الجبر المشترك F

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الفئات ،F{\displaystyle F}الجبر المشترك هو بنية معرفة وفقًا لدالةF{\displaystyle F}، بخصائص محددة كما هو موضح أدناه. بالنسبة لكل من الجبر والجبر المساعد ، يُعدّ المؤثر [ 1 ] [ 2 ] طريقة ملائمة وعامة لتنظيم التوقيع . ولهذا تطبيقات في علوم الحاسوب : تشمل أمثلة الجبر المساعد التقييم الكسول ، وهياكل البيانات اللانهائية ، مثل التدفقات ، وكذلك أنظمة الانتقال .

F{\displaystyle F}الجبر المشترك ثنائي لـF{\displaystyle F}الجبر - كما أن فئة جميع الجبر لإشارة معينة ونظرية معادلات تشكل تنوعًا ، كذلك فئة جميعF{\displaystyle F}تشكل الجبريات المشتركة التي تحقق نظرية معادلات معينة تباينًا مشتركًا، حيث يتم إعطاء التوقيع بواسطةF{\displaystyle F}.

تعريف

يترك

F:ج⟶ج{\displaystyle F:{\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {C}}}

أن تكون دالة داخلية في فئةج{\displaystyle {\mathcal {C}}}. أنF{\displaystyle F}الجبر الكلي هو كائنأ{\displaystyle A}لج{\displaystyle {\mathcal {C}}}بالإضافة إلى التشكل

α:أ⟶Fأ{\displaystyle \alpha :A\longrightarrow FA}

لج{\displaystyle {\mathcal {C}}}، وعادة ما تُكتب على النحو التالي(أ،α){\displaystyle (A,\alpha )}.

أنF{\displaystyle F}- تشاكل الجبر المشترك من(أ،α){\displaystyle (A,\alpha )}إلى آخرF{\displaystyle F}- الجبر (ب،β){\displaystyle (B,\beta )}هو تشاكل

و:أ⟶ب{\displaystyle f:A\longrightarrow B}

فيج{\displaystyle {\mathcal {C}}}بحيث

Fو∘α=β∘و{\displaystyle Ff\circ \alpha =\beta \circ f}.

وهكذاF{\displaystyle F}تشكل الجبريات المشتركة لدالة معينة F فئة.

أمثلة

ضع في اعتبارك الوظيفة الداخليةX↦X⊔{*}:Sهـت→Sهـت{\displaystyle X\mapsto X\sqcup \{*\}:\mathbf {Set} \to \mathbf {Set} }ذلك يرسل مجموعة إلى اتحادها المنفصل مع المجموعة المفردة{*}{\displaystyle \{\ast \}}. يُعطى الجبر المشترك لهذا المؤثر الداخلي بواسطة(شمال¯،α){\displaystyle ({\overline {\mathbb {N} }},\alpha )}، أينشمال¯={0،1،2،...}⊔{∞}{\displaystyle {\overline {\mathbb {N} }}=\{0,1,2,\ldots \}\sqcup \{\infty \}}هي ما يسمى بالأعداد الطبيعية المشتركة، والتي تتكون من الأعداد الصحيحة غير السالبة بالإضافة إلى اللانهاية، والدالةα{\displaystyle \alpha }يُعطى بواسطةα(0)=*{\displaystyle \alpha (0)=\ast }،α(ن)=ن-1{\displaystyle \alpha (n)=n-1}لن=1،2،...{\displaystyle n=1,2,\ldots }وα(∞)=∞{\displaystyle \alpha (\infty )=\infty }. في الحقيقة،(شمال¯،α){\displaystyle ({\overline {\mathbb {N} }},\alpha )}هي الجبر المشترك النهائي لهذا المؤثر الداخلي.

وبشكل عام، قم بتحديد مجموعة ماأ{\displaystyle A}وانظر إلى الدالةF:Sهـت⟶Sهـت{\displaystyle F:\mathbf {Set} \longrightarrow \mathbf {Set} }هذا يرسلX{\displaystyle X}ل(X×أ)∪{1}{\displaystyle (X\times A)\cup \{1\}}ثمF{\displaystyle F}- الجبرα:X⟶(X×أ)∪{1}=FX{\displaystyle \alpha :X\longrightarrow (X\times A)\cup \{1\}=FX}هو تيار محدود أو غير محدود عبر الأبجديةأ{\displaystyle A}، أينX{\displaystyle X}هي مجموعة الحالات وα{\displaystyle \alpha }هي دالة انتقال الحالة. قد يؤدي تطبيق دالة انتقال الحالة على حالة ما إلى نتيجتين محتملتين: إما عنصر منأ{\displaystyle A}بالإضافة إلى الحالة التالية للتدفق، أو عنصر المجموعة الفردية{1}{\displaystyle \{1\}}كحالة "نهائية" منفصلة تشير إلى عدم وجود المزيد من القيم في التدفق.

في العديد من التطبيقات العملية، قد تكون دالة انتقال الحالة لمثل هذا الكائن الجبري المشترك على الشكل التالي:X→و1×و2×...×ون{\displaystyle X\rightarrow f_{1}\times f_{2}\times \ldots \times f_{n}}، والتي يمكن تحليلها بسهولة إلى مجموعة من "المحددات" و"المراقبين" و"الأساليب".X→و1،X→و2...X→ون{\displaystyle X\rightarrow f_{1},\,X\rightarrow f_{2}\,\ldots \,X\rightarrow f_{n}}تشمل الحالات الخاصة ذات الأهمية العملية المراقبين الذين ينتجون قيم السمات، وطرق التعديل من الشكلX→Xأ1×...×أن{\displaystyle X\rightarrow X^{A_{1}\times \ldots \times A_{n}}}بأخذ معلمات إضافية وإنتاج حالات. هذا التفكيك هو ثنائي لتفكيك الحالة الأوليةF{\displaystyle F}-الجبر إلى مجموعات من "المنشئات".

ليكن P بناء مجموعة القوى على فئة المجموعات ، باعتباره دالة متغايرة. تتطابق الجبريات المشتركة لـ P تطابقًا تقابليًا مع المجموعات ذات العلاقة الثنائية . الآن، لنثبت مجموعة أخرى، A. عندئذٍ، تتطابق الجبريات المشتركة للدالة الداخلية P ( A × (-)) تطابقًا تقابليًا مع أنظمة الانتقال المصنفة ، وتتوافق التشاكلات بين الجبريات المشتركة مع المحاكاة الثنائية الوظيفية بين أنظمة الانتقال المصنفة.

التطبيقات

في علوم الحاسوب ، برزت الجبر المشترك كطريقة ملائمة وعامة لتحديد سلوك الأنظمة وهياكل البيانات التي قد تكون لانهائية، مثل الفئات في البرمجة كائنية التوجه ، والتدفقات ، وأنظمة الانتقال . بينما يتعامل التحديد الجبري مع السلوك الوظيفي، مستخدمًا عادةً أنواع البيانات الاستقرائية المُولَّدة بواسطة المُنشئات، يهتم التحديد الجبري المشترك بالسلوك المُنمذج بواسطة أنواع العمليات الاستقرائية المشتركة التي يمكن ملاحظتها بواسطة المُحدِّدات، على غرار نظرية الأوتوماتا . وتلعب الجبريات المشتركة النهائية دورًا هامًا هنا ، فهي مجموعات كاملة من السلوكيات التي قد تكون لانهائية، مثل التدفقات. والمنطق الطبيعي للتعبير عن خصائص هذه الأنظمة هو المنطق الموجه الجبري المشترك .

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "الجبر المشترك في nLab" . ncatlab.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2025-09-20 .
  2. ↑ أوستالو، تارمو (27 يونيو 2006). رياضيات بناء البرامج: المؤتمر الدولي الثامن، MPC 2006، كوريساري، إستونيا، 3-5 يوليو 2006، وقائع المؤتمر . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-35631-8.