رسم الخرائط الضغطية

في الجبر الخطي ، يعتبر تعيين الضغط ، والذي يُسمى أيضًا تحويل الضغط ، نوعًا من الخرائط الخطية التي تحافظ على المساحة الإقليدية للمناطق في المستوى الديكارتي ، ولكنها ليست تعيينًا للدوران أو القص .

بالنسبة لعدد حقيقي موجب ثابت a ، فإن التعيين

${\displaystyle (x,y)\mapsto (ax,y/a)}$

هل تعيين الضغط هو باستخدام المعلمة a . نظرًا لأن

${\displaystyle \{(u,v)\,:\,uv=\mathrm {constant} \}}$

هو قطع زائد ، إذا كان u = ax و v = y / a ، فإن uv = xy ونقاط صورة تعيين الضغط تقع على نفس القطع الزائد مثل ( x ، y ) . لهذا السبب من الطبيعي أن نفكر في تعيين الضغط باعتباره دورانًا زائديًا ، كما فعل إميل بوريل في عام 1914، ^[1] عن طريق القياس مع الدورات الدائرية ، والتي تحافظ على الدوائر.

مهد تعيين الضغط الطريق لتطوير مفهوم اللوغاريتمات. مشكلة إيجاد المنطقة المحدودة بقطع زائد (مثل xy = 1) هي مشكلة تربيع . الحل، الذي وجده جريجوري دو سانت فنسنت وألفونس أنطونيو دي ساراسا في عام 1647، يتطلب دالة اللوغاريتم الطبيعي ، وهو مفهوم جديد. تأتي بعض الرؤى في اللوغاريتمات من خلال القطاعات الزائدية التي يتم تبديلها عن طريق تعيينات الضغط مع الحفاظ على مساحتها. يتم اعتبار مساحة القطاع الزائدي كمقياس للزاوية الزائدية المرتبطة بالقطاع. مفهوم الزاوية الزائدية مستقل تمامًا عن الزاوية الدائرية العادية ، ولكنه يشترك معها في خاصية الثبات: بينما تكون الزاوية الدائرية ثابتة تحت الدوران، تكون الزاوية الزائدية ثابتة تحت تعيين الضغط. تولد كل من الزاوية الدائرية والزائدية مقاييس ثابتة ولكن فيما يتعلق بمجموعات تحويل مختلفة. تؤدي الدوال الزائدية ، التي تأخذ الزاوية الزائدية كحجة، الدور الذي تلعبه الدوال الدائرية مع حجة الزاوية الدائرية. ^[2]

في عام 1688، قبل فترة طويلة من نظرية المجموعة المجردة ، وصف إقليدس سبيديل رسم الضغط بمصطلحات اليوم: "من مربع ومجموعة لا نهائية من المستطيلات على أسطح، كل منها يساوي هذا المربع، كيف يمكن إنشاء منحنى له نفس خصائص أو تأثيرات أي قطع زائد محفور داخل مخروط قائم الزاوية." ^[3]

إذا كان r و s أعدادًا حقيقية موجبة، فإن تكوين تعيينات الضغط الخاصة بهما هو تعيين الضغط لحاصل ضربهما. وبالتالي، فإن مجموعة تعيينات الضغط تشكل مجموعة متماثلة ذات معامل واحد للمجموعة المضاعفة للأعداد الحقيقية الموجبة . تنشأ وجهة نظر إضافية لهذه المجموعة من النظر في القطاعات الزائدية وزواياها الزائدية.

من وجهة نظر المجموعات الكلاسيكية ، فإن مجموعة تعيينات الضغط هي SO ⁺ (1,1) ، وهي مكونة الهوية للمجموعة المتعامدة غير المحددة لمصفوفات حقيقية 2×2 تحافظ على الشكل التربيعي u ² − v ^2. وهذا يعادل الحفاظ على الشكل xy عبر تغيير الأساس

${\displaystyle x=u+v,\quad y=uv\,,}$

ويتوافق هندسيًا مع الحفاظ على القطع الزائد. إن منظور مجموعة تعيينات الضغط باعتبارها دورانًا زائديًا يشبه تفسير المجموعة SO(2) (المكون المتصل للمجموعة المتعامدة المحددة ) التي تحافظ على الشكل التربيعي x ² + y ² باعتبارها دورانات دائرية .

لاحظ أن تدوين " SO ⁺ " يتوافق مع حقيقة أن الانعكاسات

${\displaystyle u\mapsto -u,\quad v\mapsto -v}$

لا يُسمح بها، على الرغم من أنها تحافظ على الشكل (من حيث x و y، هذه هي x ↦ y و y ↦ x و x ↦ − x و y ↦ − y ) ؛ تكون العلامة " + " الإضافية في الحالة الزائدية (مقارنة بالحالة الدائرية) ضرورية لتحديد مكون الهوية لأن المجموعة O(1,1) بها 4 مكونات متصلة ، بينما تحتوي المجموعة O(2) على مكونين : SO(1,1) بها مكونان ، بينما SO(2) بها مكون واحد فقط. إن حقيقة أن تحويلات الضغط تحافظ على المساحة والاتجاه تتوافق مع تضمين المجموعات الفرعية SO ⊂ SL - في هذه الحالة SO(1,1) ⊂  SL(2) - للمجموعة الفرعية للدورات الزائدية في المجموعة الخطية الخاصة للتحويلات التي تحافظ على المساحة والاتجاه ( شكل الحجم ). في لغة تحويلات موبيوس ، تحويلات الضغط هي العناصر الزائدية في تصنيف العناصر .

يُطلق على التحويل الهندسي اسم التحويل المطابقي عندما يحافظ على الزوايا. تُعرَّف الزاوية الزائدية باستخدام المساحة تحت y = 1/ x . نظرًا لأن تعيينات الضغط تحافظ على مساحات المناطق المحولة مثل القطاعات الزائدية ، يتم الحفاظ على قياس زاوية القطاعات. وبالتالي فإن تعيينات الضغط تكون مطابقة بمعنى الحفاظ على الزاوية الزائدية.

وفيما يلي ملخص لبعض التطبيقات مع الإشارة إلى المراجع التاريخية.

تم تطوير هندسة الزمكان تقليديًا على النحو التالي: حدد (0,0) لـ "هنا والآن" في الزمكان. يتتبع الضوء المشع يسارًا ويمينًا عبر هذا الحدث المركزي خطين في الزمكان، وهما خطان يمكن استخدامهما لإعطاء إحداثيات للأحداث بعيدًا عن (0,0). تتبع مسارات السرعة الأقل أقرب إلى الخط الزمني الأصلي (0, t ). يمكن اعتبار أي سرعة من هذا القبيل سرعة صفرية تحت تعيين ضغط يسمى تعزيز لورنتز . تتبع هذه الرؤية دراسة مضاعفات الأعداد المركبة المنقسمة والأساس القطري الذي يتوافق مع زوج خطوط الضوء. رسميًا، يحافظ الضغط على المقياس الزائدي المعبر عنه في الشكل xy ؛ في نظام إحداثيات مختلف. لوحظ هذا التطبيق في نظرية النسبية في عام 1912 من قبل ويلسون ولويس، ^[4] بواسطة فيرنر جروب، ^[5] ولويس كوفمان . ^[6] علاوة على ذلك، تم استخدام شكل رسم الضغط لتحويلات لورنتز بواسطة جوستاف هيرجلوتز (1909/10) ^[7] أثناء مناقشة صلابة بورن ، وتم تعميمه بواسطة ولفجانج ريندلر في كتابه المدرسي عن النسبية، والذي استخدمه في إثبات خصائصها المميزة. ^[8]

تم استخدام مصطلح تحويل الضغط في هذا السياق في مقال يربط بين مجموعة لورنتز وحساب جونز في البصريات. ^[9]

في ديناميكيات الموائع، تتضمن إحدى الحركات الأساسية للتدفق غير القابل للانضغاط انقسام التدفق الذي يجري باتجاه جدار ثابت. وباستخدام المحور y = 0 وأخذ المعامل r = exp( t ) حيث t هو الوقت، فإن تعيين الضغط باستخدام المعامل r المطبق على حالة السائل الأولية ينتج تدفقًا مع انقسام إلى اليسار واليمين من المحور x = 0. ويعطي نفس النموذج تقاربًا للسائل عندما يتم تشغيل الوقت للخلف. والواقع أن مساحة أي قطاع زائدي لا تتغير تحت الضغط.

لطريقة أخرى للتدفق باستخدام خطوط انسيابية زائدية ، انظر التدفق المحتمل § قوانين القوة مع n = 2 .

في عام 1989، وصف أوتينو ^[10] "التدفق ثنائي الأبعاد المتساوي الخطي" بأنه

${\displaystyle v_{1}=Gx_{2}\quad v_{2}=KGx_{1}}$

حيث يقع K في الفاصل الزمني [−1, 1]. تتبع الخطوط الانسيابية المنحنيات

${\displaystyle x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {ثابت} }$

وبالتالي فإن K السالب يتوافق مع القطع الناقص و K الموجب يتوافق مع القطع الزائد، مع الحالة المستطيلة لتعيين الضغط المقابلة لـ K = 1.

وصف ستوكر وهوسوي ^[11] نهجهما لتدفق الزاوية على النحو التالي:

نقترح صيغة بديلة لتفسير الهندسة الشبيهة بالزاوية، استنادًا إلى استخدام إحداثيات زائدية، مما يسمح بالتقدم التحليلي الكبير نحو تحديد التدفق في حدود الهضبة وخيوط السائل المرتبطة بها. نأخذ في الاعتبار منطقة تدفق تشكل زاوية π / 2 ومحددة على اليسار والأسفل بمستويات التناظر.

ثم يستذكر ستوكر وهوسوي تفكير موفات ^[12] في "التدفق في الزاوية بين الحدود الصلبة، والذي يحدث بسبب اضطراب تعسفي على مسافة كبيرة". ووفقًا لستوكر وهوسوي،

بالنسبة لسائل حر في زاوية مربعة، فإن دالة تدفق موفات (غير المتماثلة) ... [تشير] إلى أن الإحداثيات الزائدية هي بالفعل الاختيار الطبيعي لوصف هذه التدفقات.

إن خاصية الحفاظ على المساحة في رسم الضغط لها تطبيق في وضع الأساس للوظائف المتسامية اللوغاريتم الطبيعي وعكسه الدالة الأسية :

التعريف: القطاع ( أ، ب ) هو القطاع الزائدي الذي تم الحصول عليه باستخدام الأشعة المركزية إلى ( أ ، 1/ أ ) و ( ب ، 1/ ب ).

المقدمة: إذا كان bc = ad ، فهناك تعيين ضغط يحرك القطاع ( a,b ) إلى القطاع ( c,d ).

الدليل: خذ المعامل r = c / a بحيث يأخذ ( u,v ) = ( rx , y / r ) ( a , 1/ a ) إلى ( c , 1/ c ) و ( b , 1/ b ) إلى ( d , 1/ d ).

مبرهنة ( جريجوار دو سان فنسنت 1647) إذا كان bc = ad ، فإن تربيع القطع الزائد xy = 1 مقابل المقارب له مساحات متساوية بين a و b مقارنة بالمساحات بين c و d .

الدليل: إن الحجة التي تجمع وتطرح مثلثات مساحتها 1 ⁄ 2 ، حيث يكون أحد المثلثات {(0,0)، (0,1)، (1,1)}، تُظهر أن مساحة القطاع الزائدي تساوي المساحة على طول الخط المقارب. ثم تتبع النظرية من المبرهنة.

مبرهنة ( ألفونس أنطونيو دي ساراسا 1649) مع زيادة المساحة المقاسة مقابل المقارب في المتوالية الحسابية، تزداد الإسقاطات على المقارب في المتوالية الهندسية. وبالتالي تشكل المساحات لوغاريتمات لمؤشر المقارب.

على سبيل المثال، بالنسبة لزاوية الموضع القياسية التي تمتد من (1, 1) إلى ( x , 1/ x )، قد يتساءل المرء "متى تكون الزاوية الزائدية مساوية لواحد؟" والإجابة هي العدد المتسامي x = e .

يؤدي الضغط مع r = e إلى تحريك الزاوية الوحدوية إلى زاوية واحدة بين ( e ، 1/ e ) و( ee ، 1/ ee ) والتي تغطي قطاعًا بمساحة واحد أيضًا. المتوالية الهندسية

ه ، ه ² ، ه ³ ، ...، ه ^ن ، ...

يتوافق مع المؤشر المقارب الذي تم تحقيقه مع كل مجموع من المناطق

1،2،3، ...، ن ، ...

وهو عبارة عن تقدم حسابي نموذجي A + d حيث A = 0 و d = 1.

بعد تحقيقات بيير أوسيان بونيه (1867) حول الأسطح ذات الانحناءات الثابتة، وجد سوفوس لي (1879) طريقة لاستنتاج أسطح شبه كروية جديدة من سطح معروف. مثل هذه الأسطح تلبي معادلة الجيب-جوردون :

${\displaystyle {\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta ,}$

حيث هي إحداثيات مقاربة لمنحنيين مماسين رئيسيين وزاويتيهما على التوالي. أظهر لي أنه إذا كان حلاً لمعادلة الجيب-جوردون، فإن تعيين الضغط التالي (المعروف الآن باسم تحويل لي ^[13] ) يشير إلى حلول أخرى لتلك المعادلة: ^[14]${\displaystyle (s,\sigma )}$${\displaystyle \ثيتا }$${\displaystyle \Theta =f(s,\sigma )}$

${\displaystyle \Theta =f\left(ms,\ {\frac {\sigma }{m}}\right).}$

لاحظ لي (1883) علاقته بتحويلين آخرين للأسطح شبه الكروية: ^[15] يمكن اعتبار تحويل باكلوند ( الذي قدمه ألبرت فيكتور باكلوند في عام 1883) بمثابة مزيج من تحويل لي مع تحويل بيانكي (الذي قدمه لويجي بيانكي في عام 1879). تمت مناقشة مثل هذه التحويلات للأسطح شبه الكروية بالتفصيل في المحاضرات حول الهندسة التفاضلية التي ألقاها جاستون داربو (1894)، ^[16] لويجي بيانكي (1894)، ^[17] أو لوثر فاهلر أيزنهارت (1909). ^[18]

من المعروف أن تحويلات لي (أو تعيينات الضغط) تتوافق مع تعزيزات لورنتز من حيث إحداثيات المخروط الضوئي ، كما أشار تيرن و أولينبيك (2000): ^[13]

لاحظ سوفوس لي أن معادلة جيب جوردون ثابتة تحت تحويلات لورنتز. في الإحداثيات المقاربة، التي تتوافق مع إحداثيات المخروط الضوئي، يكون تحويل لورنتز .${\displaystyle (x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)}$

ويمكن تمثيل ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end{matrix}}$

حيث يتوافق k مع عامل دوبلر في حساب بوندي k ، و η هي السرعة .

• مجموعة متعامدة غير محددة
• عملية متساوية الأضلاع

• HSM Coxeter & SL Greitzer (1967) إعادة النظر في الهندسة ، الفصل 4 التحولات، علم أنساب التحول.
• PS Modenov و AS Parkhomenko (1965) التحولات الهندسية ، المجلد الأول. انظر الصفحات من 104 إلى 106.
• والتر، سكوت (1999). "الأسلوب غير الإقليدي لنسبية مينكوفسكي" (PDF) . في ج. جراي (المحرر). الكون الرمزي: الهندسة والفيزياء . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 91-127.(انظر الصفحة 9 من الرابط الإلكتروني)
• مواد تعليمية متعلقة بالقيم الذاتية المتبادلة في ويكي الجامعة