مسافة الطاقة

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 22 صور
الموسوعة الحرة

المسافة الطاقية هي مسافة إحصائية بين توزيعات احتمالية . إذا كان X و Y متجهين عشوائيين مستقلين في R d بدوال توزيع تراكمي (cdf) F و G على التوالي، فإن المسافة الطاقية بين التوزيعين F و G تُعرَّف بأنها الجذر التربيعي لـ

د2(F،جي)=2هـ⁡‖X-Y‖-هـ⁡‖X-X′‖-هـ⁡‖Y-Y′‖≥0،{\displaystyle D^{2}(F,G)=2\operatorname {E} \|XY\|-\operatorname {E} \|XX'\|-\operatorname {E} \|YY'\|\geq 0,}

حيث (X، X'، Y، Y') مستقلة، ودالة التوزيع التراكمي لـ X و X' هي F، ودالة التوزيع التراكمي لـ Y و Y' هي G.هـ{\displaystyle \operatorname {E} }القيمة المتوقعة هي ، و || . يرمز || إلى طول المتجه. تحقق مسافة الطاقة جميع بديهيات المقياس، وبالتالي فهي تميز تساوي التوزيعات: D(F,G) = 0 إذا وفقط إذا كان F = G. تم تقديم مسافة الطاقة للتطبيقات الإحصائية في عام 1985 بواسطة غابور ج. سيكيلي ، الذي أثبت أنه بالنسبة للمتغيرات العشوائية ذات القيم الحقيقيةد2(F،جي){\displaystyle D^{2}(F,G)}يساوي ضعف مسافة كرامر بالضبط : [ 1 ]

∫-∞∞(F(x)-جي(x))2دx.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(F(x)-G(x))^{2}\,dx.}

للحصول على برهان بسيط على هذا التكافؤ، انظر Székely (2002). [ 2 ]

في الأبعاد الأعلى، يختلف هذان المسافتان لأن مسافة الطاقة ثابتة تحت الدوران، بينما مسافة كرامر ليست كذلك. (لاحظ أن مسافة كرامر لا تُطابق معيار كرامر-فون ميزس غير المعتمد على التوزيع ).

التعميم على الفضاءات المترية

يمكن تعميم مفهوم مسافة الطاقة ليشمل التوزيعات الاحتمالية على الفضاءات المترية. ليكن(م،د){\displaystyle (M,d)}ليكن فضاءً متريًا مع جبر بوريل سيجما الخاص بهب(م){\displaystyle {\mathcal {B}}(M)}. يتركP(م){\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}تشير إلى مجموعة جميع مقاييس الاحتمال على الفضاء القابل للقياس(م،ب(م)){\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M))}إذا كانت μ و ν مقياسين احتماليين فيP(م){\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}ثم مسافة الطاقةد{\displaystyle D}يمكن تعريف μ و ν على أنها الجذر التربيعي لـ

د2(μ،ν)=2هـ⁡[د(X،Y)]-هـ⁡[د(X،X′)]-هـ⁡[د(Y،Y′)].{\displaystyle D^{2}(\mu ,\nu )=2\operatorname {E} [d(X,Y)]-\operatorname {E} [d(X,X')]-\operatorname {E} [d(Y,Y')].}

لكن هذا لا يعني بالضرورة أنه غير سالب. إذا(م،د){\displaystyle (M,d)}إذا كانت نواة سالبة محددة بقوة، د{\displaystyle D}هو مقياس ، والعكس صحيح. [ 3 ] يُعبَّر عن هذا الشرط بالقول إن(م،د){\displaystyle (M,d)}له نوع سلبي. النوع السلبي غير كافٍ لـد{\displaystyle D}أن يكون مقياسًا؛ ويتم التعبير عن الشرط الأخير بالقول إن(م،د){\displaystyle (M,d)}يتميز هذا النوع بنوع سلبي قوي. في هذه الحالة، تكون مسافة الطاقة صفرًا إذا وفقط إذا كان توزيع X و Y متطابقًا. مثال على مقياس من النوع السلبي، ولكنه ليس من النوع السلبي القوي، هو المستوى ذو مقياس سيارة الأجرة . جميع الفضاءات الإقليدية، وحتى فضاءات هيلبرت القابلة للفصل، لها نوع سلبي قوي. [ 4 ]

في الأدبيات المتعلقة بطرق النواة في التعلم الآلي ، تُدرس هذه المفاهيم المعممة لمسافة الطاقة تحت مسمى أقصى تباين متوسط. وقد تناول العديد من المؤلفين تكافؤ الطرق القائمة على المسافة وطرق النواة لاختبار الفرضيات. [ 5 ] [ 6 ]

إحصاءات الطاقة

طُرح مفهوم إحصائي ذو صلة، وهو مفهوم الإحصاء-E أو إحصاء الطاقة [ 7 ]، من قِبل غابور ج. سيكيلي في ثمانينيات القرن الماضي، عندما كان يُلقي محاضرات في بودابست، المجر، وفي معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، وجامعات ييل وكولومبيا. يستند هذا المفهوم إلى مفهوم طاقة الوضع لنيوتن [ 8 ] . وتتلخص الفكرة في اعتبار الملاحظات الإحصائية كأجرام سماوية تخضع لطاقة وضع إحصائية، لا تساوي صفرًا إلا عندما تكون الفرضية الصفرية الإحصائية الأساسية صحيحة. وتُعد إحصاءات الطاقة دوالًا للمسافات بين الملاحظات الإحصائية.

تم اعتبار مسافة الطاقة وإحصائية E بمثابة مسافات N وإحصائية N في بحث زينجر (AA) وكاكوسيان (AV) وكليبانوف (LB) بعنوان "توصيف التوزيعات باستخدام القيم المتوسطة لبعض الإحصائيات بالارتباط ببعض مقاييس الاحتمالية"، ضمن كتاب "مشكلات الاستقرار للنماذج العشوائية"، موسكو، VNIISI، 1989، الصفحات 47-55 (باللغة الروسية). ونُشرت الترجمة الإنجليزية للبحث في مجلة الرياضيات السوفيتية (1992) بعنوان "توصيف التوزيعات باستخدام القيم المتوسطة للإحصائيات وبعض مقاييس الاحتمالية". وفي البحث نفسه، تم تقديم تعريف للنواة السالبة المحددة بقوة، وتعميم على الفضاءات المترية، كما ذُكر سابقًا. ويُقدم الكتاب [ 3 ] هذه النتائج وتطبيقاتها في الاختبارات الإحصائية، بالإضافة إلى بعض التطبيقات لاستعادة المقياس من إمكاناته.

اختبار التوزيعات المتساوية

لنفترض الفرضية الصفرية التي تنص على أن متغيرين عشوائيين، X و Y ، لهما نفس التوزيعات الاحتمالية:μ=ν{\displaystyle \mu =\nu }بالنسبة للعينات الإحصائية من X و Y :

x1،...،xن{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}وy1،...،yم{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}}،

يتم حساب المتوسطات الحسابية التالية للمسافات بين العينتين X و Y:

أ:=1نم∑أنا=1ن∑ج=1م‖xأنا-yج‖،ب:=1ن2∑أنا=1ن∑ج=1ن‖xأنا-xج‖،ج:=1م2∑أنا=1م∑ج=1م‖yأنا-yج‖{\displaystyle A:={\frac {1}{nm}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}\|x_{i}-y_{j}\|,B:={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\|x_{i}-x_{j}\|,C:={\frac {1}{m^{2}}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{m}\|y_{i}-y_{j}\|}.

يتم تعريف إحصائية E للفرضية الصفرية الأساسية على النحو التالي:

هـن،م(X،Y):=2أ-ب-ج{\displaystyle E_{n,m}(X,Y):=2A-B-C}

يمكن إثبات [ 8 ] [ 9 ] أنهـن،م(X،Y)≥0{\displaystyle E_{n,m}(X,Y)\geq 0}وأن قيمة السكان المقابلة تساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان لـ X و Y نفس التوزيع (μ=ν{\displaystyle \mu =\nu }). في ظل هذه الفرضية الصفرية، تكون إحصائية الاختبار

تي=نمن+مهـن،م(X،Y){\displaystyle T={\frac {nm}{n+m}}E_{n,m}(X,Y)}

يتقارب التوزيع في شكل تربيعي لمتغيرات عشوائية طبيعية قياسية مستقلة . في ظل الفرضية البديلة، يؤول T إلى اللانهاية. وهذا يُتيح إمكانية بناء اختبار إحصائي متسق ، وهو اختبار الطاقة للتوزيعات المتساوية. [ 10 ]

يمكن أيضًا إدخال معامل عدم التجانس E. يتراوح هذا المعامل دائمًا بين 0 و1، ويُعرَّف على النحو التالي:

ح=د2(FX،FY)2هـ⁡‖X-Y‖=2هـ⁡‖X-Y‖-هـ⁡‖X-X′‖-هـ⁡‖Y-Y′‖2هـ⁡‖X-Y‖،{\displaystyle H={\frac {D^{2}(F_{X},F_{Y})}{2\operatorname {\operatorname {E} } \|X-Y\|}}={\frac {2\operatorname {E} \|X-Y\|-\operatorname {E} \|X-X'\|-\operatorname {E} \|Y-Y'\|}{2\operatorname {\operatorname {E} } \|X-Y\|}},}

أينهـ{\displaystyle \operatorname {E} } يشير إلى القيمة المتوقعة . H  =  0  بالضبط عندما يكون لـ X و Y نفس التوزيع.

مدى ملاءمة المنتج

يُعرَّف مقياس جودة المطابقة متعدد المتغيرات للتوزيعات ذات الأبعاد العشوائية (غير المقيدة بحجم العينة). إحصائية جودة المطابقة للطاقة هي

سؤالن=ن(2ن∑أنا=1نهـ⁡‖xأنا-X‖α-هـ⁡‖X-X′‖α-1ن2∑أنا=1ن∑ج=1ن‖xأنا-xج‖α)،{\displaystyle Q_{n}=n\left({\frac {2}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} \|x_{i}-X\|^{\alpha }-\operatorname {E} \|X-X'\|^{\alpha }-{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\|x_{i}-x_{j}\|^{\alpha }\right),}

حيث أن X و X' مستقلتان ومتطابقتان في التوزيع وفقًا للتوزيع المفترض، وα∈(0،2){\displaystyle \alpha \in (0,2)}الشرط الوحيد المطلوب هو أن يكون لـ X عدد محدودα{\displaystyle \alpha }لحظة تحت فرضية العدم. تحت فرضية العدمهـ⁡سؤالن=هـ⁡‖X-X′‖α{\displaystyle \operatorname {E} Q_{n}=\operatorname {E} \|X-X'\|^{\alpha }}والتوزيع التقاربي لـ Q<sub> n</sub> هو شكل تربيعي لمتغيرات عشوائية غاوسية مركزية. في ظل فرضية بديلة، يؤول Q<sub> n</sub> إلى اللانهاية عشوائيًا، مما يُحدد اختبارًا متسقًا إحصائيًا. في معظم التطبيقات، يُمكن استخدام الأس 1 (المسافة الإقليدية). الحالة الخاصة المهمة لاختبار التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات [ 9 ] مُطبقة في حزمة الطاقة للغة R. كما طُوّرت اختبارات للتوزيعات ذات الذيول السميكة مثل توزيع باريتو ( قانون القوة )، أو التوزيعات المستقرة باستخدام أسس في الفترة (0،1).

التطبيقات

تشمل التطبيقات ما يلي:

قام Gneiting و Raftery [ 19 ] بتطبيق مسافة الطاقة لتطوير نوع جديد وعام جدًا من قواعد التسجيل المناسبة للتنبؤات الاحتمالية، وهي درجة الطاقة.

يتم تطبيق تطبيقات إحصاءات الطاقة في حزمة الطاقة مفتوحة المصدر [ 28 ] لـ R.

مراجع

  1. ^ كريمر، هـ. (1928) حول تكوين الأخطاء الأولية، Skandinavisk Aktuarietidskrift، 11، 141–180.
  2. ↑ الإحصاء الإلكتروني: طاقة العينات الإحصائية (2002) ملف PDF مؤرشف بتاريخ 20 أبريل 2016 على موقع Wayback Machine
  3. 1 2 Klebanov, LB (2005) N-distances and their Applications, Karolinum Press , Charles University, Prague.
  4. ↑ ليونز، ر. (2013). "التغاير في المسافة في الفضاءات المترية". حوليات الاحتمالات . 41 (5): 3284-3305 . arXiv : 1106.5758 . doi : 10.1214/12-aop803 . S2CID 73677891 . 
  5. ^ سيجدينوفيتش، د. سريبرومبودور، ب. جريتون، أ. وفوكوميزو، ك. (2013). “معادلة الإحصائيات المستندة إلى المسافة والإحصاءات المستندة إلى RKHS في اختبار الفرضيات”. حوليات الإحصاء . 41 (5): 2263–2291 . أرخايف : 1207.6076 . دوى : 10.1214/13-aos1140 . S2CID 8308769 . 
  6. ↑ شين، سينتشنغ؛ فوغلشتاين، جوشوا ت. (2021). "التكافؤ التام بين طريقتي المسافة والنواة في اختبار الفرضيات". مجلة AStA للتقدم في التحليل الإحصائي . 105 (3): 385-403 . arXiv : 1806.05514 . doi : 10.1007/s10182-020-00378-1 . S2CID 49210956 . 
  7. ↑ جي جي سزيكيلي وإم إل ريزو (2013). إحصاءات الطاقة: إحصاءات قائمة على المسافات. مجلة التخطيط والاستدلال الإحصائي، المجلد 143، العدد 8، أغسطس 2013، الصفحات 1249-1272. doi : 10.1016/j.jspi.2013.03.018
  8. 1 2 Székely, GJ (2002) E-statistics: The Energy of Statistical Samples, Technical Report BGSU No 02-16.
  9. 1 2 3 سيكلي، جي جي؛ ريزو، إم إل (2005). "اختبار جديد للتوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات" . مجلة التحليل متعدد المتغيرات . 93 (1): 58-80 . doi : 10.1016/j.jmva.2003.12.002 .أُعيد نشرها في أرشيف Wayback Machine بتاريخ 5 أغسطس 2011
  10. ↑ جي جي سزيكيلي وإم إل ريزو (2004). اختبار التوزيعات المتساوية في الأبعاد العالية، إنترستات ، نوفمبر (5). أُعيد طبعه في أرشيف الإنترنت بتاريخ 5 أغسطس 2011 .
  11. ↑ سيكلي، غابور ج.؛ ريزو، ماريا ل. (2005). "التجميع الهرمي عبر المسافات المشتركة بين المجموعات وداخلها: توسيع طريقة وارد للحد الأدنى من التباين". مجلة التصنيف . 22 (2): 151-183 . doi : 10.1007/s00357-005-0012-9 .
  12. ↑ فارين، ت.، بيرو، ر.، مولر، س.، وويلت، ب. (2009). "تجميع ملفات البنى الكيميائية باستخدام تعميم سزيكيلي-ريزو لطريقة وارد" (ملف PDF) . مجلة الرسومات الجزيئية والنمذجة . 28 (2): 187-195 . Bibcode : 2009JMGM...28..187V . doi : 10.1016/j.jmgm.2009.06.006 . PMID 19640752 . {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list ( link ) "eprint" .
  13. ↑ ريزو، ماريا ل.؛ سيكيلي، غابور ج. (2010). "تحليل DISCO: امتداد غير معلمي لتحليل التباين". حوليات الإحصاء التطبيقي . 4 (2). arXiv : 1011.2288 . doi : 10.1214/09-AOAS245 .
  14. ↑ سيكلي، جي جي وريزو، إم إل (2004) اختبار التوزيعات المتساوية في الأبعاد العالية، إنترستات، نوفمبر (5). أُعيد طبعه في أرشيف الإنترنت بتاريخ 5 أغسطس 2011 .
  15. ↑ ليدلي، ج.؛ بيتزوش، ب.؛ سيلتزر، م. (2006). "إحداثيات شبكة مستقرة ودقيقة". المؤتمر الدولي السادس والعشرون لمعهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات حول أنظمة الحوسبة الموزعة (ICDCS'06) . ص 74. doi : 10.1109/ICDCS.2006.79 . ISBN  0-7695-2540-7.
  16. ↑ ألبرت ي. كيم؛ كارين مارزبان؛ دونالد ب. بيرسيفال؛ فيرنر ستوتزل (2009). "استخدام البيانات المصنفة لتقييم كاشفات التغيير في بيئة تدفق متعددة المتغيرات". معالجة الإشارات . 89 (12): 2529-2536 . Bibcode : 2009SigPr..89.2529K . CiteSeerX 10.1.1.143.6576 . doi : 10.1016/j.sigpro.2009.04.011 . ISSN 0165-1684 .  نسخة أولية: TR534 .
  17. ↑ سيكلي، غابور ج.؛ ريزو، ماريا ل.؛ باكيروف، نايل ك. (2007). "قياس واختبار التبعية عن طريق ارتباط المسافات". حوليات الإحصاء . 35 (6). arXiv : 0803.4101 . doi : 10.1214/009053607000000505 .
  18. ↑ سيكلي، غابور ج.؛ ريزو، ماريا ل. (2009). "التغاير في المسافة البراونية" . حوليات الإحصاء التطبيقي . 3 (4): 1266-1269 . arXiv : 1010.0297 . doi : 10.1214 / 09-AOAS312 . PMC 2889501. PMID 20574547 .  
  19. ↑ تي. غنيتينغ؛ إيه إي رافتري (2007). "قواعد التقييم والتنبؤ والتقدير الصحيحة تمامًا". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 102 (477): 359-378 . doi : 10.1198/016214506000001437 . S2CID 1878582 . إعادة طبع
  20. ↑ كليبانوف، ليف ب. (2002). "فئة من مقاييس الاحتمالية وتطبيقاتها الإحصائية". تحليل البيانات الإحصائية بناءً على معيار L1 والأساليب ذات الصلة . ص 241-252 . doi : 10.1007/978-3-0348-8201-9_20 . ISBN  978-3-0348-9472-2.
  21. ↑ ف. زيل (2021). "مسافة الطاقة لاختزال المجموعات والسيناريوهات". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ . 379 (2202) 20190431. arXiv : 2005.14670 . Bibcode : 2021RSPTA.37990431Z . doi : 10.1098 / rsta.2019.0431 . ISSN 1364-503X . PMID 34092100. S2CID 219124032 .   
  22. ↑ هو، روي؛ تشيو، شينغ؛ غلازكو، غالينا؛ كليبانوف، ليف؛ ياكوفليف، أندريه (2009). "الكشف عن تغيرات الارتباط بين الجينات في تحليل المصفوفات الدقيقة: منهج جديد لاختيار الجينات" . BMC Bioinformatics . 10 20. doi : 10.1186/1471-2105-10-20 . PMC 2657217. PMID 19146700 .  
  23. ↑ شياو، يوانهوي؛ فريسينا، روبرت؛ غوردون، ألكسندر؛ كليبانوف، ليف؛ ياكوفليف، أندريه (2004). "بحث متعدد المتغيرات عن تراكيب الجينات المتغيرة التعبير" . BMC Bioinformatics . 5 164. doi : 10.1186/1471-2105-5-164 . PMC 529250. PMID 15507138 .  
  24. ^ الموديفار، أنتوني. كليبانوف، ليف ب. تشيو، شينغ؛ سالزمان، بيتر. ياكوفليف، أندريه ي. (2006). "فائدة مقاييس الارتباط في تحليل التعبير الجيني" . نيوروركس . 3 (3): 384-395 . دوى : 10.1016/j.nurx.2006.05.037 . بمك 3593386 . بميد 16815221 .  
  25. ↑ كليبانوف، ل.؛ غوردون، أ.؛ شياو، ي.؛ لاند، هـ.؛ ياكوفليف، أ. (2006). "اختبار التبديل المستوحى من تحليل بيانات المصفوفات الدقيقة". الإحصاءات الحاسوبية وتحليل البيانات . 50 (12): 3619-3628 . doi : 10.1016/j.csda.2005.08.005 .
  26. ^ بينيس، فيكتور. ليشنيروفا، رادكا؛ كليبانوف، ليف؛ سلاموفا، مارجريتا؛ سلامة ، بيتر (2009). “مقارنة إحصائية لهندسة جسيمات المرحلة الثانية”. توصيف المواد . 60 (10): 1076–1081 . دوى : 10.1016/j.matchar.2009.02.016 .
  27. ↑ فايتشيوكيناس، إيفالداس؛ فيريكاس، أنتاناس؛ جيلزينيس، أداس؛ باكاوسكين، ماريا؛ أولينينا، إيرينا (2015). "استغلال اختبار الطاقة الإحصائية لمقارنة مجموعات متعددة في البيانات المورفومترية والكيميائية". الكيمياء القياسية وأنظمة المختبرات الذكية . 146 : 10-23 . doi : 10.1016/j.chemolab.2015.04.018 .
  28. ↑ "energy: R package version 1.6.2" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 يناير 2015 .