تقارب التدابير

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 82 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية القياس ، توجد مفاهيم متعددة لتقارب القياسات . لفهمٍ عامٍّ بديهيٍّ لمعنى تقارب القياسات ، لنفترض متتالية من القياسات μ<sub> n</sub> على فضاءٍ ما، تشترك في مجموعةٍ مشتركةٍ من المجموعات القابلة للقياس. قد تُمثِّل هذه المتتالية محاولةً لبناء تقريبات "أفضل فأفضل" لقياسٍ مرغوبٍ μ يصعب الحصول عليه مباشرةً. يخضع معنى "أفضل فأفضل" لجميع المحاذير المعتادة لحساب النهايات ؛ فلأي هامش خطأ ε > 0، نحتاج إلى وجود N كبير بما يكفي، حيث n ≥ N، لضمان أن يكون "الفرق" بين μ <sub>n </sub> و μ <sub>n</sub> أصغر من ε . تُحدِّد مفاهيم التقارب المختلفة بدقةٍ ما ينبغي أن تعنيه كلمة "الفرق" في هذا الوصف؛ وهذه المفاهيم ليست متكافئةً فيما بينها، وتختلف في قوتها.

فيما يلي وصف لثلاثة من أكثر مفاهيم التقارب شيوعاً.

أوصاف غير رسمية

يحاول هذا القسم تقديم وصفٍ مبسطٍ وبديهي لثلاثة مفاهيم للتقارب، باستخدام المصطلحات المستخدمة في مقررات حساب التفاضل والتكامل ؛ وهذا القسم بطبيعته غير دقيق وغير مكتمل، لذا يُنصح القارئ بالرجوع إلى التوضيحات الرسمية في الأقسام اللاحقة. وعلى وجه الخصوص، لا تتناول الأوصاف الواردة هنا إمكانية أن يكون قياس بعض المجموعات لانهائيًا، أو أن يُظهر الفضاء الأساسي سلوكًا شاذًا، كما أن بعض العبارات تتطلب افتراضات تقنية إضافية. ومع ذلك، فإن جميع العبارات الواردة في هذا القسم صحيحة إذا كانت μ <sub>n</sub> متتالية من مقاييس الاحتمال على فضاء بولندي .

تُضفي المفاهيم المختلفة للتقارب طابعاً رسمياً على التأكيد القائل بأن "القيمة المتوسطة" لكل دالة "جيدة بما فيه الكفاية" يجب أن تتقارب: ∫ودμن→∫ودμ{\displaystyle \int f\,d\mu _{n}\to \int f\,d\mu }

يتطلب إضفاء الطابع الرسمي على هذا الأمر تحديدًا دقيقًا لمجموعة الدوال قيد الدراسة ومدى انتظام التقارب المطلوب.

يتطلب مفهوم التقارب الضعيف حدوث هذا التقارب لكل دالة متصلة ومحدودة f . ويتعامل هذا المفهوم مع التقارب للدوال المختلفة f بشكل مستقل عن بعضها البعض، أي أن الدوال المختلفة f قد تتطلب قيمًا مختلفة لـ N ≤ n ليتم تقريبها بنفس الجودة (وبالتالي، يكون التقارب غير منتظم في f ).

إن مفهوم التقارب على مستوى المجموعات يُضفي طابعاً رسمياً على التأكيد القائل بأن مقياس كل مجموعة قابلة للقياس يجب أن يتقارب: μن(أ)→μ(أ){\displaystyle \mu _{n}(A)\to \mu (A)}

مرة أخرى، لا يُشترط التجانس على المجموعة A. وبشكل بديهي، عند النظر في تكاملات الدوال "الجيدة"، يوفر هذا المفهوم تجانسًا أكبر من التقارب الضعيف. في الواقع، عند النظر في متواليات القياسات ذات التباين المحدود بشكل منتظم على فضاء بولندي ، فإن التقارب على مستوى المجموعات يستلزم التقارب. ∫ودμن→∫ودμ{\textstyle \int f\,d\mu _{n}\to \int f\,d\mu }لأي دالة قابلة للقياس ومحدودة f . وكما كان من قبل، فإن هذا التقارب غير منتظم في f .

يُضفي مفهوم التقارب التبايني الكلي طابعًا رسميًا على التأكيد القائل بأن مقياس جميع المجموعات القابلة للقياس يجب أن يتقارب بشكل منتظم ، أي أنه لكل ε > 0 يوجد N بحيث|μن(أ)-μ(أ)|<ε{\displaystyle |\mu _{n}(A)-\mu (A)|<\varepsilon }لكل n > N ولكل مجموعة قابلة للقياس A. كما في السابق، هذا يعني تقارب التكاملات مقابل الدوال القابلة للقياس المحدودة، ولكن هذه المرة يكون التقارب منتظمًا على جميع الدوال المحدودة بأي ثابت ثابت.

تقارب التباين الكلي للمقاييس

هذا هو أقوى مفهوم للتقارب معروض في هذه الصفحة، ويُعرَّف على النحو التالي. ليكن(X،F){\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}ليكن فضاءً قابلاً للقياس . تُعطى مسافة التباين الكلية بين قياسين (موجبين) μ و ν بالعلاقة التالية:

‖μ-ν‖تلفزيون=رشفةو{∫Xودμ-∫Xودν}.{\displaystyle \left\|\mu -\nu \right\|_{\text{TV}}=\sup _{f}\left\{\int _{X}f\,d\mu -\int _{X}f\,d\nu \right\}.}

هنا، يُحسب الحد الأعلى على الدالة f التي تشمل مجموعة جميع الدوال القابلة للقياس من X إلى [ −1, 1 ] . وهذا يختلف، على سبيل المثال، عن مقياس واسرشتين ، حيث يكون التعريف بنفس الشكل ، ولكن يُحسب الحد الأعلى على الدالة f التي تشمل مجموعة الدوال القابلة للقياس من X إلى [ −1, 1 ] والتي يكون ثابت ليبشيتز الخاص بها على الأكثر  1؛ ويختلف أيضًا عن مقياس رادون ، حيث يُحسب الحد الأعلى على الدالة f التي تشمل مجموعة الدوال المتصلة من X إلى [ −1, 1 ] . في حالة كون X فضاءً بولنديًا ، يتطابق مقياس التباين الكلي مع مقياس رادون.

إذا كان كل من μ و ν مقياسين احتماليين ، فإن مسافة التباين الكلية تُعطى أيضًا بالصيغة التالية:

‖μ-ν‖تلفزيون=2⋅رشفةأ∈F|μ(أ)-ν(أ)|.{\displaystyle \left\|\mu -\nu \right\|_{\text{TV}}=2\cdot \sup _{A\in {\mathcal {F}}}|\mu (A)-\nu (A)|.}

يمكن اعتبار التكافؤ بين هذين التعريفين حالة خاصة من ازدواجية مونج-كانتوروفيتش . ومن التعريفين السابقين، يتضح أن مسافة التباين الكلي بين مقاييس الاحتمال تتراوح دائمًا بين 0 و2.

لتوضيح معنى مسافة التباين الكلي، لنفترض التجربة الفكرية التالية. لنفترض أن لدينا مقياسين احتماليين μ و ν ، بالإضافة إلى متغير عشوائي X. نعلم أن X يتبع إما قانون μ أو ν، لكننا لا نعرف أيهما. لنفترض أن لكل من هذين المقياسين احتمالًا مسبقًا قدره 0.5 لكونهما القانون الصحيح لـ X. لنفترض الآن أن لدينا عينة واحدة موزعة وفقًا لقانون X، وأن المطلوب منا هو تخمين أي من التوزيعين يصف هذا القانون. الكمية

2+‖μ-ν‖تلفزيون4{\displaystyle {2+\|\mu -\nu \|_{\text{TV}} \over 4}}

ثم يوفر حدًا أعلى دقيقًا للاحتمالية المسبقة بأن يكون تخميننا صحيحًا.

بالنظر إلى التعريف أعلاه لمسافة التباين الكلي، يقال إن سلسلة μ n من المقاييس المعرفة على نفس فضاء القياس تتقارب إلى مقياس μ في مسافة التباين الكلي إذا كان لكل ε > 0 ، يوجد N بحيث أنه لكل n > N ، يكون لدينا [ 1 ]

‖μن-μ‖تلفزيون<ε.{\displaystyle \|\mu _{n}-\mu \|_{\text{TV}}<\varepsilon .}

التقارب المتسلسل للمقاييس

ل(X،F){\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}في فضاء قابل للقياس ، يُقال إن متتالية μ n تتقارب مجموعةً تلو الأخرى إلى حد μ إذا

ليمن→∞μن(أ)=μ(أ){\displaystyle \lim _{n\to \infty }\mu _{n}(A)=\mu (A)}

لكل مجموعةأ∈F{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}.

تدوينات الأسهم النموذجية هيμن→swμ{\displaystyle \mu _{n}\xrightarrow {sw} \mu }وμن→sμ{\displaystyle \mu _{n}\xrightarrow {s} \mu }.

على سبيل المثال، كنتيجة لـ Riemann–Lebesgue lemma ، فإن متتالية μ n من القياسات على الفترة [ −1، 1 ] المعطاة بواسطة μ n ( dx ) = (1 + sin( nx )) dx تتقارب بشكل مجموعي إلى قياس Lebesgue، لكنها لا تتقارب في التباين الكلي.

في سياق القياس النظري أو الاحتمالي، يُشار غالبًا إلى التقارب على مستوى المجموعات بالتقارب القوي (مقابل التقارب الضعيف). قد يؤدي هذا إلى بعض الغموض، لأنه في التحليل الوظيفي ، يشير التقارب القوي عادةً إلى التقارب بالنسبة إلى معيار معين.

تقارب ضعيف للمقاييس

في الرياضيات والإحصاء ، يُعد التقارب الضعيف أحد أنواع التقارب العديدة المتعلقة بتقارب المقاييس . وهو يعتمد على طوبولوجيا الفضاء الأساسي، وبالتالي فهو ليس مفهومًا نظريًا بحتًا للقياس .

توجد عدة تعريفات متكافئة للتقارب الضعيف لمتتالية من المقاييس، بعضها (ظاهرياً) أكثر عمومية من غيرها. يُعرف تكافؤ هذه الشروط أحياناً باسم نظرية بورتمانتو . [ 2 ]

التعريف. ليكنS{\displaystyle S}ليكن فضاءً متريًا مع بوريل الخاص بهσ{\displaystyle \sigma }-الجبرΣ{\displaystyle \Sigma }. سلسلة محدودة من مقاييس الاحتمالية الموجبةPن(ن=1،2،...){\displaystyle P_{n}\,(n=1,2,\dots )}على(S،Σ){\displaystyle (S,\Sigma )}يقال إنها تتقارب بشكل ضعيف إلى مقياس احتماليP{\displaystyle P}(يشار إليه)Pن⇒P{\displaystyle P_{n}\Rightarrow P}) إذا تحققت أي من الشروط المكافئة التالية (هنا)هـن{\displaystyle \operatorname {E} _{n}}يشير إلى التوقع أو التكامل بالنسبة إلىPن{\displaystyle P_{n}}، بينماهـ{\displaystyle \operatorname {E} }يشير إلى التوقع أو التكامل بالنسبة إلىP{\displaystyle P}):

  • هـن⁡[و]→هـ⁡[و]{\displaystyle \operatorname {E} _{n}[f]\to \operatorname {E} [f]}لجميع الدوال المحدودة والمتصلةو{\displaystyle f}؛
  • هـن⁡[و]→هـ⁡[و]{\displaystyle \operatorname {E} _{n}[f]\to \operatorname {E} [f]}لجميع الدوال المحدودة ودوال ليبشيتزو{\displaystyle f}؛
  • ليم سوبهـن⁡[و]≤هـ⁡[و]{\displaystyle \limsup \operatorname {E} _{n}[f]\leq \operatorname {E} [f]}لكل دالة شبه متصلة علويةو{\displaystyle f}محدود من الأعلى؛
  • الحد الأقصى غير محدودهـن⁡[و]≥هـ⁡[و]{\displaystyle \liminf \operatorname {E} _{n}[f]\geq \operatorname {E} [f]}لكل دالة شبه متصلة سفليةو{\displaystyle f}محدود من الأسفل؛
  • ليم سوبPن(ج)≤P(ج){\displaystyle \limsup P_{n}(C)\leq P(C)}لجميع المجموعات المغلقةج{\displaystyle C}مساحةS{\displaystyle S}؛
  • الحد الأقصى غير محدودPن(يو)≥P(يو){\displaystyle \liminf P_{n}(U)\geq P(U)}لجميع المجموعات المفتوحةيو{\displaystyle U}مساحةS{\displaystyle S}؛
  • ليمPن(أ)=P(أ){\displaystyle \lim P_{n}(A)=P(A)}لجميع مجموعات الاستمراريةأ{\displaystyle A}قياسP{\displaystyle P}.

في هذه الحالةS{\displaystyle S}وR{\displaystyle \mathbb {R} }(مع بنيتها الطوبولوجية المعتادة) متماثلة طوبولوجيًا، إذاFن{\displaystyle F_{n}}وF{\displaystyle F}تشير إلى دوال التوزيع التراكمي للمقاييسPن{\displaystyle P_{n}}وP{\displaystyle P}على التوالي، ثمPن{\displaystyle P_{n}}يتقارب بشكل ضعيف إلىP{\displaystyle P}إذا وفقط إذاليمن→∞Fن(x)=F(x){\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)}لجميع النقاطx∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }عندهاF{\displaystyle F}متصل.

على سبيل المثال، التسلسل حيثPن{\displaystyle P_{n}}يقع مقياس ديراك عند1/ن{\displaystyle 1/n}يتقارب بشكل ضعيف إلى مقياس ديراك الموجود عند 0 (إذا اعتبرنا هذه مقاييس علىR{\displaystyle \mathbb {R} }(مع الطوبولوجيا المعتادة)، لكنها لا تتقارب على مستوى المجموعات. وهذا واضح بديهيًا: فنحن لا نعرف سوى أن1/ن{\displaystyle 1/n}هو "قريب من"0{\displaystyle 0}بسبب بنيةR{\displaystyle \mathbb {R} }.

يمكن توسيع هذا التعريف للتقارب الضعيف ليشملS{\displaystyle S}أي فضاء طوبولوجي قابل للقياس . كما أنه يُعرّف طوبولوجيا ضعيفة علىP(S){\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}، مجموعة جميع مقاييس الاحتمالية المعرفة على(S،Σ){\displaystyle (S,\Sigma )}يتم توليد الطوبولوجيا الضعيفة بواسطة أساس المجموعات المفتوحة التالي:

{ يوφ،x،دلتا |φ:S→R محدودة ومتصلة، x∈R و دلتا>0 }،{\displaystyle \left\{\ U_{\varphi ,x,\delta }\ \left|\quad \varphi :S\to \mathbb {R} {\text{ is bounded and continuous, }}x\in \mathbb {R} {\text{ and }}\delta >0\ \right.\right\},}

أين

يوφ،x،دلتا:={ μ∈P(S) ||∫Sφدμ-x|<دلتا }.{\displaystyle U_{\varphi ,x,\delta }:=\left\{\ \mu \in {\mathcal {P}}(S)\ \left|\quad \left|\int _{S}\varphi \,\mathrm {d} \mu -x\right|<\delta \ \right.\right\}.}

لوS{\displaystyle S}إذا كان قابلاً للفصل أيضاً ،P(S){\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}قابلة للقياس والفصل، على سبيل المثال باستخدام مقياس ليفي-بروكوروف . إذاS{\displaystyle S}وهو أيضًا مضغوط أو بولندي ، لذا فهو كذلكP(S){\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}.

لوS{\displaystyle S}قابل للفصل، يندمج بشكل طبيعي فيP(S){\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}باعتبارها المجموعة (المغلقة) من مقاييس ديراك ، وهيكلها المحدب كثيف .

توجد العديد من "رموز الأسهم" لهذا النوع من التقارب: وأكثرها استخدامًا هيPن⇒P{\displaystyle P_{n}\Rightarrow P}،Pن⇀P{\displaystyle P_{n}\rightharpoonup P}،Pن→wP{\displaystyle P_{n}\xrightarrow {w} P}وPن→دP{\displaystyle P_{n}\xrightarrow {\mathcal {D}} P}.

التقارب الضعيف للمتغيرات العشوائية

يترك(Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}ليكن Ω فضاء احتمالي و X فضاء متري. إذا كانت X <sub>n</sub> : Ω → X متتالية من المتغيرات العشوائية ، يُقال إن X <sub> n </sub> تتقارب تقاربًا ضعيفًا (أو في التوزيع أو في القانون ) إلى المتغير العشوائي X <sub>n</sub> : Ω → X عندما n → ∞ إذا كانت متتالية مقاييس الدفع الأمامي ( X <sub>n</sub> ) * ( P ) تتقارب تقاربًا ضعيفًا إلى X * ( P ) بمعنى التقارب الضعيف للمقاييس على X ، كما هو مُعرَّف أعلاه.

مقارنة مع تقارب غامض

يتركX{\displaystyle X}ليكن فضاءً متريًا (على سبيل المثالR{\displaystyle \mathbb {R} }أو[0،1]{\displaystyle [0,1]}تُستخدم فضاءات دوال الاختبار التالية بشكل شائع في تقارب مقاييس الاحتمال. [ 3 ]

  • جج(X){\displaystyle C_{c}(X)}فئة الدوال المتصلةو{\displaystyle f}كل منها يختفي خارج مجموعة صغيرة.
  • ج0(X){\displaystyle C_{0}(X)}فئة الدوال المتصلةو{\displaystyle f}بحيثليم|x|→∞و(x)=0{\displaystyle \lim _{|x|\rightarrow \infty }f(x)=0}
  • جب(X){\displaystyle C_{B}(X)}فئة الدوال المتصلة والمحدودة

لديناجج⊂ج0⊂جب⊂ج{\displaystyle C_{c}\subset C_{0}\subset C_{B}\subset C}. علاوة على ذلك،ج0{\displaystyle C_{0}}هل إغلاقجج{\displaystyle C_{c}}فيما يتعلق بالتقارب المنتظم. [ 3 ]

تقارب غامض

سلسلة من الإجراءات(μن)ن∈شمال{\displaystyle \left(\mu _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}يتقارب بشكل غامض إلى مقياسμ{\displaystyle \mu }إن كان ذلك للجميعو∈جج(X){\displaystyle f\in C_{c}(X)}، ∫Xودμن→∫Xودμ{\displaystyle \int _{X}f\,d\mu _{n}\rightarrow \int _{X}f\,d\mu }.

التقارب الضعيف

سلسلة من الإجراءات(μن)ن∈شمال{\displaystyle \left(\mu _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}يتقارب بشكل ضعيف إلى مقياسμ{\displaystyle \mu }إن كان ذلك للجميعو∈جب(X){\displaystyle f\in C_{B}(X)}، ∫Xودμن→∫Xودμ{\displaystyle \int _{X}f\,d\mu _{n}\rightarrow \int _{X}f\,d\mu }.

بشكل عام، لا يُعتبر مفهوما التقارب هذان متكافئين.

في سياق الاحتمالات، يكون التقارب الغامض والتقارب الضعيف لمقاييس الاحتمال متكافئين بافتراض التماسك . أي، سلسلة متماسكة من مقاييس الاحتمال(μن)ن∈شمال{\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}يتقارب بشكل غامض إلى مقياس احتماليμ{\displaystyle \mu }إذا وفقط إذا(μن)ن∈شمال{\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}يتقارب بشكل ضعيف إلىμ{\displaystyle \mu }.

إن النهاية الضعيفة لسلسلة من مقاييس الاحتمال، إن وُجدت، هي مقياس احتمال. وبشكل عام، إذا لم يُفترض التقارب التام، فقد لا تتقارب سلسلة من مقاييس الاحتمال (أو الاحتمال الجزئي) بالضرورة تقاربًا غامضًا إلى مقياس احتمال حقيقي، بل إلى مقياس احتمال جزئي (مقياس بحيثμ(X)≤1{\displaystyle \mu (X)\leq 1}[ 3 ] وبالتالي ، فإن سلسلة من مقاييس الاحتمالية(μن)ن∈شمال{\displaystyle (\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }}بحيثμن→vμ{\displaystyle \mu _{n}{\overset {v}{\to }}\mu }أينμ{\displaystyle \mu }إن عدم تحديد كونه مقياس احتمالية لا يضمن بالضرورة التقارب الضعيف.

التقارب الضعيف للمقاييس كمثال على التقارب الضعيف*

على الرغم من تشابه الاسم مع التقارب الضعيف في سياق التحليل الوظيفي، فإن التقارب الضعيف للمقاييس هو في الواقع مثال على التقارب الضعيف*. وفيما يلي تعريفات التقارب الضعيف والتقارب الضعيف* المستخدمة في التحليل الوظيفي:

يتركV{\displaystyle V}أن يكون فضاء متجهي طوبولوجي أو فضاء باناخ.

  1. تسلسلxن{\displaystyle x_{n}}فيV{\displaystyle V}يتقارب بشكل ضعيف إلىx{\displaystyle x}لوφ(xن)→φ(x){\displaystyle \varphi \left(x_{n}\right)\rightarrow \varphi (x)} مثلن→∞{\displaystyle n\to \infty }للجميعφ∈V*{\displaystyle \varphi \in V^{*}}يكتب أحدهمxن→wx{\displaystyle x_{n}\mathrel {\stackrel {w}{\rightarrow }} x}مثلن→∞{\displaystyle n\to \infty }.
  2. سلسلة منφن∈V*{\displaystyle \varphi _{n}\in V^{*}}يتقارب في طوبولوجيا * الضعيفة إلىφ{\displaystyle \varphi }بشرط أنφن(x)→φ(x){\displaystyle \varphi _{n}(x)\rightarrow \varphi (x)}للجميعx∈V{\displaystyle x\in V}أي أن التقارب يحدث بمعنى نقطي. في هذه الحالة، يكتب المرءφن→w*φ{\displaystyle \varphi _{n}\mathrel {\stackrel {w^{*}}{\rightarrow }} \varphi }مثلن→∞{\displaystyle n\to \infty }.

لتوضيح كيف أن التقارب الضعيف للمقاييس هو مثال على التقارب الضعيف*، نقدم مثالاً من حيث التقارب الغامض (انظر أعلاه). ليكنX{\displaystyle X}ليكن فضاء هاوسدورف متراصًا محليًا. وبحسب نظرية تمثيل ريس ، فإن الفضاءم(X){\displaystyle M(X)}إن فضاء مقاييس رادون متماثل مع فضاء جزئي من فضاء الدوال الخطية المتصلة علىج0(X){\displaystyle C_{0}(X)}لذلك، لكل قياس للرادونμن∈م(X){\displaystyle \mu _{n}\in M(X)}، هناك دالة خطيةφن∈ج0(X)*{\displaystyle \varphi _{n}\in C_{0}(X)^{*}}بحيثφن(و)=∫Xودμن{\displaystyle \varphi _{n}(f)=\int _{X}f\,d\mu _{n}}للجميعو∈ج0(X){\displaystyle f\in C_{0}(X)}بتطبيق تعريف التقارب الضعيف* بدلالة الدوال الخطية، نحصل على توصيف التقارب الغامض للمقاييس. بالنسبة للمجموعات المدمجةX{\displaystyle X}،ج0(X)=جب(X){\displaystyle C_{0}(X)=C_{B}(X)}لذلك في هذه الحالة، يعتبر التقارب الضعيف للمقاييس حالة خاصة من التقارب الضعيف*.

انظر أيضاً

ملاحظات ومراجع

  1. ↑ مدراس، نيل؛ سيزر، دينيز (25 فبراير 2011). "حدود كمية لتقارب سلسلة ماركوف: مسافات ووترشتاين والتباين الكلي". برنولي . 16 (3): 882-908 . arXiv : 1102.5245 . doi : 10.3150/09-BEJ238 . S2CID 88518773 . 
  2. ↑ كلينك، آخيم (2006). نظرية الاحتمالات . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-1-84800-047-6.
  3. 1 2 3 تشونغ، كاي لاي (1974). دورة في نظرية الاحتمالات . أرشيف الإنترنت. نيويورك، دار النشر الأكاديمية. الصفحات 84-99 . ISBN  978-0-12-174151-8.

للمزيد من القراءة

  • أمبروسيو، ل.، جيجلي، ن.، وسافاري، ج. (2005). تدفقات التدرج في الفضاءات المترية وفي فضاء مقاييس الاحتمال . بازل: المعهد الفدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ، دار نشر بيركهاوزر. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  • بيلينغسلي، باتريك (1995). الاحتمال والقياس . نيويورك، نيويورك: جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-00710-2.
  • بيلينغسلي، باتريك (1999). تقارب مقاييس الاحتمال . نيويورك، نيويورك: جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-19745-9.