مساحة مضاعفة

الموسوعة الحرة
في المستوى الإقليدي ، يمكن لسبعة أقراص نصف قطرها r /2 أن تغطي أي قرص نصف قطره r ، لذا فإن المستوى هو فضاء مضاعف بثابت مضاعفة 7 وبُعد مضاعفة log 2 7.

في الرياضيات ، يُقال إن الفضاء المتري X ذو المقياس d هو فضاء مضاعف إذا وُجد ثابت مضاعفة M > 0 بحيث أنه لأي x ∈ X و r > 0 ، من الممكن تغطية الكرة B ( x , r ) = { y | d ( x , y ) < r } باتحاد M كرة على الأكثر، نصف قطر كل منها r / 2 . [ 1 ] يُسمى اللوغاريتم الثنائي لـ M بُعد المضاعفة للفضاء X. [ 2 ] الفضاءات الإقليديةRد{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}تُعدّ الفضاءات المجهزة بالمقياس الإقليدي المعتاد أمثلة على فضاءات مضاعفة حيث يعتمد ثابت المضاعفة M على البُعد d . على سبيل المثال، في بُعد واحد، M = 3 ؛ وفي بُعدين، M = 7. [ 3 ] بشكل عام، الفضاء الإقليدي Rد{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} له بُعد مضاعفΘ(د){\displaystyle \Theta (d)}[ 2 ] [ 4 ]​

نظرية التضمين لأسود

يُعدّ تحديد الفضاءات المترية التي يمكن تضمينها في أي فضاء إقليدي بواسطة دالة ثنائية ليبشيتز سؤالًا هامًا في هندسة الفضاءات المترية . وهذا يعني أنه يمكن اعتبار الفضاء المتري مجموعة جزئية من الفضاء الإقليدي. ليس بالضرورة أن تكون جميع الفضاءات المترية مُضمنة في الفضاء الإقليدي. من ناحية أخرى، تبدو الفضاءات المترية المضاعفة أكثر احتمالًا، لأن شرط المضاعفة يُشير، بطريقة ما، إلى أن الفضاء المتري ليس لانهائي الأبعاد. مع ذلك، لا ينطبق هذا على جميع الحالات. تُعدّ زمرة هايزنبرغ، بمقياس كارنو-كاراثيودوري الخاص بها، مثالًا على فضاء متري مضاعف لا يمكن تضمينه في أي فضاء إقليدي. [ 5 ]

تنص نظرية أسود على أنه بالنسبة لفضاء متري مضاعف من النوع M، X ، إذا أعطيناه المقياس d ( x , y ) ε لبعض القيم 0 < ε < 1 ، فإنه يوجد تطبيق ثنائي ليبشيتز من النوع Lو:X→Rد{\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}، حيث يعتمد كل من d و L على M و ε .

إجراءات مضاعفة

تعريف

يُقال إن المقياس غير التافه على فضاء متري X هو مقياس مضاعف إذا كان قياس أي كرة محدودًا ويقارب قياس مضاعفها، أو بتعبير أدق، إذا كان هناك ثابت C  >  0 بحيث

0<μ(ب(x،2ر))≤جμ(ب(x،ر))<∞{\displaystyle 0<\mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))<\infty \,}

لكل x في X و r  >  0. في هذه الحالة، نقول إن μ هو مضاعف من النوع C. في الواقع، يمكن إثبات أن C بالضرورة ≥{\displaystyle \geq } 2. [ 6 ]

إنّ فضاء القياس المتري الذي يدعم قياسًا مضاعفًا هو بالضرورة فضاء متري مضاعف، حيث يعتمد ثابت المضاعفة على الثابت C. وعلى العكس من ذلك، فإنّ كل فضاء متري مضاعف كامل يدعم قياسًا مضاعفًا. [ 7 ] [ 8 ] 

أمثلة

من الأمثلة البسيطة على مقياس المضاعفة مقياس ليبيغ على الفضاء الإقليدي. مع ذلك، يمكن أن توجد مقاييس مضاعفة على الفضاء الإقليدي تكون شاذة بالنسبة لمقياس ليبيغ. ومن الأمثلة على ذلك على خط الأعداد الحقيقية النهاية الضعيفة للمتتالية التالية من المقاييس: [ 9 ]

دμن=∏أنا=1ن(1+أكوس⁡(3أنا2πx))دx،|أ|<1.{\displaystyle d\mu _{n}=\prod _{i=1}^{n}(1+a\cos(3^{i}2\pi x))\,dx,\;\;\;|a|<1.}

يمكن بناء مقياس مضاعفة منفرد آخر μ على الفترة [0,  1] كما يلي: لكل k  ≥  0، تُقسّم الفترة [0, 1] إلى 3k فترات طول كل منها 3 − k . ولتكن Δ مجموعة جميع هذه الفترات في [0, 1] المُحصل عليها لكل k (وهي الفترات الثلاثية )، ولكل فترة I ، يُرمز إلى ثلثها الأوسط بـ m ( I  ). لنثبت 0 < δ < 1، وليكن μ هو المقياس الذي يحقق μ ([0, 1]) = 1، ولكل فترة ثلاثية I ، يكون μ ( m ( I )) = δμ ( I ). عندئذٍ، يُعطي هذا مقياس مضاعفة على [0, 1] منفردًا بالنسبة لمقياس ليبيغ. [ 10 ]         

التطبيقات

قد يبدو تعريف مقياس المضاعفة اعتباطياً، أو ذا أهمية هندسية بحتة. ومع ذلك، فإن العديد من نتائج التحليل التوافقي الكلاسيكي والهندسة الحسابية تمتد إلى فضاءات القياس ذات مقاييس المضاعفة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ هاينونن، يوها (2001). محاضرات في التحليل على الفضاءات المترية . سلسلة يونيفرسيتكست. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص.  س+140. ISBN 0-387-95104-0.
  2. 1 2 غوبتا، أ.؛ كراوثغامر، ر.؛ لي، جيه آر (2003). "الهندسات المحدودة، والكسور، والتضمينات منخفضة التشوه" . المؤتمر السنوي الرابع والأربعون لمؤسسة مهندسي الكهرباء والإلكترونيات حول أسس علوم الحاسوب، 2003. وقائع المؤتمر . الصفحات 534-543 . doi : 10.1109/SFCS.2003.1238226 . ISBN  0-7695-2040-5. S2CID 796386 . 
  3. ↑ و.، وايسشتاين، إريك. "مسألة تغطية القرص" . mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع في 3 مارس 2018 .{{cite web}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  4. ↑ تشو، فيليكس (21 فبراير 2023). "مضاعفة البعد وعرض الشجرة" (ملف PDF) .
  5. ^ بانسو، بيير (1989). "Métiques de Carnot-Carathéodory et quasiisométries des spaces Symétriques de rang un". آن. الرياضيات . السلسلة 2. 129 (1): 1– 60. دوى : 10.2307 / 1971484 . جستور 1971484 . 
  6. ↑ سوريا، خافيير؛ تراداسيتي، بيدرو (2019). "أصغر ثابت مضاعفة لفضاء قياس متري" . حوليات الأكاديمية الفنلندية للعلوم، الرياضيات . 44 (2): 1015-1030 . doi : 10.5186/aasfm.2019.4457 .
  7. ↑ لوكاينن، جوني؛ ساكسمان، إيرو (1998). "كل فضاء متري مضاعف كامل يحمل مقياسًا مضاعفًا" . وقائع الجمعية الأمريكية للرياضيات . 126 (2): 531-534 . doi : 10.1090/s0002-9939-98-04201-4 .
  8. ↑ جوني، لوكاينن (1998). "بعد أسود: القياس المضاد للكسور، والمجموعات المسامية، والقياسات المتجانسة" . مجلة الجمعية الرياضية الكورية . 35 (1). ISSN 0304-9914 . 
  9. ↑ زيغموند، أ. (2002). المتسلسلات المثلثية. المجلد الأول، المجلد الثاني . مكتبة كامبريدج الرياضية ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات: 12، المجلد الأول: 14+383 صفحة، المجلد الثاني: 8+364 صفحة. ISBN   0-521-89053-5.
  10. ^ كاهانا، ج.-ب. (1969). "Trois Notes sur les ensembles parfaits linéaires". Enseignement Mathémathique . السلسلة 2. 15 : 185– 192.