التوزيع متعدد الحدود

لنفترض أننا نجري تجربة لسحب n كرة من k لون مختلف من كيس، مع إعادة الكرات المسحوبة بعد كل سحبة. الكرات من نفس اللون متكافئة. لنرمز إلى عدد الكرات المسحوبة من اللون i (حيث i = 1، ...، k ) بالرمز Xᵢ _، ولنرمز إلى احتمال أن تكون الكرة المسحوبة من اللون i بالرمز pᵢ _. دالة الكتلة الاحتمالية لهذا التوزيع متعدد الحدود هي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{1},\ldots ,x_{k};n,p_{1},\ldots ,p_{k})&{}=\Pr(X_{1}=x_{1}{\text{ و }}\dots {\text{ و }}X_{k}=x_{k})\\[1ex]&{}={\begin{cases}{\displaystyle {n! \over x_{1}!\cdots x_{k}!}p_{1}^{x_{1}}\times \cdots \times p_{k}^{x_{k}}},\quad &{\text{عندما }}\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n\\\\0&{\text{فيما عدا ذلك،}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

بالنسبة للأعداد الصحيحة غير السالبة x ₁ ، ... ، x _k .

يمكن التعبير عن دالة الكتلة الاحتمالية باستخدام دالة جاما كما يلي:

$${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k};p_{1},\ldots ,p_{k})={\frac {\Gamma (\sum _{i}x_{i}+1)}{\prod _{i}\Gamma (x_{i}+1)}}\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{x_{i}}.}$$

يُظهر هذا الشكل تشابهه مع توزيع ديريشليه ، وهو التوزيع المسبق المترافق له .

لنفترض أنه في انتخابات ثلاثية في دولة كبيرة، حصل المرشح (أ) على 20% من الأصوات، وحصل المرشح (ب) على 30% من الأصوات، وحصل المرشح (ج) على 50% من الأصوات. إذا تم اختيار ستة ناخبين عشوائياً، فما احتمال أن يكون في العينة مؤيد واحد فقط للمرشح (أ)، ومؤيدان للمرشح (ب)، وثلاثة مؤيدين للمرشح (ج)؟

ملاحظة: بما أننا نفترض أن عدد الناخبين كبير، فمن المعقول والمقبول اعتبار الاحتمالات ثابتة بمجرد اختيار ناخب للعينة. من الناحية الفنية، هذه عملية أخذ عينات بدون إرجاع، لذا فإن التوزيع الصحيح هو التوزيع الهندسي الفائق متعدد المتغيرات ، ولكن التوزيعات تتقارب مع ازدياد حجم السكان مقارنةً بحجم عينة ثابت . ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle \Pr(A{=}1,B{=}2,C{=}3)={\frac {6!}{1!2!3!}}\left(0.2^{1}\right)\left(0.3^{2}\right)\left(0.5^{3}\right)=0.135}$$

يتم تطبيع التوزيع متعدد الحدود وفقًا لما يلي:

$${\displaystyle \sum _{\sum _{j=1}^{k}x_{j}=n}f(x_{1},\dots ,x_{k};n,p_{1},\dots ,p_{k})=1}$$

حيث يكون المجموع على جميع تباديل${\displaystyle x_{j}}$بحيث${\textstyle \sum _{j=1}^{k}x_{j}=n}$.

عدد المرات المتوقعة التي لوحظت فيها النتيجة i خلال n من التجارب هو

$${\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=np_{i}.\,}$$

مصفوفة التغاير هي كما يلي. كل عنصر قطري هو تباين متغير عشوائي ذي توزيع ثنائي، وبالتالي فهو

$${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i}).\,}$$

العناصر غير القطرية هي التغايرات :

$${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}\,}$$

لكل i و j مختلفين.

جميع التغايرات سالبة لأنه بالنسبة لقيمة n ثابتة ، فإن الزيادة في أحد مكونات متجه متعدد الحدود تتطلب انخفاضًا في مكون آخر.

عند دمج هذه التعبيرات في مصفوفة تحتوي على العنصرين i و j${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},X_{j}),}$والنتيجة هي مصفوفة تباين شبه موجبة من الرتبة k − 1 من الرتبة k × k. في الحالة الخاصة حيث k = n وحيث تكون جميع قيم p _i متساوية، فإن مصفوفة التباين هي مصفوفة التمركز .    

عناصر مصفوفة الارتباط المقابلة هي

$$\begin{aligned}\rho(X_{i},X_{i})&=1\\[1ex]\rho(X_{i},X_{j})&={\frac{\operatorname{Cov}(X_{i},X_{j})}{\sqrt{\operatorname{Var}(X_{i})\operatorname{Var}(X_{j})}}}\\&={\frac{-p_{i}p_{j}}{\sqrt{p_{i}(1-p_{i})p_{j}(1-p_{j})}}}\\&=-{\sqrt{\frac{p_{i}p_{j}}{(1-p_{i})(1-p_{j})}}}.\end{aligned}}}$$

لاحظ أن عدد التجارب n يختفي من هذا التعبير.

لكل مكون من المكونات k على حدة توزيع ذو الحدين مع المعلمات n و p _i ، للقيمة المناسبة للرمز السفلي i .

مجموعة دعم التوزيع متعدد الحدود هي

$${\displaystyle \left\{(n_{1},\dots ,n_{k})\in \mathbb {N} ^{k}\mid n_{1}+\cdots +n_{k}=n\right\}.}$$

عدد عناصره هو

$${\displaystyle {\binom {n+k-1}{k-1}}.}$$

في تدوين المصفوفات، $${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {X} )=n\mathbf {p} ,\,}$$

و $${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {X} )=n\lbrace \operatorname {diag} (\mathbf {p} )-\mathbf {p} \mathbf {p} ^{\rm {T}}\rbrace ,\,}$$

حيث p ^T = منقول متجه الصف لمتجه العمود p .

يهدف اختبار التكافؤ إلى إثبات مدى التوافق بين التوزيع متعدد الحدود النظري وتكرارات العد المرصودة. قد يكون التوزيع النظري توزيعًا متعدد الحدود محددًا بالكامل أو عائلة بارامترية من التوزيعات متعددة الحدود.

يترك${\displaystyle q}$لنرمز إلى توزيع متعدد الحدود نظري ولندع${\displaystyle p}$أن يكون توزيعًا أساسيًا حقيقيًا. التوزيعات${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$تُعتبر متكافئة إذا${\displaystyle d(p,q)<\varepsilon }$على مسافة${\displaystyle d}$ومعامل التسامح${\displaystyle \varepsilon >0}$مشكلة اختبار التكافؤ هي${\displaystyle H_{0}=\{d(p,q)\geq \varepsilon \}}$عكس${\displaystyle H_{1}=\{d(p,q)<\varepsilon \}}$التوزيع الأساسي الحقيقي${\displaystyle p}$غير معروف. بدلاً من ذلك، ترددات العد${\displaystyle p_{n}}$يتم رصدها، حيث${\displaystyle n}$حجم العينة. يستخدم اختبار التكافؤ${\displaystyle p_{n}}$رفض${\displaystyle H_{0}}$. لو${\displaystyle H_{0}}$يمكن رفض ذلك، وبالتالي فإن التكافؤ بين${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$يُعرض عند مستوى دلالة مُحدد. يمكن الاطلاع على اختبار التكافؤ للمسافة الإقليدية في كتاب ويلك (2010). ^{[ 4 ]} طُوّر اختبار التكافؤ لمسافة التباين الكلي في أوستروفسكي (2017). ^{[ 5 ]} اقتُرح اختبار التكافؤ الدقيق للمسافة التراكمية المحددة في فراي (2009). ^{[ 6 ]}

المسافة بين التوزيع الأساسي الحقيقي${\displaystyle p}$وعائلة من التوزيعات متعددة الحدود${\displaystyle {\mathcal {M}}}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle d(p,{\mathcal {M}})=\min _{h\in {\mathcal {M}}}d(p,h)}$ثم تُعطى مسألة اختبار التكافؤ على النحو التالي${\displaystyle H_{0}=\{d(p,{\mathcal {M}})\geq \varepsilon \}}$و${\displaystyle H_{1}=\{d(p,{\mathcal {M}})<\varepsilon \}}$المسافة${\displaystyle d(p,{\mathcal {M}})}$يتم حسابها عادةً باستخدام التحسين العددي. وقد طُوّرت الاختبارات الخاصة بهذه الحالة مؤخرًا في أوستروفسكي (2018). ^{[ 7 ]}

في سياق التوزيع متعدد الحدود، يتم إنشاء فترات ثقة للفرق بين نسب المشاهدات من حدثين،${\displaystyle p_{i}-p_{j}}$يتطلب ذلك تضمين التباين المشترك السلبي بين مقدرات العينة${\displaystyle {\hat {p}}_{i}={\frac {X_{i}}{n}}}$و${\displaystyle {\hat {p}}_{j}={\frac {X_{j}}{n}}}$.

ركزت بعض الدراسات المنشورة حول هذا الموضوع على حالة استخدام البيانات الثنائية للأزواج المتطابقة، الأمر الذي يتطلب عناية فائقة عند ترجمة الصيغ إلى الحالة العامة لـ${\displaystyle p_{i}-p_{j}}$لأي توزيع متعدد الحدود. سيتم تعميم الصيغ في هذا القسم، بينما ستركز الصيغ في القسم التالي على حالة استخدام البيانات الثنائية للأزواج المتطابقة.

يمكن تقدير الخطأ المعياري لوالد (SE) لفرق النسبة باستخدام: ^{[ 8 ] : 378 [ 9 ]}

$${\displaystyle {\widehat {\operatorname {SE} }}({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})={\sqrt {\frac {\left({\hat {p}}_{i}+{\hat {p}}_{j}\right)-\left({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j}\right)^{2}}{n}}}}$$

لـ${\displaystyle 100(1-\alpha )\%}$فترة الثقة التقريبية ، قد يتضمن هامش الخطأ الكمية المناسبة من التوزيع الطبيعي القياسي ، كما يلي:

$${\displaystyle ({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})\pm z_{\alpha /2}\cdot {\widehat {\operatorname {SE} }}({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})}$$

يُضيف التعديل الذي يتضمن تصحيح الاستمرارية${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$بهامش الخطأ كما يلي: ^{[ 10 ] : 102-103}

$${\displaystyle ({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})\pm \left(z_{\alpha /2}\cdot {\widehat {\operatorname {SE} }}({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})+{\frac {1}{n}}\right)}$$

ثمة بديل آخر يتمثل في الاعتماد على مُقدِّر بايزي باستخدام توزيع جيفريز المسبق ، مما يؤدي إلى استخدام توزيع ديريشليه ، حيث تكون جميع المعلمات مساوية لـ 0.5، كتوزيع مسبق. سيكون التوزيع اللاحق هو الحسابات المذكورة أعلاه، ولكن بعد إضافة 1/2 إلى كل عنصر من العناصر k ، مما يؤدي إلى زيادة إجمالية في حجم العينة بمقدار${\displaystyle {\frac {k}{2}}}$تم تطوير هذه الطريقة في الأصل لتوزيع متعدد الحدود بأربعة أحداث، وتُعرف باسم wald+2 ، لتحليل بيانات الأزواج المتطابقة (انظر القسم التالي لمزيد من التفاصيل). ^{[ 11 ]}

وهذا يؤدي إلى النتيجة التالية:

$${\displaystyle {\widehat {\operatorname {SE} }}{({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})}_{wald+{\frac {k}{2}}}={\sqrt {\frac {\left({\hat {p}}_{i}+{\hat {p}}_{j}+{\frac {1}{n}}\right){\frac {n}{n+{\frac {k}{2}}}}-\left({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j}\right)^{2}\left({\frac {n}{n+{\frac {k}{2}}}}\right)^{2}}{n+{\frac {k}{2}}}}}}$$

والتي يمكن إدخالها ببساطة في صيغة والد الأصلية على النحو التالي:

$${\displaystyle \left(p_{i}-p_{j}\right){\frac {n}{n+{\frac {k}{2}}}}\pm z_{\alpha /2}\cdot {\widehat {\operatorname {SE} }}{({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})}_{wald+{\frac {k}{2}}}}$$

في حالة البيانات الثنائية ذات الأزواج المتطابقة، تتمثل إحدى المهام الشائعة في بناء فاصل الثقة لفرق نسبة الأحداث المتطابقة. على سبيل المثال، قد يكون لدينا اختبار لمرض ما، وقد نرغب في التحقق من نتائجه لمجموعة سكانية معينة في وقتين (1 و2)، للتحقق مما إذا كان هناك تغيير في نسبة الحالات الإيجابية للمرض خلال تلك الفترة.

يمكن تمثيل هذه السيناريوهات باستخدام جدول توافق ثنائي الأبعاد (2×2) يوضح عدد العناصر التي شهدت كل مجموعة من الأحداث. ويمكننا استخدام قيم صغيرة لـ f لتمثيل ترددات أخذ العينات.${\displaystyle f_{11},f_{10},f_{01},f_{00}}$، وحرف F كبير للدلالة على ترددات السكان:${\displaystyle F_{11},F_{10},F_{01},F_{00}}$يمكن نمذجة هذه التوليفات الأربع على أنها ناتجة عن توزيع متعدد الحدود (بأربع نتائج محتملة). يمكن أن يكون حجم العينة n وحجم المجتمع N. وفي هذه الحالة، ثمة اهتمام ببناء فاصل ثقة لفرق النسب عن القيم الهامشية لجدول التوافق التالي (المأخوذ من العينة):

	الاختبار الثاني إيجابي	الاختبار الثاني سلبي	إجمالي الصف
الاختبار 1 إيجابي	${\displaystyle f_{11}}$	${\displaystyle f_{10}}$	${\displaystyle f_{1*}=f_{11}+f_{10}}$
الاختبار 1 سلبي	${\displaystyle f_{01}}$	${\displaystyle f_{00}}$	${\displaystyle f_{0*}=f_{01}+f_{00}}$
إجمالي العمود	${\displaystyle f_{*1}=f_{11}+f_{01}}$	${\displaystyle f_{*0}=f_{10}+f_{00}}$	${\displaystyle n}$

في هذه الحالة، يعني التحقق من الفرق في النسب الحدية أننا مهتمون باستخدام التعريفات التالية:${\displaystyle p_{1*}={\frac {F_{1*}}{N}}={\frac {F_{11}+F_{10}}{N}}}$،${\displaystyle p_{*1}={\frac {F_{*1}}{N}}={\frac {F_{11}+F_{01}}{N}}}$والفرق الذي نريد بناء فترات ثقة له هو:

$${\displaystyle p_{*1}-p_{1*}={\frac {F_{11}+F_{01}}{N}}-{\frac {F_{11}+F_{10}}{N}}={\frac {F_{01}}{N}}-{\frac {F_{10}}{N}}=p_{01}-p_{10}}$$

وبالتالي، فإن فترات الثقة للنسب الإيجابية الهامشية (${\displaystyle p_{*1}-p_{1*}}$) هو نفسه بناء فاصل ثقة لفرق النسب من القطر الثانوي لجدول التوافق ثنائي الأبعاد (${\displaystyle p_{01}-p_{10}}$).

يُعرف حساب قيمة الاحتمال (p-value) لمثل هذا الفرق باختبار ماكنيمار . ويمكن بناء فترة ثقة حوله باستخدام الطرق المذكورة أعلاه في قسم فترات الثقة لفرق نسبتين .

يمكن تطبيق فترات ثقة والد من القسم السابق على هذا السياق، وتظهر في المراجع باستخدام رموز بديلة. تحديدًا، يعتمد الخطأ المعياري المُقدَّم غالبًا على ترددات جدول التوافق بدلًا من نسب العينة. على سبيل المثال، يمكن كتابة فترات ثقة والد المذكورة أعلاه على النحو التالي: ^{[ 10 ] : 102-103}

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {\operatorname {SE} }}(p_{*1}-p_{1*})&={\widehat {\operatorname {SE} }}(p_{01}-p_{10})\\[1ex]&={\frac {\sqrt {n\left(f_{10}+f_{01}\right)-\left(f_{10}-f_{01}\right)^{2}}}{n{\sqrt {n}}}}\end{aligned}}}$$

وقد حددت أبحاث أخرى في الأدبيات العديد من أوجه القصور في كل من طريقتي والد ووالد مع تصحيح الاستمرارية، واقتُرحت طرق أخرى للتطبيق العملي. ^{[ 10 ]}

يتضمن أحد هذه التعديلات Wald+2 لأغريستي ومين (على غرار بعض أعمالهما الأخرى ^{[ 12 ]} ) حيث كان لكل تردد خلية تردد إضافي${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$^{[ 11 ]} يؤدي هذا إلى فترات ثقة Wald+2 . في التفسير البايزي، يشبه هذا بناء المقدرات بافتراض توزيع ديريشليه كتوزيع مسبق ، حيث تكون جميع المعلمات مساوية لـ 0.5 (وهو في الواقع التوزيع المسبق لجيفريز ). يمكن الآن اعتبار +2 في اسم Wald+2 أنه في سياق جدول توافق ثنائي الأبعاد، وهو توزيع متعدد الحدود بأربعة أحداث محتملة، وبما أننا نضيف نصف قيمة إلى كل منها، فإن هذا يُترجم إلى إضافة إجمالية قدرها قيمتان (بسبب التوزيع المسبق).

يؤدي هذا إلى تعديل الخطأ المعياري التالي في حالة بيانات الأزواج المتطابقة:

$${\displaystyle {\widehat {\operatorname {SE} }}(p_{*1}-p_{1*})={\frac {\sqrt {\left(n+2\right)\left(f_{10}+f_{01}+1\right)-\left(f_{10}-f_{01}\right)^{2}}}{\left(n+2\right){\sqrt {n+2}}}}}$$

والتي يمكن إدخالها ببساطة في صيغة والد الأصلية على النحو التالي:

$${\displaystyle \left(p_{*1}-p_{1*}\right){\frac {n}{n+2}}\pm z_{\alpha /2}\cdot {\widehat {\operatorname {SE} }}({\hat {p}}_{i}-{\hat {p}}_{j})_{wald+2}}$$

وتشمل التعديلات الأخرى تعديلات Bonett و Price's Adjusted Wald و Newcombe's Score .

أولاً، أعد ترتيب المعلمات${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$بحيث يتم ترتيبها تنازليًا (هذا فقط لتسريع الحساب وليس ضروريًا تمامًا). الآن، لكل تجربة، اسحب متغيرًا مساعدًا X من توزيع منتظم (0،  1). النتيجة الناتجة هي المكون

$${\displaystyle j=\min \left\{j'\in \{1,\dots ,k\}\colon \left(\sum _{i=1}^{j'}p_{i}\right)-X\geq 0\right\}.}$$

{ X _j = 1, X _k = 0 لـ k  ≠ j } هي إحدى المشاهدات من التوزيع متعدد الحدود مع ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$و n  =  1. مجموع التكرارات المستقلة لهذه التجربة هو ملاحظة من توزيع متعدد الحدود حيث n يساوي عدد هذه التكرارات.

بالنظر إلى المعايير${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}}$ومجموع العينة${\displaystyle n}$بحيث${\textstyle \sum _{i=1}^{k}X_{i}=n}$من الممكن أخذ عينات متسلسلة للعدد في حالة عشوائية${\displaystyle X_{i}}$، وذلك بتقسيم فضاء الحالة إلى${\displaystyle i}$وليس-${\displaystyle i}$، بشرط الاعتماد على أي عينات سابقة تم أخذها بالفعل، بشكل متكرر.

S = n ρ = 1 for i in [ 1 , k-1 ] : if ρ ! = 0 : X [ i ] ~ Binom ( S, p [ i ] /ρ ) else X [ i ] = 0 S = S - X [ i ] ρ = ρ - p [ i ] X [ k ] = S