خطأ (منطقياً)

في المنطق ، يُعرَّف الخطأ (اسمه الزيف ) أو عدم الصدق بأنه حالة امتلاك قيمة صدق سلبية ، وهو رابط منطقي صفري . في نظام منطقي قائم على دالة الصدق ، يُعدّ الخطأ أحد قيمتي الصدق المفترضتين، إلى جانب نفيه ، الصدق . ^{[ 1 ]} تُستخدم الرموز 0 (خاصة في المنطق البولياني وعلوم الحاسوب ) وO (في تدوين البادئة ، O pq ) ورمز الرفع . ${\displaystyle \bot }$[ ^{2 ] [ 3 ]​}

يُستخدم نهج آخر للعديد من النظريات الرسمية (مثل حساب القضايا الحدسي )، حيث يكون الثابت القضوي (أي الرابط الصفري). ${\displaystyle \bot }$يتم إدخال ، وقيمتها الصادقة خاطئة دائمًا بالمعنى المذكور أعلاه. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} يمكن اعتبارها قضية عبثية، وغالبًا ما تسمى بالعبثية.

في المنطق البولياني ، يشير كل متغير إلى قيمة حقيقية يمكن أن تكون إما صحيحة (1) أو خاطئة (0).

في حساب القضايا الكلاسيكي ، تُسند لكل قضية قيمة صدق، إما صحيحة أو خاطئة. ^{[ 7 ] [ 8 ]} تتضمن بعض أنظمة المنطق الكلاسيكي رموزًا مخصصة للخطأ (0 أو 1).${\displaystyle \bot }$بينما يعتمد البعض الآخر بدلاً من ذلك على صيغ مثل p ∧ ¬ p و ¬( p → p ) .

في كل من المنطق البولياني وأنظمة المنطق الكلاسيكي، يكون الصواب والخطأ متضادين فيما يتعلق بالنفي ؛ فنفي الخطأ يعطي الصواب، ونفي الصواب يعطي الخطأ.

جداول الحقيقة

المصادر: ^{[ 9 ] [ 10 ]}

النفي (¬)

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \neg x}$
حقيقي	خطأ شنيع
خطأ شنيع	حقيقي

إن نفي الخطأ يعادل الحقيقة ليس فقط في المنطق الكلاسيكي والمنطق البولياني، ولكن أيضًا في معظم الأنظمة المنطقية الأخرى، كما هو موضح أدناه.

حرف العطف (و ∧)

خطأ ∧ صحيح = خطأ (خطأ وأي شيء آخر هو خطأ).

الفصل (أو ∨)

خطأ ∨ صحيح = صحيح (أو صحيح إذا كان أحد المعاملات على الأقل صحيحًا).

التبعات (→)

خطأ → صحيح = صحيح (المقدمة الخاطئة تجعل النتيجة صحيحة بشكل فارغ).

في معظم الأنظمة المنطقية، ترتبط النفي والشرط المادي والخطأ على النحو التالي:

¬ p ⇔ ( p → ⊥)

في الواقع، هذا هو تعريف النفي في بعض الأنظمة، ^{[ 11 ]} مثل المنطق الحدسي ، ويمكن إثباته في حسابات القضايا حيث يُعدّ النفي رابطًا أساسيًا. ولأن p → p عادةً ما تكون نظرية أو بديهية، فإن النتيجة هي أن نفي الخطأ ( ¬ ⊥ ) يكون صحيحًا.

التناقض هو الحالة التي تنشأ عندما يتبين أن عبارة يُفترض صحتها تستلزم خطأً (أي، φ ⊢ ⊥ ). باستخدام التكافؤ أعلاه، يمكن استنتاج أن φ تناقض، على سبيل المثال، من ⊢ ¬φ . تُسمى العبارة التي تستلزم خطأً في حد ذاتها أحيانًا تناقضًا، وأحيانًا لا يُفرّق بين التناقضات والخطأ، خاصةً بسبب استخدام المصطلح اللاتيني falsum في اللغة الإنجليزية للدلالة على كليهما، لكن الخطأ هو قضية محددة .

قد تحتوي الأنظمة المنطقية على مبدأ الانفجار ( ex falso quodlibet باللاتينية ) أو لا تحتوي عليه ، ⊥ ⊢ φ لكل φ . وبموجب هذا المبدأ، فإن التناقضات والخطأ متكافئان، لأن كل منهما يستلزم الآخر.

نظرية رسمية تستخدم "${\displaystyle \bot }$يُعرَّف الربط بأنه متسق إذا وفقط إذا لم تكن العبارة الخاطئة من بين نظرياته . في حالة عدم وجود ثوابت منطقية ، يمكن استخدام بعض البدائل (مثل تلك المذكورة أعلاه ) لتعريف الاتساق.

• تناقض
• الحقيقة المنطقية
• التكرار المنطقي (لرمزية الحقيقة المنطقية)
• جدول الحقيقة