دالة ميرومورفية

في مجال التحليل المركب الرياضي ، الدالة الميرومورفية على مجموعة جزئية مفتوحة${\displaystyle D}$دالة المستوى المركب هي دالة تحليلية على جميع${\displaystyle D}$باستثناء مجموعة من النقاط المعزولة ، التي تمثل أقطاب الدالة. ^{[ 1 ]} يأتي المصطلح من الكلمة اليونانية meros ( μέρος )، والتي تعني " جزء " . ^{[ أ ]}

كل دالة ميرومورفية على${\displaystyle D}$يمكن التعبير عنها كنسبة بين دالتين تحليليتين (مقامهما ليس ثابتًا يساوي صفرًا) معرفتين على${\displaystyle D}$يجب أن يتطابق أي قطب مع صفر المقام.

بشكل بديهي، الدالة الميرومورفية هي نسبة بين دالتين منتظمتين (هولومورفيتين). ستظل هذه الدالة منتظمة، باستثناء ربما النقاط التي يكون فيها مقام الكسر صفرًا. إذا كان المقام يساوي صفرًا عند${\displaystyle z}$وإذا لم يكن البسط كذلك، فإن قيمة الدالة ستقترب من اللانهاية؛ أما إذا كان لكلا الجزأين صفر عند${\displaystyle z}$ثم يجب مقارنة تعدد هذه الأصفار.

من وجهة نظر جبرية، إذا كان مجال الدالة متصلاً ، فإن مجموعة الدوال الميرومورفية هي حقل الكسور في المجال التكاملي لمجموعة الدوال الهولومورفية. وهذا يُشابه العلاقة بين الأعداد النسبية والأعداد الصحيحة .

استُخدم مصطلحا "الهولومورفية " و" الميرومورفية" لأول مرة عام 1875 من قِبل شارل بريو وجان كلود بوكيه ، وهما اثنان من طلاب أوغستين لويس كوشي . يُشتق مصطلح "الهولومورفية " من الكلمة اليونانية ὅλος ( هولوس ) التي تعني "الكل"، و μορφή ( مورفي ) التي تعني "الشكل" أو "المظهر" أو "النمط"، بينما يُشتق مصطلح " الميرومورفية " من الكلمة اليونانية μέρος ( ميروس ) التي تعني "الجزء". تشبه الدالة الهولومورفية دالة كاملة ("الكل") في مجال المستوى المركب، بينما تشبه الدالة الميرومورفية جزءًا نسبيًا ("الجزء") من دوال كاملة في مجال المستوى المركب. ^{[ 2 ]}

في ثلاثينيات القرن العشرين، في نظرية الزمر ، استُخدم مصطلح الدالة الميرومورفية (أو الميرومورفية ) بمعنى مختلف: إذ كان يُشير إلى دالة من زمرة إلى نفسها تحافظ على عملية الزمرة. ^{[ 3 ]} هذا المصطلح قديم، ويُستخدم الآن مصطلح التشاكل الداخلي للإشارة إلى هذه الدالة.

بما أن الأقطاب معزولة، فإن عددها في الدالة الميرومورفية لا يتجاوز عددًا معدودًا . ^{[ 4 ]} يمكن أن تكون مجموعة الأقطاب لانهائية، كما يتضح من الدالة$${\displaystyle f(z)=\csc z={\frac {1}{\sin z}}.}$$

باستخدام الاستمرار التحليلي لإزالة النقاط الشاذة القابلة للإزالة ، يمكن جمع الدوال الميرومورفية وطرحها وضربها، ويكون ناتج القسمة${\displaystyle f/g}$لا يمكن تشكيلها إلا إذا${\displaystyle g(z)=0}$على مكون متصل من D. وبالتالي، إذا كانت D متصلة، فإن الدوال الميرومورفية تشكل حقلاً ، في الواقع امتداداً حقلياً للأعداد المركبة .

• جميع الدوال الكسرية ، ^{[ 4 ]} على سبيل المثال$${\displaystyle f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}},}$$هي دوال ميرومورفية على كامل المستوى المركب. علاوة على ذلك، فهي الدوال الميرومورفية الوحيدة على المستوى المركب الممتد .
• الوظائف$${\displaystyle f(z)={\frac {e^{z}}{z}}\quad {\text{and}}\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}}$$وكذلك دالة غاما ودالة زيتا لريمان، فهما دالتان ميرومورفيتان على كامل المستوى المركب. ^{[ 4 ]}
• الوظيفة$${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$$تُعرَّف هذه الدالة في كامل المستوى المركب باستثناء نقطة الأصل، 0. مع ذلك، فإن 0 ليس قطبًا لهذه الدالة، بل هو نقطة تفرد أساسية . لذا، فإن هذه الدالة ليست ميرومورفية في كامل المستوى المركب. لكنها ميرومورفية (بل هولومورفية) على${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$.
• دالة اللوغاريتم المركب$${\displaystyle f(z)=\ln(z)}$$ليست ميرومورفية على كامل المستوى المركب، إذ لا يمكن تعريفها على كامل المستوى المركب مع استبعاد مجموعة من النقاط المعزولة فقط. ^{[ 4 ]}
• الوظيفة$${\displaystyle f(z)=\csc {\frac {1}{z}}={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}}$$ليست ميرومورفية في المستوى بأكمله، لأن النقطة${\displaystyle z=0}$^{[ 4 ]} هي نقطة تراكم للأقطاب، وبالتالي فهي ليست نقطة تفرد معزولة .
• الوظيفة$${\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}}$$كما أنها ليست ميرومورفية، حيث أن لها نقطة تفرد أساسية عند 0.

على سطح ريمان ، تقبل كل نقطة جوارًا مفتوحًا يكون ثنائي الشكل مع مجموعة جزئية مفتوحة من المستوى العقدي. وبذلك، يمكن تعريف مفهوم الدالة الميرومورفية لكل سطح ريمان.

عندما تكون D هي كرة ريمان بأكملها ، فإن حقل الدوال الميرومورفية هو ببساطة حقل الدوال الكسرية في متغير واحد على الحقل المركب، إذ يمكن إثبات أن أي دالة ميرومورفية على الكرة هي دالة كسرية. (هذه حالة خاصة مما يُسمى بمبدأ GAGA ).

لكل سطح ريمان ، تكون الدالة الميرومورفية هي نفسها الدالة الهولومورفية التي تُسقط على كرة ريمان والتي ليست دالة ثابتة تساوي ∞. وتتوافق الأقطاب مع تلك الأعداد المركبة التي تُسقط على ∞.

على سطح ريمان غير متراص ، يمكن تمثيل كل دالة ميرومورفية كحاصل قسمة دالتين هولومورفيتين (معرفتين عالميًا). في المقابل، على سطح ريمان متراص، تكون كل دالة هولومورفية ثابتة، بينما توجد دائمًا دوال ميرومورفية غير ثابتة.

• مشاكل أبناء العم
• نظرية ميتاج-ليفلر
• نظرية تحليل العوامل لـ Weierstrass