التنوع (الجبر الشامل)

في الجبر الشامل ، تُعرف مجموعة الجبر أو الفئة المعادلة بأنها فئة جميع البنى الجبرية ذات التوقيع المحدد والتي تحقق مجموعة معينة من المتطابقات . على سبيل المثال، تُشكل الزمر مجموعة جبر، وكذلك الزمر الأبيلية ، والحلقات ، والمونيدات ، إلخ. وفقًا لنظرية بيركوف ، تُعتبر فئة من البنى الجبرية ذات التوقيع نفسه مجموعة جبر إذا وفقط إذا كانت مغلقة تحت أخذ الصور المتماثلة ، والجبر الجزئي ، والضرب (المباشر) . في سياق نظرية الفئات ، تُشكل مجموعة الجبر، مع تشاكلاتها، فئة ؛ وتُسمى هذه الفئات عادةً بالفئات الجبرية المنتهية .

التغاير المشترك هو فئة جميع البنى الجبرية المشتركة لتوقيع معين.

لا ينبغي الخلط بين أنواع الجبر المتنوعة والتنوع الجبري ، الذي يعني مجموعة حلول لنظام من المعادلات متعددة الحدود . فهما مختلفان تماماً من الناحية الشكلية، ولا تشترك نظرياتهما إلا في القليل.

يشير مصطلح "مجموعة متنوعة من الجبر" إلى الجبر بالمعنى العام للجبر الشامل ؛ وهناك أيضًا معنى أكثر تحديدًا للجبر، وهو الجبر على حقل ، أي فضاء متجه مزود بضرب ثنائي الخطية .

التوقيع (في هذا السياق) هو مجموعة، تُسمى عناصرها عمليات ، ويُخصص لكل منها عدد طبيعي (0، 1، 2، ...) يُسمى معاملها . وبالنظر إلى توقيع σ ومجموعة V ، تُسمى عناصرها متغيرات ، فإن الكلمة هي شجرة جذرية محدودة ، حيث يُصنف كل عقدة إما بمتغير أو بعملية، بحيث لا تحتوي أي عقدة مصنفة بمتغير على أي فروع بعيدًا عن الجذر، بينما تحتوي كل عقدة مصنفة بعملية o على عدد من الفروع بعيدًا عن الجذر يساوي معامل o . القانون المعادلة هو زوج من هذه الكلمات؛ وتُكتب البديهية المكونة من الكلمتين v و w على النحو التالي: v = w .

تتألف النظرية من توقيع، ومجموعة من المتغيرات، ومجموعة من القوانين المعادلاتية. تُعطي أي نظرية مجموعة متنوعة من الجبر كما يلي: بالنظر إلى نظرية T ، يتكون جبر T _من مجموعة A بالإضافة إلى دالة لكل عملية o من T ذات عدد عناصر n ، وهي الدالة oA : A ⁿ → A بحيث أنه لكل بديهية v = w ولكل تعيين لعناصر A للمتغيرات في تلك البديهية، تتحقق المعادلة التي تُعطى بتطبيق العمليات على عناصر A كما هو موضح بالأشجار التي تُعرّف v و w . تُسمى فئة جبر نظرية معينة T مجموعة متنوعة من الجبر . 

إذا كان لدينا جبران لنظرية T ، ولنقل A و B ، فإن التشاكل هو دالة f  : A → B بحيث

${\displaystyle f(o_{A}(a_{1},\dots ,a_{n}))=o_{B}(f(a_{1}),\dots ,f(a_{n}))}$

لكل عملية o من الرتبة n . أي نظرية تعطي فئة حيث تكون الكائنات عبارة عن جبر لتلك النظرية وتكون التشكلات عبارة عن تماثلات.

تشكل فئة جميع أنصاف الزمر مجموعة متنوعة من الجبر ذي التوقيع (2)، مما يعني أن نصف الزمرة له عملية ثنائية واحدة. معادلة التعريف الكافية هي قانون التجميع:

${\displaystyle x(yz)=(xy)z.}$

تُشكّل فئة الزمر مجموعة متنوعة من الجبر ذي التوقيع (2، 0، 1)، حيث تتمثل العمليات الثلاث على التوالي في الضرب (ثنائي)، والعنصر المحايد (صفري، ثابت)، والمعكوس (أحادي). وتشكل البديهيات المألوفة للتجميع والعنصر المحايد والمعكوس مجموعة واحدة مناسبة من المتطابقات.

${\displaystyle x(yz)=(xy)z}$

${\displaystyle 1x=x1=x}$

${\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1.}$

تشكل فئة الحلقات أيضًا مجموعة متنوعة من الجبر. التوقيع هنا هو (2،2،0،0،1) (عمليتان ثنائيتان، وثابتان، وعملية أحادية واحدة).

إذا حددنا حلقة معينة R ، يمكننا دراسة فئة الوحدات النمطية اليسرى R. للتعبير عن الضرب القياسي بعناصر من R ، نحتاج إلى عملية أحادية واحدة لكل عنصر من R. إذا كانت الحلقة لانهائية، فسيكون لدينا عدد لا نهائي من العمليات، وهو ما يسمح به تعريف البنية الجبرية في الجبر الشامل. سنحتاج أيضًا إلى عدد لا نهائي من المتطابقات للتعبير عن بديهيات الوحدات النمطية، وهو ما يسمح به تعريف تنوع الجبر. إذن، تُشكل الوحدات النمطية اليسرى R تنوعًا من الجبر.

لا تشكل الحقول مجموعة متنوعة من الجبر؛ لا يمكن التعبير عن شرط أن تكون جميع العناصر غير الصفرية قابلة للعكس على أنها هوية مُرضية عالميًا (انظر أدناه ) .

لا تُشكّل أنصاف الزمر القابلة للاختزال تنوعًا في الجبر، لأن خاصية الاختزال ليست معادلة، بل هي استلزام لا يُكافئ أي مجموعة معادلات. مع ذلك، فهي تُشكّل شبه تنوع ، لأن الاستلزام الذي يُعرّف خاصية الاختزال هو مثال على شبه هوية .

بالنظر إلى فئة من البنى الجبرية ذات التوقيع نفسه، يمكننا تعريف مفاهيم التشاكل، والجبر الجزئي ، والضرب . أثبت غاريت بيركوف أن فئة من البنى الجبرية ذات التوقيع نفسه تُعدّ صنفًا إذا وفقط إذا كانت مغلقة تحت أخذ الصور المتشاكلة، والجبر الجزئي، والضرب العشوائي. ^{[ 1 ]} هذه نتيجة ذات أهمية جوهرية للجبر الشامل، وتُعرف باسم نظرية صنف بيركوف أو نظرية HSP . يرمز H و S و P ، على التوالي، إلى عمليات التشاكل، والجبر الجزئي، والضرب.

أحد اتجاهي التكافؤ المذكور أعلاه، وهو أن فئة الجبر التي تحقق مجموعة معينة من المتطابقات يجب أن تكون مغلقة تحت عمليات HSP، يتبع مباشرة من التعريفات. أما إثبات العكس - أي أن فئات الجبر المغلقة تحت عمليات HSP يجب أن تكون معادلات - فهو أكثر صعوبة.

باستخدام الاتجاه السهل لنظرية بيركوف، يمكننا على سبيل المثال التحقق من الادعاء المذكور أعلاه، وهو أن بديهيات الحقل لا يمكن التعبير عنها بأي مجموعة ممكنة من الهويات: إن حاصل ضرب الحقول ليس حقلاً، لذلك لا تشكل الحقول مجموعة متنوعة.

إن الصنف الفرعي من صنف الجبر V هو صنف فرعي من V له نفس التوقيع مثل V وهو نفسه صنف، أي أنه يتم تعريفه بواسطة مجموعة من الهويات.

لاحظ أنه على الرغم من أن كل زمرة تصبح شبه زمرة عند حذف العنصر المحايد كثابت (أو حذف العملية العكسية)، فإن فئة الزمر لا تُشكل صنفًا فرعيًا من صنف أنصاف الزمر لأن التوقيعات مختلفة. وبالمثل، فإن فئة أنصاف الزمر التي هي زمر ليست صنفًا فرعيًا من صنف أنصاف الزمر. تحتوي فئة المونيدات التي هي زمر على${\displaystyle \langle \mathbb {Z} ,+\rangle }$ولا يحتوي على جبره الفرعي (بشكل أدق، شبه أحادي).${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,+\rangle }$.

مع ذلك، تُعدّ فئة الزمر الأبيلية صنفًا فرعيًا من صنف الزمر، لأنها تتألف من الزمر التي تحقق الشرط xy = yx ، دون تغيير في الإشارة. أما الزمر الأبيلية المولدة نهائيًا فلا تُشكّل صنفًا فرعيًا، لأنها، وفقًا لنظرية بيركوف، لا تُشكّل صنفًا، إذ أن أي حاصل ضرب لزمر أبيلية مولدة نهائيًا ليس مولدًا نهائيًا.

بالنظر إلى التنوع V وتماثلاته كفئة ، فإن التنوع الفرعي U من V هو فئة فرعية كاملة من V ، مما يعني أنه بالنسبة لأي كائنين a و b في U ، فإن التماثلات من a إلى b في U هي بالضبط تلك من a إلى b في V.

لنفترض أن V عبارة عن مجموعة جبرية غير تافهة، أي أن V تحتوي على جبريات بأكثر من عنصر واحد. يمكن إثبات أنه لكل مجموعة S ، تحتوي المجموعة V على جبر حر F ∘ _S على S. هذا يعني أنه يوجد تطبيق مجموعة أحادي i  : S → F ∘ _S يحقق الخاصية العامة التالية : لأي جبر A في V وأي تطبيق k  : S → A ، يوجد تماثل V وحيد f  : F ∘ _S → A بحيث يكون f ∘ i = k .

هذا يعمم مفاهيم المجموعة الحرة ، والمجموعة الأبيلية الحرة ، والجبر الحر ، والوحدة النمطية الحرة ، وما إلى ذلك. ويترتب على ذلك أن كل جبر في مجموعة متنوعة هو صورة متماثلة لجبر حر.

إلى جانب التنوعات، يستخدم علماء نظرية الفئات إطارين آخرين متكافئين من حيث أنواع الجبر التي يصفونها: المونادات المنتهية ونظريات لوفير . يمكننا الانتقال من التنوع إلى المونادة المنتهية كما يلي: تُسمى الفئة التي تحتوي على تنوع من الجبر ككائنات وتشاكلات كتشاكلات فئة جبرية منتهية . لأي فئة جبرية منتهية V ، فإن الدالة النسيانية G  : V → Set لها مُرافق أيسر F  : Set → V ، وهو الدالة التي تُسند لكل مجموعة الجبر الحر على تلك المجموعة. هذا المُرافق أحادي ، مما يعني أن الفئة V تُكافئ فئة إيلنبرغ-مور Set ^T للمونادة T = GF . علاوة على ذلك، فإن المونادة T منتهية ، أي أنها تتبادل مع النهايات المشتركة المُصفّاة .

وبالتالي، فإن الموناد T  : Set → Set كافٍ لاستعادة الفئة الجبرية المنتهية. في الواقع، الفئات الجبرية المنتهية هي تحديدًا تلك الفئات المكافئة لفئات إيلنبرغ-مور للمونادات المنتهية. وكلتاهما، بدورهما، مكافئتان لفئات جبر نظريات لوفير.

يُتيح التعامل مع المونادات التعميم التالي: يُقال إن فئة ما هي فئة جبرية إذا كانت مونادية على مجموعة . هذا مفهوم أعمّ من "الفئة الجبرية المنتهية" لأنه يشمل فئات مثل CABA (الجبر البولياني الذري الكامل) و CSLat (أشباه الشبكات الكاملة) التي تتضمن توقيعاتها عمليات لا نهائية. في هاتين الحالتين، يكون التوقيع كبيرًا، مما يعني أنه لا يُشكّل مجموعة بل فئة فعلية، لأن عملياته ذات عدد غير محدود من العمليات. تحتوي الفئة الجبرية لجبر سيجما أيضًا على عمليات لا نهائية، لكن عدد عملياتها قابل للعد، وبالتالي يكون توقيعها صغيرًا (يُشكّل مجموعة).

كل فئة جبرية منتهية هي فئة قابلة للعرض محلياً .

بما أن المتنوعات مغلقة تحت أي جداء مباشر، فإن جميع المتنوعات غير التافهة تحتوي على جبر لانهائي. وقد بُذلت محاولات لتطوير نظير منتهٍ لنظرية المتنوعات. أدى ذلك، على سبيل المثال، إلى مفهوم تنوع أنصاف الزمر المنتهية . يستخدم هذا النوع من المتنوعات الجداءات المنتهية فقط، ولكنه يستخدم نوعًا أكثر عمومية من المتطابقات.

يُعرَّف التنوع الزائف عادةً بأنه فئة من الجبر ذات توقيع مُحدد، مُغلقة تحت أخذ الصور المتماثلة، والجبر الجزئي، والضرب المباشر المنتهي. لا يفترض جميع الباحثين أن جميع جبر التنوع الزائف منتهية؛ فإذا كان الأمر كذلك، يُشار أحيانًا إلى تنوع الجبر المنتهي . بالنسبة للتنوعات الزائفة، لا يوجد نظير منتهٍ عام لنظرية بيركوف، ولكن في كثير من الحالات، يسمح إدخال مفهوم أكثر تعقيدًا للمعادلات باستنتاج نتائج مماثلة. ^{[ 2 ]} أي أن فئة من المونويدات المنتهية هي تنوع من المونويدات المنتهية إذا وفقط إذا أمكن تعريفها بواسطة مجموعة من المتطابقات شبه المنتهية . ^{[ 3 ]}

تُعدّ الأصناف الزائفة ذات أهمية خاصة في دراسة أنصاف الزمر المنتهية ، وبالتالي في نظرية اللغات الرسمية . وتصف نظرية إيلنبرغ ، التي يُشار إليها غالبًا بنظرية الأصناف ، تطابقًا طبيعيًا بين أصناف اللغات المنتظمة والأصناف الزائفة لأنصاف الزمر المنتهية.

• شبه تنوع