خريطة متساوية المساحة

في الهندسة التفاضلية ، فإن الخريطة متساوية المساحة ، والتي تسمى أحيانًا الخريطة الذاتية ، هي خريطة سلسة من سطح إلى آخر تحافظ على مساحات الأشكال.

إذا كان M و N سطحين ريمانيين (أو شبه ريمانيين )، فإن الخريطة متساوية المساحة f من M إلى N يمكن وصفها بأي من الشروط المتكافئة التالية:

• مساحة سطح f ( U ) تساوي مساحة U لكل مجموعة مفتوحة U على M .
• إن سحب عنصر المساحة μ N _على N يساوي μ M _، عنصر المساحة على M.
• عند كل نقطة p من M ، ومتجهات المماس v و w إلى M عند p ،

$${\displaystyle {\bigl |}df_{p}(v)\wedge df_{p}(w){\bigr |}=|v\wedge w|\,}$$

أين${\textstyle \wedge }$يشير إلى الضرب الخارجي الإقليدي للمتجهات و df يشير إلى الدفع الأمامي على طول f .

كل تحويل متساوي القياس في المستوى الإقليدي متساوي المساحة، لكن العكس ليس صحيحاً. في الواقع، يُعدّ كل من تحويل القص وتحويل الضغط مثالين مضادين للعكس.

يُحوّل تحويل القص المستطيل إلى متوازي أضلاع له نفس المساحة. ويُكتب تحويل القص على طول المحور السيني في صورة مصفوفة كما يلي:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+vy\\y\end{pmatrix}}.}$

تُطيل عملية الضغط وتُقلّص أضلاع المستطيل بشكل متبادل بحيث تبقى المساحة ثابتة. ويمكن كتابة دالة الضغط في شكل مصفوفة، حيث λ > 1، على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&1/\lambda \end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x\\y/\lambda .\end{pmatrix}}}$

التحويل الخطي${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$يضرب المساحات بالقيمة المطلقة لمحددها | ad – bc | .

تُظهر عملية الحذف الغاوسي أنه يمكن الحصول على كل تحويل خطي متساوي المساحة ( بما في ذلك الدوران ) عن طريق تركيب قصين على الأكثر على طول المحاور، وضغط، وانعكاس (إذا كان المحدد سالبًا) .

في سياق الخرائط الجغرافية ، يُطلق على إسقاط الخريطة اسم إسقاط متساوي المساحة ، أو مكافئ ، أو أصلي ، أو متساوي المساحة ، أو حافظ للمساحة ، إذا تم الحفاظ على المساحات حتى عامل ثابت؛ عند تضمين الخريطة المستهدفة، التي تُعتبر عادةً مجموعة فرعية من R ² ، بالطريقة الواضحة في R ³ ، يتم تخفيف الشرط أعلاه إلى:

${\displaystyle |df_{p}(v)\times df_{p}(w)|=\kappa |v\times w|}$

بالنسبة لبعض قيم κ > 0 التي لا تعتمد على${\displaystyle v}$و${\displaystyle w}$للاطلاع على أمثلة لهذه الإسقاطات، انظر إسقاط الخريطة متساوي المساحة .

• مصفوفة جاكوبيان والمحدد

• بريسلي، أندرو (2001)، الهندسة التفاضلية الابتدائية ، سلسلة سبرينغر للرياضيات الجامعية، لندن: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-1-85233-152-8MR 1800436​