التقييد (الرياضيات)

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 93 صور
الموسوعة الحرة
الوظيفةx2{\displaystyle x^{2}}مع النطاقR{\displaystyle \mathbb {R} }ليس لها دالة عكسية . إذا قمنا بتقييدx2{\displaystyle x^{2}}إذا كانت الدالة تساوي عدد الأعداد الحقيقية غير السالبة ، فإنها تمتلك دالة عكسية، تُعرف باسم الجذر التربيعي لـx.{\displaystyle x.}

في الرياضيات ، تقييد الدالة​و{\displaystyle f}هي دالة جديدة، يُرمز لها بـو|أ{\displaystyle f\vert _{A}}أوو↾أ،{\displaystyle f{\upharpoonright _{A}},}يتم الحصول عليها عن طريق اختيار نطاق أصغرأ{\displaystyle A}للوظيفة الأصليةو.{\displaystyle f.} الوظيفةو{\displaystyle f}ثم يقال إنه يمتدو|أ.{\displaystyle f\vert _{A}.}

التعريف الرسمي

يتركو:هـ→F{\displaystyle f:E\to F}لتكن دالة من مجموعةهـ{\displaystyle E}إلى مجموعةF.{\displaystyle F.}إذا كانت مجموعةأ{\displaystyle A}هي مجموعة فرعية منهـ،{\displaystyle E,}ثم تقييدو{\displaystyle f}لأ{\displaystyle A} هي الدالة [ 1 ]و|أ:أ→F{\displaystyle {f|}_{A}:A\to F} مقدم منو|أ(x)=و(x){\displaystyle {f|}_{A}(x)=f(x)}لx∈أ.{\displaystyle x\in A.}بشكل غير رسمي، تقييدو{\displaystyle f}لأ{\displaystyle A}هي نفس الوظيفة مثلو،{\displaystyle f,}لكن تعريفها يقتصر علىأ{\displaystyle A}.

إذا كانت الدالةو{\displaystyle f}يُنظر إليه على أنه علاقة(x،و(x)){\displaystyle (x,f(x))}في الضرب الديكارتيهـ×F،{\displaystyle E\times F,}ثم تقييدو{\displaystyle f}لأ{\displaystyle A}يمكن تمثيلها بواسطة رسمها البياني ،

جي(و|أ)={(x،و(x))∈جي(و):x∈أ}=جي(و)∩(أ×F)،{\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}

حيث الأزواج(x،و(x)){\displaystyle (x,f(x))}تمثل الأزواج المرتبة في الرسم البيانيجي.{\displaystyle G.}

الإضافات

وظيفةF{\displaystyle F}يقال إنهامتداد لوظيفة أخرىو{\displaystyle f}إذا كان كلماx{\displaystyle x}يقع ضمن نطاقو{\displaystyle f}ثمx{\displaystyle x}وهي أيضاً ضمن نطاقF{\displaystyle F}وو(x)=F(x).{\displaystyle f(x)=F(x).} أي إذااِختِصاص⁡و⊆اِختِصاص⁡F{\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}وF|اِختِصاص⁡و=و.{\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.}

أالامتداد الخطي (على التوالي،(الامتداد المستمر ، إلخ) للدالةو{\displaystyle f}هو امتداد لـو{\displaystyle f}وهذا أيضًا عبارة عن خريطة خطية (على التوالي، خريطة متصلة ، إلخ).

أمثلة

  1. تقييد الدالة غير الحقنيةو:R→R، x↦x2{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}إلى المجالR+=[0،∞){\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}الحقنةو:R+→R، x↦x2.{\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.}
  2. دالة المضروب هي تقييد دالة جاما على الأعداد الصحيحة الموجبة، مع إزاحة الوسيط بمقدار واحد:Γ|Z+(ن)=(ن-1)!{\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}

خصائص القيود

  • تقييد وظيفةو:X→Y{\displaystyle f:X\rightarrow Y}إلى نطاقها بالكاملX{\displaystyle X}يعيد الوظيفة الأصلية، أيو|X=و.{\displaystyle f|_{X}=f.}
  • إن تقييد دالة مرتين هو نفسه تقييدها مرة واحدة، أي إذاأ⊆ب⊆دوم⁡و،{\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f,}ثم(و|ب)|أ=و|أ.{\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}.}
  • تقييد دالة التطابق على مجموعةX{\displaystyle X}إلى مجموعة فرعيةأ{\displaystyle A}لX{\displaystyle X}إنها مجرد خريطة التضمين منأ{\displaystyle A}داخلX.{\displaystyle X.}[ 2 ]
  • إن تقييد الدالة المتصلة يكون متصلاً. [ 3 ] [ 4 ]

التطبيقات

الدوال العكسية

لكي يكون للدالة دالة عكسية، يجب أن تكون دالة أحادية . إذا كانت الدالةو{\displaystyle f}بما أن العلاقة ليست علاقة أحادية، فقد يكون من الممكن تعريف معكوس جزئي لـو{\displaystyle f}عن طريق تقييد النطاق. على سبيل المثال، الدالة و(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}} محدد على كاملR{\displaystyle \mathbb {R} }ليست علاقة واحد لواحد لأنx2=(-x)2{\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}لأيx∈R.{\displaystyle x\in \mathbb {R} .} لكن الدالة تصبح أحادية إذا اقتصرنا على المجالR≥0=[0،∞)،{\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),}وفي هذه الحالة و-1(y)=y.{\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}

(إذا قمنا بدلاً من ذلك بتقييد النطاق)(-∞،0]،{\displaystyle (-\infty ,0],}إذن، معكوسها هو سالب الجذر التربيعي لـy.{\displaystyle y.}) بدلاً من ذلك، لا حاجة لتقييد المجال إذا سمحنا بأن تكون الدالة العكسية دالة متعددة القيم .

عوامل الاختيار

في الجبر العلائقي ، يُعدّ الاختيار (ويُسمى أحيانًا التقييد لتجنب الخلط مع استخدام SQL لعبارة SELECT) عملية أحادية تُكتب على النحو التالي: σأθب(R){\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}أوσأθv(R){\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}أين:

  • أ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}هي أسماء السمات،
  • θ{\displaystyle \theta }هي عملية ثنائية في المجموعة{<،≤،=،≠،≥،>}،{\displaystyle \{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},}
  • v{\displaystyle v}قيمة ثابتة،
  • R{\displaystyle R}هي علاقة .

الاختيارσأθب(R){\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}يختار جميع تلك الصفوف فيR{\displaystyle R}والتيθ{\displaystyle \theta }يفصل بينأ{\displaystyle a}وب{\displaystyle b}يصف.

الاختيارσأθv(R){\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}يختار جميع تلك الصفوف فيR{\displaystyle R}والتيθ{\displaystyle \theta }يفصل بينأ{\displaystyle a}السمة والقيمةv.{\displaystyle v.}

وبالتالي، فإن عامل الاختيار يقتصر على مجموعة فرعية من قاعدة البيانات بأكملها.

معضلة اللصق

إن معضلة اللصق هي نتيجة في علم الطوبولوجيا تربط استمرارية الدالة باستمرارية قيودها على المجموعات الجزئية.

يتركX،Y{\displaystyle X,Y}ليكن مجموعتين جزئيتين مغلقتين (أو مجموعتين جزئيتين مفتوحتين) من فضاء طوبولوجيأ{\displaystyle A}بحيثأ=X∪Y،{\displaystyle A=X\cup Y,}ودعب{\displaystyle B}وليكن أيضًا فضاءً طوبولوجيًا.و:أ→ب{\displaystyle f:A\to B}تكون متصلة عند تقييدها بكليهماX{\displaystyle X}وY،{\displaystyle Y,}ثمو{\displaystyle f}متصل.

تسمح هذه النتيجة بأخذ دالتين متصلتين معرفتين على مجموعات فرعية مغلقة (أو مفتوحة) من فضاء طوبولوجي وإنشاء دالة جديدة.

حزم

توفر الحزم طريقة لتعميم القيود على الكائنات إلى جانب الدوال.

في نظرية الحزم ، يتم تعيين كائنF(يو){\displaystyle F(U)}في فئة لكل مجموعة مفتوحةيو{\displaystyle U}للفضاء الطوبولوجي ، ويتطلب ذلك أن تستوفي الكائنات شروطًا معينة. الشرط الأهم هو وجود تشاكلات تقييدية بين كل زوج من الكائنات المرتبطة بمجموعات مفتوحة متداخلة؛ أي، إذاV⊆يو،{\displaystyle V\subseteq U,}ثم يوجد تشاكلresV،يو:F(يو)→F(V){\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}تحقيق الخصائص التالية، المصممة لمحاكاة تقييد الدالة:

  • لكل مجموعة مفتوحةيو{\displaystyle U}لX،{\displaystyle X,}التشكل التقييديresيو،يو:F(يو)→F(يو){\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}هو التشاكل المحايد علىF(يو).{\displaystyle F(U).}
  • إذا كان لدينا ثلاث مجموعات مفتوحةدبليو⊆V⊆يو،{\displaystyle W\subseteq V\subseteq U,}ثم المركبresدبليو،V∘resV،يو=resدبليو،يو.{\displaystyle \operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.}
  • (الموقع) إذا(يوأنا){\displaystyle \left(U_{i}\right)}هو غطاء مفتوح لمجموعة مفتوحةيو،{\displaystyle U,}وإذاs،ت∈F(يو){\displaystyle s,t\in F(U)}هي من النوع الذيs|يوأنا=ت|يوأنا{\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}}لكل مجموعةيوأنا{\displaystyle U_{i}}من الغطاء، ثمs=ت{\displaystyle s=t}؛ و
  • (اللصق) إذا(يوأنا){\displaystyle \left(U_{i}\right)}هو غطاء مفتوح لمجموعة مفتوحةيو،{\displaystyle U,}وإذا كان لكلأنا{\displaystyle i}قسمxأنا∈F(يوأنا){\displaystyle x_{i}\in F\left(U_{i}\right)}يتم إعطاؤها بحيث يكون لكل زوجيوأنا،يوج{\displaystyle U_{i},U_{j}}تحدد قيود التغطيةsأنا{\displaystyle s_{i}}وsج{\displaystyle s_{j}}الاتفاق على نقاط التداخل:sأنا|يوأنا∩يوج=sج|يوأنا∩يوج،{\displaystyle s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},}ثم هناك قسمs∈F(يو){\displaystyle s\in F(U)}بحيثs|يوأنا=sأنا{\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}}لكلأنا.{\displaystyle i.}

تُسمى مجموعة كل هذه العناصر حزمة . وإذا تحققت الخاصيتان الأوليان فقط، فإنها تُسمى حزمة جزئية .

التقييد على اليسار واليمين

وبشكل أعم، فإن التقييد (أو تقييد المجال أو التقييد الأيسر )أ◃R{\displaystyle A\triangleleft R}علاقة ثنائيةR{\displaystyle R}بينهـ{\displaystyle E}وF{\displaystyle F}يمكن تعريفها بأنها علاقة ذات مجالأ،{\displaystyle A,}نطاق مشتركF{\displaystyle F}والرسم البيانيجي(أ◃R)={(x،y)∈F(R):x∈أ}.{\displaystyle G(A\triangleleft R)=\{(x,y)\in F(R):x\in A\}.} وبالمثل، يمكن تحديد قيد على اليمين أو قيد على النطاق.R▹ب.{\displaystyle R\triangleright B.}في الواقع، يمكن للمرء أن يحدد قيدًا علىن{\displaystyle n}العلاقات -ary ، وكذلك إلى المجموعات الفرعية التي تُفهم على أنها علاقات، مثل علاقات الضرب الديكارتيهـ×F{\displaystyle E\times F}بالنسبة للعلاقات الثنائية. هذه الحالات لا تتناسب مع مخطط الحزم .

مناهضة التقييد

التقييد المضاد للمجال ( أو طرح المجال ) لدالة أو علاقة ثنائيةR{\displaystyle R}(مع المجال)هـ{\displaystyle E} والمجال المشتركF{\displaystyle F}) بواسطة مجموعةأ{\displaystyle A}يمكن تعريفها على النحو التالي:(هـ∖أ)◃R{\displaystyle (E\setminus A)\triangleleft R}يزيل جميع عناصرأ{\displaystyle A}من النطاقهـ.{\displaystyle E.} ويُشار إليه أحيانًا بـأ{\displaystyle A} ⩤ R.{\displaystyle R.}[ 5 ] وبالمثل، فإننطاق التقييد المضاد(أوطرح النطاق) لدالة أو علاقة ثنائيةR{\displaystyle R}بواسطة مجموعةب{\displaystyle B}يُعرَّف بأنهR▹(F∖ب){\displaystyle R\triangleright (F\setminus B)}يزيل جميع عناصرب{\displaystyle B}من المجال المشتركF.{\displaystyle F.}ويُشار إليه أحيانًا بـR{\displaystyle R} ⩥ ب.{\displaystyle B.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ستول، روبرت (1974). المجموعات والمنطق والنظريات البديهية ( الطبعة الثانية). سان فرانسيسكو: دبليو إتش فريمان وشركاه. ص [36]. ISBN   0-7167-0457-9.
  2. ^ هالموس ، بول (1960). نظرية المجموعة الساذجة . برينستون، نيوجيرسي: د. فان نوستراند.أُعيد طبعه بواسطة دار نشر سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1974. رقم الكتاب المعياري الدولي (ISBN) 0-387-90092-6(طبعة سبرينغر-فيرلاغ). أعيد طبعه بواسطة مارتينو فاين بوكس، 2011. رقم ISBN 978-1-61427-131-4(طبعة غلاف ورقي).
  3. ↑ مونكرز، جيمس ر. (2000). الطوبولوجيا ( الطبعة الثانية). أبر سادل ريفر: برنتيس هول. ISBN  0-13-181629-2.
  4. ↑ آدامز، كولين كونراد؛ فرانزوزا، روبرت ديفيد (2008). مقدمة في الطوبولوجيا: النظرية والتطبيقية . بيرسون برنتيس هول. ISBN 978-0-13-184869-6.
  5. ↑ دان، س. وستودارت، بيل. توحيد نظريات البرمجة: الندوة الدولية الأولى، UTP 2006، قلعة والورث، مقاطعة دورهام، المملكة المتحدة، 5-7 فبراير 2006، مختارات منقحة ... علوم الحاسوب والقضايا العامة) . سبرينغر (2006)