جذر مختلط

أنظمة الأرقام ذات الأساس المختلط هي أنظمة عددية موضعية غير قياسية، حيث يختلف الأساس العددي من موضع لآخر. يُستخدم هذا التمثيل العددي عندما تُعبّر كمية ما باستخدام سلسلة من الوحدات، كل منها مضاعف للوحدة الأصغر التالية، ولكن ليس بنفس العامل. تُستخدم هذه الوحدات بكثرة، على سبيل المثال، في قياس الوقت؛ فمثلاً، يمكن التعبير عن زمن قدره 32 أسبوعًا و5 أيام و7 ساعات و45 دقيقة و15 ثانية و500 مللي ثانية بعدد من الدقائق في نظام الأرقام ذي الأساس المختلط كما يلي:

... 32، 5، 07، 45؛ 15، 500 ... ∞، 7، 24، 60؛ 60، 1000

أو كما

32 _∞ 5 ₇ 07 ₂₄ 45 ₆₀ .15 ₆₀ 500 ₁₀₀₀

في الجدول، تُكتب الأرقام فوق أساسها، وتُشير الفاصلة المنقوطة إلى الفاصلة العشرية . أما في النظام العددي، فيُلحق بكل رقم أساسه كرمز سفلي، وتُحدد الفاصلة العشرية بنقطة. أساس كل رقم هو عدد الوحدات المقابلة التي تُشكل الوحدة الأكبر التالية. ونتيجةً لذلك، لا يوجد أساس (يُكتب ∞) للرقم الأول (الأكثر أهمية)، لأنه لا توجد فيه "الوحدة الأكبر التالية" (ولا يُمكن إضافة وحدة أكبر مثل "شهر" أو "سنة" إلى سلسلة الوحدات، لأنها ليست مضاعفات صحيحة لـ "أسبوع").

يُعدّ نظام حساب الوقت والتقاويم المثال الأكثر شيوعًا لأنظمة العد المختلطة. تشمل أنظمة العد الغربية، سواءً من حيث العدد الأصلي أو الترتيبي، السنوات العشرية والعقود والقرون، والنظام السباعي لأيام الأسبوع، والنظام الاثني عشري لأشهر السنة، والأنظمة من 28 إلى 31 لأيام الشهر، بالإضافة إلى النظام 52 لأسابيع السنة. يُقسّم الوقت أيضًا إلى ساعات تُحسب بنظام 24 ساعة، ودقائق ستينية في الساعة، وثوانٍ في الدقيقة، مع كسور عشرية في الأخيرة.

الصيغة القياسية للتواريخ هي2021-04-10 16:31:15وهذا ما يُعتبر عددًا ذا أساس مختلط وفقًا لهذا التعريف، مع الأخذ في الاعتبار أن عدد الأيام يختلف باختلاف الشهر، وكذلك باختلاف السنوات الكبيسة. ويستخدم أحد التقاويم المقترحة بدلاً من ذلك أشهرًا ذات أساس 13 ، وأسابيع رباعية ، وأيامًا سباعية.

يُفضل غالبًا التعبير عن نظام الأرقام ذي الأساس المختلط بجدول. فيما يلي جدول يصف ما يمكن فهمه على أنه 604800 ثانية من الأسبوع، حيث يبدأ الأسبوع في الساعة 0 من اليوم 0 (منتصف ليل الأحد):

في هذا النظام العددي، يُفسَّر العدد المختلط 3 ₇ 17 ₂₄ 51 ₆₀ 57 _{60 ثانية على أنه 17:51:57 يوم الأربعاء، ويُفسَّر العدد 0 7} 0 ₂₄ 02 ₆₀ 24 ₆₀ على أنه 00:02:24 يوم الأحد. وتُعدّ الرموز المخصصة للأنظمة العددية المختلطة شائعة.

يتألف تقويم المايا من عدة دورات متداخلة ذات جذور مختلفة. يتداخل عدّ قصير يُسمى "تزولكين" بين أيام مُسماة بنظام العد العشرين وأيام مُرقمة بنظام العد الثلاثي . أما "هاب" فيتألف من أيام بنظام العد العشرين، وأشهر بنظام العد الثماني ، وسنوات بنظام العد 52، مُشكلاً دورة كاملة . إضافةً إلى ذلك، يُستخدم عدّ طويل للأيام بنظام العد العشرين، ثم نظام العد الثماني ، ثم نظام العد الرباعي والعشرين "تون" ، و"كاتون" ، و "باكتون" ، وما إلى ذلك، لتتبع التواريخ التاريخية.

مثال آخر على نظام الأرقام المختلط المستخدم حاليًا هو تصميم العملة واستخدامها، حيث تُطبع أو تُسك مجموعة محدودة من الفئات النقدية بهدف تمثيل أي كمية نقدية؛ ويُعبَّر عن المبلغ بعدد العملات المعدنية أو الورقية من كل فئة. عند تحديد الفئات النقدية المراد إصدارها (وبالتالي تحديد الجذور المراد دمجها)، يُسعى إلى تحقيق توازن بين الحد الأدنى من الفئات المختلفة، والحد الأدنى من القطع النقدية اللازمة لتمثيل الكميات النموذجية. فعلى سبيل المثال، في المملكة المتحدة، تُطبع أوراق نقدية لفئات 50 و20 و10 و5 جنيهات إسترلينية، وتُسك عملات معدنية لفئات 2 و1 و50 و20 و10 و5 و2 و1 بنس - وتتبع هذه الفئات سلسلة القيم المفضلة 1-2-5 .

قبل تطبيق النظام العشري ، كانت المبالغ النقدية في المملكة المتحدة توصف من حيث الجنيهات والشلنات والبنسات، مع 12 بنسًا لكل شلن و20 شلنًا لكل جنيه، بحيث أن "£1 7s 6d"، على سبيل المثال، يتوافق مع الرقم ذي الأساس المختلط 1 _∞ 7 ₂₀ 6 ₁₂ .

تُعد وحدات القياس العرفية في الولايات المتحدة عمومًا أنظمة ذات أساس مختلط، حيث تختلف المضاعفات من وحدة حجم إلى أخرى بنفس الطريقة التي تختلف بها وحدات الزمن.

يُعد تمثيل الأساس المختلط ذا صلة أيضًا بإصدارات الأساس المختلط لخوارزمية Cooley–Tukey FFT ، حيث يتم توسيع مؤشرات قيم الإدخال في تمثيل الأساس المختلط، ويتم توسيع مؤشرات قيم الإخراج في تمثيل أساس مختلط مماثل مع عكس ترتيب الأساسات والأرقام، ويمكن اعتبار كل تحويل فرعي بمثابة تحويل فورييه في رقم واحد لجميع قيم الأرقام المتبقية.

يمكن التعامل مع الأعداد ذات الأساس المختلط من نفس النوع باستخدام تعميم لخوارزميات الحساب اليدوي. ويتم تحويل القيم من أساس مختلط إلى آخر بسهولة عن طريق تحويل القيم المكانية للنظام الأول إلى النظام الثاني أولاً، ثم تطبيق أرقام النظام الأول عليها.

تتضمن لغتا APL و J عوامل تشغيل للتحويل من وإلى أنظمة ذات أساس مختلط.

وهناك اقتراح آخر هو ما يسمى بنظام الأعداد العاملية :

على سبيل المثال، أكبر عدد يمكن تمثيله بستة أرقام هو 543210، والذي يساوي 719 بالنظام العشري : 5 × 5! + 4 × 4! + 3 × 3! + 2 × 2! + 1 × 1! قد لا يكون الأمر واضحًا للوهلة الأولى، لكن نظام الترقيم القائم على المضروب واضح وكامل. يمكن تمثيل كل عدد بطريقة واحدة فقط، لأن مجموع المضروبات مضروبًا في الدليل يساوي دائمًا المضروب التالي ناقص واحد.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(([i+1]+1)-1)\cdot ([i]+1)!=([n+1]+1)!-1}$

هناك علاقة طبيعية بين الأعداد الصحيحة 0، ...، n ! − 1 وتباديل n عنصرًا بالترتيب المعجمي، والتي تستخدم التمثيل العاملي للعدد الصحيح، متبوعًا بتفسير على أنه رمز ليمر .  

المعادلة أعلاه حالة خاصة من القاعدة العامة التالية لأي تمثيل أساس (سواء كان قياسيًا أو مختلطًا)، والتي تُعبّر عن حقيقة أن أي تمثيل أساس (سواء كان قياسيًا أو مختلطًا) هو تمثيل لا لبس فيه وكامل. يمكن تمثيل كل عدد بطريقة واحدة فقط، لأن مجموع الأوزان مضروبًا في الدليل يساوي دائمًا الوزن التالي ناقص واحد.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(m_{i+1}-1)\cdot M_{i}=M_{n+1}-1}$، أين${\displaystyle M_{i}=\prod _{j=1}^{i}m_{j},m_{j}>1,M_{0}=1}$،

والتي يمكن إثباتها بسهولة باستخدام الاستقراء الرياضي .

وهناك اقتراح آخر وهو نظام الأعداد الذي يستخدم الأعداد الأولية المتتالية كأساس، حيث تكون قيمها المكانية أعدادًا أولية ، وقد تم النظر فيه من قبل إس إس بيلاي ، ^{[ 1 ]} وريتشارد ك. جاي (التسلسل A049345 في OEIS ) ، ومؤلفين آخرين: ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(p_{i+1}-1)\cdot p_{i}\#=p_{n+1}\#-1}$أين${\displaystyle p_{i}\#=\prod _{j=1}^{i}p_{j}}$، و p _j = العدد ^الأولي j ، و p ₀ # = p ₀ = 1.

• دونالد كنوث . فن برمجة الحاسوب ، المجلد الثاني: الخوارزميات شبه العددية ، الطبعة الثالثة. أديسون-ويسلي، 1997. ISBN 0-201-89684-2الصفحات 65 – 66، 208 – 209، و 290.
• جورج كانتور . Über einfache Zahlensysteme , Zeitschrift für Math. والفيزياء 14 (1869)، 121 – 128.

• آلة حاسبة ذات أساس مختلط — آلة حاسبة ذات أساس مختلط بلغة C#