أبراهام دي موافر

كان أبراهام دي مويفر ( النطق الفرنسي: [ abʁaam də mwavʁ ] ؛ 26 مايو 1667 - 27 نوفمبر 1754) عالم رياضيات فرنسي معروف بصيغة دي مويفر ، وهي صيغة تربط الأعداد المركبة وعلم المثلثات ، وبعمله على التوزيع الطبيعي ونظرية الاحتمالات .

انتقل إلى إنجلترا في سن مبكرة بسبب الاضطهاد الديني الذي تعرض له الهوغونوت في فرنسا، والذي بلغ ذروته عام 1685 مع صدور مرسوم فونتينبلو . ^{[ 1 ]} كان صديقًا لإسحاق نيوتن وإدموند هالي وجيمس ستيرلنغ . ومن بين زملائه الهوغونوت المنفيين في إنجلترا، كان زميلًا للمحرر والمترجم بيير دي ميزو .

ألف دي مويفر كتابًا في نظرية الاحتمالات بعنوان "مذهب الصدف" ، والذي يُقال إنه كان يحظى بتقدير كبير من قِبل المقامرين. وكان دي مويفر أول من اكتشف صيغة بينيه ، وهي الصيغة المغلقة لأعداد فيبوناتشي التي تربط القوة النونية للنسبة الذهبية φ بالعدد النوني من أعداد فيبوناتشي. كما كان أول من افترض نظرية النهاية المركزية ، وهي حجر الزاوية في نظرية الاحتمالات، والتي برهن على حالة خاصة منها.

حياة

السنوات الأولى

وُلد أبراهام دي مويفر في فيتري لو فرانسوا بمنطقة شامبانيا في 26 مايو 1667. كان والده، دانيال دي مويفر ، جراحًا يؤمن بأهمية التعليم. ورغم أن والدي أبراهام دي مويفر كانا بروتستانتيين، إلا أنه التحق أولًا بمدرسة الإخوة المسيحيين الكاثوليكية في فيتري، والتي كانت تتميز بتسامحها غير المعتاد في ظل التوترات الدينية التي كانت سائدة في فرنسا آنذاك. وعندما بلغ الحادية عشرة من عمره، أرسله والداه إلى الأكاديمية البروتستانتية في سيدان ، حيث أمضى أربع سنوات يدرس اللغة اليونانية على يد جاك دو رونديل. وكانت الأكاديمية البروتستانتية في سيدان قد تأسست عام 1579 بمبادرة من فرانسواز دي بوربون، أرملة هنري روبرت دي لا مارك.

في عام ١٦٨٢، أُغلقت الأكاديمية البروتستانتية في سيدان ، والتحق دي مويفر بدراسة المنطق في سومور لمدة عامين. ورغم أن الرياضيات لم تكن جزءًا من مناهجه الدراسية، فقد قرأ دي مويفر بنفسه عدة مؤلفات في الرياضيات، منها كتاب "عناصر الرياضيات " للكاهن والرياضي الفرنسي جان بريستيه، ورسالة قصيرة عن ألعاب الحظ بعنوان " في الحساب في ألعاب الحظ" للفيزيائي والرياضي وعالم الفلك والمخترع الهولندي كريستيان هويغنز . وفي عام ١٦٨٤، انتقل دي مويفر إلى باريس لدراسة الفيزياء، وتلقى لأول مرة تدريبًا رسميًا في الرياضيات من خلال دروس خاصة على يد جاك أوزانام .

تفاقم الاضطهاد الديني في فرنسا عندما أصدر الملك لويس الرابع عشر مرسوم فونتينبلو عام ١٦٨٥، الذي ألغى مرسوم نانت الذي كان يمنح حقوقًا كبيرة للبروتستانت الفرنسيين. حظر المرسوم العبادة البروتستانتية واشترط تعميد جميع الأطفال على يد كهنة كاثوليك. أُرسل دي مويفر إلى دير سان مارتان دي شان، وهي مدرسة كانت السلطات ترسل إليها الأطفال البروتستانت لتلقينهم الكاثوليكية.

من غير الواضح متى غادر دي مويفر دير سان مارتان وانتقل إلى إنجلترا، حيث تشير سجلات دير سان مارتان إلى أنه غادر المدرسة في عام 1688، لكن دي مويفر وشقيقه قدما نفسيهما على أنهما من الهوغونوت المقبولين في كنيسة سافوي في لندن في 28 أغسطس 1687.

المرحلة المتوسطة

عند وصوله إلى لندن، كان دي مويفر عالم رياضيات بارعًا، مُلِمًّا بالعديد من الكتب المرجعية. ^{[ 1 ]} ولتأمين معيشته، عمل دي مويفر مدرسًا خصوصيًا للرياضيات ، فكان يزور تلاميذه أو يُدرِّس في مقاهي لندن. وواصل دي مويفر دراسته للرياضيات بعد زيارته لإيرل ديفونشاير واطلاعه على كتاب نيوتن الحديث، "مبادئ الرياضيات" . وبعد تصفحه للكتاب، أدرك أنه أعمق بكثير من الكتب التي درسها سابقًا، وعزم على قراءته وفهمه. إلا أنه نظرًا لضرورة تنقله لمسافات طويلة في أنحاء لندن بين طلابه، لم يكن لدى دي مويفر متسع من الوقت للدراسة، فكان يمزق صفحات من الكتاب ويحملها في جيبه ليقرأها بين الدروس.

وبحسب قصة قد تكون ملفقة، اعتاد نيوتن، في السنوات الأخيرة من حياته، أن يحيل الأشخاص الذين يطرحون عليه أسئلة رياضية إلى دي مويفر، قائلاً: "إنه يعرف كل هذه الأشياء أفضل مني". ^{[ 2 ]}

بحلول عام ١٦٩٢، توطدت صداقة دي مويفر مع إدموند هالي، وبعد ذلك بفترة وجيزة مع إسحاق نيوتن نفسه. وفي عام ١٦٩٥، أرسل هالي أول ورقة بحثية لدي مويفر في الرياضيات، والتي انبثقت من دراسته للتدفقات في كتابه "الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" ، إلى الجمعية الملكية . ونُشرت هذه الورقة في " المعاملات الفلسفية" في العام نفسه. وبعد فترة وجيزة من نشر هذه الورقة، عمّم دي مويفر أيضًا نظرية نيوتن الشهيرة ذات الحدين لتصبح نظرية متعددة الحدود . واطلعت الجمعية الملكية على هذه الطريقة في عام ١٦٩٧، وانتخبت دي مويفر زميلًا فيها في ٣٠ نوفمبر من العام نفسه.

بعد قبول دي موافر، شجعه هالي على توجيه اهتمامه إلى علم الفلك. في عام 1705، اكتشف دي موافر، بشكلٍ بديهي، أن "القوة المركزية لأي كوكب ترتبط ارتباطًا مباشرًا بمسافته عن مركز القوى، وترتبط عكسيًا بحاصل ضرب قطر المنحنى التطوري في مكعب العمودي على المماس". بعبارة أخرى، إذا كان كوكب، M، يدور في مدار إهليلجي حول بؤرة F، وله نقطة P حيث يكون PM مماسًا للمنحنى وFPM زاوية قائمة بحيث يكون FP عموديًا على المماس، فإن القوة المركزية عند النقطة P تتناسب مع FM/(R*(FP) ^³ )، حيث R هو نصف قطر الانحناء عند M. وقد أثبت عالم الرياضيات السويسري يوهان برنولي هذه الصيغة في عام 1710.

على الرغم من هذه النجاحات، لم يتمكن دي مويفر من الحصول على منصب أستاذ رياضيات في أي جامعة، الأمر الذي كان سيُحرره من اعتماده على الدروس الخصوصية المُرهقة التي أثقلت كاهله أكثر من معظم علماء الرياضيات الآخرين في ذلك الوقت. ويُعزى جزء من السبب على الأقل إلى التحيز ضد أصوله الفرنسية. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

في نوفمبر 1697، انتُخب زميلًا في الجمعية الملكية ^{[ 1 ]} ، وفي عام 1712 عُيّن في لجنة شكلتها الجمعية، إلى جانب كل من أربوثنوت، وهيل، وهالي، وجونز، وماشين، وبيرنت، وروبارتس، وبونيت، وأستون، وتايلور، لمراجعة ادعاءات نيوتن وليبنيز حول مكتشف حساب التفاضل والتكامل. يمكن الاطلاع على التفاصيل الكاملة لهذا الجدل في مقال " جدل حساب التفاضل والتكامل بين ليبنيز ونيوتن" .

ظل دي مويفر فقيراً طوال حياته. ويُذكر أنه كان زبوناً منتظماً في مقهى سلوتر القديم ، الواقع في شارع سانت مارتن لين في شارع كرانبورن، حيث كان يكسب بعض المال من لعب الشطرنج.

السنوات اللاحقة

واصل دي مويفر دراسة مجالي الاحتمالات والرياضيات حتى وفاته عام ١٧٥٤. ونُشرت عدة أبحاث إضافية بعد وفاته. ومع تقدمه في السن، ازداد خموله واحتياجه إلى ساعات نوم أطول. ويُشاع أن دي مويفر لاحظ أنه ينام ١٥ دقيقة إضافية كل ليلة، وحسب تاريخ وفاته بدقة في ٢٧ نوفمبر ١٧٥٤، وهو اليوم الذي بلغ فيه وقت نومه ٢٤ ساعة. ^{[ ٦ ]} وفي ذلك اليوم، توفي بالفعل في لندن، ودُفن جثمانه في كنيسة سانت مارتن إن ذا فيلدز ، مع أنه نُقل لاحقًا. إلا أن ادعاء تنبؤه بوفاته محل خلاف، إذ لم يُوثق في أي مكان وقت حدوثها. ^{[ ٧ ]}

احتمال

كان دي مويفر رائدًا في تطوير الهندسة التحليلية ونظرية الاحتمالات، وذلك بتوسيع نطاق أعمال أسلافه، ولا سيما كريستيان هويغنز والعديد من أعضاء عائلة برنولي. كما ألّف الكتاب المدرسي الثاني في نظرية الاحتمالات، بعنوان " مذهب الصدف: طريقة لحساب احتمالات الأحداث أثناء اللعب" . (أما أول كتاب عن ألعاب الحظ، " ليبر دي لودو أليا" ( حول رمي النرد )، فقد كتبه جيرولامو كاردانو في ستينيات القرن السادس عشر، لكنه لم يُنشر حتى عام 1663). صدر هذا الكتاب في أربع طبعات، الأولى باللاتينية عام 1711، والثانية بالإنجليزية أعوام 1718 و1738 و1756. وفي الطبعات اللاحقة من كتابه، أدرج دي مويفر نتيجته غير المنشورة لعام 1733، والتي تُعدّ أول بيان لتقريب التوزيع ذي الحدين بدلالة ما نسميه الآن الدالة الطبيعية أو الغاوسية . ^{[ ٨ ]} كانت هذه أول طريقة لإيجاد احتمال وقوع خطأ بحجم معين عندما يُعبَّر عن هذا الخطأ بدلالة تباين التوزيع كوحدة، وأول تحديد لحساب الخطأ المحتمل . إضافةً إلى ذلك، طبّق هذه النظريات على مسائل المقامرة والجداول الإكتوارية .

يُعدّ التعبير n ! شائعًا في الاحتمالات، ولكن قبل اختراع الآلات الحاسبة، كان حساب n ! لقيمة n كبيرة يستغرق وقتًا طويلًا. في عام 1733، اقترح دي موافر صيغة لتقدير المضروب على النحو التالي: n ! = cn ( ⁿ⁺^1/2⁾e ⁻ⁿ . وقد حصل على تعبير تقريبي للثابت c، ولكن جيمس ستيرلنغ هو من اكتشف أن c يساوي √2π $.$ ^[⁹^]

نشر دي مويفر أيضًا مقالًا بعنوان "المعاشات على الحياة" كشف فيه عن التوزيع الطبيعي لمعدل الوفيات على مدى عمر الشخص. ومن هذا التوزيع، ابتكر صيغة بسيطة لتقريب الإيرادات الناتجة عن المدفوعات السنوية بناءً على عمر الشخص. وهذا مشابه لأنواع الصيغ التي تستخدمها شركات التأمين اليوم.

الأولوية فيما يتعلق بتوزيع بواسون

قدم دي مويفر بعض النتائج المتعلقة بتوزيع بواسون لأول مرة في كتابه "De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus" المنشور في "Philosophical Transactions of the Royal Society"، صفحة 219. ^{[ 10 ]} ونتيجة لذلك، جادل بعض المؤلفين بأن توزيع بواسون يجب أن يُنسب إلى دي مويفر. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

صيغة دي مويفر

في عام 1707، استنتج دي مويفر معادلة يمكن من خلالها استنتاج ما يلي:

\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}

والتي تمكن من إثباتها لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n . ^[¹³^]^[¹⁴^] في عام 1722، قدم معادلات يمكن من خلالها استنتاج الشكل الأكثر شهرة لصيغة دي موافر :

(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,

^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

في عام ١٧٤٩، أثبت أويلر هذه الصيغة لأي عدد حقيقي n باستخدام صيغة أويلر ، مما يجعل البرهان بسيطًا للغاية. ^{[ ١٧ ]} تكتسب هذه الصيغة أهمية بالغة لأنها تربط بين الأعداد المركبة وعلم المثلثات . إضافةً إلى ذلك، تسمح هذه الصيغة باشتقاق تعابير مفيدة لـ cos( nx ) و sin( nx ) بدلالة cos( x ) و sin( x ).

تقريب ستيرلينغ

كان دي مويفر يدرس الاحتمالات، وتطلبت أبحاثه حساب معاملات ذات الحدين، الأمر الذي استلزم بدوره حساب المضروب. ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} في عام 1730، نشر دي مويفر كتابه "Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis " (مجموعة تحليلية من المتسلسلات والتكاملات)، والذي تضمن جداول لوغاريتم ( n !). ^{[ 20 ]} بالنسبة للقيم الكبيرة لـ n ، قام دي مويفر بتقريب معاملات الحدود في مفكوك ذات الحدين. تحديدًا، إذا كان لدينا عدد صحيح موجب n ، حيث n عدد زوجي وكبير، فإن معامل الحد الأوسط في (a + b) ⁿ يُقارب بالمعادلة: ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}

{n \choose n/2}={\frac {n!}{(({\frac {n}{2}})!)^{2}}}\approx 2^{n}{\frac {2{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}

في 19 يونيو 1729، أرسل جيمس ستيرلنغ إلى دي مويفر رسالةً أوضح فيها كيفية حسابه لمعامل الحد الأوسط في مفكوك ذات الحدين ( أ + ب ) ^ن للقيم الكبيرة لـ ن . ^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} وفي عام 1730، نشر ستيرلنغ كتابه Methodus Differentialis [الطريقة التفاضلية]، والذي أدرج فيه متسلسلته لـ log( ن !): ^{[ 25 ]}

\log _{10}(n+{\frac {1}{2}})!\approx \log _{10}{\sqrt {2\pi }}+n\log _{10}n-{\frac {n}{\ln 10}},

بحيث يكون ذلك بالنسبة للكبير $n$ ، $n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ .

في 12 نوفمبر 1733، نشر دي مويفر بشكل خاص ووزع كتيبًا بعنوان " تقريب مجموع حدود ذات الحدين ( أ + ب ) ^ن في متسلسلة" [تقريب مجموع حدود ذات الحدين ( أ + ب ) ^ن في متسلسلة]، أقر فيه برسالة ستيرلنغ واقترح صيغة بديلة للحد المركزي في مفكوك ذات الحدين. ^[²⁶^]

انظر أيضاً

ملحوظات

1 2 3 أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "أبراهام دي موافر" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
↑ بيلهاوس، ديفيد ر. (2011). أبراهام دي موافر: تمهيد الطريق للاحتمالات الكلاسيكية وتطبيقاتها . لندن: تايلور وفرانسيس. ص 99. ISBN 978-1-56881-349-3.
↑ كوفلين، ريموند ف.؛ زيتاريلي، ديفيد إي. (1984). صعود الرياضيات . ماكجرو هيل. ص 437. ISBN 0-07-013215-1لسوء الحظ ، ولأنه لم يكن بريطانيًا، لم يتمكن دي مويفر أبدًا من الحصول على وظيفة تدريس جامعية
↑ يونغنيكل، كريستا ؛ ماكورماك، راسل (1996). كافنديش . مذكرات الجمعية الفلسفية الأمريكية. المجلد 220. الجمعية الفلسفية الأمريكية. ص 52. ISBN 9780871692207على الرغم من علاقاته الواسعة في الأوساط الرياضية وتقديره الكبير لعمله، إلا أنه لم يتمكن من الحصول على وظيفة جيدة. حتى اعتناقه كنيسة إنجلترا عام 1705 لم يغير من حقيقة كونه أجنبيًا.
^ تانتون، جيمس ستيوارت (2005). موسوعة الرياضيات . قاعدة المعلومات للنشر. ص. 122. ردمك 9780816051243كان يأمل في الحصول على وظيفة في هيئة التدريس في الرياضيات ، ولكن لكونه أجنبياً، لم يُعرض عليه مثل هذا التعيين.
↑ كاجوري، فلوريان (1991). تاريخ الرياضيات ( الطبعة الخامسة). الجمعية الأمريكية للرياضيات . ص 229. ISBN 9780821821022.
↑ "التفاصيل البيوغرافية - هل تنبأ أبراهام دي مويفر بموته حقًا؟" .
↑
انظر:
- أبراهام دي موافر (12 نوفمبر 1733) "Approximatio ad summam terminorum binomii (a+b) ⁿ in seriem expansi" (كتيب منشور ذاتيًا)، 7 صفحات.
- الترجمة الإنجليزية: أ. دي مويفر، مذهب الاحتمالات … ، الطبعة الثانية (لندن، إنجلترا: هـ. وودفول، 1738)، ص 235-243 .
↑ بيرسون، كارل (1924). "ملاحظة تاريخية حول أصل منحنى الأخطاء الطبيعي". Biometrika . 16 ( 3-4 ): 402-404 . doi : 10.1093/biomet/16.3-4.402 .
↑ جونسون، ن. ل.، كوتز، س.، كيمب، أ. و. (1993) التوزيعات المنفصلة أحادية المتغير (الطبعة الثانية). وايلي. ISBN 0-471-54897-9، ص157
↑ ستيجلر، ستيفن م. (1982). "بواسون على توزيع بواسون". رسائل الإحصاء والاحتمالات . 1 : 33-35 . doi : 10.1016/0167-7152(82)90010-4 .
^ هالد ، أندرس. دي موافر، إبراهيم؛ مكلينتوك، بروس (1984). "أ. دي موافر: "De Mensura Sortis" أو "في قياس الصدفة"". المراجعة الإحصائية الدولية / Revue Internationale de Statistique . 1984 (3): 229-262 . JSTOR 1403045 .
^ موافر ، أب. دي (1707). "Aequationum quarundam Potestatis tertiae, quintae, septimae, noae, &superum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar Regularum pro cubeis quae vocantur Cardani, resolutio analytica" [ من معادلات معينة للقوة الثالثة والخامسة والسابعة والتاسعة والأعلى، وصولاً إلى ما لا نهاية، من خلال المتابعة، في حدود محدودة مصطلحات، على شكل قواعد للمكعبات التي يطلق عليها كاردانو، الحل بالتحليل. ] . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن (باللاتينية). 25 (309): 2368–2371 . دوى : 10.1098/rstl.1706.0037 . S2CID 186209627 .
- الترجمة الإنجليزية من إعداد ريتشارد ج. بولسكامب (2009)
ذكر دي مويفر في الصفحة 2370 أنه إذا كانت السلسلة على شكل $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-ن}{6\مرات 7}}نيويورك^{7}+\cdots =a$ $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-ن}{6\مرات 7}}نيويورك^{7}+\cdots =a$ ، حيث n هو أي عدد صحيح فردي معطى (موجب أو سالب) وحيث يمكن أن تكون y و a دالتين، فعند حل المعادلة لإيجاد قيمة y ، تكون النتيجة هي المعادلة (2) في نفس الصفحة: $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}$ $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}$ إذا كان y = cos x و a = cos nx، فإن النتيجة هي $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$ $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$
- في عام 1676، اكتشف إسحاق نيوتن العلاقة بين وترين بنسبة n إلى 1؛ تم التعبير عن العلاقة من خلال السلسلة أعلاه. تظهر السلسلة في رسالة - Epistola pre D. Issaci Newton، Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi؛ … — بتاريخ 13 يونيو 1676 من إسحاق نيوتن إلى هنري أولدنبورغ، سكرتير الجمعية الملكية؛ تم إرسال نسخة من الرسالة إلى جوتفريد فيلهلم لايبنتز . انظر ص. 106 من: بيوت، ج.-ب.؛ ليفورت، ف.، محرران. (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota، إلخ: ou … (باللاتينية). باريس، فرنسا: ماليت-باشيلييه. ص 102 – 112.
- في عام ١٦٩٨، استنتج دي مويفر نفس المتسلسلة. انظر: دي مويفر، أ. (١٦٩٨). "طريقة لاستخراج جذور معادلة لانهائية" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . ٢٠ (٢٤٠): ١٩٠-١٩٣ . doi : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . انظر الصفحة 192.
- في عام 1730، نظر دي موافر بوضوح في الحالة التي تكون فيها الدوال cos θ وcos nθ. انظر: Moivre، A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (باللاتينية). لندن، إنجلترا: جيه.تونسون وجي.واتس. ص. 1. من ص. 1: "يقول 1. إذا كان l & x cosinus arcuum duorum A & B، وصف النصاب القانوني لراديو odem 1، النصاب السابق لتعدد الإرسال اللاحق في كل حصة من العدد n إلى الوحدة، tunc erit $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ " (إذا كان l و x هما جيب تمام قوسين A و B، وكلاهما موصوف بنفس نصف القطر 1، وكان الأول مضاعفًا للثاني بنفس النسبة التي يكون بها العدد n إلى 1، فسيكون [صحيحًا أن] $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ إذا كان طول القوس A يساوي n × طول القوس B، فإن l = cos A = cos nB و x = cos B. $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$
انظر أيضاً:
- كانتور، موريتز (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ محاضرات عن تاريخ الرياضيات ] . مكتبة الرياضيات Teuberiana، Bd. 8-9 (باللغة الألمانية). المجلد. 3. لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر. ص. 624.
- براونمول، أ. فون (1901). "Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes" [ في تاريخ أصل ما يسمى بنظرية Moivre ] . مكتبة الرياضيات . السلسلة الثالثة (باللغة الألمانية). 2 : 97 - 102.انظر الصفحة 98.
↑ سميث، ديفيد يوجين (1984) [1959]، كتاب مصادر في الرياضيات، المجلد 3 ، منشورات كوريير دوفر، ص 444، رقم ISBN 9780486646909
↑ مويفر، أ. دي (1722). "De sectione anguli" [ فيما يتعلق بتقسيم الزاوية ] . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن (باللاتينية). 32 (374): 228–230 . doi : 10.1098/rstl.1722.0039 . S2CID 186210081. تاريخ الاسترجاع: 6 يونيو 2020 .
- ترجمة إنجليزية لريتشارد ج. بولسكامب (2009). مؤرشفة في 28 نوفمبر 2020 على موقع Wayback Machine.
من ص. 229: "الجلوس x الجيوب الأنفية مقابل القوس cujuslibert. [الجلوس] t الجيوب الأنفية مقابل القوس البديل. [الجلوس] 1 نصف قطر دائري. Sitque القوس قبل الإعلان الخلفي ut 1 ad n ، tunc، assumptis binis aequationibus quas cognatas appelare licet، 1 – 2 z ⁿ + z ^{2 n} = – 2 z ⁿ t 1 – 2 z + zz = – 2 zx . (لنفترض أن x هو جيب تمام أي قوس [أي x = 1 – cos θ]. ولنفترض أن t هو جيب تمام قوس آخر. ولنفترض أن 1 هو نصف قطر الدائرة. ولنفترض أن نسبة القوس الأول إلى القوس الثاني [أي "قوس آخر"] هي 1 إلى n [بحيث t = 1 – cos nθ ]، عندئذٍ، بافتراض المعادلتين اللتين يمكن تسميتهما مرتبطتين، 1 – 2 z ⁿ + z ²ⁿ = –2 z ⁿ t 1 – 2 z + zz = – 2 zx . وبحذف z ، نحصل على المعادلة التي تحدد العلاقة بين x و t .) أي، بمعلومية المعادلتين 1 – 2 z ⁿ + z ²ⁿ = – 2 z ⁿ (1 – cos n θ) 1 – 2 z + zz = – 2 z (1 – cos θ)، استخدم باستخدام الصيغة التربيعية، نحل المعادلة الأولى لإيجاد قيمة z ⁿ ، والمعادلة الثانية لإيجاد قيمة z . ستكون النتيجة: z ^n = cos n θ ± i sin n θ و z = cosnθ ± i sinnθ، ومن ثمّ نستنتج مباشرةً أن (cosnθ ± i sinnθ) ^n = cos n θ ± i sin n θ. انظر أيضًا:
- سميث، ديفيد يوجين (1959). كتاب مرجعي في الرياضيات . المجلد 2. مدينة نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: منشورات دوفر. الصفحات 444-446 . انظر الصفحة 445، الحاشية 1.
^
في عام 1738، استخدم دي موافر علم المثلثات لتحديد الجذور النونية لعدد حقيقي أو مركب. انظر: Moivre، A. de (1738). "من خلال تقليل الجذور إلى مصطلحات بسيطة، فإن هذه البيانات الجذرية الإضافية من ذات الحدين $a+{\sqrt {+b}}$ ، فيل $a+{\sqrt {-b}}$ «إبستولا» [ حول اختزال الجذور إلى مصطلحات أبسط، أو حول استخراج أي جذر معين من ذات الحدين، $a+{\sqrt {+b}}$ أو $a+{\sqrt {-b}}$ رسالة. ] . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن (باللاتينية). 40 (451): 463– 478. doi : 10.1098/rstl.1737.0081 . S2CID 186210174 . من ص. 475: "المشكلة الثالثة. اجلس على أساس إضافي، مؤشر cujus est n، ex binomio impossibli $a+{\sqrt {-b}}$ . ... illos autem negativos quorum arcus sunt Quadrante Majores." (المشكلة الثالثة. دع الجذر الذي مؤشره [أي الدرجة] n يتم استخلاصه من ذات الحدين المعقدين $a+{\sqrt {-b}}$ $a+{\sqrt {-b}}$ الحل. ليكن جذرها $x+{\sqrt {-y}}$ $x+{\sqrt {-y}}$ ثم أقوم بتعريف ${\sqrt[{n}]{aa+b}}=m$ ${\sqrt[{n}]{aa+b}}=m$ وأنا أيضاً أعرّف ${\tfrac {n+1}{n}}=p$ ${\tfrac {n+1}{n}}=p$ [ملاحظة: يجب أن تُقرأ كالتالي: ${\tfrac {n+1}{2}}=p$ ${\tfrac {n+1}{2}}=p$ ارسم أو تخيل دائرة نصف قطرها ${\sqrt {m}}$ ${\sqrt {m}}$ ولنفترض في هذه الدائرة قوسًا ما A يكون جيب تمامه ${\tfrac {a}{{m}^{p}}}$ ${\tfrac {a}{{m}^{p}}}$ لنفترض أن C هي محيط الدائرة بالكامل. ولنفترض أن جيوب تمام الأقواس، المقاسة عند نفس نصف القطر، هي ${\tfrac {A}{n}},{\tfrac {CA}{n}},{\tfrac {C+A}{n}},{\tfrac {2C-A}{n}},{\tfrac {2C+A}{n}},{\tfrac {3C-A}{n}},{\tfrac {3C+A}{n}}$ ${\tfrac {A}{n}},{\tfrac {CA}{n}},{\tfrac {C+A}{n}},{\tfrac {2C-A}{n}},{\tfrac {2C+A}{n}},{\tfrac {3C-A}{n}},{\tfrac {3C+A}{n}}$ وهكذا حتى يصبح عددها مساويًا للعدد ن؛ وعندها نتوقف؛ عندها سيكون عدد جيب التمام مساويًا لقيم الكمية $x$ $x$ وهو ما يرتبط بالكمية $y$ $y$ هذا [أي، $y$ $y$ ] سيكون دائمًا $m-xx$ $m-xx$ لا ينبغي إغفال، على الرغم مما سبق ذكره، أن جيوب التمام التي تكون أقواسها أقل من زاوية قائمة يجب اعتبارها موجبة، بينما تلك التي تكون أقواسها أكبر من زاوية قائمة يجب اعتبارها سالبة. انظر أيضًا :
- براونمول، أ. فون (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ محاضرات عن تاريخ علم المثلثات ] (باللغة الألمانية). المجلد. 2. لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر. ص 76 – 77.
^ أويلر (1749). "Recherches sur les racines imaginaires des Equations" [ تحقيقات في الجذور المعقدة للمعادلات ] . مذكرات أكاديمية العلوم في برلين (بالفرنسية). 5 : 222 - 288. انظر الصفحات 260–261: " النظرية XIII. §. 70. من بين العديد من القوى التي يمكن إضافتها إلى الجذر، أو الكمية الحقيقية، أو تخيل الشكل M + N √−1، فإن الجذور ستكون دائمًا، أو حقيقية، أو تخيلات من نفس الشكل M + N √−1 " (النظرية XIII. §. 70. لأي قوة، سواء كانت كمية حقيقية أو معقدة [واحدة] من النموذج M + N √−1، والتي يستخرج منها الجذر، ستكون الجذور دائمًا إما حقيقية أو معقدة بنفس الصورة M + N √−1.)
↑
كان دي مويفر يحاول تحديد معامل الحد الأوسط للمتتالية (1 + 1)^ⁿ لقيم n الكبيرةمنذ عام 1721 أو قبل ذلك. في كُتيبه الصادر في 12 نوفمبر 1733 بعنوان "Approximatio ad Summam Terminorum Binomii ( a + b )^ⁿ in Seriem expansi" [تقريب مجموع حدود ذات الحدين ( a + b )^ⁿ المفكوكة في متسلسلة]، ذكر دي مويفر أنه بدأ العمل على هذه المسألة منذ 12 عامًا أو أكثر: "Duodecim jam sunt anni & amplius cum illud inveneram; …" (لقد مرّ الآن 12 عامًا أو أكثر منذ أن توصلت إلى هذا [أي ما يلي]؛ …).
- (أرشيبالد، 1926)، ص 677.
- (دي مويفر، 1738)، ص 235.
نسب دي مويفر الفضل إلى ألكسندر كومينغ (حوالي 1690 - 1775)، وهو أرستقراطي اسكتلندي وعضو في الجمعية الملكية بلندن، في تحفيز بحثه عام 1721 لإيجاد تقريب للحد المركزي لتوسيع ذي الحدين. (دي مويفر، 1730)، ص 99.
↑
تم عرض أدوار دي مويفر وستيرلنغ في إيجاد تقريب ستيرلنغ في:
- جيليناس، جاك (24 يناير 2017) "براهين أصلية لمتسلسلة ستيرلنغ لـ log ( N !)" arxiv.org
- لانيير، دينيس. تروتو، ديدييه (1998). "La formule de Stirling" [صيغة ستيرلنغ] لجنة inter-IREM histoire et épistémologie des mathématiques (ed.). تحليل ومحاولة تحليلية : les neveux de Descartes : actes du XIème Colloque inter-IREM d'épistémologie et d'histoire des mathématiques، ريمس، 10 و11 ماي 1996 [التحليل والتفكير التحليلي: "أبناء إخوة" ديكارت: وقائع الدورة الحادية عشرة بين IREM ندوة حول نظرية المعرفة وتاريخ الرياضيات، ريمس، 10-11 مايو 1996] (بالفرنسية). ريمس، فرنسا: IREM [Institut de Rercherche sur l'Enseignement des Mathématiques] في ريمس. ص 231-286.
^ موافر ، أ. دي (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [ مجموعة تحليلية متنوعة من المتسلسلات والتربيعات [أي التكاملات] ] . لندن، إنجلترا: جيه.تونسون وجي.واتس. ص 103 – 104.
↑ من الصفحة 102 من (دي مويفر، 1730) : "المسألة الثالثة: إيجاد معامل الحد الأوسط [في مفكوك ذات الحدين] لقوة كبيرة وزوجية [ن]، أو إيجاد النسبة بين معامل الحد الأوسط ومجموع جميع المعاملات. ... إلى 1 تقريبًا." (المسألة 3. أوجد معامل الحد الأوسط [في مفكوك ذات الحدين] لقوة كبيرة جدًا وزوجية [ ن ]، أو أوجد النسبة بين معامل الحد الأوسط ومجموع جميع المعاملات. الحل: ليكن ن هو درجة القوة التي رُفعت إليها ذات الحدين أ + ب ، عندئذٍ، بوضع [كلا] أ و ب =1، فإن نسبة الحد الأوسط إلى قوته ( أ + ب )^ن أو 2^ن [ملاحظة: مجموع جميع معاملات مفكوك ذات الحدين لـ (1 + 1)^ن هو 2^ن .] ستكون تقريبًا ${\frac {2(n-1)^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}$ إلى 1. ولكن عندما أمكن تحديد بعض السلاسل المتعلقة باستقصاء ما بدقة أكبر، ولكن تم إهمالها لضيق الوقت، أقوم حينها بإعادة حسابها بالتكامل، وأستعيد لاستخدامها الكميات المحددة التي تم إهمالها سابقًا؛ وهكذا تمكنت أخيرًا من استنتاج أن النسبة المطلوبة تقريبًا ${\frac {2{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}$ أو ${\frac {2{\frac {21}{125}}{(1-{\frac {1}{n}})}^{n}}{\sqrt {n-1}}}$ 1) التقريب ${\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$ مستمد من الصفحات 124-128 من (دي مويفر، 1730).
↑
حدد دي موافر قيمة الثابت $\textstyle 2{\frac {21}{125}}$ $\textstyle 2{\frac {21}{125}}$ عن طريق تقريب قيمة متسلسلة باستخدام حدودها الأربعة الأولى فقط. اعتقد دي مويفر أن المتسلسلة متقاربة، لكن عالم الرياضيات الإنجليزي توماس بايز (حوالي 1701-1761) وجد أنها متباعدة في الواقع. من الصفحتين 127-128 من كتاب (دي مويفر، 1730): "Cum vero perciperem has Series valde implicatas evadere, … conclusi factorem 2.168 seu ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ « (لكن عندما فكرت في كيفية تجنب هذه المتسلسلات المعقدة للغاية - على الرغم من إمكانية جمعها جميعًا بشكل مثالي - أعتقد أنه لم يكن هناك ما يمكن فعله سوى تحويلها إلى حالة اللانهاية؛ وبالتالي، إذا جعلنا m تساوي اللانهاية، فإن مجموع المتسلسلة النسبية الأولى سيُختزل إلى 1/12، ومجموع الثانية إلى 1/360؛ وهكذا يتم الحصول على مجاميع جميع المتسلسلات. من هذه المتسلسلة الواحدة. $\textstyle {\frac {1}{12}}-{\frac {1}{360}}+{\frac {1}{1260}}-{\frac {1}{1680}}$ $\textstyle {\frac {1}{12}}-{\frac {1}{360}}+{\frac {1}{1260}}-{\frac {1}{1680}}$ إلخ، يمكن للمرء حذف أي عدد من الحدود حسب رغبته؛ لكنني قررت الاحتفاظ بأربعة حدود من هذه المتسلسلة، لأنها كانت كافية كتقريب دقيق. عندما تتقارب هذه المتسلسلة، تتناقص حدودها بإشارات موجبة وسالبة بالتناوب، ويمكن استنتاج أن الحد الأول 1/12 أكبر من مجموع المتسلسلة، أو أن الحد الأول أكبر من الفرق بين جميع الحدود الموجبة وجميع الحدود السالبة. لكن يجب اعتبار هذا الحد لوغاريتمًا زائديًا (أي طبيعيًا). علاوة على ذلك، فإن العدد المقابل لهذا اللوغاريتم يقارب 1.0869 (أي ln(1.0869) ≈ 1/12)، والذي إذا ضُرب في 2، يكون الناتج 2.1738، وبالتالي (في حالة رفع ذات حدين) إلى قوة لانهائية، يُرمز لها بـ n ، فإن الكمية $\textstyle {\frac {{2.1738}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}$ $\textstyle {\frac {{2.1738}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}$ سيكون أكبر من نسبة الحد الأوسط في ذات الحدين إلى مجموع جميع الحدود، وبالانتقال إلى الحدود المتبقية، سيتبين أن العامل 2.1676 أصغر بقليل من نسبة الحد الأوسط إلى مجموع جميع الحدود، وبالمثل فإن 2.1695 أكبر، وبالتالي فإن 2.1682 أقل بقليل من القيمة الحقيقية للنسبة؛ وبناءً على ذلك، استنتجت أن العامل هو 2.168 أو ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ ملاحظة: العامل الذي كان دي مويفر يبحث عنه هو: ${\frac {2e}{\sqrt {2\pi }}}=2.16887\ldots$ ${\frac {2e}{\sqrt {2\pi }}}=2.16887\ldots$ (Lanier & Trotoux, 1998), ص 237.
- بايز، توماس (31 ديسمبر 1763). "رسالة من المرحوم القس السيد بايز، زميل الجمعية الملكية، إلى جون كانتون، الحاصل على درجة الماجستير وزميل الجمعية الملكية". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . 53 : 269-271 . doi : 10.1098/rstl.1763.0044 . S2CID 186214800 .
^ (دي موافر، 1730)، الصفحات من 170 إلى 172.
^
في رسالة ستيرلينغ بتاريخ 19 يونيو 1729 إلى دي موافر، ذكر ستيرلينغ أنه كتب إلى ألكسندر كومينغ “quadrienium circiter abhinc” (منذ حوالي أربع سنوات [أي 1725]) حول (من بين أمور أخرى) تقريب، باستخدام طريقة إسحاق نيوتن للتفاضلات، معامل الحد الأوسط للتوسع ذي الحدين. اعترف ستيرلنغ بأن دي موافر قد حل المشكلة قبل سنوات: " ... ( ... ؛ أجاب هذا الرجل اللامع [ألكسندر كومينغ] بأنه يشك في إمكانية حل المشكلة التي قمت بحلها قبل عدة سنوات، والمتعلقة بسلوك الحد الأوسط لأي قوة من ذات الحدين، عن طريق التفاضلات.) كتب ستيرلينغ أنه بدأ حينها في دراسة المشكلة، لكن تقدمه كان بطيئًا في البداية.
- (دي مويفر، 1730)، ص 170.
- زابيل، إس إل (2005). التناظر ومساوئه: مقالات في تاريخ الاحتمال الاستقرائي . مدينة نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 113. ISBN 9780521444705.
↑
انظر:
- ستيرلينغ، جيمس (1730). المنهج التفاضلي … (باللاتينية). لندن: ج. ستراهان. ص. 137. من ص. 137: "Ceterum si velis summam quotcunque Logarithmorum numerorum Naturalam 1, 2, 3, 4, 5, &c. pone z–n esse ultimum numerorum, موجود n = ½ ; & tres vel quatuor Termini hujus Seriei $zl,z-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}$ [ملحوظة: l,z = log(z)] إضافة إلى محيط اللوغاريتم الذي يدور حول نصف القطر، المعرف هو 0.39908.99341.79 أمر صعب للغاية، لا يهم إذا كان هناك الكثير من اللوغاريتمات هي مجموع." (علاوة على ذلك، إذا كنت تريد مجموع اللوغاريتمات العديدة لـ الأعداد الطبيعية 1، 2، 3، 4، 5، وما إلى ذلك، حدد z-n ليكون الرقم الأخير، n هو ½ وثلاثة أو أربعة حدود من هذه السلسلة $z\log(z)-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}$ إضافة إلى نصف لوغاريتم محيط دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا (أي ½ log(2π $)$ ) - أي إضافة إلى هذا: 0.39908.99341.79 - سيعطي المجموع المطلوب، وكلما زاد عدد اللوغاريتمات المراد إضافتها، قلّ الجهد المطلوب. ملاحظة: $a=0.434294481903252$ (انظر الصفحة 135.) = 1/ln(10).
- الترجمة الإنجليزية: ستيرلنغ، جيمس (1749). الطريقة التفاضلية . ترجمة هوليداي، فرانسيس. لندن، إنجلترا: إي. كيف. ص 121. [ملاحظة: قام الطابع بترقيم صفحات هذا الكتاب بشكل خاطئ، لذا فإن الصفحة 125 مرقمة بـ "121"، والصفحة 126 بـ "122"، وهكذا حتى الصفحة 129.]
↑
انظر:
- أرشيبالد، آر سي (أكتوبر 1926). "كتيب نادر عن موافر وبعض اكتشافاته". إيزيس (باللغتين الإنجليزية واللاتينية). 8 (4): 671-683 . doi : 10.1086/358439 . S2CID 143827655 .
- تظهر ترجمة إنجليزية للكتيب في: مويفر، أبراهام دي (1738). مذهب الصدف... ( الطبعة الثانية). لندن، إنجلترا: منشور ذاتيًا. الصفحات 235-243 .

مراجع

انظر Miscellanea Analytica لدي موافر (لندن: 1730) ص 26-42.
إتش جيه آر موراي ، 1913. تاريخ الشطرنج . مطبعة جامعة أكسفورد: ص 846.
شنايدر، آي.، 2005، "مذهب الاحتمالات" في غراتان-غينيس، آي .، محرر، كتابات بارزة في الرياضيات الغربية . إلسيفير: ص 105-120

للمزيد من القراءة

"دي موافر، أبراهام" . مؤرشف من الأصل في 19 ديسمبر 2007. تم الاطلاع عليه في 15 يونيو 2002 .
"إبراهيم ديمويفر" . الموسوعة البريطانية . المجلد. السابع ( الطبعة التاسعة). 1878. ص. 60.
نظرية الصدفة في موقع MathPages.
سيرة ذاتية (PDF) ، سيرة ماثيو ماتي عن أبراهام دي مويفر، مترجمة ومُعلّقة ومُوسّعة .
دي موافر، في قانون الاحتمال الطبيعي

[mactutor-1] 1 2 3 أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف ، "أبراهام دي موافر" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز

[2] بيلهاوس، ديفيد ر. (2011). أبراهام دي موافر: تمهيد الطريق للاحتمالات الكلاسيكية وتطبيقاتها . لندن: تايلور وفرانسيس. ص 99. ISBN 978-1-56881-349-3.

[3] كوفلين، ريموند ف.؛ زيتاريلي، ديفيد إي. (1984). صعود الرياضيات . ماكجرو هيل. ص 437. ISBN 0-07-013215-1لسوء الحظ ، ولأنه لم يكن بريطانيًا، لم يتمكن دي مويفر أبدًا من الحصول على وظيفة تدريس جامعية

[4] يونغنيكل، كريستا ؛ ماكورماك، راسل (1996). كافنديش . مذكرات الجمعية الفلسفية الأمريكية. المجلد 220. الجمعية الفلسفية الأمريكية. ص 52. ISBN 9780871692207على الرغم من علاقاته الواسعة في الأوساط الرياضية وتقديره الكبير لعمله، إلا أنه لم يتمكن من الحصول على وظيفة جيدة. حتى اعتناقه كنيسة إنجلترا عام 1705 لم يغير من حقيقة كونه أجنبيًا.

[5] تانتون، جيمس ستيوارت (2005). موسوعة الرياضيات . قاعدة المعلومات للنشر. ص. 122. ردمك 9780816051243كان يأمل في الحصول على وظيفة في هيئة التدريس في الرياضيات ، ولكن لكونه أجنبياً، لم يُعرض عليه مثل هذا التعيين.

[Cajori-History-6] كاجوري، فلوريان (1991). تاريخ الرياضيات ( الطبعة الخامسة). الجمعية الأمريكية للرياضيات . ص 229. ISBN 9780821821022.

[hsmstex-7] "التفاصيل البيوغرافية - هل تنبأ أبراهام دي مويفر بموته حقًا؟" .

[8] انظر:
أبراهام دي موافر (12 نوفمبر 1733) "Approximatio ad summam terminorum binomii (a+b) ⁿ in seriem expansi" (كتيب منشور ذاتيًا)، 7 صفحات.
الترجمة الإنجليزية: أ. دي مويفر، مذهب الاحتمالات … ، الطبعة الثانية (لندن، إنجلترا: هـ. وودفول، 1738)، ص 235-243 .

[mwAag] أبراهام دي موافر (12 نوفمبر 1733) "Approximatio ad summam terminorum binomii (a+b) ⁿ in seriem expansi" (كتيب منشور ذاتيًا)، 7 صفحات.

[mwAao] الترجمة الإنجليزية: أ. دي مويفر، مذهب الاحتمالات … ، الطبعة الثانية (لندن، إنجلترا: هـ. وودفول، 1738)، ص 235-243 .

[9] بيرسون، كارل (1924). "ملاحظة تاريخية حول أصل منحنى الأخطاء الطبيعي". Biometrika . 16 ( 3-4 ): 402-404 . doi : 10.1093/biomet/16.3-4.402 .

[JKK157-10] جونسون، ن. ل.، كوتز، س.، كيمب، أ. و. (1993) التوزيعات المنفصلة أحادية المتغير (الطبعة الثانية). وايلي. ISBN 0-471-54897-9، ص157

[11] ستيجلر، ستيفن م. (1982). "بواسون على توزيع بواسون". رسائل الإحصاء والاحتمالات . 1 : 33-35 . doi : 10.1016/0167-7152(82)90010-4 .

[12] هالد ، أندرس. دي موافر، إبراهيم؛ مكلينتوك، بروس (1984). "أ. دي موافر: "De Mensura Sortis" أو "في قياس الصدفة"". المراجعة الإحصائية الدولية / Revue Internationale de Statistique . 1984 (3): 229-262 . JSTOR 1403045 .

[13] موافر ، أب. دي (1707). "Aequationum quarundam Potestatis tertiae, quintae, septimae, noae, &superum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar Regularum pro cubeis quae vocantur Cardani, resolutio analytica" [ من معادلات معينة للقوة الثالثة والخامسة والسابعة والتاسعة والأعلى، وصولاً إلى ما لا نهاية، من خلال المتابعة، في حدود محدودة مصطلحات، على شكل قواعد للمكعبات التي يطلق عليها كاردانو، الحل بالتحليل. ] . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن (باللاتينية). 25 (309): 2368–2371 . دوى : 10.1098/rstl.1706.0037 . S2CID 186209627 .
الترجمة الإنجليزية من إعداد ريتشارد ج. بولسكامب (2009)
ذكر دي مويفر في الصفحة 2370 أنه إذا كانت السلسلة على شكل $ny+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}ny^{3}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}ny^{5}+{\tfrac {1-nn}{2\times 3}}{\tfrac {9-nn}{4\times 5}}{\tfrac {25-ن}{6\مرات 7}}نيويورك^{7}+\cdots =a$ ، حيث n هو أي عدد صحيح فردي معطى (موجب أو سالب) وحيث يمكن أن تكون y و a دالتين، فعند حل المعادلة لإيجاد قيمة y ، تكون النتيجة هي المعادلة (2) في نفس الصفحة: $y={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a+{\sqrt {aa-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{a-{\sqrt {aa-1}}}}$ إذا كان y = cos x و a = cos nx، فإن النتيجة هي $\cos x={\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n}$
في عام 1676، اكتشف إسحاق نيوتن العلاقة بين وترين بنسبة n إلى 1؛ تم التعبير عن العلاقة من خلال السلسلة أعلاه. تظهر السلسلة في رسالة - Epistola pre D. Issaci Newton، Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi؛ … — بتاريخ 13 يونيو 1676 من إسحاق نيوتن إلى هنري أولدنبورغ، سكرتير الجمعية الملكية؛ تم إرسال نسخة من الرسالة إلى جوتفريد فيلهلم لايبنتز . انظر ص. 106 من: بيوت، ج.-ب.؛ ليفورت، ف.، محرران. (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota، إلخ: ou … (باللاتينية). باريس، فرنسا: ماليت-باشيلييه. ص 102 – 112.
في عام ١٦٩٨، استنتج دي مويفر نفس المتسلسلة. انظر: دي مويفر، أ. (١٦٩٨). "طريقة لاستخراج جذور معادلة لانهائية" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . ٢٠ (٢٤٠): ١٩٠-١٩٣ . doi : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . انظر الصفحة 192.
في عام 1730، نظر دي موافر بوضوح في الحالة التي تكون فيها الدوال cos θ وcos nθ. انظر: Moivre، A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (باللاتينية). لندن، إنجلترا: جيه.تونسون وجي.واتس. ص. 1. من ص. 1: "يقول 1. إذا كان l & x cosinus arcuum duorum A & B، وصف النصاب القانوني لراديو odem 1، النصاب السابق لتعدد الإرسال اللاحق في كل حصة من العدد n إلى الوحدة، tunc erit $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ " (إذا كان l و x هما جيب تمام قوسين A و B، وكلاهما موصوف بنفس نصف القطر 1، وكان الأول مضاعفًا للثاني بنفس النسبة التي يكون بها العدد n إلى 1، فسيكون [صحيحًا أن] $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ إذا كان طول القوس A يساوي n × طول القوس B، فإن l = cos A = cos nB و x = cos B. $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$
انظر أيضاً:
كانتور، موريتز (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ محاضرات عن تاريخ الرياضيات ] . مكتبة الرياضيات Teuberiana، Bd. 8-9 (باللغة الألمانية). المجلد. 3. لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر. ص. 624.
براونمول، أ. فون (1901). "Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes" [ في تاريخ أصل ما يسمى بنظرية Moivre ] . مكتبة الرياضيات . السلسلة الثالثة (باللغة الألمانية). 2 : 97 - 102.انظر الصفحة 98.

[mwAek] الترجمة الإنجليزية من إعداد ريتشارد ج. بولسكامب (2009)

[mwAsw] في عام 1676، اكتشف إسحاق نيوتن العلاقة بين وترين بنسبة n إلى 1؛ تم التعبير عن العلاقة من خلال السلسلة أعلاه. تظهر السلسلة في رسالة - Epistola pre D. Issaci Newton، Mathescos Professoris in Celeberrima Academia Cantabrigiensi؛ … — بتاريخ 13 يونيو 1676 من إسحاق نيوتن إلى هنري أولدنبورغ، سكرتير الجمعية الملكية؛ تم إرسال نسخة من الرسالة إلى جوتفريد فيلهلم لايبنتز . انظر ص. 106 من: بيوت، ج.-ب.؛ ليفورت، ف.، محرران. (1856). Commercium epistolicum J. Collins et aliorum de analysi promota، إلخ: ou … (باللاتينية). باريس، فرنسا: ماليت-باشيلييه. ص 102 – 112.

[mwAtc] في عام ١٦٩٨، استنتج دي مويفر نفس المتسلسلة. انظر: دي مويفر، أ. (١٦٩٨). "طريقة لاستخراج جذور معادلة لانهائية" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . ٢٠ (٢٤٠): ١٩٠-١٩٣ . doi : 10.1098/rstl.1698.0034 . S2CID 186214144 . انظر الصفحة 192.

[mwAuQ] في عام 1730، نظر دي موافر بوضوح في الحالة التي تكون فيها الدوال cos θ وcos nθ. انظر: Moivre، A. de (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis (باللاتينية). لندن، إنجلترا: جيه.تونسون وجي.واتس. ص. 1. من ص. 1: "يقول 1. إذا كان l & x cosinus arcuum duorum A & B، وصف النصاب القانوني لراديو odem 1، النصاب السابق لتعدد الإرسال اللاحق في كل حصة من العدد n إلى الوحدة، tunc erit $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ " (إذا كان l و x هما جيب تمام قوسين A و B، وكلاهما موصوف بنفس نصف القطر 1، وكان الأول مضاعفًا للثاني بنفس النسبة التي يكون بها العدد n إلى 1، فسيكون [صحيحًا أن] $x={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{\sqrt[{n}]{l+{\sqrt {ll-1}}}}}$ إذا كان طول القوس A يساوي n × طول القوس B، فإن l = cos A = cos nB و x = cos B. $\cos B={\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{1/n}+{\tfrac {1}{2}}(\cos(nB)+{\sqrt {-1}}\sin(nB))^{-1/n}$

[mwA5s] كانتور، موريتز (1898). Vorlesungen über Geschichte der Mathematik [ محاضرات عن تاريخ الرياضيات ] . مكتبة الرياضيات Teuberiana، Bd. 8-9 (باللغة الألمانية). المجلد. 3. لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر. ص. 624.

[mwA6Y] براونمول، أ. فون (1901). "Zur Geschichte der Entstehung des sogenannten Moivreschen Satzes" [ في تاريخ أصل ما يسمى بنظرية Moivre ] . مكتبة الرياضيات . السلسلة الثالثة (باللغة الألمانية). 2 : 97 - 102.انظر الصفحة 98.

[14] سميث، ديفيد يوجين (1984) [1959]، كتاب مصادر في الرياضيات، المجلد 3 ، منشورات كوريير دوفر، ص 444، رقم ISBN 9780486646909

[15] مويفر، أ. دي (1722). "De sectione anguli" [ فيما يتعلق بتقسيم الزاوية ] . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن (باللاتينية). 32 (374): 228–230 . doi : 10.1098/rstl.1722.0039 . S2CID 186210081. تاريخ الاسترجاع: 6 يونيو 2020 .
ترجمة إنجليزية لريتشارد ج. بولسكامب (2009). مؤرشفة في 28 نوفمبر 2020 على موقع Wayback Machine.
من ص. 229: "الجلوس x الجيوب الأنفية مقابل القوس cujuslibert. [الجلوس] t الجيوب الأنفية مقابل القوس البديل. [الجلوس] 1 نصف قطر دائري. Sitque القوس قبل الإعلان الخلفي ut 1 ad n ، tunc، assumptis binis aequationibus quas cognatas appelare licet، 1 – 2 z ⁿ + z ^{2 n} = – 2 z ⁿ t 1 – 2 z + zz = – 2 zx . (لنفترض أن x هو جيب تمام أي قوس [أي x = 1 – cos θ]. ولنفترض أن t هو جيب تمام قوس آخر. ولنفترض أن 1 هو نصف قطر الدائرة. ولنفترض أن نسبة القوس الأول إلى القوس الثاني [أي "قوس آخر"] هي 1 إلى n [بحيث t = 1 – cos nθ ]، عندئذٍ، بافتراض المعادلتين اللتين يمكن تسميتهما مرتبطتين، 1 – 2 z ⁿ + z ²ⁿ = –2 z ⁿ t 1 – 2 z + zz = – 2 zx . وبحذف z ، نحصل على المعادلة التي تحدد العلاقة بين x و t .) أي، بمعلومية المعادلتين 1 – 2 z ⁿ + z ²ⁿ = – 2 z ⁿ (1 – cos n θ) 1 – 2 z + zz = – 2 z (1 – cos θ)، استخدم باستخدام الصيغة التربيعية، نحل المعادلة الأولى لإيجاد قيمة z<sub> ⁿ </sub>، والمعادلة الثانية لإيجاد قيمة z . ستكون النتيجة: z ^<sub>n </sub> = cos<sub> n</sub> θ ± i sin<sub> n</sub> θ و z = cos<sub>n</sub>θ ± i sin<sub>n</sub>θ، ومن ثمّ نستنتج مباشرةً أن (cos<sub>n</sub>θ ± i sin<sub>n</sub>θ)<sub> ^n</sub> = cos<sub> n</sub> θ ± i sin<sub> n</sub> θ. انظر أيضًا:
سميث، ديفيد يوجين (1959). كتاب مرجعي في الرياضيات . المجلد 2. مدينة نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: منشورات دوفر. الصفحات 444-446 . انظر الصفحة 445، الحاشية 1.

[mwA9A] ترجمة إنجليزية لريتشارد ج. بولسكامب (2009). مؤرشفة في 28 نوفمبر 2020 على موقع Wayback Machine.

[mwBDI] سميث، ديفيد يوجين (1959). كتاب مرجعي في الرياضيات . المجلد 2. مدينة نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: منشورات دوفر. الصفحات 444-446 . انظر الصفحة 445، الحاشية 1.

[16] في عام 1738، استخدم دي موافر علم المثلثات لتحديد الجذور النونية لعدد حقيقي أو مركب. انظر: Moivre، A. de (1738). "من خلال تقليل الجذور إلى مصطلحات بسيطة، فإن هذه البيانات الجذرية الإضافية من ذات الحدين $a+{\sqrt {+b}}$ ، فيل $a+{\sqrt {-b}}$ «إبستولا» [ حول اختزال الجذور إلى مصطلحات أبسط، أو حول استخراج أي جذر معين من ذات الحدين، $a+{\sqrt {+b}}$ أو $a+{\sqrt {-b}}$ رسالة. ] . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن (باللاتينية). 40 (451): 463– 478. doi : 10.1098/rstl.1737.0081 . S2CID 186210174 . من ص. 475: "المشكلة الثالثة. اجلس على أساس إضافي، مؤشر cujus est n، ex binomio impossibli $a+{\sqrt {-b}}$ . ... illos autem negativos quorum arcus sunt Quadrante Majores." (المشكلة الثالثة. دع الجذر الذي مؤشره [أي الدرجة] n يتم استخلاصه من ذات الحدين المعقدين $a+{\sqrt {-b}}$ الحل. ليكن جذرها $x+{\sqrt {-y}}$ ثم أقوم بتعريف ${\sqrt[{n}]{aa+b}}=m$ وأنا أيضاً أعرّف ${\tfrac {n+1}{n}}=p$ [ملاحظة: يجب أن تُقرأ كالتالي: ${\tfrac {n+1}{2}}=p$ ارسم أو تخيل دائرة نصف قطرها ${\sqrt {m}}$ ولنفترض في هذه الدائرة قوسًا ما A يكون جيب تمامه ${\tfrac {a}{{m}^{p}}}$ لنفترض أن C هي محيط الدائرة بالكامل. ولنفترض أن جيوب تمام الأقواس، المقاسة عند نفس نصف القطر، هي ${\tfrac {A}{n}},{\tfrac {CA}{n}},{\tfrac {C+A}{n}},{\tfrac {2C-A}{n}},{\tfrac {2C+A}{n}},{\tfrac {3C-A}{n}},{\tfrac {3C+A}{n}}$ وهكذا حتى يصبح عددها مساويًا للعدد ن؛ وعندها نتوقف؛ عندها سيكون عدد جيب التمام مساويًا لقيم الكمية $x$ وهو ما يرتبط بالكمية $y$ هذا [أي، $y$ ] سيكون دائمًا $m-xx$ لا ينبغي إغفال، على الرغم مما سبق ذكره، أن جيوب التمام التي تكون أقواسها أقل من زاوية قائمة يجب اعتبارها موجبة، بينما تلك التي تكون أقواسها أكبر من زاوية قائمة يجب اعتبارها سالبة. انظر أيضًا :
براونمول، أ. فون (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ محاضرات عن تاريخ علم المثلثات ] (باللغة الألمانية). المجلد. 2. لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر. ص 76 – 77.

[mwBXQ] براونمول، أ. فون (1903). Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie [ محاضرات عن تاريخ علم المثلثات ] (باللغة الألمانية). المجلد. 2. لايبزيغ، ألمانيا: بي جي تيوبنر. ص 76 – 77.

[17] أويلر (1749). "Recherches sur les racines imaginaires des Equations" [ تحقيقات في الجذور المعقدة للمعادلات ] . مذكرات أكاديمية العلوم في برلين (بالفرنسية). 5 : 222 - 288. انظر الصفحات 260–261: " النظرية XIII. §. 70. من بين العديد من القوى التي يمكن إضافتها إلى الجذر، أو الكمية الحقيقية، أو تخيل الشكل M + N √−1، فإن الجذور ستكون دائمًا، أو حقيقية، أو تخيلات من نفس الشكل M + N √−1 " (النظرية XIII. §. 70. لأي قوة، سواء كانت كمية حقيقية أو معقدة [واحدة] من النموذج M + N √−1، والتي يستخرج منها الجذر، ستكون الجذور دائمًا إما حقيقية أو معقدة بنفس الصورة M + N √−1.)

[18] كان دي مويفر يحاول تحديد معامل الحد الأوسط للمتتالية (1 + 1)^ⁿ لقيم n الكبيرةمنذ عام 1721 أو قبل ذلك. في كُتيبه الصادر في 12 نوفمبر 1733 بعنوان "Approximatio ad Summam Terminorum Binomii ( a + b )^ⁿ in Seriem expansi" [تقريب مجموع حدود ذات الحدين ( a + b )^ⁿ المفكوكة في متسلسلة]، ذكر دي مويفر أنه بدأ العمل على هذه المسألة منذ 12 عامًا أو أكثر: "Duodecim jam sunt anni & amplius cum illud inveneram; …" (لقد مرّ الآن 12 عامًا أو أكثر منذ أن توصلت إلى هذا [أي ما يلي]؛ …).
(أرشيبالد، 1926)، ص 677.
(دي مويفر، 1738)، ص 235.
نسب دي مويفر الفضل إلى ألكسندر كومينغ (حوالي 1690 - 1775)، وهو أرستقراطي اسكتلندي وعضو في الجمعية الملكية بلندن، في تحفيز بحثه عام 1721 لإيجاد تقريب للحد المركزي لتوسيع ذي الحدين. (دي مويفر، 1730)، ص 99.

[mwBas] (أرشيبالد، 1926)، ص 677.

[mwBaw] (دي مويفر، 1738)، ص 235.

[19] تم عرض أدوار دي مويفر وستيرلنغ في إيجاد تقريب ستيرلنغ في:
جيليناس، جاك (24 يناير 2017) "براهين أصلية لمتسلسلة ستيرلنغ لـ log ( N !)" arxiv.org
لانيير، دينيس. تروتو، ديدييه (1998). "La formule de Stirling" [صيغة ستيرلنغ] لجنة inter-IREM histoire et épistémologie des mathématiques (ed.). تحليل ومحاولة تحليلية : les neveux de Descartes : actes du XIème Colloque inter-IREM d'épistémologie et d'histoire des mathématiques، ريمس، 10 و11 ماي 1996 [التحليل والتفكير التحليلي: "أبناء إخوة" ديكارت: وقائع الدورة الحادية عشرة بين IREM ندوة حول نظرية المعرفة وتاريخ الرياضيات، ريمس، 10-11 مايو 1996] (بالفرنسية). ريمس، فرنسا: IREM [Institut de Rercherche sur l'Enseignement des Mathématiques] في ريمس. ص 231-286.

[mwBbE] جيليناس، جاك (24 يناير 2017) "براهين أصلية لمتسلسلة ستيرلنغ لـ log ( N !)" arxiv.org

[mwBbQ] لانيير، دينيس. تروتو، ديدييه (1998). "La formule de Stirling" [صيغة ستيرلنغ] لجنة inter-IREM histoire et épistémologie des mathématiques (ed.). تحليل ومحاولة تحليلية : les neveux de Descartes : actes du XIème Colloque inter-IREM d'épistémologie et d'histoire des mathématiques، ريمس، 10 و11 ماي 1996 [التحليل والتفكير التحليلي: "أبناء إخوة" ديكارت: وقائع الدورة الحادية عشرة بين IREM ندوة حول نظرية المعرفة وتاريخ الرياضيات، ريمس، 10-11 مايو 1996] (بالفرنسية). ريمس، فرنسا: IREM [Institut de Rercherche sur l'Enseignement des Mathématiques] في ريمس. ص 231-286.

[20] موافر ، أ. دي (1730). Miscellanea Analytica de Seriebus et Quadraturis [ مجموعة تحليلية متنوعة من المتسلسلات والتربيعات [أي التكاملات] ] . لندن، إنجلترا: جيه.تونسون وجي.واتس. ص 103 – 104.

[21] من الصفحة 102 من (دي مويفر، 1730) : "المسألة الثالثة: إيجاد معامل الحد الأوسط [في مفكوك ذات الحدين] لقوة كبيرة وزوجية [ن]، أو إيجاد النسبة بين معامل الحد الأوسط ومجموع جميع المعاملات. ... إلى 1 تقريبًا." (المسألة 3. أوجد معامل الحد الأوسط [في مفكوك ذات الحدين] لقوة كبيرة جدًا وزوجية [ ن ]، أو أوجد النسبة بين معامل الحد الأوسط ومجموع جميع المعاملات. الحل: ليكن ن هو درجة القوة التي رُفعت إليها ذات الحدين أ + ب ، عندئذٍ، بوضع [كلا] أ و ب =1، فإن نسبة الحد الأوسط إلى قوته ( أ + ب )^ن أو 2^ن [ملاحظة: مجموع جميع معاملات مفكوك ذات الحدين لـ (1 + 1)^ن هو 2^ن .] ستكون تقريبًا ${\frac {2(n-1)^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}$ إلى 1. ولكن عندما أمكن تحديد بعض السلاسل المتعلقة باستقصاء ما بدقة أكبر، ولكن تم إهمالها لضيق الوقت، أقوم حينها بإعادة حسابها بالتكامل، وأستعيد لاستخدامها الكميات المحددة التي تم إهمالها سابقًا؛ وهكذا تمكنت أخيرًا من استنتاج أن النسبة المطلوبة تقريبًا ${\frac {2{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}$ أو ${\frac {2{\frac {21}{125}}{(1-{\frac {1}{n}})}^{n}}{\sqrt {n-1}}}$ 1) التقريب ${\frac {{2}{\frac {21}{125}}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{{n}^{n}}}$ مستمد من الصفحات 124-128 من (دي مويفر، 1730).

[22] حدد دي موافر قيمة الثابت $\textstyle 2{\frac {21}{125}}$ عن طريق تقريب قيمة متسلسلة باستخدام حدودها الأربعة الأولى فقط. اعتقد دي مويفر أن المتسلسلة متقاربة، لكن عالم الرياضيات الإنجليزي توماس بايز (حوالي 1701-1761) وجد أنها متباعدة في الواقع. من الصفحتين 127-128 من كتاب (دي مويفر، 1730): "Cum vero perciperem has Series valde implicatas evadere, … conclusi factorem 2.168 seu ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ « (لكن عندما فكرت في كيفية تجنب هذه المتسلسلات المعقدة للغاية - على الرغم من إمكانية جمعها جميعًا بشكل مثالي - أعتقد أنه لم يكن هناك ما يمكن فعله سوى تحويلها إلى حالة اللانهاية؛ وبالتالي، إذا جعلنا m تساوي اللانهاية، فإن مجموع المتسلسلة النسبية الأولى سيُختزل إلى 1/12، ومجموع الثانية إلى 1/360؛ وهكذا يتم الحصول على مجاميع جميع المتسلسلات. من هذه المتسلسلة الواحدة. $\textstyle {\frac {1}{12}}-{\frac {1}{360}}+{\frac {1}{1260}}-{\frac {1}{1680}}$ إلخ، يمكن للمرء حذف أي عدد من الحدود حسب رغبته؛ لكنني قررت الاحتفاظ بأربعة حدود من هذه المتسلسلة، لأنها كانت كافية كتقريب دقيق. عندما تتقارب هذه المتسلسلة، تتناقص حدودها بإشارات موجبة وسالبة بالتناوب، ويمكن استنتاج أن الحد الأول 1/12 أكبر من مجموع المتسلسلة، أو أن الحد الأول أكبر من الفرق بين جميع الحدود الموجبة وجميع الحدود السالبة. لكن يجب اعتبار هذا الحد لوغاريتمًا زائديًا (أي طبيعيًا). علاوة على ذلك، فإن العدد المقابل لهذا اللوغاريتم يقارب 1.0869 (أي ln(1.0869) ≈ 1/12)، والذي إذا ضُرب في 2، يكون الناتج 2.1738، وبالتالي (في حالة رفع ذات حدين) إلى قوة لانهائية، يُرمز لها بـ n ، فإن الكمية $\textstyle {\frac {{2.1738}{(n-1)}^{n-{\frac {1}{2}}}}{n^{n}}}$ سيكون أكبر من نسبة الحد الأوسط في ذات الحدين إلى مجموع جميع الحدود، وبالانتقال إلى الحدود المتبقية، سيتبين أن العامل 2.1676 أصغر بقليل من نسبة الحد الأوسط إلى مجموع جميع الحدود، وبالمثل فإن 2.1695 أكبر، وبالتالي فإن 2.1682 أقل بقليل من القيمة الحقيقية للنسبة؛ وبناءً على ذلك، استنتجت أن العامل هو 2.168 أو ${\textstyle 2{\frac {21}{125}},\ldots }$ ملاحظة: العامل الذي كان دي مويفر يبحث عنه هو: ${\frac {2e}{\sqrt {2\pi }}}=2.16887\ldots$ (Lanier & Trotoux, 1998), ص 237.
بايز، توماس (31 ديسمبر 1763). "رسالة من المرحوم القس السيد بايز، زميل الجمعية الملكية، إلى جون كانتون، الحاصل على درجة الماجستير وزميل الجمعية الملكية". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . 53 : 269-271 . doi : 10.1098/rstl.1763.0044 . S2CID 186214800 .

[mwBuo] بايز، توماس (31 ديسمبر 1763). "رسالة من المرحوم القس السيد بايز، زميل الجمعية الملكية، إلى جون كانتون، الحاصل على درجة الماجستير وزميل الجمعية الملكية". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . 53 : 269-271 . doi : 10.1098/rstl.1763.0044 . S2CID 186214800 .

[23] (دي موافر، 1730)، الصفحات من 170 إلى 172.

[24] في رسالة ستيرلينغ بتاريخ 19 يونيو 1729 إلى دي موافر، ذكر ستيرلينغ أنه كتب إلى ألكسندر كومينغ “quadrienium circiter abhinc” (منذ حوالي أربع سنوات [أي 1725]) حول (من بين أمور أخرى) تقريب، باستخدام طريقة إسحاق نيوتن للتفاضلات، معامل الحد الأوسط للتوسع ذي الحدين. اعترف ستيرلنغ بأن دي موافر قد حل المشكلة قبل سنوات: " ... ( ... ؛ أجاب هذا الرجل اللامع [ألكسندر كومينغ] بأنه يشك في إمكانية حل المشكلة التي قمت بحلها قبل عدة سنوات، والمتعلقة بسلوك الحد الأوسط لأي قوة من ذات الحدين، عن طريق التفاضلات.) كتب ستيرلينغ أنه بدأ حينها في دراسة المشكلة، لكن تقدمه كان بطيئًا في البداية.
(دي مويفر، 1730)، ص 170.
زابيل، إس إل (2005). التناظر ومساوئه: مقالات في تاريخ الاحتمال الاستقرائي . مدينة نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 113. ISBN 9780521444705.

[mwBwA] (دي مويفر، 1730)، ص 170.

[mwBwE] زابيل، إس إل (2005). التناظر ومساوئه: مقالات في تاريخ الاحتمال الاستقرائي . مدينة نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 113. ISBN 9780521444705.

[25] انظر:
ستيرلينغ، جيمس (1730). المنهج التفاضلي … (باللاتينية). لندن: ج. ستراهان. ص. 137. من ص. 137: "Ceterum si velis summam quotcunque Logarithmorum numerorum Naturalam 1, 2, 3, 4, 5, &c. pone z–n esse ultimum numerorum, موجود n = ½ ; & tres vel quatuor Termini hujus Seriei $zl,z-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}$ [ملحوظة: l,z = log(z)] إضافة إلى محيط اللوغاريتم الذي يدور حول نصف القطر، المعرف هو 0.39908.99341.79 أمر صعب للغاية، لا يهم إذا كان هناك الكثير من اللوغاريتمات هي مجموع." (علاوة على ذلك، إذا كنت تريد مجموع اللوغاريتمات العديدة لـ الأعداد الطبيعية 1، 2، 3، 4، 5، وما إلى ذلك، حدد z-n ليكون الرقم الأخير، n هو ½ وثلاثة أو أربعة حدود من هذه السلسلة $z\log(z)-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}$ إضافة إلى نصف لوغاريتم محيط دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا (أي ½ log(2π $)$ ) - أي إضافة إلى هذا: 0.39908.99341.79 - سيعطي المجموع المطلوب، وكلما زاد عدد اللوغاريتمات المراد إضافتها، قلّ الجهد المطلوب. ملاحظة: $a=0.434294481903252$ (انظر الصفحة 135.) = 1/ln(10).
الترجمة الإنجليزية: ستيرلنغ، جيمس (1749). الطريقة التفاضلية . ترجمة هوليداي، فرانسيس. لندن، إنجلترا: إي. كيف. ص 121. [ملاحظة: قام الطابع بترقيم صفحات هذا الكتاب بشكل خاطئ، لذا فإن الصفحة 125 مرقمة بـ "121"، والصفحة 126 بـ "122"، وهكذا حتى الصفحة 129.]

[mwBw8] ستيرلينغ، جيمس (1730). المنهج التفاضلي … (باللاتينية). لندن: ج. ستراهان. ص. 137. من ص. 137: "Ceterum si velis summam quotcunque Logarithmorum numerorum Naturalam 1, 2, 3, 4, 5, &c. pone z–n esse ultimum numerorum, موجود n = ½ ; & tres vel quatuor Termini hujus Seriei $zl,z-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}$ [ملحوظة: l,z = log(z)] إضافة إلى محيط اللوغاريتم الذي يدور حول نصف القطر، المعرف هو 0.39908.99341.79 أمر صعب للغاية، لا يهم إذا كان هناك الكثير من اللوغاريتمات هي مجموع." (علاوة على ذلك، إذا كنت تريد مجموع اللوغاريتمات العديدة لـ الأعداد الطبيعية 1، 2، 3، 4، 5، وما إلى ذلك، حدد z-n ليكون الرقم الأخير، n هو ½ وثلاثة أو أربعة حدود من هذه السلسلة $z\log(z)-az-{\frac {a}{24z}}+{\frac {7a}{2880z^{3}}}-{}$ إضافة إلى نصف لوغاريتم محيط دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا (أي ½ log(2π $)$ ) - أي إضافة إلى هذا: 0.39908.99341.79 - سيعطي المجموع المطلوب، وكلما زاد عدد اللوغاريتمات المراد إضافتها، قلّ الجهد المطلوب. ملاحظة: $a=0.434294481903252$ (انظر الصفحة 135.) = 1/ln(10).

[mwB3E] الترجمة الإنجليزية: ستيرلنغ، جيمس (1749). الطريقة التفاضلية . ترجمة هوليداي، فرانسيس. لندن، إنجلترا: إي. كيف. ص 121. [ملاحظة: قام الطابع بترقيم صفحات هذا الكتاب بشكل خاطئ، لذا فإن الصفحة 125 مرقمة بـ "121"، والصفحة 126 بـ "122"، وهكذا حتى الصفحة 129.]

[26] انظر:
أرشيبالد، آر سي (أكتوبر 1926). "كتيب نادر عن موافر وبعض اكتشافاته". إيزيس (باللغتين الإنجليزية واللاتينية). 8 (4): 671-683 . doi : 10.1086/358439 . S2CID 143827655 .
تظهر ترجمة إنجليزية للكتيب في: مويفر، أبراهام دي (1738). مذهب الصدف... ( الطبعة الثانية). لندن، إنجلترا: منشور ذاتيًا. الصفحات 235-243 .

[mwB3s] أرشيبالد، آر سي (أكتوبر 1926). "كتيب نادر عن موافر وبعض اكتشافاته". إيزيس (باللغتين الإنجليزية واللاتينية). 8 (4): 671-683 . doi : 10.1086/358439 . S2CID 143827655 .

[mwB4c] تظهر ترجمة إنجليزية للكتيب في: مويفر، أبراهام دي (1738). مذهب الصدف... ( الطبعة الثانية). لندن، إنجلترا: منشور ذاتيًا. الصفحات 235-243 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ ٦ ]

[ ٧ ]

[ ٨ ]

[

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[

[

[ 15 ]

[ 16 ]

[ ١٧ ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗