البندول (الميكانيكا)

البندول جسم معلق من دعامة ثابتة ويتأرجح بحرية ذهابًا وإيابًا تحت تأثير الجاذبية. عندما يُزاح البندول جانبيًا عن موضع سكونه، أي موضع اتزانه، فإنه يتعرض لقوة استعادة ناتجة عن الجاذبية تُسرّعه عائدًا إلى موضع الاتزان. عند إفلاته، تتسبب قوة الاستعادة المؤثرة على كتلة البندول في تذبذبه حول موضع الاتزان، مما يؤدي إلى تأرجحه ذهابًا وإيابًا. تُعدّ رياضيات البندول معقدة نوعًا ما بشكل عام. يمكن وضع افتراضات مبسطة، تسمح في حالة البندول البسيط بحل معادلات الحركة تحليليًا للتذبذبات ذات الزوايا الصغيرة.

البندول البسيط للجاذبية ^{[ 1 ]} هو نموذج رياضي مثالي للبندول الحقيقي. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} وهو عبارة عن ثقل (أو كرة ) معلق في نهاية حبل عديم الكتلة من نقطة ارتكاز ، دون احتكاك . ولأن النموذج لا يُسبب فقدانًا للطاقة بسبب الاحتكاك، فإنه يتأرجح ذهابًا وإيابًا بسعة ثابتة عند إعطائه إزاحة ابتدائية . ويستند هذا النموذج إلى الافتراضات التالية :

• القضيب أو الحبل عديم الكتلة، وغير قابل للتمدد، ويبقى دائماً تحت ضغط.
• الكرة عبارة عن كتلة نقطية.
• تحدث الحركة في بعدين .
• لا تفقد الحركة طاقتها بسبب الاحتكاك الخارجي أو مقاومة الهواء .
• المجال الجاذبي منتظم.
• الدعامة ثابتة.

المعادلة التفاضلية التي تحكم حركة البندول البسيط هي

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0}$$

المعادلة 1

حيث g هي مقدار مجال الجاذبية ، و ℓ هو طول القضيب أو الحبل، و θ هي الزاوية من الوضع الرأسي إلى البندول.

اشتقاق "القوة" للمعادلة ( 1 )

انظر إلى الشكل 1 على اليمين، الذي يوضح القوى المؤثرة على بندول بسيط. لاحظ أن مسار البندول يرسم قوسًا من دائرة. تُقاس الزاوية θ بالراديان ، وهذا أمر بالغ الأهمية لهذه الصيغة. السهم الأزرق يمثل قوة الجاذبية المؤثرة على البندول، والأسهم البنفسجية تمثل نفس القوة مُحللة إلى مركبتين: موازية وعمودية على الحركة اللحظية للبندول. يشير اتجاه السرعة اللحظية للبندول دائمًا على طول المحور الأحمر، الذي يُعتبر المحور المماسي لأن اتجاهه يكون دائمًا مماسًا للدائرة. انظر إلى قانون نيوتن الثاني . $${\displaystyle F=ma}$$ حيث F هي مجموع القوى المؤثرة على الجسم، و m هي كتلته، و a هي تسارعه. يمكن تطبيق معادلة نيوتن على المحور المماسي فقط، لأن التغيرات في السرعة هي ما يهم، ويُجبر الجسم على البقاء في مسار دائري. يمثل السهم البنفسجي القصير مركبة قوة الجاذبية على المحور المماسي، ويمكن استخدام حساب المثلثات لتحديد مقدارها. $${\displaystyle {\begin{aligned}F&=-mg\sin \theta =ma,\qquad {\text{so}}\\a&=-g\sin \theta ,\end{aligned}}}$$ حيث g هي تسارع الجاذبية الأرضية بالقرب من سطح الأرض. تشير الإشارة السالبة في الطرف الأيمن إلى أن θ و a تشيران دائمًا في اتجاهين متعاكسين. وهذا منطقي، لأنه عندما يتأرجح البندول أكثر نحو اليسار، فمن المتوقع أن يتسارع عائدًا نحو اليمين.

يمكن ربط هذا التسارع الخطي a على طول المحور الأحمر بالتغير في الزاوية θ من خلال صيغ طول القوس؛ s هو طول القوس: $${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\ell \theta ,\\v&={\frac {ds}{dt}}=\ell {\frac {d\theta }{dt}},\\a&={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},\end{aligned}}}$$ هكذا: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&=-g\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta &=0.\end{aligned}}}$$

اشتقاق "الطاقة" من ( المعادلة 1 )

ويمكن الحصول عليها أيضاً من خلال مبدأ حفظ الطاقة الميكانيكية : أي جسم يسقط مسافة رأسية${\displaystyle h}$سيكتسب الجسم طاقة حركية مساوية لتلك التي فقدها أثناء السقوط. بعبارة أخرى، تتحول طاقة الوضع التثاقلية إلى طاقة حركية. ويُعطى التغير في طاقة الوضع بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \Delta U=mgh.}$$

يُعطى التغير في الطاقة الحركية (للجسم الذي بدأ من السكون) بالمعادلة التالية: $${\displaystyle \Delta K={\tfrac {1}{2}}mv^{2}.}$$

بما أنه لا يوجد فقد في الطاقة، فإن المكسب في أحدهما يجب أن يساوي الفقد في الآخر $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}=mgh.}$$

يمكن التعبير عن التغير في السرعة لتغير معين في الارتفاع على النحو التالي: $${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}.}$$

باستخدام صيغة طول القوس أعلاه، يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة بدلالة ⁠ dθ / dt ⁠ : $${\displaystyle {\begin{aligned}v=\ell {\frac {d\theta }{dt}}&={\sqrt {2gh}},\quad {\text{so}}\\{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {\sqrt {2gh}}{\ell }},\end{aligned}}}$$ حيث h هي المسافة الرأسية التي سقطها البندول. انظر إلى الشكل 2، الذي يوضح حساب المثلثات للبندول البسيط. إذا بدأ البندول تأرجحه من زاوية ابتدائية θ₀ _، فإن y₀ _، وهي المسافة الرأسية من البرغي، تُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle y_{0}=\ell \cos \theta _{0}.}$$

وبالمثل، عندما يكون y ₁ ، فإن $${\displaystyle y_{1}=\ell \cos \theta .}$$

إذن ، h هو الفرق بين الاثنين $${\displaystyle h=\ell \left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right).}$$

بدلالة dθ / dt تعطي​​

$${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}={\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}.}$$

المعادلة 2

تُعرف هذه المعادلة بالتكامل الأول للحركة ، وهي تُعطي السرعة بدلالة الموقع، وتتضمن ثابت تكامل مرتبطًا بالإزاحة الابتدائية ( _θ₀ ) . بعد ذلك، يتم اشتقاقها باستخدام قاعدة السلسلة بالنسبة للزمن للحصول على التسارع. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {d}{dt}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}},\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\frac {d\theta }{dt}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,\end{aligned}}}$$

وهي نفس النتيجة التي تم الحصول عليها من خلال تحليل القوة.

اشتقاق "لاغرانج" للمعادلة ( 1 )

يمكن الحصول على المعادلة 1 أيضًا من خلال ميكانيكا لاغرانج . وبشكل أكثر تحديدًا، باستخدام معادلات أويلر-لاغرانج (أو معادلات لاغرانج من النوع الثاني) عن طريق تحديد لاغرانجيان النظام (${\displaystyle {\mathcal {L}}}$القيود (${\displaystyle q}$) وحل نظام المعادلات التالي

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{j}}}}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}.}$$

إذا تم تعريف أصل نظام الإحداثيات الديكارتية على أنه نقطة التعليق (أو ببساطة نقطة الارتكاز)، فإن الثقل يكون عند

$${\displaystyle x=\ell \sin {\theta },}$$$${\displaystyle y=-\ell \cos {\theta },}$$

وسرعة الكرة، المحسوبة عن طريق تفاضل الإحداثيات بالنسبة للزمن (باستخدام رمز النقطة للإشارة إلى المشتقات الزمنية).

$${\displaystyle {\dot {x}}=\ell {\dot {\theta }}\cos {\theta },}$$$${\displaystyle {\dot {y}}=\ell {\dot {\theta }}\sin {\theta }.}$$

وبالتالي، فإن لاغرانجيان هو

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=E_{k}-E_{p}\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}-mgh\\&={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})-mg\ell (1-\cos {\theta })\\&={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell +mg\ell \cos {\theta }.\end{aligned}}}$$

معادلة أويلر -لاغرانج (معادلة شاذة لوجود قيد واحد فقط،${\displaystyle q=\theta }$وبالتالي

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\\{\frac {d}{dt}}(m\ell ^{2}{\dot {\theta }})&=-mg\ell \sin {\theta }\\m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}&=-mg\ell \sin {\theta }\\{\ddot {\theta }}&=-{\frac {g}{\ell }}\sin {\theta }.\\\end{aligned}}}$$

والتي يمكن إعادة ترتيبها بعد ذلك لتتوافق مع المعادلة 1 ، التي تم الحصول عليها من خلال تحليل القوة.

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin {\theta }=0.}$$

إن الاشتقاق عبر ميكانيكا لاغرانج، على الرغم من كونه مفرطًا مع بندول واحد، إلا أنه مفيد للأنظمة الأكثر تعقيدًا وفوضوية ، مثل البندول المزدوج .

المعادلة التفاضلية المذكورة أعلاه ليست سهلة الحل، ولا يوجد حل يمكن كتابته بدلالة الدوال الأولية . مع ذلك، فإن إضافة قيد على سعة التذبذب يعطي صيغة يمكن الحصول على حلها بسهولة. إذا افترضنا أن الزاوية أقل بكثير من 1 راديان (غالبًا ما يُشار إليها بأنها أقل من 0.1 راديان، أي حوالي 6 درجات)، أو   $${\displaystyle \theta \ll 1,}$$ ثم بالتعويض عن sin θ في المعادلة 1 باستخدام تقريب الزاوية الصغيرة ، $${\displaystyle \sin \theta \approx \theta ,}$$ ينتج عن ذلك معادلة المذبذب التوافقي ، $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta =0.}$$

الخطأ الناتج عن التقريب هو من رتبة θ ³ (من توسيع تايلور لـ sin θ ).

لنفترض أن زاوية البداية هي θ _{= 0.} إذا افترضنا أن البندول قد أُطلق بسرعة زاوية صفرية ، فإن الحل يصبح

الحركة هي حركة توافقية بسيطة حيث θ₀ هي سعة التذبذب (أي الزاوية القصوى بين قضيب البندول والخط الرأسي). ويكون الزمن الدوري التقريبي _{المقابل} للحركة هو

وهو ما يُعرف بقانون كريستيان هيغنز للدورة. تجدر الإشارة إلى أنه في ظل تقريب الزاوية الصغيرة، تكون الدورة مستقلة عن السعة θ₀ _؛ وهذه هي خاصية التزامن التي اكتشفها غاليليو .

$${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}}$$أعطِ$${\displaystyle \ell ={\frac {g}{\pi ^{2}}}{\frac {T_{0}^{2}}{4}}.}$$

إذا تم استخدام وحدات النظام الدولي للوحدات (أي القياس بالأمتار والثواني)، وبافتراض أن القياس يتم على سطح الأرض، فإن g ≈ 9.81 م/ث ² ، و g / π ² ≈ 1 م/ث ² (0.994 هو التقريب إلى 3 منازل عشرية).

لذلك، فإن التقريبات المعقولة نسبياً للطول والفترة هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\ell &\approx {\frac {T_{0}^{2}}{4}},\\T_{0}&\approx 2{\sqrt {\ell }}\end{aligned}}}$$ حيث T ₀ هو عدد الثواني بين ضربتين (ضربة واحدة لكل جانب من جوانب التأرجح)، ويتم قياس l بالأمتار.

بالنسبة للسعات التي تتجاوز تقريب الزاوية الصغيرة ، يمكن حساب الفترة الدقيقة عن طريق عكس معادلة السرعة الزاوية التي تم الحصول عليها من طريقة الطاقة ( المعادلة 2 ). $${\displaystyle {\frac {dt}{d\theta }}={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {1}{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}}$$ ثم التكامل على مدار دورة كاملة واحدة، $${\displaystyle T=t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}),}$$ أو ضعف نصف الدورة $${\displaystyle T=2t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}),}$$ أو أربعة أضعاف ربع الدورة $${\displaystyle T=4t(\theta _{0}\rightarrow 0),}$$ مما يؤدي إلى $${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.}$$

لاحظ أن هذا تكامل غير محدود لأن الدالة المراد تكاملها لها نقاط شاذة عند${\displaystyle \theta =\pm \theta _{0}+2\pi \mathbb {Z} }$لكن هذه الحالات الشاذة قابلة للتكامل طالما أن${\displaystyle 0<\theta _{0}<\pi }$. في${\displaystyle \theta _{0}=\pm \pi }$تصبح النقاط الشاذة غير قابلة للتكامل، مما يعني أن قيمة التكامل تتباعد عندما تقترب زاوية التأرجح القصوى من الوضع الرأسي. $${\displaystyle \lim _{\theta _{0}\to \pi }T=\infty ,}$$ لذا فإن البندول الذي يمتلك الطاقة الكافية للتحرك عموديًا لن يصل إلى هذه الحالة أبدًا. (على العكس من ذلك، قد يستغرق البندول القريب من أقصى طاقة له وقتًا طويلاً جدًا ليسقط).

يمكن إعادة كتابة هذا التكامل بدلالة التكاملات الإهليلجية على النحو التالي: $${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}F\left({\frac {\pi }{2}},\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}$$ حيث F هو التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول المعرف بواسطة $${\displaystyle F(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

أو باختصار أكثر عن طريق الاستبدال$${\displaystyle \sin {u}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}$$ التعبير عن θ بدلالة u ،

هنا K هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول المعرف بـ

$${\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.}$$

للمقارنة بين التقريب والحل الكامل، ضع في اعتبارك دورة بندول طوله 1  متر على الأرض ( g =9.806 65  م/ث² ^عند زاوية ابتدائية قدرها 10 درجات هو $${\displaystyle 4{\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\ K\left(\sin {\frac {10^{\circ }}{2}}\right)\approx 2.0102{\text{ s}}.}$$ التقريب الخطي يعطي

$${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\approx 2.0064{\text{ s}}.}$$

إن الفرق بين القيمتين، وهو أقل من 0.2%، أقل بكثير من الفرق الناتج عن تغير قيمة g مع الموقع الجغرافي.

ومن هنا توجد طرق عديدة للمضي قدماً في حساب التكامل الإهليلجي.

على الرغم من الفترة الزمنية المحددة${\displaystyle T}$يمكن تحديدها، لأي سعة محدودة${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$rad، عن طريق تقييم التكامل الإهليلجي الكامل المقابل${\displaystyle K(k)}$، أين${\displaystyle k\equiv \sin(\theta _{0}/2)}$غالبًا ما يُتجنب هذا في التطبيقات لأنه لا يمكن التعبير عن هذا التكامل بصيغة مغلقة بدلالة الدوال الأولية. وقد مهد هذا الطريق للبحث عن صيغ تقريبية بسيطة لزيادة دورة البندول مع السعة (مفيدة في مختبرات الفيزياء التمهيدية، والميكانيكا الكلاسيكية، والكهرومغناطيسية، وعلم الصوت، والإلكترونيات، والموصلية الفائقة ، إلخ. ^{[ 9 ]} يمكن تصنيف الصيغ التقريبية التي توصل إليها مؤلفون مختلفون على النحو التالي:

• الصيغ "غير الكبيرة الزاوية"، أي تلك التي تعطي تقديرات جيدة للسعات الأقل من${\displaystyle \pi /2}$rad (وهو حد طبيعي لثقل في نهاية خيط مرن)، على الرغم من أن الانحراف بالنسبة للدورة الدقيقة يزداد بشكل رتيب مع السعة، وهو غير مناسب للسعات القريبة من${\displaystyle \pi }$راد. إحدى أبسط الصيغ الموجودة في الأدبيات هي الصيغة التالية التي وضعها ليما (2006):${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$، أين${\displaystyle a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}}$[ ^{10 ]​}
• صيغ "الزاوية الكبيرة جدًا"، أي تلك التي تقارب الفترة الدقيقة تقاربًا مقاربًا للسعات القريبة من${\displaystyle \pi }$rad، مع خطأ يتزايد بشكل مطرد مع السعات الأصغر (أي أنه غير مناسب للسعات الصغيرة). إحدى أفضل هذه الصيغ هي صيغة كرومر، وهي: ^{[ 11 ]}${\textstyle T\approx {\frac {2}{\pi }}\,T_{0}\,\ln {(4/a)}}$.

بالطبع، زيادة${\displaystyle T}$يكون الاتساع أكثر وضوحًا عندما${\displaystyle \pi /2<\theta _{0}<\pi }$كما لوحظ في العديد من التجارب باستخدام قضيب صلب أو قرص. ^{[ 12 ]} ونظرًا لتوافر أجهزة التوقيت والمستشعرات الدقيقة حاليًا حتى في مختبرات الفيزياء التمهيدية، فإن الأخطاء التجريبية التي تم رصدها في تجارب "الزوايا الكبيرة جدًا" صغيرة بما يكفي للمقارنة مع الفترة الزمنية الدقيقة، وقد تم التوصل إلى توافق جيد جدًا بين النظرية والتجارب التي يكون فيها الاحتكاك ضئيلاً. ولأن العديد من المدرسين شجعوا هذا النشاط، فقد تم البحث عن صيغة تقريبية بسيطة لفترة البندول صالحة لجميع السعات الممكنة، والتي يمكن مقارنة البيانات التجريبية بها. في عام 2008، اشتق ليما صيغة متوسط ​​مرجح بهذه الخاصية: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle T\approx {\frac {r\,a^{2}\,T_{\text{Lima}}+k^{2}\,T_{\text{Cromer}}}{r\,a^{2}+k^{2}}},}$$ أين${\displaystyle r=7.17}$، وهو ما يمثل خطأً أقصى بنسبة 0.6% فقط (عند${\displaystyle \theta _{0}=95^{\circ }}$).

توسيع متسلسلة فورييه لـ${\displaystyle \theta (t)}$يتم تحديده بواسطة ^{[ 13 ] [ 14 ]}

$${\displaystyle \theta (t)=8\sum _{n\geq 1{\text{ odd}}}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {n/2}\right\rfloor }}{n}}{\frac {q^{n/2}}{1+q^{n}}}\cos(n\omega t)}$$

أين${\displaystyle q}$هو الاسم الإهليلجي ،${\displaystyle q=\exp \left({-\pi K{\bigl (}{\sqrt {\textstyle 1-k^{2}}}{\bigr )}{\big /}K(k)}\right),}$${\displaystyle k=\sin(\theta _{0}/2),}$و${\displaystyle \omega =2\pi /T}$التردد الزاوي .

إذا عرّف المرء $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}{1+{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}}}$$${\displaystyle q}$يمكن تقريبها باستخدام التوسع $${\displaystyle q=\varepsilon +2\varepsilon ^{5}+15\varepsilon ^{9}+150\varepsilon ^{13}+1707\varepsilon ^{17}+20910\varepsilon ^{21}+\cdots }$$ (انظر OEIS : A002103  ). لاحظ أن${\displaystyle \varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$ل${\displaystyle \theta _{0}<\pi }$وبالتالي فإن التقريب قابل للتطبيق حتى بالنسبة للسعات الكبيرة.

بصورة مكافئة، يمكن التعبير عن الزاوية بدلالة دالة جاكوبي الإهليلجية${\displaystyle \operatorname {cd} }$مع معامل${\displaystyle k}$^{[ 15 ]}$${\displaystyle \theta (t)=2\arcsin \left(k\operatorname {cd} \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t;k\right)\right),\quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.}$$

للصغار${\displaystyle x}$،${\displaystyle \sin x\approx x}$،${\displaystyle \arcsin x\approx x}$و${\displaystyle \operatorname {cd} (t;0)=\cos t}$، لذلك يتم تقريب الحل بشكل جيد بواسطة الحل الوارد في البندول (الميكانيكا)#تقريب الزاوية الصغيرة .

تُظهر الرسوم المتحركة أدناه حركة بندول بسيط (عديم الاحتكاك) مع زيادة مقدار الإزاحة الابتدائية للكرة، أو ما يعادلها من زيادة السرعة الابتدائية. الرسم البياني الصغير أعلى كل بندول هو مخطط مستوى الطور المقابل ؛ المحور الأفقي يمثل الإزاحة والمحور الرأسي يمثل السرعة. عند سرعة ابتدائية كبيرة بما يكفي، لا يتأرجح البندول ذهابًا وإيابًا، بل يدور دورة كاملة حول محوره.

• 
  زاوية ابتدائية قدرها 0 درجة، توازن مستقر
• 
  زاوية ابتدائية 45 درجة
• 
  زاوية ابتدائية 90 درجة
• 
  زاوية ابتدائية قدرها 135 درجة
• 
  زاوية ابتدائية قدرها 170 درجة
• 
  زاوية ابتدائية قدرها 180 درجة، توازن غير مستقر
• 
  بندول بالكاد يملك طاقة كافية لتأرجح كامل
• 
  بندول مزود بطاقة كافية لتأرجح كامل

البندول المركب (أو البندول الفيزيائي ) هو بندول لا يكون قضيبه عديم الكتلة، وقد يكون له حجم كبير؛ أي جسم صلب ذو شكل عشوائي يتأرجح حول محور.${\displaystyle O}$في هذه الحالة، يعتمد زمن دورة البندول على عزم قصوره الذاتي${\displaystyle I_{O}}$حول نقطة الارتكاز.

معادلة عزم الدوران تعطي ما يلي: $${\displaystyle \tau =I\alpha }$$ أين: ${\displaystyle \alpha }$هو التسارع الزاوي. ${\displaystyle \tau }$عزم الدوران

يتولد عزم الدوران بفعل الجاذبية، لذا: ${\displaystyle \tau =-mgr_{\oplus }\sin \theta }$ أين:

• ${\displaystyle m}$هي الكتلة الإجمالية للجسم الصلب (القضيب والكرة)
• ${\displaystyle r_{\oplus }}$هي المسافة من نقطة الارتكاز إلى مركز كتلة النظام.
• ${\displaystyle \theta }$هي الزاوية من الوضع الرأسي

وبالتالي، في ظل تقريب الزاوية الصغيرة،${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$(أو ما يعادل ذلك عندما${\displaystyle \theta _{\mathrm {max} }\ll 1}$) $${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\sin \theta \approx -{\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\theta }$$ أين${\displaystyle I_{O}}$عزم القصور الذاتي للجسم حول نقطة الارتكاز${\displaystyle O}$.

التعبير عن${\displaystyle \alpha }$وهو من نفس شكل البندول البسيط التقليدي ويعطي فترة زمنية قدرها ^{[ 2 ]}$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\oplus }}}}}$$

وتردد $${\displaystyle f={\frac {1}{T}}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}}}$$

إذا أُخذت الزاوية الأولية في الاعتبار (للسعات الكبيرة)، فإن التعبير عن${\displaystyle \alpha }$يصبح: $${\displaystyle \alpha ={\ddot {\theta }}=-{\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\sin \theta }$$ ويحدد فترة زمنية قدرها: $${\displaystyle T=4\operatorname {K} \left(\sin ^{2}{\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right){\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\oplus }}}}}$$ أين${\displaystyle \theta _{\mathrm {max} }}$هي أقصى زاوية تذبذب (بالنسبة للخط الرأسي) و${\displaystyle \operatorname {K} (k)}$هو التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول .

يُعدّ الطول المكافئ مفهوماً مهماً ،${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$، طول البندول البسيط الذي له نفس التردد الزاوي${\displaystyle \omega _{0}}$مثل البندول المركب: ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {g}{\ell ^{\mathrm {eq} }}}:={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\implies \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\oplus }}}}$

ضع في اعتبارك الحالات التالية:

• البندول البسيط هو الحالة الخاصة التي تتركز فيها كل الكتلة عند النقطة المتأرجحة على مسافة معينة.${\displaystyle \ell }$من نقطة الارتكاز. وهكذا،${\displaystyle r_{\oplus }=\ell }$و${\displaystyle I_{O}=m\ell ^{2}}$وبالتالي، فإن التعبير يختزل إلى:${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {mg\ell }{m\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}}$. يلاحظ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }=\ell }$، كما هو متوقع (تعريف الطول المكافئ).
• قضيب متجانس كتلته${\displaystyle m}$والطول${\displaystyle \ell }$يتأرجح من طرفه${\displaystyle r_{\oplus }={\frac {1}{2}}\ell }$و${\displaystyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$وبالتالي، فإن التعبير يختزل إلى:${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {mg\,{\frac {1}{2}}\ell }{{\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}}={\frac {g}{{\frac {2}{3}}\ell }}}$. يلاحظ${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {2}{3}}\ell }$، يتذبذب قضيب متجانس كما لو كان بندولًا بسيطًا بطول ثلثي طوله.
• البندول البسيط الثقيل: مزيج من قضيب متجانس الكتلة${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$والطول${\displaystyle \ell }$يتأرجح من طرفه، وكرة${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$في الطرف الآخر. عندئذٍ، يصبح للنظام كتلة إجمالية قدرها${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}$والمعايير الأخرى هي${\displaystyle mr_{\oplus }=m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}}$(بحسب تعريف مركز الكتلة) و${\displaystyle I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}$وبالتالي، فإن التعبير يختزل إلى:

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {\left(m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}\right)g}{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2}}}{m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3}}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}}$ أين${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }=\ell {\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}}}$لاحظ أنه يمكن تبسيط هذه الصيغ لتشمل الحالتين السابقتين اللتين دُرستا سابقًا بمجرد اعتبار كتلة القضيب أو الثقل صفرًا. لاحظ أيضًا أن الصيغة لا تعتمد على كتلة كل من الثقل والقضيب، بل على نسبتهما.${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}$يمكن إجراء تقريب لـ${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1}$:

${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}\approx {\frac {g}{\ell }}\left(1+{\frac {1}{6}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}+\cdots \right)}$

لاحظ مدى تشابهها مع التردد الزاوي في نظام كتلة-نابض ذي كتلة فعالة .

يركز النقاش أعلاه على ثقل البندول الذي لا يؤثر عليه سوى قوة الجاذبية. لنفترض وجود قوة تخميد، كمقاومة الهواء مثلاً، بالإضافة إلى قوة دافعة جيبية تؤثر على الجسم. هذا النظام عبارة عن مذبذب مُخمد ومدفوع ، وهو نظام فوضوي .

يمكن كتابة المعادلة (1) على النحو التالي

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta }$$

(انظر اشتقاق عزم الدوران للمعادلة (1) أعلاه).

يمكن إضافة حد التخميد وحد القوة إلى الجانب الأيمن للحصول على

$${\displaystyle ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta -b{\frac {d\theta }{dt}}+a\cos(\Omega t)}$$

حيث يُفترض أن التخميد يتناسب طرديًا مع السرعة الزاوية (هذا صحيح بالنسبة لمقاومة الهواء منخفضة السرعة، انظر أيضًا السحب (الفيزياء) ).${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$وهي ثوابت تحدد سعة القوة ودرجة التخميد على التوالي.${\textstyle \Omega }$يمثل التردد الزاوي للتذبذبات المحركة.

القسمة على${\textstyle ml^{2}}$:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {b}{ml^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {g}{l}}{\sin \theta }-{\frac {a}{ml^{2}}}\cos(\Omega t)=0.}$$

بالنسبة للبندول المادي:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {b}{I}}{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {mgr_{\oplus }}{I}}{\sin \theta }-{\frac {a}{I}}\cos(\Omega t)=0.}$$

تُظهر هذه المعادلة سلوكًا فوضويًا . لا يمكن إيجاد الحركة الدقيقة لهذا البندول إلا عدديًا، وهي تعتمد اعتمادًا كبيرًا على الشروط الابتدائية، مثل السرعة الابتدائية وسعة التأرجح. مع ذلك، يمكن استخدام تقريب الزاوية الصغيرة المذكور أعلاه في ظل الشروط المطلوبة للحصول على حل تحليلي تقريبي.

الدالة الإهليلجية اليعقوبية التي تعبر عن موضع البندول كدالة للزمن هي دالة دورية مزدوجة، لها دورة حقيقية ودورة تخيلية . الدورة الحقيقية هي، بطبيعة الحال، الزمن الذي يستغرقه البندول لإتمام دورة كاملة. وقد أشار بول أبيل إلى تفسير فيزيائي للدورة التخيلية: ^{[ 16 ]} إذا كانت _θ₀ هي الزاوية القصوى لأحد البندولين، و 180 ° − _θ₀ هي الزاوية القصوى للآخر، فإن الدورة الحقيقية لكل منهما تساوي مقدار الدورة التخيلية للآخر.

يمكن للبندولات المتصلة أن تؤثر على حركة بعضها البعض، إما من خلال اتصال مباشر (مثل نابض يربط بين كرتي البندول) أو من خلال حركات في هيكل داعم (مثل سطح طاولة). ويمكن اشتقاق معادلات الحركة لبندولين بسيطين متطابقين متصلين بنابض يربط بين كرتي البندول باستخدام ميكانيكا لاغرانج .

الطاقة الحركية للنظام هي: $${\displaystyle E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)}$$ أين${\displaystyle m}$كتلة الكرات،${\displaystyle L}$هو طول الأوتار، و${\displaystyle \theta _{1}}$،${\displaystyle \theta _{2}}$تمثل هذه الإزاحات الزاوية للكرتين عن وضع التوازن.

الطاقة الكامنة للنظام هي: $${\displaystyle E_{\text{p}}=mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})+{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$

أين${\displaystyle g}$هو التسارع الناتج عن الجاذبية ، و${\displaystyle k}$هو ثابت الزنبرك . الإزاحة${\displaystyle L(\theta _{2}-\theta _{1})}$إن انحراف الزنبرك عن موضع توازنه يفترض تقريب الزاوية الصغيرة .

ثم يكون لاغرانجيان $${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})-{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}}$$ مما يؤدي إلى مجموعة المعادلات التفاضلية المترابطة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{1}+{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{2}-{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$

بجمع وطرح هاتين المعادلتين بالتتابع، وتطبيق تقريب الزاوية الصغيرة، نحصل على معادلتين للمذبذب التوافقي بدلالة المتغيرات.${\displaystyle \theta _{1}+\theta _{2}}$و${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{2}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}(\theta _{1}+\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{1}-{\ddot {\theta }}_{2}+\left({\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}\right)(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}}$$ مع الحلول المقابلة $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}+\theta _{2}&=A\cos(\omega _{1}t+\alpha )\\\theta _{1}-\theta _{2}&=B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$ أين $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {g}{L}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {{\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}}}\end{aligned}}}$$

و${\displaystyle A}$،${\displaystyle B}$،${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$هي ثوابت التكامل .

التعبير عن الحلول بدلالة${\displaystyle \theta _{1}}$و${\displaystyle \theta _{2}}$وحيد: $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )+{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\\\theta _{2}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )-{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}}$$

إذا لم يتم إعطاء الكرات دفعة أولية، فإن الحالة${\displaystyle {\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0}$يتطلب${\displaystyle \alpha =\beta =0}$، مما يعطي (بعد بعض إعادة الترتيب): $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\theta _{1}(0)+\theta _{2}(0)\\B&=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0)\end{aligned}}}$$

• هارمونوغراف
• البندول المخروطي
• البندول الدائري
• بندول مزدوج
• البندول المقلوب
• بندول كابيتزا
• بندول رايلي-لورنتز
• البندول المرن
• دالة ماثيو
• معادلات البندول (برنامج حاسوبي)

• بيكر، غريغوري ل.؛ بلاكبيرن، جيمس أ. (2005). البندول: دراسة حالة في الفيزياء (ملف PDF) . مطبعة جامعة أكسفورد.
• أوكس، كارلهاينز (2011). "حل تحليلي شامل للبندول غير الخطي". المجلة الأوروبية للفيزياء . 32 (2): 479-490 . Bibcode : 2011EJPh...32..479O . doi : 10.1088/0143-0807/32/2/019 . S2CID 53621685 . 
• سالا، كينيث ل. (1989). "تحويلات دالة سعة جاكوبيان وحسابها باستخدام المتوسط ​​الحسابي الهندسي". مجلة SIAM للتحليل الرياضي . 20 (6): 1514-1528 . doi : 10.1137/0520100 .

• مقال من موقع Mathworld حول دالة ماثيو