نظرية فيجير

في الرياضيات، تنص نظرية فيجير ، ^{[ 1 ] [ 2 ]} التي سميت على اسم عالم الرياضيات المجري ليبوت فيير ، على ما يلي: ^{[ 3 ]}

بشكل صريح، يمكننا كتابة متسلسلة فورييه لـ${\displaystyle f}$مثل

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\,e^{inx}}$$

حيث${\displaystyle n}$المجموع الجزئي لسلسلة فورييه لـ${\displaystyle f}$يمكن كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle s_{n}(f,x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx},}$

حيث معاملات فورييه${\displaystyle c_{k}}$نكون

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt.}$

بعد ذلك، يمكننا أن نحدد

${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(xt)F_{n}(t)dt}$

مع${\displaystyle F_{n}}$كونه${\displaystyle n}$الترتيب الرابع نواة Fejér . ثم تؤكد نظرية فيير ذلك

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sigma _{n}(f,x)=f(x)}$$

بتقارب منتظم. مع كتابة التقارب بشكل صريح، تصبح العبارة أعلاه

$${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists \,n_{0}\in \mathbb {N} :n\geq n_{0}\implies |f(x)-\sigma _{n}(f,x)|<\epsilon ,\,\forall x\in \mathbb {R} }$$

نثبت أولاً اللمة التالية:

البرهان : تذكر تعريف${\displaystyle D_{n}(x)}$، نواة ديريشليه :

$${\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}}$$.

نستبدل الصيغة التكاملية لمعاملات فورييه في صيغة${\displaystyle s_{n}(f,x)}$فوق

$${\displaystyle s_{n}(f,x)=\sum _{k=-n}^{n}c_{k}e^{ikx}=\sum _{k=-n}^{n}[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-ikt}dt]e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi}^{\pi }f(t)\sum _{k=-n}^{n}e^{ik(xt)}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\,D_{n}(xt)\,dt.}$$

باستخدام تغيير المتغيرات نحصل على

$${\displaystyle s_{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(xt)\,D_{n}(t)\,dt.}$$

وبهذا يكتمل برهان اللمة 1.

نثبت الآن اللمة التالية:

البرهان : تذكر تعريف نواة فيجير${\displaystyle F_{n}(x)}$

$${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(x)}$$

كما هو الحال في اللمة 1، نستبدل الشكل التكاملي لمعاملات فورييه في صيغة${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)}$

$$\displaystyle \sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}(f,x)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(xt)\,D_{k}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(xt)\,[{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(t)]\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(xt)\,F_{n}(t)\,dt}$$

وبهذا يكتمل برهان اللمة 2.

نثبت الآن اللمة الثالثة:

البرهان : أ) بالنظر إلى أن${\displaystyle F_{n}}$هو متوسط${\displaystyle D_{n}}$، والتي تكاملها يساوي 1، وبسبب خاصية الخطية، فإن تكامل${\displaystyle F_{n}}$يساوي أيضًا 1.

سيئ كما${\displaystyle D_{n}(x)}$إذا كان مجموعًا هندسيًا، فسنحصل على صيغة بسيطة لـ${\displaystyle D_{n}(x)}$ثم لـ${\displaystyle F_{n}(x)}$باستخدام صيغة دي مويفر :

$$//$$

ج) لجميع القيم الثابتة${\displaystyle \delta >0}$،

$${\displaystyle \int _{\delta \leq |x|\leq \pi }F_{n}(x)\,dx={\frac {2}{n}}\int _{\delta \leq x\leq \pi }{\frac {\sin ^{2}(nx/2)}{\sin ^{2}(x/2)}}\,dx\leq {\frac {2}{n}}\int _{\delta \leq x\leq \pi }{\frac {1}{\sin ^{2}(x/2)}}\,dx}$$

هذا يدل على أن التكامل يتقارب إلى الصفر، عندما${\displaystyle n}$يؤول إلى ما لا نهاية. وهذا يُكمل برهان اللمة 3.

نحن الآن جاهزون لإثبات نظرية فيجير. أولاً، دعونا نتذكر العبارة التي نحاول إثباتها.

$${\displaystyle \forall \epsilon >0\,\exists \,n_{0}\in \mathbb {N} :n\geq n_{0}\implies |f(x)-\sigma _{n}(f,x)|<\epsilon ,\,\forall x\in \mathbb {R} }$$

نريد إيجاد تعبير لـ${\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|}$نبدأ باستحضار اللمة 2:

$${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(xt)\,F_{n}(t)\,dt.}$$

بحسب اللمة 3أ، نعلم أن

$${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)-f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt-f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt-f(x){\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{n}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x-t)\,F_{n}(t)\,dt-{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,F_{n}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }[f(x-t)-f(x)]\,F_{n}(t)\,dt.}$$

بتطبيق متباينة المثلث، نحصل على

$${\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=|{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }[f(x-t)-f(x)]\,F_{n}(t)\,dt|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|[f(x-t)-f(x)]\,F_{n}(t)|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|\,|F_{n}(t)|\,dt,}$$

وبحسب اللمة 3ب، نحصل على

$${\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt.}$$

نقسم الآن التكامل إلى جزأين، ونجري التكامل على المنطقتين.${\displaystyle |t|\leq \delta }$و${\displaystyle \delta \leq |t|\leq \pi }$.

$${\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leq \delta }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\right)+\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\right)}$$

الدافع وراء ذلك هو أننا نريد أن نثبت ذلك.${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=0}$يمكننا فعل ذلك بإثبات أن كل تكامل أعلاه، التكامل 1 والتكامل 2، يؤول إلى الصفر. وهذا تحديدًا ما سنفعله في الخطوة التالية.

نلاحظ أولاً أن الدالة${\displaystyle f}$مستمر على${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$نستند إلى النظرية القائلة بأن كل دالة دورية على${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$الدالة المتصلة تكون محدودة ومتصلة بانتظام. هذا يعني أن

${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:|x-y|\leq \delta \implies |f(x)-f(y)|\leq \epsilon }$.

وبالتالي يمكننا إعادة كتابة التكامل 1 على النحو التالي

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leq \delta }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{|t|\leq \delta }\epsilon \,F_{n}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{|t|\leq \delta }\,F_{n}(t)\,dt}$$

لأن${\displaystyle F_{n}(x)\geq 0,\forall x\in \mathbb {R} }$و${\displaystyle \delta \leq \pi }$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{|t|\leq \delta }\,F_{n}(t)\,dt\leq {\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{-\pi }^{\pi }\,F_{n}(t)\,dt}$$

وبحسب اللمة 3أ، نحصل على لكل n

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{-\pi }^{\pi }\,F_{n}(t)\,dt=\epsilon }$$

وهذا يعطي الحد المطلوب للتكامل 1 والذي يمكننا استغلاله في الخطوة الأخيرة.

بالنسبة للتكامل 2، نلاحظ أنه بما أن${\displaystyle f}$إذا كانت محدودة، فيمكننا كتابة هذا الحد على النحو التالي:${\displaystyle M=\sup _{-\pi \leq t\leq \pi }|f(t)|}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }|f(x-t)-f(x)|\,F_{n}(t)\,dt\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }2M\,F_{n}(t)\,dt={\frac {M}{\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }F_{n}(t)\,dt}$$

نحن الآن على استعداد لإثبات ذلك${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=0}$نبدأ بالكتابة

$${\displaystyle |\sigma _{n}(f,x)-f(x)|\leq \epsilon \,+{\frac {M}{\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }F_{n}(t)\,dt}$$

هكذا،

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|\leq \lim _{n\to \infty }\epsilon \,+\lim _{n\to \infty }{\frac {M}{\pi }}\int _{\delta \leq |t|\leq \pi }F_{n}(t)\,dt}$$

بحسب اللمة 3c، نعلم أن التكامل يؤول إلى الصفر عندما${\displaystyle n}$يؤول إلى اللانهاية، ولأن إبسيلون قيمة اختيارية، يمكننا أن نجعلها تساوي صفرًا. وبالتالي${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|\sigma _{n}(f,x)-f(x)|=0}$وهذا يكمل البرهان.

في الواقع، يمكن تعديل نظرية فيجير لتشمل التقارب النقطي . ^{[ 3 ]}

لكن لسوء الحظ، لا تنطبق النظرية بشكل عام عند استبدال المتتالية${\displaystyle \sigma _{n}(f,x)}$مع${\displaystyle s_{n}(f,x)}$وذلك لوجود دوال لا تتقارب متسلسلة فورييه الخاصة بها عند نقطة معينة. ^{[ 4 ]} ومع ذلك، فإن مجموعة النقاط التي تتقارب عندها دالة في${\displaystyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$يجب أن يكون قياس التباعد صفرًا. هذه الحقيقة، التي تُعرف باسم حدسية لوسين أو نظرية كارلسون ، أثبتها ل . كارلسون عام 1966. ^{[ 4 ]} ومع ذلك، يمكننا إثبات نتيجة فرعية تتعلق بهذا الأمر، وهي كالتالي:

ينطبق شكلٌ أكثر عموميةً من النظرية على الدوال التي ليست بالضرورة متصلة ( زيغموند 1968 ، النظرية III.3.4) . لنفترض أن${\displaystyle f}$هو في${\displaystyle L^{1}(-\pi ,\pi )}$إذا كانت الحدود اليسرى واليمنى${\displaystyle f(x_{0}\pm 0)}$ل${\displaystyle f(x)}$موجود في${\displaystyle x_{0}}$أو إذا كانت كلتا النهايتين لانهائيتين من نفس الإشارة، فإن

${\displaystyle \sigma _{n}(x_{0})\to {\frac {1}{2}}\left(f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)\right).}$

يُستدل أيضًا على وجود أو تباعد متوسط ​​سيزارو إلى ما لا نهاية. وبموجب نظرية مارسيل ريس ، فإن نظرية فيجير صحيحة تمامًا كما هي إذا كان المتوسط ​​(C, 1)${\displaystyle \sigma _{n}}$يتم استبدالها بـ (C, α ) متوسط ​​سلسلة فورييه ( زيغموند 1968 ، النظرية III.5.1) .

• زيغموند، أنطوني (1968)، المتسلسلات المثلثية (  الطبعة الثانية)، مطبعة جامعة كامبريدج (نُشرت عام 1988)، رقم ISBN 978-0-521-35885-9.