المقياس التجريبي

في نظرية الاحتمالات ، يُعرَّف المقياس التجريبي بأنه مقياس عشوائي ينشأ من تحقق معين لتسلسل (عادةً ما يكون محدودًا) من المتغيرات العشوائية . يرد التعريف الدقيق أدناه. وتُعدّ المقاييس التجريبية ذات صلة بالإحصاء الرياضي .

الدافع وراء دراسة المقاييس التجريبية هو أنه غالباً ما يكون من المستحيل معرفة مقياس الاحتمالية الأساسي الحقيقي${\displaystyle P}$نقوم بجمع الملاحظات ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ويمكننا حساب الترددات النسبية .${\displaystyle P}$أو دالة توزيع ذات صلة${\displaystyle F}$باستخدام المقياس التجريبي أو دالة التوزيع التجريبي، على التوالي. وتُعدّ هذه تقديرات جيدة بشكل موحد في ظل شروط معينة. وتُقدّم النظريات في مجال العمليات التجريبية معدلات هذا التقارب.

يترك${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$لتكن سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع ذات القيم في فضاء الحالة S مع توزيع احتمالي P.

تعريف

يُعرَّف المقياس التجريبي P n للمجموعات الجزئية القابلة للقياس من _S ويُعطى بواسطة

${\displaystyle P_{n}(A)={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}I_{A}(X_{i})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}}(A)}$

أين${\displaystyle I_{A}}$هي دالة المؤشر و${\displaystyle \delta _{X}}$هو مقياس ديراك .

ملكيات

• بالنسبة لمجموعة قابلة للقياس ثابتة A ، فإن nP _n ( A ) هو متغير عشوائي ذو حدين بمتوسط ​​nP ( A ) وتباين nP ( A )(1  − P ( A )).  
  • على وجه الخصوص، فإن P _n ( A ) هو مقدر غير متحيز لـ P ( A ).
• لتقسيم ثابت${\displaystyle A_{i}}$من S ، المتغيرات العشوائية${\displaystyle Y_{i}=nP_{n}(A_{i})}$تشكيل توزيع متعدد الحدود باحتمالات الحدث${\displaystyle P(A_{i})}$
  • مصفوفة التغاير لهذا التوزيع متعدد الحدود هي${\displaystyle Cov(Y_{i},Y_{j})=nP(A_{i})(\delta _{ij}-P(A_{j}))}$.

تعريف

${\displaystyle {\bigl (}P_{n}(c){\bigr )}_{c\in {\mathcal {C}}}}$هو المقياس التجريبي المفهرس بواسطة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، مجموعة من المجموعات الفرعية القابلة للقياس من S.

ولتعميم هذا المفهوم أكثر، لاحظ أن المقياس التجريبي${\displaystyle P_{n}}$خرائط الوظائف القابلة للقياس${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$إلى متوسطها التجريبي ،

${\displaystyle f\mapsto P_{n}f=\int _{S}f\,dP_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})}$

على وجه الخصوص، فإن المقياس التجريبي لـ A هو ببساطة المتوسط ​​التجريبي لدالة المؤشر، P _n ( A ) = P _n I _A .

لدالة قابلة للقياس ثابتة${\displaystyle f}$،${\displaystyle P_{n}f}$هو متغير عشوائي بمتوسط${\displaystyle \mathbb {E} f}$والتباين${\displaystyle {\frac {1}{n}}\mathbb {E} (f-\mathbb {E} f)^{2}}$.

بحسب قانون الأعداد الكبيرة القوي ، فإن P _n ( A ) يتقارب إلى P ( A ) بشكل شبه مؤكد لقيمة ثابتة لـ A. وبالمثل${\displaystyle P_{n}f}$يتقارب إلى${\displaystyle \mathbb {E} f}$شبه مؤكد لدالة قابلة للقياس ثابتة${\displaystyle f}$. ظلت مشكلة التقارب المنتظم لـ P _n إلى P مفتوحة حتى قام فابنيك وتشيرفونينكيس بحلها في عام 1968. ^{[ 1 ]}

إذا كان الفصل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(أو${\displaystyle {\mathcal {F}}}$إذا كانت دالة Glivenko–Cantelli بالنسبة إلى P ، فإن P _n تتقارب إلى P بشكل منتظم على${\displaystyle c\in {\mathcal {C}}}$(أو${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}$بمعنى آخر، باحتمالية 1 لدينا

${\displaystyle \|P_{n}-P\|_{\mathcal {C}}=\sup _{c\in {\mathcal {C}}}|P_{n}(c)-P(c)|\to 0,}$

${\displaystyle \|P_{n}-P\|_{\mathcal {F}}=\sup _{f\in {\mathcal {F}}}|P_{n}f-\mathbb {E} f|\to 0.}$

تُقدّم دالة التوزيع التجريبية مثالاً على المقاييس التجريبية. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع ذات القيم الحقيقية.${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$يتم تحديده بواسطة

${\displaystyle F_{n}(x)=P_{n}((-\infty ,x])=P_{n}I_{(-\infty ,x]}.}$

في هذه الحالة، يتم فهرسة المقاييس التجريبية بواسطة فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{(-\infty ,x]:x\in \mathbb {R} \}.}$لقد ثبت أن${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هي فئة جليفنكو-كانتيلي موحدة ، على وجه الخصوص،

${\displaystyle \sup _{F}\|F_{n}(x)-F(x)\|_{\infty }\to 0}$

باحتمالية 1.

• تقليل المخاطر التجريبية
• مقياس بواسون العشوائي

• بيلينغسلي، ب. (1995). الاحتمال والقياس (  الطبعة الثالثة). نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-80478-9.
• دونسكر، دكتور في الطب (1952). "تبرير وتوسيع منهج دوب الاستدلالي لنظريات كولموغوروف-سميرنوف" . حوليات الإحصاء الرياضي . 23 (2): 277-281 . doi : 10.1214/aoms/1177729445 .
• دادلي، آر إم (1978). "نظريات النهاية المركزية للقياسات التجريبية" . حوليات الاحتمالات . 6 (6): 899-929 . doi : 10.1214/aop/1176995384 . JSTOR 2243028 . 
• دادلي، آر إم (1999). نظريات النهاية المركزية المنتظمة . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  63. كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-46102-2.
• وولفويتز، ج. (1954). "تعميم نظرية جليفنكو-كانتيلي" . حوليات الإحصاء الرياضي . 25 (1): 131-138 . doi : 10.1214/aoms/1177728852 . JSTOR 2236518 .