التفرد الجوهري

في التحليل المركب ، تعتبر نقطة التفرد الأساسية للدالة نقطة تفرد "شديدة" تظهر بالقرب منها الدالة سلوكًا لافتًا للنظر.

تُعدّ فئة التفرد الأساسي مجموعةً "متبقية" أو افتراضية من التفردات المعزولة التي يصعب التعامل معها بشكل خاص: فهي بحكم تعريفها لا تندرج ضمن أي من فئتي التفرد الأخريين اللتين يمكن معالجتهما بطريقة ما - التفردات القابلة للإزالة والأقطاب . عمليًا، يشمل بعضها التفردات غير المعزولة أيضًا؛ فهذه الأخيرة لا تترك أثرًا متبقيًا .

لنفترض مجموعة جزئية مفتوحة${\displaystyle U}$المستوى المركب​${\displaystyle \mathbb {C} }$. دع${\displaystyle a}$أن يكون عنصرًا من${\displaystyle U}$، و${\displaystyle f:U\smallsetminus \{a\}\to \mathbb {C} }$دالة تحليلية . النقطة${\displaystyle a}$يُطلق عليها اسم التفرد الأساسي للدالة${\displaystyle f}$إذا لم تكن النقطة الشاذة قطباً ولا نقطة شاذة قابلة للإزالة .

على سبيل المثال، الدالة${\displaystyle f(z)=e^{1/z}}$لها نقطة تفرد أساسية عند ⁠${\displaystyle z=0}$⁠ .

يترك${\displaystyle a}$ليكن عددًا مركبًا ، ولنفترض أن${\displaystyle f(z)}$غير مُعرَّف في${\displaystyle a}$لكنها تحليلية في بعض المناطق${\displaystyle U}$من المستوى المركب، وأن كل جوار مفتوح لـ${\displaystyle a}$له تقاطع غير فارغ مع${\displaystyle U}$⁠ .

• إذا كان كلاهما${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$و${\displaystyle \lim _{z\to a}{1}/{f(z)}}$موجودين إذن${\displaystyle a}$هي نقطة تفرد قابلة للإزالة لكليهما${\displaystyle f}$و​${\displaystyle {1}/{f}}$⁠ .
• لو${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$موجود لكن${\displaystyle \lim _{z\to a}{1}/{f(z)}}$غير موجود ( ⁠${\displaystyle \lim _{z\to a}\left\vert {1}/{f(z)}\right\vert =\infty }$ثم​${\displaystyle a}$هو صفر من${\displaystyle f}$وعمود من​​${\displaystyle {1}/{f}}$⁠ .
• لو${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$غير موجود (في الواقع ⁠${\displaystyle {1}}$) لكن${\displaystyle \lim _{z\to a}{1}/{f(z)}}$موجود، إذن${\displaystyle a}$هو قطب من${\displaystyle f}$وصفر من​​${\displaystyle {1}/{f}}$⁠ .
• إذا لم يكن أي منهما${\displaystyle \lim _{z\to a}f(z)}$ولا${\displaystyle \lim _{z\to a}{1}/{f(z)}}$موجود، إذن${\displaystyle a}$هي نقطة تفرد أساسية لكليهما${\displaystyle f}$و​${\displaystyle {1}/{f}}$⁠ .

هناك طريقة أخرى لتوصيف التفرد الجوهري وهي أن سلسلة لوران${\displaystyle f}$عند النقطة${\displaystyle a}$تحتوي على عدد لا نهائي من الحدود ذات الدرجة السالبة (أي أن الجزء الرئيسي من متسلسلة لوران هو مجموع لا نهائي). تعريف ذو صلة هو أنه إذا كانت هناك نقطة${\displaystyle a}$والتي${\displaystyle f(z)(za)^{n}}$غير قابلة للتفاضل لأي عدد صحيح${\displaystyle n>0}$ثم​${\displaystyle a}$هي نقطة تفرد أساسية لـ${\displaystyle f}$[ ¹ ]^​​

على كرة ريمان ذات نقطة عند اللانهاية ،${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$، الوظيفة${\displaystyle {f(z)}}$تكون هناك نقطة تفرد أساسية عند تلك النقطة إذا وفقط إذا${\displaystyle {f(1/z)}}$لها نقطة تفرد أساسية عند ⁠${\displaystyle 0}$أي لا هذا ولا ذاك${\displaystyle \lim _{z\to 0}{f(1/z)}}$ولا${\displaystyle \lim _{z\to 0}{1}/{f(1/z)}}$موجود. ^{[ 2 ]} دالة زيتا لريمان على كرة ريمان لها نقطة تفرد أساسية واحدة فقط، وهي عند ⁠${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$[ ^{3 ]} في الواقع ،كل دالة ميرومورفية، باستثناء الدالة الكسرية، ^لها نقطة تفرد أساسية فريدة عند${\displaystyle \infty _{\mathbb {C} }}$⁠ .

يُوصَف سلوك الدوال التحليلية بالقرب من نقاطها الشاذة الأساسية بواسطة نظرية كاسوراتي-فايرشتراس ونظرية بيكارد الكبرى الأقوى بكثير . وتنص الأخيرة على أنه في كل جوار لنقطة شاذة أساسية ⁠${\displaystyle a}$، الوظيفة${\displaystyle f}$تأخذ الدالة كل قيمة مركبة، باستثناء قيمة واحدة محتملة، عددًا لا نهائيًا من المرات. (الاستثناء ضروري؛ على سبيل المثال، الدالة${\displaystyle \exp(1/z)}$لا يكتسب القيمة أبدًا${\displaystyle 0}$. )

• التفرد الأساسي بقلم ستيفن وولفرام ، مشروع عروض وولفرام التوضيحية .
• التفرد الأساسي على كوكب الرياضيات