة بقيادة السياسي الفرنسي تاليران والرياضي أنطوان نيكولا كاريتات دي كوندورسيه . وكان هذا أحد الخيارات الثلاثة النهائية التي نظرت فيها لجنة الأكاديمية الفرنسية للعلوم . إلا أنه في ١٩ مارس ١٧٩١، اختارت اللجنة بدلاً من ذلك اعتماد طول خط الزوال المار بباريس كأساس للمتر. وقد رُفض تعريف البندول بسبب تباينه في مواقع مختلفة، ولأنه يُعرّف الطول بوحدة زمنية. (مع ذلك، ومنذ عام ١٩٨٣، يُعرّف المتر رسميًا بدلالة طول الثانية وسرعة الضوء). ولعل سببًا إضافيًا آخر هو أن الأكاديمية الفرنسية الراديكالية لم ترغب في أن يُبنى نظامها الجديد على الثانية، وهي وحدة تقليدية غير عشرية من النظام القديم .

على الرغم من أن طول المتر لم يُحدد بواسطة البندول، إلا أن الطول النهائي المُختار له، وهو 10⁻⁷ ^من قوس خط الزوال بين القطب وخط الاستواء ، كان قريبًا جدًا من طول بندول الثواني (0.9937 مترًا)، بنسبة خطأ لا تتجاوز 0.63%. ورغم عدم وجود سبب مُعلن لهذا الاختيار تحديدًا في ذلك الوقت، إلا أنه يُرجح أنه كان لتسهيل استخدام بندول الثواني كمعيار ثانوي، كما ورد في الوثيقة الرسمية. لذا، فإن وحدة الطول المعيارية في العالم الحديث مرتبطة تاريخيًا ارتباطًا وثيقًا ببندول الثواني.

يبدو أن بريطانيا والدنمارك هما الدولتان الوحيدتان اللتان اعتمدتا (لفترة وجيزة) وحدات الطول لديهما على البندول. ففي عام 1821، عُرّف البوصة الدنماركية بأنها 1/38 من طول بندول الثواني الشمسية المتوسط ​​عند خط عرض 45 درجة شمالاً، على خط زوال سكاجين ، عند مستوى سطح البحر، في الفراغ. ^{[ 137 ] [ 138 ]} وفي عام 1824، أصدر البرلمان البريطاني قانون الأوزان والمقاييس الإمبراطورية ، وهو إصلاح لنظام المعايير البريطاني، والذي نصّ على أنه في حال تدمير الياردة المعيارية النموذجية ، سيتم استعادتها بتعريف البوصة بحيث يكون طول بندول الثواني الشمسية في لندن، عند مستوى سطح البحر ، في الفراغ، عند درجة حرارة 62  فهرنهايت، مساوياً لـ 39.1393  بوصة. ^{[ 139 ]} وأصبح هذا المعيار أيضاً المعيار الأمريكي، حيث كانت الولايات المتحدة تستخدم آنذاك المقاييس البريطانية. ومع ذلك، عندما فُقدت الساحة النموذجية في حريق مبنى البرلمان عام 1834 ، ثبت أنه من المستحيل إعادة إنشائها بدقة من تعريف البندول، وفي عام 1855 ألغت بريطانيا معيار البندول وعادت إلى معايير النموذج الأولي.

ابتكرت شركة الإشارات المغناطيسية (MSC)، مع العديد من الشركات الأخرى التي حذت حذوها، إشارة تستخدم البندول للتشغيل، تسمى إشارة التذبذب ، أو المعروفة بشكل أقل باسم رجل العلم المغناطيسي، وكانت فئة إشارات السكك الحديدية شائعة في السابق، ولم يتبق منها سوى عدد قليل قيد التشغيل في جميع أنحاء العالم، وخاصة عبر كاليفورنيا.

استُخدم بندول، لا يكون قضيبه عموديًا بل أفقيًا تقريبًا، في أجهزة قياس الزلازل القديمة لقياس اهتزازات الأرض. لا يتحرك ثقل البندول عند تحرك قاعدته، ويُسجل الفرق في حركتيهما على مخطط أسطواني.

كما أوضح ماكسيميليان شولر لأول مرة في بحثٍ نُشر عام ١٩٢٣، فإن البندول الذي تتطابق دورته تمامًا مع الفترة المدارية لقمر صناعي افتراضي يدور فوق سطح الأرض مباشرةً (حوالي ٨٤ دقيقة)، سيميل إلى البقاء مُشيرًا إلى مركز الأرض عند إزاحة دعامته فجأة. يُعرف هذا المبدأ باسم "ضبط شولر "، ويُستخدم في أنظمة التوجيه بالقصور الذاتي في السفن والطائرات التي تعمل على سطح الأرض. لا يُستخدم بندول مادي، ولكن يتم تعديل نظام التحكم الذي يُحافظ على استقرار منصة القصور الذاتي التي تحتوي على الجيروسكوبات، بحيث يعمل الجهاز كما لو كان مُتصلًا ببندول، مما يُبقي المنصة مُتجهة للأسفل دائمًا أثناء تحرك المركبة على سطح الأرض المنحني.

في عام 1665، لاحظ هيغنز ملاحظةً غريبةً حول ساعات البندول. فقد وضع ساعتين على رفّ المدفأة ، ولاحظ أنهما تتحركان حركةً متعاكسة. أي أن بندوليهما كانا ينبضان في انسجام تام ولكن في اتجاهين متعاكسين؛ بفارق طور 180 درجة . وبغض النظر عن كيفية بدء تشغيل الساعتين، وجد أنهما ستعودان في النهاية إلى هذه الحالة، مسجلاً بذلك أول ملاحظة موثقة لمذبذب مقترن . ^{[ 140 ]}

يعود سبب هذا السلوك إلى تأثير البندولين على بعضهما البعض من خلال حركات طفيفة للغطاء الداعم. تُعرف هذه العملية في الفيزياء باسم التزامن أو قفل الأنماط ، وتُلاحظ في مذبذبات أخرى مقترنة. استُخدمت البندولات المتزامنة في الساعات، وكانت شائعة الاستخدام في مقاييس الجاذبية في أوائل القرن العشرين. على الرغم من أن هيغنز لم يلاحظ سوى التزامن خارج الطور، فقد أظهرت دراسات حديثة وجود التزامن في الطور، بالإضافة إلى حالات "التوقف" التي تتوقف فيها إحدى الساعتين أو كلتاهما. ^{[ 141 ] [ 142 ]}

تظهر حركة البندول في الطقوس الدينية أيضًا. فالمبخرة المتأرجحة ، المعروفة أيضًا باسم المبخرة ، مثال على البندول. ^{[ 143 ]} كما تُشاهد البندولات في العديد من التجمعات في شرق المكسيك، حيث تُستخدم للإشارة إلى تغير المد والجزر في اليوم الذي يبلغ فيه المد ذروته. وقد تُستخدم البندولات أيضًا في التنجيم .

تُستخدم البندولات على نطاق واسع في تعليم العلوم كمثال على المذبذب التوافقي ، لتدريس الديناميكا والحركة التذبذبية . ومن استخداماتها توضيح قانون حفظ الطاقة . ^{[ 144 ] [ 145 ]} يُربط جسم ثقيل، مثل كرة البولينج ^{[ 146 ]} أو كرة الهدم ^{[ 144 ]} ، بخيط. ثم يُقرب الثقل إلى مسافة بضعة سنتيمترات من وجه متطوع، ثم يُترك ليتأرجح ويعود. في معظم الحالات، يعكس الثقل اتجاهه ثم يعود إلى نفس موضع إطلاقه الأصلي تقريبًا - أي على مسافة قصيرة من وجه المتطوع - وبالتالي لا يُصاب المتطوع بأذى. في بعض الأحيان، يُصاب المتطوع إذا لم يثبت في مكانه ^{[ 147 ]} أو إذا أُطلق البندول في البداية بدفعة (بحيث يتجاوز موضع الإطلاق عند عودته). ومن الأمثلة التوضيحية الأخرى موجة البندول .

يُزعم أن البندول استُخدم كأداة تعذيب وإعدام من قِبل محاكم التفتيش الإسبانية ^{[ 148 ]} في القرن الثامن عشر. ورد هذا الادعاء في كتاب " تاريخ محاكم التفتيش في إسبانيا" الصادر عام 1826 ، من تأليف الكاهن والمؤرخ والناشط الليبرالي الإسباني خوان أنطونيو يورينتي . ^{[ 149 ]} يتأرجح بندول، حافته نصل سكين، ببطء نحو سجين مقيد حتى يقطع جسده. ^{[ 150 ]} انتشر هذا الأسلوب من التعذيب على نطاق واسع من خلال القصة القصيرة " الحفرة والبندول " التي نُشرت عام 1842 للكاتب الأمريكي إدغار آلان بو . ^{[ 151 ]}

تشكك معظم المصادر الموثوقة في استخدام هذا النوع من التعذيب فعليًا. ^{[ 152 ] [ 153 ] [ 154 ]} الدليل الوحيد على استخدامه هو فقرة واحدة في مقدمة كتاب لورينتي التاريخي الصادر عام 1826 ، ^{[ 149 ]} تروي قصة منقولة عن سجين أُطلق سراحه من زنزانة محاكم التفتيش في مدريد عام 1820، والذي زُعم أنه وصف أسلوب تعذيب البندول. تشير المصادر الحديثة إلى أنه نظرًا لتحذير السيد المسيح من إراقة الدماء، لم يُسمح للمحققين إلا باستخدام أساليب تعذيب لا تُسبب إراقة الدماء، وكان أسلوب البندول سيُخالف هذا المنع الصارم. إحدى النظريات هي أن لورينتي أساء فهم الرواية التي سمعها؛ إذ كان السجين يُشير في الواقع إلى أسلوب تعذيب شائع آخر في محاكم التفتيش، وهو السترابادو (الجاروتشا)، حيث تُربط يدا السجين خلف ظهره ويُرفع عن الأرض بواسطة حبل مربوط بيديه. ^{[ 154 ]} عُرفت هذه الطريقة أيضًا باسم "البندول". وقد ساهمت قصة الرعب الشهيرة لإدغار آلان بو، والوعي العام بأساليب محاكم التفتيش الوحشية الأخرى، في إبقاء أسطورة أسلوب التعذيب المعقد هذا حية.