هوية فيرز

في الفيزياء النظرية ، تُعرف متطابقة فيرز بأنها متطابقة تسمح بإعادة كتابة الدوال الثنائية الخطية لحاصل ضرب اثنين من السبينورات كمزيج خطي من حاصل ضرب الدوال الثنائية الخطية للسبينورات الفردية. سُميت هذه المتطابقة نسبةً إلى الفيزيائي السويسري ماركوس فيرز . وتُعرف متطابقات فيرز أحيانًا باسم متطابقات فيرز-باولي-كوفينك ، حيث وصف باولي وكوفينك آلية عامة لإنتاج مثل هذه المتطابقات.

توجد صيغة لمتطابقات فيرز لسبينورات ديراك ، وصيغة أخرى لسبينورات فايل . كما توجد صيغ لأبعاد أخرى غير الأبعاد الثلاثة الأولى (3+1). تُعدّ ثنائيات السبينورات في أي بُعد عناصر من جبر كليفورد ؛ ويمكن الحصول على متطابقات فيرز بالتعبير عن جبر كليفورد كحاصل قسمة على الجبر الخارجي .

عند العمل في أربعة أبعاد للزمكان، يكون المتجه الثنائي${\displaystyle \psi {\bar {\chi }}}$يمكن تحليلها بدلالة مصفوفات ديراك التي تمتد عبر الفضاء:

${\displaystyle \psi {\bar {\chi }}={\frac {1}{4}}(c_{S}\mathbb {1} +c_{V}^{\mu }\gamma _{\mu }+c_{T}^{\mu \nu }T_{\mu \nu }+c_{A}^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma _{5}+c_{P}\gamma _{5})}$.

المعاملات هي

${\displaystyle c_{S}=({\bar {\chi }}\psi ),\quad c_{V}^{\mu }=({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi ),\quad c_{T}^{\mu \nu }=-({\bar {\chi }}T^{\mu \nu }\psi ),\quad c_{A}^{\mu }=-({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\psi ),\quad c_{P}=({\bar {\chi }}\gamma _{5}\psi )}$

ويتم تحديدها عادةً باستخدام تعامد الأساس تحت عملية الأثر . وبوضع التفكيك المذكور أعلاه بين بنيتي غاما المطلوبتين، يمكن كتابة متطابقات انكماش ثنائيات ديراك الخطية من النوع نفسه بمعاملات وفقًا للجدول التالي.

منتج	S	V	تي	أ	P
S × S =	1/4	1/4	-1/4	-1/4	1/4
V × V =	1	-1/2	0	-1/2	-1
T × T =	-3/2	0	-1/2	0	-3/2
أ × أ =	-1	-1/2	0	-1/2	1
P × P =	1/4	-1/4	-1/4	1/4	1/4

أين

${\displaystyle S={\bar {\chi }}\psi ,\quad V={\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi ,\quad T={\bar {\chi }}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]\psi /2{\sqrt {2}},\quad A={\bar {\chi }}\gamma _ {5}\gamma ^{\mu}\psi ,\quad P={\bar {\chi}}\gamma _{5}\psi .}$

الجدول متناظر بالنسبة للانعكاس حول العنصر المركزي. تتوافق الإشارات في الجدول مع حالة السبينورات التبادلية ، وإلا، كما هو الحال مع الفرميونات في الفيزياء، تتغير إشارات جميع المعاملات .

على سبيل المثال، بافتراض أن السبينورات تبادلية، يمكن توسيع حاصل ضرب V × V على النحو التالي:

$\displaystyle \left(\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)\left(\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\chi \right)=\left(\bar {\chi }}\chi \right)\left(\bar {\psi }}\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left(\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\chi \right)\left(\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi \right)-{\frac {1}{2}}\left(\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\gamma _{5}\chi \right)\left(\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\gamma _{5}\psi \right)-\left({\bar {\chi }}\gamma _{5}\chi \right)\left({\bar {\psi }}\gamma _{5}\psi \right)~.}$

تتحول تركيبات الدوال الثنائية الخطية الموافقة للمتجهات الذاتية للمصفوفة المنقولة إلى نفس التركيبات بقيم ذاتية ±1. على سبيل المثال، بالنسبة للسبينورات التبادلية، V×V + A×A ،

${\displaystyle ({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\psi )({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\chi )+({\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\psi )({\bar {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\chi )=-(~({\bar {\chi }}\gamma ^{\mu }\chi )({\bar {\psi }}\gamma _{\mu }\psi )+({\bar {\chi }}\gamma _{5}\gamma ^{\mu }\chi )({\bar {\psi }}\gamma _{5}\gamma _{\mu }\psi )~)~.}$

تنشأ التبسيطات عندما تكون السبينورات المدروسة سبينورات ماجورانا ، أو فرميونات كيرالية، حيث يمكن حينها أن تختفي بعض الحدود في المتسلسلة لأسباب تتعلق بالتناظر. على سبيل المثال، بالنسبة للسبينورات المضادة للتبادل هذه المرة، يتبين بسهولة مما سبق أن

${\displaystyle {\bar {\chi }}_{1}\gamma ^{\mu }(1+\gamma _{5})\psi _{2}{\bar {\psi }}_{3}\gamma _{\mu }(1-\gamma _{5})\chi _{4}=-2{\bar {\chi }}_{1}(1-\gamma _{5})\chi _{4}{\bar {\psi }}_{3}(1+\gamma _{5})\psi _{2}.}$

• يمكن إيجاد اشتقاق للهويات اللازمة لإعادة كتابة أي انكماش قياسي للدوال الثنائية الخطية لديراك في 29.3.4 من كتاب إل بي أوكون (1980). اللبتونات والكواركات . دار نشر نورث هولاند. رقم ISBN 978-0-444-86924-1.
• انظر أيضًا الملحق ب.1.2 في كتاب ت. أورتين (2004). الجاذبية والأوتار . مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-82475-0.
• كينيدي، أ.د. (1981). "جبر كليفورد في بُعدين ω". مجلة الفيزياء الرياضية . 22 (7): 1330-1337 . رمز Bibcode : 1981JMP....22.1330K . doi : 10.1063/1.525069 .
• بال، بالاش ب. (2007). "معالجات مستقلة عن التمثيل باستخدام سبينورات ديراك". arXiv : physics/0703214 .