الأصفار والأقطاب

في التحليل المركب (فرع من الرياضيات)، القطب هو نوع معين من التفردات لدالة ذات قيمة مركبة لمتغير مركب . وهو أبسط نوع من التفردات غير القابلة للإزالة لمثل هذه الدالة (انظر التفرد الأساسي ). من الناحية الفنية، تكون النقطة $z 0$ قطبًا للدالة $f$ إذا كانت صفرًا للدالة $1/ f$ و $1/ f$ هي متماثلة الشكل $($ أي قابلة للاشتقاق المركب ) في بعض جوار z $0$ .

تكون الدالة $f$ متعددة الأشكال في مجموعة مفتوحة $U$ إذا كان لكل نقطة $z$ من $U$ جوار لـ $z$ حيث يكون أحد $f$ و $1/ f$ على الأقل متعدد الأشكال.

إذا كانت $f$ متماثلة الشكل في $U$ ، فإن صفر $f$ هو قطب $1/ f$ ، وقطب $f$ هو صفر $1/ f$ . وهذا يؤدي إلى ازدواجية بين الأصفار والأقطاب ، وهو أمر أساسي لدراسة الدوال المتماثلة الشكل. على سبيل المثال، إذا كانت الدالة متماثلة الشكل على المستوى المركب بأكمله بالإضافة إلى النقطة عند اللانهاية ، فإن مجموع مضاعفات أقطابها يساوي مجموع مضاعفات أصفارها .

التعاريف

تكون دالة المتغير المركب $z$ متماثلة في المجال المفتوح $U$ إذا كانت قابلة للاشتقاق بالنسبة إلى $z$ عند كل نقطة من $U.$ وعلى نحو مكافئ، تكون متماثلة إذا كانت تحليلية ، أي إذا كانت متسلسلة تايلور الخاصة بها موجودة عند كل نقطة من $U$ ، وتتقارب مع الدالة في بعض جوار هذه النقطة. تكون الدالة متماثلة في $U$ إذا كانت كل نقطة من $U$ لها جوار بحيث يكون على الأقل أحد $f$ و $1/ f$ متماثلاً فيها.

صفر الدالة المتداخلة $f$ $هو$ عدد مركب $z$ بحيث $f$ $($ z $) = 0.$ قطب f هو صفر $1$ $/$ $f$ .

إذا كانت $f$ دالة متعددة الأشكال في جوار نقطة من المستوى المركب ، فإنه يوجد عدد صحيح $n$ بحيث $z_{0}$

(z-z_{0})^{n}f(z)

هو شكلي وغير صفري في جوار (وهذا نتيجة للخاصية التحليلية). إذا كان $n$ $> 0$ ، فهو قطب من رتبة ( أو تعدد) $n$ لـ $f$ . إذا كان $n$ $< 0$ ، فهو صفر من رتبة f $.$ الصفر البسيط والقطب البسيط مصطلحان يستخدمان للأصفار وأقطاب الرتبة . تُستخدم الدرجة أحيانًا كمرادف للرتبة. $z_{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $|n|$ $|n|=1.$

يشير هذا التوصيف للأصفار والأقطاب إلى أن الأصفار والأقطاب معزولة ، أي أن كل صفر أو قطب له جوار لا يحتوي على أي صفر أو قطب آخر.

نظرًا لأن ترتيب الأصفار والأقطاب يتم تعريفه كعدد غير سالب $n$ والتماثل بينهما، فمن المفيد غالبًا اعتبار قطب من الدرجة $n$ بمثابة صفر من الدرجة $- n$ وصفر من الدرجة $n$ بمثابة قطب من الدرجة $- n$ . في هذه الحالة، تُعتبر النقطة التي ليست قطبًا ولا صفرًا قطبًا (أو صفرًا) من الدرجة 0.

قد تحتوي الدالة الميرومورفية على عدد لا نهائي من الأصفار والأقطاب. هذه هي الحال بالنسبة لدالة جاما (انظر الصورة في مربع المعلومات)، والتي تكون ميرومورفية في المستوى المركب بأكمله، ولها قطب بسيط عند كل عدد صحيح غير موجب. تكون دالة زيتا لريمان أيضًا ميرومورفية في المستوى المركب بأكمله، مع قطب واحد من الدرجة 1 عند $z = 1.$ أصفارها في نصف المستوى الأيسر هي جميع الأعداد الصحيحة الزوجية السالبة، وفرضية ريمان هي التخمين بأن جميع الأصفار الأخرى تقع على طول $Re(z) = 1/2$ .

في جوار نقطة ما، تكون الدالة الميرومورفية غير الصفرية $f$ هي مجموع سلسلة لوران ذات الجزء الرئيسي المحدود على الأكثر (المصطلحات ذات قيم المؤشر السلبية): $z_{0},$

f(z)=\sum _{k\geq -n}a_{k}(z-z_{0})^{k},

حيث $n$ عدد صحيح، ومرة أخرى، إذا كان $n$ $> 0$ (يبدأ المجموع بـ ، فإن الجزء الرئيسي يحتوي على $n$ حدًا)، يكون لدينا قطب من الدرجة $n$ ، وإذا كان $n$ $\leq 0$ (يبدأ المجموع بـ ، لا يوجد جزء رئيسي)، يكون لدينا صفر من الدرجة . $a_{-n}\neq 0.$ $a_{-|n|}(z-z_{0})^{-|n|}$ $a_{|n|}(z-z_{0})^{|n|}$ $|n|$

في اللانهاية

تكون الدالة متماثلة الشكل عند اللانهاية إذا كانت متماثلة الشكل في بعض أحياء اللانهاية (أي خارج القرص )، ويوجد عدد صحيح $n$ بحيث $z\mapsto f(z)$

\lim _{z\to \infty }{\frac {f(z)}{z^{n}}}

موجود وهو عدد مركب غير صفري.

في هذه الحالة، تكون النقطة عند اللانهاية قطبًا من الدرجة $n$ إذا كانت $n > 0$ ، وصفرًا من الدرجة إذا كانت $n$ $< 0$ . $|n|$

على سبيل المثال، كثير الحدود من الدرجة $n$ له قطب من الدرجة $n$ في اللانهاية.

يُطلق على المستوى المركب الممتد بنقطة في اللانهاية اسم كرة ريمان .

إذا كانت $f$ دالة متعددة الأشكال على كامل كرة ريمان، فإنها تحتوي على عدد محدود من الأصفار والأقطاب، ومجموع رتب أقطابها يساوي مجموع رتب أصفارها.

كل دالة نسبية تكون متماثلة على كامل كرة ريمان، وفي هذه الحالة يكون مجموع أوامر الأصفار أو الأقطاب هو الحد الأقصى لدرجات البسط والمقام.

أمثلة

حدودية من الدرجة 9 لها قطب من الدرجة 9 عند ∞، تم رسمها هنا باستخدام تلوين المجال لكرة ريمان.

الوظيفة

f(z)={\frac {3}{z}}

متماثل الشكل على كامل كرة ريمان. له قطب من الدرجة 1 أو قطب بسيط عند وصفر بسيط عند اللانهاية.

z=0,

الوظيفة

f(z)={\frac {z+2}{(z-5)^{2}(z+7)^{3}}}

متماثل الشكل على كامل كرة ريمان. وله قطب من الدرجة 2 عند وقطب من الدرجة 3 عند . وله صفر بسيط عند وصفر رباعي عند ما لا نهاية.

z=5,

z=-7

z=-2,

الوظيفة

f(z)={\frac {z-4}{e^{z}-1}}

متماثل الشكل في المستوى المركب بأكمله، ولكن ليس في اللانهاية. له أقطاب من الدرجة 1 عند . ويمكن ملاحظة ذلك من خلال كتابة متسلسلة تايلور حول الأصل.

z=2\pi ni{\text{ for }}n\in \mathbb {Z}

e^{z}

الوظيفة

f(z)=z

يحتوي على قطب واحد في ما لا نهاية من الدرجة 1، وصفر واحد في الأصل.

جميع الأمثلة المذكورة أعلاه باستثناء المثال الثالث هي دوال نسبية . لمناقشة عامة حول الأصفار وأقطاب هذه الدوال، انظر الرسم البياني القطبي-الصفري § الأنظمة المستمرة في الزمن .

دالة على المنحنى

يمتد مفهوم الأصفار والأقطاب بشكل طبيعي إلى الدوال الموجودة على منحنى مركب ، أي متعدد الشعب التحليلي المعقد ذو البعد الواحد (على الأعداد المركبة). أبسط الأمثلة على هذه المنحنيات هي المستوى المركب وسطح ريمان . يتم هذا الامتداد عن طريق نقل الهياكل والخصائص من خلال المخططات ، والتي هي متماثلات تحليلية .

بتعبير أدق، دع $f$ تكون دالة من منحنى مركب $M$ إلى الأعداد المركبة. تكون هذه الدالة مجسمة (أو مجسمة) في جوار نقطة $z$ من $M$ إذا كان هناك مخطط بحيث يكون مجسمًا (أو مجسمًا) في جوار نقطة z من M. عندئذٍ، تكون $z$ قطبًا أو صفرًا من الدرجة $n$ إذا كان الأمر نفسه صحيحًا بالنسبة إلى $\phi$ $f\circ \phi ^{-1}$ $\phi (z).$ $\phi (z).$

إذا كان المنحنى مضغوطًا ، وكانت الدالة $f$ متماثلة الشكل على المنحنى بأكمله، فإن عدد الأصفار والأقطاب يكون محدودًا، ومجموع رتب الأقطاب يساوي مجموع رتب الأصفار. هذه إحدى الحقائق الأساسية التي تتضمنها نظرية ريمان-روش .

انظر أيضا

مراجع

كونواي، جون ب. (1986). وظائف متغير مركب واحد، الجزء الأول . سبرينغر. رقم ISBN 0-387-90328-3.
كونواي، جون ب. (1995). وظائف متغير مركب واحد، الجزء الثاني . سبرينغر. رقم ISBN 0-387-94460-5.
هنريسي، بيتر (1974). التحليل المركب التطبيقي والحسابي 1. جون وايلي وأولاده .

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "بول". MathWorld .

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate