تساوي الأضلاع (الهندسة)

في الهندسة الإقليدية ، التساوي في الطول هو علاقة ثنائية بين قطع مستقيمة موجهة . يقال عن قطعتين مستقيمتين أنهما متساويتان في الطول والاتجاه. القطعتان المستقيمتان المتساويتان في الطول متوازيتان ولكن ليس بالضرورة أن تكونا على خط واحد أو متداخلتين ، والعكس صحيح. على سبيل المثال، القطعة المستقيمة AB ، من النقطة A إلى النقطة B ، لها الاتجاه المعاكس للقطعة المستقيمة BA ؛ وبالتالي فإن القطعتين AB و BA ليستا متساويتين في الطول .

من خصائص الفضاءات الإقليدية هي خاصية متوازي الأضلاع للمتجهات: إذا كان قطعتان متساويتان، فإنهما يشكلان ضلعين من متوازي الأضلاع :

إذا كان متجه معين يقع بين a و b و c و d ، فإن المتجه الذي يقع بين a و c هو نفس المتجه الذي يقع بين b و d .

—  برتراند راسل ، مبادئ الرياضيات ، صفحة 432

تم طرح مفهوم قطع الخطوط المتساوية في التماثل بواسطة جوستو بيلفيتيس في عام 1835. بعد ذلك، تم اعتماد مصطلح المتجه لفئة من قطع الخطوط المتساوية في التماثل. أصبح استخدام بيلفيتيس لفكرة العلاقة لمقارنة أشياء مختلفة ولكن متشابهة تقنية رياضية شائعة، وخاصة في استخدام علاقات التكافؤ . استخدم بيلفيتيس تدوينًا خاصًا لتساوي القطعتين AB و CD :

${\displaystyle AB\bumpeq CD.}$

تظهر المقاطع التالية، التي ترجمها مايكل جيه كرو ، التوقع الذي كان لدى بيلفيتيس فيما يتعلق بمفاهيم المتجهات :

تظل معادلة التساوي قائمة عندما نستبدل الخطوط الموجودة فيها بخطوط أخرى معادلة لها على التوالي، بغض النظر عن موقعها في الفضاء. ومن هذا يمكننا أن نفهم كيف يمكن جمع أي عدد وأي نوع من الخطوط ، وبأي ترتيب يتم أخذ هذه الخطوط، سيتم الحصول على نفس معادلة التساوي...

في تساوي الزوايا، كما هو الحال في المعادلات، يمكن نقل الخط من جانب إلى آخر، بشرط تغيير الإشارة...

وبالتالي فإن الأجزاء ذات الاتجاه المعاكس هي أجزاء سلبية لبعضها البعض:${\displaystyle AB+BA\bumpeq 0.}$

يشير التساوي حيث يمثل n عددًا موجبًا إلى أن AB موازٍ لـ CD وله نفس الاتجاه ، وأن أطوالهما لها العلاقة المعبر عنها بواسطة AB = n.CD. ^[1 ]${\displaystyle AB\bumpeq n.CD,}$

إن القطعة من أ إلى ب هي متجه مرتبط ، في حين أن فئة القطع المتساوية معه هي متجه حر ، في مصطلحات المتجهات الإقليدية .

يتم استخدام التساوي الهندسي أيضًا على الكرة:

ولكي ندرك طريقة هاملتون ، فلنتذكر أولاً الحالة الأكثر بساطة لمجموعة الترجمات الإبيلية في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. فكل ترجمة يمكن تمثيلها كمتجه في الفضاء، حيث يكون الاتجاه والحجم فقط هما المهمان، والموقع غير ذي صلة. ويتم تحديد تركيبة الترجمتين من خلال قاعدة متوازي الأضلاع من الرأس إلى الذيل لجمع المتجهات؛ وأخذ الكميات العكسية لعكس الاتجاه. وفي نظرية هاملتون للانعطافات، لدينا تعميم لهذه الصورة من مجموعة الترجمات الإبيلية إلى SU(2) غير الإبيلية . وبدلاً من المتجهات في الفضاء، نتعامل مع أقواس الدائرة العظمى الموجهة، بطول <π على كرة وحدة S ² في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد. ويعتبر قوسان من هذا القبيل متكافئين إذا كان من الممكن جعل أحدهما يتطابق مع الآخر عن طريق تحريكه على طول دائرته العظمى. ^[2]

على دائرة كبيرة من الكرة، يكون القوسان الدائريان الموجهان متساويين عندما يتفقان في الاتجاه وطول القوس. ترتبط فئة التكافؤ لمثل هذه الأقواس بقوس رباعي

${\displaystyle \exp(ar)=\cos a+r\sin a,}$حيث a هو طول القوس و r يحدد مستوى الدائرة العظمى بالعمودية.

يمكن تلخيص خصائص فئات التكافؤ للأجزاء المتساوية التكافؤ لتحديد الفضاء الأفيني :

إذا كانت A مجموعة من النقاط و V فضاء متجه ، فإن ( A, V ) فضاء متآلف بشرط أن يكون لأي نقطتين a,b في A يوجد متجه في V ، ولأي a في A و v في V يوجد b في A بحيث ولأي ثلاث نقاط في A توجد معادلة المتجه ${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}=v,}$

${\displaystyle {ab}+{bc}={ac}}}}$

من الواضح أن هذا التطور يعتمد على المقدمة السابقة لمساحات المتجهات المجردة، على النقيض من تقديم المتجهات عبر فئات التكافؤ للأجزاء الموجهة. ^[3]

• جوستو بيلافيتيس (1835) "Saggio di applicazioni di un nuovo metodo di Geometria Analitica (Calcolo delle Equipollenze)"، Annali delle Scienze del Regno Lombardo-Veneto، Padova 5: 244–59.
• جوستو بيلافيتيس (1854) Sposizione del Metodo della Equipollenze، رابط من كتب جوجل .

• تشارلز أنج ليسانت (1874): ترجمة فرنسية مع إضافات بيلافيتيس (1854) Exposition de la méthode des Equipollences، رابط من كتب Google .

• جوستو بيلافيتيس (1858) Calcolo dei Quaternioni di WR Hamilton e su Relazione col Metodo delle Equipollenze، رابط من HathiTrust.
• تشارلز-آنج لايزانت (1887) نظرية وتطبيقات تكافؤ النسب، غوتييه-فيلارز، رابط من مجموعة الرياضيات التاريخية لجامعة ميشيغان .
• لينا إل. سيفرانس (1930) نظرية تكافؤ الأضلاع؛ طريقة الهندسة التحليلية لسي. بيلفيتيس، رابط من هاثي تراست.