العملية التجريبية

في نظرية الاحتمالات ، تُعرَّف العملية التجريبية بأنها عملية عشوائية تُحدد انحراف دالة التوزيع التجريبي عن قيمتها المتوقعة. وفي نظرية المجال المتوسط ، تُدرس نظريات النهايات (عندما يزداد عدد العناصر) وتُعمم نظرية النهاية المركزية للقياسات التجريبية . وتظهر تطبيقات نظرية العمليات التجريبية في الإحصاءات غير المعلمية . ^{[ 1 ]}

بالنسبة لـ X1 _، X2 _، ... Xn _، وهي متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع ذات قيم في${\displaystyle \mathbb {R} }$ودالة التوزيع التراكمي F ( x )، تُعرَّف دالة التوزيع التجريبية على النحو التالي:

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{(-\infty ,x]}(X_{i}),}$

حيث I _C هي دالة المؤشر للمجموعة C.

لكل قيمة ثابتة لـ x ، فإن F_{_n} ( x ) هي متتالية من المتغيرات العشوائية التي تتقارب إلى F ( x ) بشكل شبه مؤكد وفقًا لقانون الأعداد الكبيرة القوي . أي أن F _{_n} تتقارب إلى F نقطيًا . وقد عزز جليفنكو وكانتيللي هذه النتيجة بإثبات التقارب المنتظم لـ F_{_n} إلى F باستخدام نظرية جليفنكو-كانتيللي . ^{[ 2 ]}

المقياس الموقّع هو نسخة مركزية ومُقاسة من المقياس التجريبي

${\displaystyle G_{n}(A)={\sqrt {n}}(P_{n}(A)-P(A))}$

يُنشئ هذا تطبيقًا على الدوال القابلة للقياس f المعطاة بواسطة

${\displaystyle f\mapsto G_{n}f={\sqrt {n}}(P_{n}-P)f={\sqrt {n}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})-\mathbb {E} f\right)}$

بحسب نظرية النهاية المركزية ،${\displaystyle G_{n}(A)}$يتقارب التوزيع إلى متغير عشوائي طبيعي N (0, P ( A )(1 − P ( A ))) لمجموعة قابلة للقياس ثابتة A. وبالمثل، بالنسبة لدالة ثابتة f ،   ${\displaystyle G_{n}f}$يتقارب في التوزيع إلى متغير عشوائي طبيعي${\displaystyle N(0,\mathbb {E} (f-\mathbb {E} f)^{2})}$بشرط أن${\displaystyle \mathbb {E} f}$و${\displaystyle \mathbb {E} f^{2}}$يخرج.

تعريف

${\displaystyle {\bigl (}G_{n}(c){\bigr )}_{c\in {\mathcal {C}}}}$يُطلق عليها اسم عملية تجريبية مُفهرسة بواسطة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$، مجموعة من المجموعات الفرعية القابلة للقياس من S.

${\displaystyle {\bigl (}G_{n}f{\bigr )}_{f\in {\mathcal {F}}}}$ يُطلق عليها اسم عملية تجريبية مُفهرسة بواسطة${\displaystyle {\mathcal {F}}}$، مجموعة من الدوال القابلة للقياس من S إلى${\displaystyle \mathbb {R} }$.

تُعدّ نظرية دونسكر من أهم النتائج في مجال العمليات التجريبية . وقد أدت هذه النظرية إلى دراسة فئات دونسكر : وهي مجموعات من الدوال تتميز بخاصية مفيدة، وهي أن العمليات التجريبية المفهرسة بهذه الفئات تتقارب تقاربًا ضعيفًا إلى عملية غاوسية معينة . وبينما يمكن إثبات أن فئات دونسكر هي فئات غليفنكو-كانتيلي ، فإن العكس ليس صحيحًا بشكل عام.

كمثال، لنأخذ دوال التوزيع التجريبية . بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع ذات القيم الحقيقية X1 _، X2 _، ...، Xn _، تُعطى هذه الدوال بالصيغة التالية :

${\displaystyle F_{n}(x)=P_{n}((-\infty ,x])=P_{n}I_{(-\infty ,x]}.}$

في هذه الحالة، يتم فهرسة العمليات التجريبية بواسطة فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{(-\infty ,x]:x\in \mathbb {R} \}.}$لقد ثبت أن${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هي فئة من فئات دونسكر، على وجه الخصوص،

${\displaystyle {\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))}$يتقارب بشكل ضعيف في${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {R} )}$إلى جسر براوني B ( F ( x )) .

• تحول خمالادزه
• تقارب ضعيف للمقاييس
• نظرية جليفنكو-كانتيلي

• بيلينغسلي، ب. (1995). الاحتمال والقياس (  الطبعة الثالثة). نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 0471007102.
• دونسكر، دكتور في الطب (1952). "تبرير وتوسيع منهج دوب الاستدلالي لنظريات كولموغوروف-سميرنوف" . حوليات الإحصاء الرياضي . 23 (2): 277-281 . doi : 10.1214/aoms/1177729445 .
• دادلي، آر إم (1978). "نظريات النهاية المركزية للقياسات التجريبية" . حوليات الاحتمالات . 6 (6): 899-929 . doi : 10.1214/aop/1176995384 .
• دادلي، آر إم (1999). نظريات النهاية المركزية المنتظمة . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة. المجلد  63. كامبريدج، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج.
• كوسوروك، إم آر (2008). مقدمة في العمليات التجريبية والاستدلال شبه المعلمي . سلسلة سبرينغر في الإحصاء. doi : 10.1007/978-0-387-74978-5 . ISBN 978-0-387-74977-8.
• شوراك، جي آر ؛ ويلنر، جيه إيه (2009). العمليات التجريبية مع تطبيقات في الإحصاء . doi : 10.1137/1.9780898719017 . ISBN 978-0-89871-684-9.
• فان دير فارت، آد دبليو .؛ ويلنر، جون أ. (2000). التقارب الضعيف والعمليات التجريبية: مع تطبيقات في الإحصاء (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 978-0-387-94640-5.
• دزاباريدزه، ك.أ.؛ نيكولين، م.س. (1982). "التوزيعات الاحتمالية لإحصاءات كولموغوروف وأوميغا تربيع للتوزيعات المستمرة ذات معلمات الإزاحة والمقياس". مجلة الرياضيات السوفيتية . 20 (3): 2147. doi : 10.1007/BF01239992 . S2CID 123206522 . 

• كتاب "العمليات التجريبية: النظرية والتطبيقات" للمؤلف ديفيد بولارد، وهو كتاب مدرسي متاح عبر الإنترنت.
• مقدمة في العمليات التجريبية والاستدلال شبه المعياري ، بقلم مايكل كوسوروك، وهو كتاب مدرسي آخر متاح عبر الإنترنت.