نظام الأعداد العاملي

في علم التوافيق ، يُعد نظام الأعداد المضروبية (المعروف أيضًا باسم نظام الأعداد المضروبية ) نظامًا عدديًا مختلط الأساس مُكيَّفًا لترقيم التباديل . ويُسمى أيضًا أساس المضروب ، مع أن المضروب لا يعمل كأساس ، بل كقيمة مكانية للأرقام. بتحويل عدد أقل من n ! إلى تمثيل مضروبي، نحصل على سلسلة من n رقمًا يمكن تحويلها إلى تبديل من n عنصرًا بطريقة مباشرة، إما باستخدامها كشفرة ليمر أو كتمثيل جدول الانعكاس ^{[ 1 ]} ؛ في الحالة الأولى، تُرتِّب الخريطة الناتجة من الأعداد الصحيحة إلى تباديل n عنصرًا هذه العناصر ترتيبًا معجميًا . وقد درس جورج كانتور أنظمة الأساس المختلطة العامة . ^{[ 2 ]}

استخدم كنوت مصطلح "نظام الأعداد العاملي" ، ^{[ 3 ]} بينما استُخدم المصطلح الفرنسي المقابل "numération factorielle" لأول مرة عام 1888. ^{[ 4 ]} ويبدو أن مصطلح "factoradic"، وهو مزيج من كلمتي "عاملي" و"أساس مختلط"، أحدث عهداً. ^{[ 5 ]}

نظام الأعداد المضروبية هو نظام عددي ذو أساس مختلط : الرقم i من اليمين له أساس i ، مما يعني أن الرقم يجب أن يكون أقل من i تمامًا ، وأنه (مع الأخذ في الاعتبار أسس الأرقام الأقل أهمية) يتم ضرب قيمته في ( i - 1) ! (قيمة مكانه).  

يستنتج من ذلك أن الرقم الموجود في أقصى اليمين يكون دائمًا صفرًا، والثاني قد يكون صفرًا أو واحدًا، والثالث صفرًا أو واحدًا أو اثنين، وهكذا (المتتالية A124252 في OEIS ) . يُعرَّف نظام الأعداد المضروبية أحيانًا بحذف خانة 0! لأنها دائمًا صفر (المتتالية A007623 في OEIS ) .

في هذه المقالة، سيتم تمييز تمثيل العدد المضروب برمز سفلي "!". بالإضافة إلى ذلك، ستحتوي بعض الأمثلة على أرقام مفصولة بنقطتين رأسيتين. على سبيل المثال، 3:4:1:0:1:0 _! تعني

= 3×5!  +  4×4!  +  1×3!  +  0×2!  +  1×1!  +  0×0! 

= ((((3×5  +  4)×4  +  1)×3  +  0)×2  +  1)×1  +  0

=  463 ₁₀ .

(القيمة المكانية هي مضروب العدد الأقل بواحد من موضع الأساس، ولهذا السبب تبدأ المعادلة بـ 5! لعدد مضروب مكون من 6 أرقام.)

تنطبق الخصائص العامة لأنظمة الأعداد ذات الأساس المختلط على نظام الأعداد المضروبية أيضًا. على سبيل المثال، يمكن تحويل عدد إلى تمثيل مضروبي ينتج أرقامًا من اليمين إلى اليسار، وذلك بقسمة العدد بشكل متكرر على الأساس (1، 2، 3، ...)، وأخذ الباقي كأرقام، والاستمرار مع ناتج القسمة الصحيح ، حتى يصبح هذا الناتج صفرًا.

على سبيل المثال، يمكن تحويل العدد 463 ₁₀ إلى تمثيل مضروب من خلال هذه الأقسام المتتالية:

تنتهي العملية عندما يصل ناتج القسمة إلى الصفر. قراءة الباقي بالعكس تعطي 3:4:1:0:1:0 _! .

من حيث المبدأ، يمكن توسيع هذا النظام لتمثيل الأعداد النسبية ، ولكن بدلاً من التوسع الطبيعي لقيم المنازل (−1)!، (−2)!، إلخ، غير المعرفة، يمكن استخدام الاختيار المتناظر لقيم الأساس n = 0، 1، 2، 3، 4، إلخ، بعد الفاصلة. ويمكن حذف الموضعين 0 و1 لأنهما دائمًا ما يكونان صفرًا. وبالتالي، فإن قيم المنازل المقابلة هي 1/1، 1/1، 1/2، 1/6، 1/24، ...، 1/ n !، إلخ.

يُظهر الجدول التالي القابل للفرز 24 تبديلاً لأربعة عناصر ذات متجهات انعكاس مختلفة . عدد مرات الانعكاس الأيسر والأيمن${\displaystyle l}$و${\displaystyle r}$(والذي يسمى غالبًا رمز ليمر ) مؤهل بشكل خاص للتفسير على أنه أعداد مضروبة.${\displaystyle l}$يعطي موضع التبديل بترتيب معجمي عكسي (الترتيب الافتراضي لهذا الجدول)، والأخير الموضع بترتيب معجمي (كلاهما محسوب من 0).

يؤدي فرز البيانات حسب عمود يحتوي على الصفر القابل للحذف على اليمين إلى مطابقة أرقام المضروب في ذلك العمود مع أرقام الفهرس في العمود الثابت على اليسار. تمثل الأعمدة الصغيرة انعكاسًا للأعمدة المجاورة لها، ويمكن استخدامها لترتيبها وفقًا للترتيب المعجمي. يُظهر العمود الأقصى على اليمين مجموع أرقام المضروب ( OEIS : A034968  بالترتيب الافتراضي للجداول).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle l}$ pb ${\displaystyle r}$ 8 0 1234 4321 ٠٠٠ ٠ 0 000 ٠٠٠ ٠ 0 000 ٠٠٠ ٠ 0 000 0 1 2134 4312 100 0 0 001 001 0 0 100 100 0 0 001 1 2 1324 4231 010 0 0 010 010 0 0 010 010 0 0 010 1 3 3124 4213 110 0 0 011 011 0 0 110 200 0 0 002 2 4 2314 4132 200 0 0 002 020 0 0 020 110 0 0 011 2 5 3214 4123 210 0 0 012 021 0 0 120 210 0 0 012 3 6 1243 3421 001 0 0 100 100 0 0 001 001 0 0 100 1 7 2143 3412 101 0 0 101 101 0 0 101 101 0 0 101 2 8 1423 3241 011 0 0 110 110 0 0 011 020 0 0 020 2 9 4123 3214 111 0 0 111 111 0 0 111 300 0 0 003 3 10 2413 3142 201 0 0 102 120 0 0 021 120 0 0 021 3 11 4213 3124 211 0 0 112 121 0 0 121 310 0 0 013 4 12 1342 2431 020 0 0 020 200 0 0 002 011 0 0 110 2 13 3142 2413 120 0 0 021 201 0 0 102 201 0 0 102 3 14 1432 2341 021 0 0 120 210 0 0 012 021 0 0 120 3 15 4132 2314 121 0 0 121 211 0 0 112 301 0 0 103 4 16 3412 2143 220 0 0 022 220 0 0 022 220 0 0 022 4 17 4312 2134 221 0 0 122 221 0 0 122 320 0 0 023 5 18 2341 1432 300 0 0 003 300 0 0 003 111 0 0 111 3 19 3241 1423 310 0 0 013 301 0 0 103 211 0 0 112 4 20 2431 1342 301 0 0 103 310 0 0 013 121 0 0 121 4 21 4231 1324 311 0 0 113 311 0 0 113 311 0 0 113 5 22 3421 1243 320 0 0 023 320 0 0 023 221 0 0 122 5 23 4321 1234 321 0 0 123 321 0 0 123 321 0 0 123 6

كمثال آخر، أكبر عدد يمكن تمثيله بستة أرقام هو 543210 _! والذي يساوي 719 بالنظام العشري :

5×5! + 4×4! + 3x3! + 2×2! + 1×1! + 0×0!.

من الواضح أن التمثيل العددي التالي بعد 5:4:3:2:1:0 _! هو 1:0:0:0:0:0:0 _!، والذي يُشير إلى 6!  =  720 ₁₀ ، وهو قيمة خانة الرقم في النظام ذي الأساس 7. لذا، فإن العدد السابق، ومجموعه أعلاه، يساوي:

6! − 1.

يُتيح نظام الأعداد المضروبية تمثيلاً فريداً لكل عدد طبيعي، مع مراعاة القيود المفروضة على "الأرقام" المستخدمة. لا يمكن تمثيل أي عدد بأكثر من طريقة واحدة، لأن مجموع مضروبات متتالية مضروبة في دليلها يساوي دائماً المضروب التالي ناقص واحد.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{i\cdot i!}={(n+1)!}-1.}$

يمكن إثبات ذلك بسهولة باستخدام الاستقراء الرياضي ، أو ببساطة من خلال ملاحظة أن${\displaystyle \forall i,i\cdot i!=(i+1-1)\cdot i!=(i+1)!-i!}$: تلغي الحدود اللاحقة بعضها البعض، تاركة الحد الأول والأخير (انظر سلسلة التلسكوب ).

مع ذلك، عند استخدام الأرقام العربية لكتابة الأرقام (دون تضمين الأرقام السفلية كما في الأمثلة السابقة)، يصبح تجميعها البسيط غامضًا للأعداد التي تحتوي على رقم أكبر من 9. أصغر مثال على ذلك هو العدد 10  ×  10!  =  36,288,000 _، والذي يمكن كتابته A0000000000 _! = 10:0:0:0:0:0:0:0:0:0:0 _!، ولكن ليس 100000000000 _! = 1:0:0:0:0:0:0:0:0:0:0:0 _! الذي يدل على 11! = 39,916,800 . وبالتالي، باستخدام الأحرف من A إلى Z للدلالة على الأرقام ₁₀ ، 11، 12، ...، 35 كما في أنظمة العد الأخرى ذات الأساس N، فإن أكبر عدد يمكن تمثيله هو 36  ×  36!  ١- بالنسبة للأعداد الكبيرة جدًا ،  يجب اختيار أساس لتمثيل الأرقام الفردية، كالنظام العشري مثلًا، ووضع علامة فاصلة بينها (على سبيل المثال، بوضع رمز أسفل كل رقم بناءً على أساسه، المُعطى أيضًا بالنظام العشري، مثل ٢٤٠٣١٢٠١ _{، ويمكن} كتابة هذا العدد أيضًا على النحو التالي: ٢:٠:١:٠ ! _{) . في} الواقع، نظام الأعداد المضروبية نفسه ليس نظامًا عدديًا بالمعنى الحقيقي ، بمعنى أنه لا يُمثل جميع الأعداد الطبيعية باستخدام أبجدية محدودة من الرموز فقط.

توجد علاقة طبيعية بين الأعداد الصحيحة 0،  1،  ...، n ! − 1    (أو ما يعادلها من الأعداد المكونة من n خانة في التمثيل العاملي) وتباديل n عنصرًا مرتبة ترتيبًا معجميًا ، عندما تُعبَّر الأعداد الصحيحة بالصيغة العاملية. تُسمى هذه العلاقة برمز ليمر (أو جدول الانعكاس). على سبيل المثال، عندما n = 3 ، تكون هذه العلاقة كالتالي :  

في كل حالة، يتم حساب التبديل باستخدام الرقم العاملي الأيسر (هنا، 0 أو 1 أو 2) كرقم التبديل الأول، ثم إزالته من قائمة الخيارات (0 و1 و2). تخيل هذه القائمة الجديدة من الخيارات مُفهرسة من الصفر، واستخدم كل رقم عاملي لاحق للاختيار من بين عناصرها المتبقية. إذا كان الرقم العاملي الثاني هو "0"، فسيتم اختيار العنصر الأول من القائمة ليكون رقم التبديل الثاني، ثم يُزال من القائمة. وبالمثل، إذا كان الرقم العاملي الثاني هو "1"، فسيتم اختيار العنصر الثاني ثم إزالته. الرقم العاملي الأخير هو دائمًا "0"، وبما أن القائمة تحتوي الآن على عنصر واحد فقط، فسيتم اختياره ليكون رقم التبديل الأخير.

قد تتضح العملية أكثر مع مثال أطول. لنفترض أننا نريد التبديل رقم 2982 للأعداد من 0 إلى 6. العدد 2982 هو 4:0:4:1:0:0:0 _! في نظام العوامل، وهذا العدد يختار الأرقام (4، 0، 6، 2، 1، 3، 5) بالتتابع، عن طريق فهرسة مجموعة مرتبة متناقصة من الأرقام واختيار كل رقم من المجموعة في كل دور:

 4:0:4:1:0:0:0 ! ─► (4,0,6,2,1,3,5) العاملي: 4 : 0 : 4 : 1 : 0 : 0 : 0 ! ├─┬─┬─┬─┐ │ ├─┬─┬─┬─┐ ├─┐ │ │ │ المجموعات: (0، 1، 2، 3، 4، 5، 6) ─► (0، 1، 2، 3، 5، 6) ─► (1، 2، 3، 5، 6) ─► (1، 2، 3، 5) ─► (1، 3، 5) ─► (3، 5) ─► (5) │ │ │ │ │ │ │ التبديل: (4، 0، 6، 2، 1، 3، 5)

الدليل الطبيعي للضرب المباشر لمجموعتين تبديليتين هو سلسلة من عددين عامليين، مع رمزين سفليين "!".

 متسلسلة زوج تبديل العوامل العشرية 0 10 0:0:0 ! 0:0:0 ! ((0,1,2),(0,1,2)) 1 10 0:0:0 ! 0:1:0 ! ((0,1,2),(0,2,1)) ... 5 10 0:0:0 ! 2:1:0 ! ((0,1,2),(2,1,0)) 6 10 0:1:0 ! 0:0:0 ! ((0,2,1),(0,1,2)) 7 10 0:1:0 ! 0:1:0 ! ((0,2,1),(0,2,1)) ... 22 10 1:1:0 ! 2:0:0 ! ((1,2,0),(2,0,1)) ... 34 10 2:1:0 ! 2:0:0 ! ((2,1,0),(2,0,1)) 35 10 2:1:0 ! 2:1:0 ! ((2,1,0),(2,1,0))

بخلاف أنظمة الأساس الواحد التي تكون قيمها المكانية أساس ⁿ لكل من n الصحيح الموجب والسالب ، لا يمكن تمديد أساس عدد المضروب إلى قيم مكانية سالبة لأن هذه ستكون (−1)!، (−2)! وهكذا، وهذه القيم غير معرفة (انظر المضروب ).

لذلك، فإن أحد التوسعات الممكنة هو استخدام 1/0!، 1/1!، 1/2!، 1/3!، ...، 1/ ن ! وما إلى ذلك بدلاً من ذلك، وربما حذف خانات 1/0! و1/1! التي تكون دائمًا صفرًا.

بهذه الطريقة، يكون لجميع الأعداد النسبية تمثيل منتهٍ، طوله بالأرقام أقل من أو يساوي مقام العدد النسبي المُمثَّل. ويمكن إثبات ذلك بالنظر إلى وجود مضروب لأي عدد صحيح، وبالتالي فإن المقام يقسم مضروبه الخاص حتى لو لم يقسم أي مضروب أصغر منه.

لذا، بالضرورة، يكون طول التفكيك العاملي لمقلوب عدد أولي مساويًا تمامًا لطول ذلك العدد الأولي (ناقصًا واحدًا إذا تم حذف خانة 1/1!). تُعطى الحدود الأخرى على شكل المتتالية A046021 في OEIS. ويمكن أيضًا إثبات أن الرقم الأخير أو الحد الأخير من تمثيل عدد نسبي ذي مقام أولي يساوي الفرق بين البسط والمقام الأولي.

كما هو الحال عند التحقق من قابلية قسمة العدد 4 في النظام العشري، حيث لا يتطلب الأمر سوى النظر إلى آخر رقمين، فإن التحقق من قابلية قسمة أي عدد في النظام المضروبي لا يتطلب سوى النظر إلى عدد محدود من الأرقام. أي أن لكل عدد قاعدة قسمة خاصة به.

يوجد أيضًا مكافئ غير منتهٍ لكل عدد نسبي يشبه حقيقة أن 0.24999... = 0.25 = 1/4 و 0.999... = 1 ، إلخ، في النظام العشري، والذي يمكن إنشاؤه عن طريق تقليل الحد الأخير بمقدار 1 ثم ملء العدد اللانهائي المتبقي من الحدود بأعلى قيمة ممكنة لأساس ذلك الموضع.

في الأمثلة التالية، تُستخدم المسافات لفصل القيم المكانية، والتي تُمثل في غير ذلك بالنظام العشري. الأعداد النسبية على اليسار مكتوبة أيضاً بالنظام العشري.

• ${\displaystyle 1/2=0.0\ 1_{!}}$
• ${\displaystyle 1/3=0.0\ 0\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 2/3=0.0\ 1\ 1_{!}}$
• ${\displaystyle 1/4=0.0\ 0\ 1\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 3/4=0.0\ 1\ 1\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 1/5=0.0\ 0\ 1\ 0\ 4_{!}}$
• ${\displaystyle 1/6=0.0\ 0\ 1_{!}}$
• ${\displaystyle 5/6=0.0\ 1\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 1/7=0.0\ 0\ 0\ 3\ 2\ 0\ 6_{!}}$
• ${\displaystyle 1/8=0.0\ 0\ 0\ 3_{!}}$
• ${\displaystyle 1/9=0.0\ 0\ 0\ 2\ 3\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 1/10=0.0\ 0\ 0\ 2\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 1/11\ \ =0.0\ 0\ 0\ 2\ 0\ 5\ 3\ 1\ 4\ 0\ A_{!}}$
• ${\displaystyle 2/11\ \ =0.0\ 0\ 1\ 0\ 1\ 4\ 6\ 2\ 8\ 1\ 9_{!}}$
• ${\displaystyle 9/11\ \ =0.0\ 1\ 1\ 3\ 3\ 1\ 0\ 5\ 0\ 8\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 10/11=0.0\ 1\ 2\ 1\ 4\ 0\ 3\ 6\ 4\ 9\ 1_{!}}$
• ${\displaystyle 1/12\ \ =0.0\ 0\ 0\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 5/12\ \ =0.0\ 0\ 2\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 7/12\ \ =0.0\ 1\ 0\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 11/12=0.0\ 1\ 2\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 1/15=0.0\ 0\ 0\ 1\ 3_{!}}$
• ${\displaystyle 1/16=0.0\ 0\ 0\ 1\ 2\ 3_{!}}$
• ${\displaystyle 1/18=0.0\ 0\ 0\ 1\ 1\ 4_{!}}$
• ${\displaystyle 1/20=0.0\ 0\ 0\ 1\ 1_{!}}$
• ${\displaystyle 1/24=0.0\ 0\ 0\ 1_{!}}$
• ${\displaystyle 1/30=0.0\ 0\ 0\ 0\ 4_{!}}$
• ${\displaystyle 1/36=0.0\ 0\ 0\ 0\ 3\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 1/60=0.0\ 0\ 0\ 0\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 1/72=0.0\ 0\ 0\ 0\ 1\ 4_{!}}$
• ${\displaystyle 1/120=0.0\ 0\ 0\ 0\ 1_{!}}$
• ${\displaystyle 1/144=0.0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 5_{!}}$
• ${\displaystyle 1/240=0.0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 3_{!}}$
• ${\displaystyle 1/360=0.0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 2_{!}}$
• ${\displaystyle 1/720=0.0\ 0\ 0\ 0\ 0\ 1_{!}}$

يوجد أيضاً عدد قليل من الثوابت التي لها تمثيلات نمطية باستخدام هذه الطريقة:

• ${\displaystyle e=1\ 0.0\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1..._{!}}$
• ${\displaystyle e^{-1}=0.0\ 0\ 2\ 0\ 4\ 0\ 6\ 0\ 8\ 0\ A\ 0\ C\ 0\ E..._{!}}$
• ${\displaystyle \sin(1)=0.0\ 1\ 2\ 0\ 0\ 5\ 6\ 0\ 0\ 9\ A\ 0\ 0\ D\ E..._{!}}$
• ${\displaystyle \cos(1)=0.0\ 1\ 0\ 0\ 4\ 5\ 0\ 0\ 8\ 9\ 0\ 0\ C\ D\ 0..._{!}}$
• ${\displaystyle \sinh(1)=1.0\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0..._{!}}$
• ${\displaystyle \cosh(1)=1.0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1\ 0\ 1..._{!}}$

• نظام الأعداد التوافقي (يسمى أيضًا نظام الأعداد التوافقية)
• الأعداد الصحيحة المنتهية ، والتي يمكن تمثيلها كمتتاليات أرقام لا نهائية في نظام الأعداد المضروبية
• خوارزمية شتاينهاوس-جونسون-تروتر ، وهي خوارزمية تولد رموز غراي لنظام الأعداد العاملي

• مانتاشي، روبرتو؛ راكوتوندراجاو، فانجا (2001)، "تمثيل تبديل يعرف معنى "أويلري"" (ملف PDF) ، الرياضيات المتقطعة وعلوم الحاسوب النظرية ، 4 : 101-108 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 24-05-2011 ، تم استرجاعه بتاريخ 27-03-2005.
• أرندت، يورغ (2010). مسائل حسابية: أفكار، خوارزميات، شفرة مصدرية . ص 232-238 . 

• آلة حاسبة لرمز ليمر. لاحظ أن أرقام التبديل الخاصة بهم تبدأ من 1، لذا قم بتقليل جميع أرقام التبديل ذهنياً بمقدار واحد للحصول على نتائج مكافئة لتلك الموجودة في هذه الصفحة.
• نظام الأعداد العاملي