سبينور

في الهندسة والفيزياء، تُعتبر المغزلات (تُلفظ "سبينر" IPA / s p ɪ n ər / ) عناصر فضاء متجه قائم على عدد مركب يمكن ربطه بالفضاء الإقليدي . ^[ب] يتحول المغزل خطيًا عندما يخضع الفضاء الإقليدي لدوران طفيف ( لانهائي في الصغر )، ^[ج] ولكن على عكس المتجهات الهندسية والموترات ، يتحول المغزل إلى سلبيته عندما يدور الفضاء بمقدار 360 درجة (انظر الصورة). يستغرق الأمر دورانًا بمقدار 720 درجة حتى يعود المغزل إلى حالته الأصلية. تميز هذه الخاصية المغزلات: يمكن اعتبار المغزلات "جذورًا مربعة" للمتجهات (على الرغم من أن هذا غير دقيق وقد يكون مضللاً؛ من الأفضل اعتبارها "جذورًا مربعة" لأقسام حزم المتجهات - في حالة حزمة الجبر الخارجية لحزمة ظل التمام ، تصبح بالتالي "جذورًا مربعة" للأشكال التفاضلية ).

من الممكن أيضًا ربط مفهوم مماثل إلى حد كبير للسبنور بمساحة مينكوفسكي ، وفي هذه الحالة تلعب تحويلات لورنتز للنسبية الخاصة دور الدورات. تم تقديم السبينورات في الهندسة بواسطة إيلي كارتان في عام 1913. ^{[1] [د]} في عشرينيات القرن العشرين، اكتشف الفيزيائيون أن السبينورات ضرورية لوصف الزخم الزاوي الجوهري ، أو "الدوران"، للإلكترون والجسيمات دون الذرية الأخرى. ^[هـ]

تتميز الدوارات بالطريقة المحددة التي تتصرف بها تحت الدوران. تتغير بطرق مختلفة لا تعتمد فقط على الدوران النهائي الإجمالي، ولكن على تفاصيل كيفية تحقيق هذا الدوران (من خلال مسار مستمر في مجموعة الدوران ). هناك فئتان يمكن تمييزهما طوبولوجيًا ( فئات التماثل ) للمسارات عبر الدورات التي تؤدي إلى نفس الدوران الإجمالي، كما هو موضح بواسطة لغز خدعة الحزام . هاتان الفئتان غير المتكافئتين تنتجان تحويلات دوارة ذات إشارة معاكسة. مجموعة الدوران هي مجموعة جميع الدورات التي تتبع الفئة. ^[f] إنها تغطي مجموعة الدوران بشكل مزدوج، حيث يمكن الحصول على كل دوران بطريقتين غير متكافئتين كنقطة نهاية لمسار. إن مساحة الدوارات بحكم التعريف مجهزة بتمثيل خطي (معقد) لمجموعة الدوران، مما يعني أن عناصر مجموعة الدوران تعمل كتحويلات خطية على مساحة الدوارات، بطريقة تعتمد حقًا على فئة التماثل. ^{[g] من الناحية الرياضية، يتم وصف الدوارات من خلال} تمثيل إسقاطي مزدوج القيمة لمجموعة الدوران SO(3) .

على الرغم من أنه يمكن تعريف المغزلات على أنها عناصر مساحة تمثيل لمجموعة المغزل (أو جبر لاي الخاص بها للدوران اللامتناهي في الصغر)، إلا أنها تُعرف عادةً على أنها عناصر مساحة متجه تحمل تمثيلًا خطيًا لجبر كليفورد . جبر كليفورد هو جبر ارتباطي يمكن بناؤه من الفضاء الإقليدي وحاصل ضربه الداخلي بطريقة مستقلة عن الأساس. يتم تضمين كل من مجموعة المغزل وجبر لاي الخاص بها داخل جبر كليفورد بطريقة طبيعية، وفي التطبيقات غالبًا ما يكون جبر كليفورد هو الأسهل في العمل معه. ^[ح] تعمل مساحة كليفورد على مساحة المغزل، وعناصر مساحة المغزل هي مغزلات. ^[3] بعد اختيار أساس متعامد للمساحة الإقليدية، يتم إنشاء تمثيل لجبر كليفورد بواسطة مصفوفات جاما ، وهي مصفوفات تلبي مجموعة من علاقات التبديل المضادة الكنسية. المغزلات هي متجهات العمود التي تعمل عليها هذه المصفوفات. في الأبعاد الإقليدية الثلاثة، على سبيل المثال، تكون مصفوفات دوران باولي عبارة عن مجموعة من مصفوفات جاما، ^[i] والمتجهات العمودية المعقدة المكونة من مكونين والتي تعمل عليها هذه المصفوفات هي مصفوفات. ومع ذلك، فإن التمثيل المصفوفي الخاص لجبر كليفورد، وبالتالي ما يشكل على وجه التحديد "متجه العمود" (أو المصفوفة)، ينطوي على اختيار الأساس ومصفوفات جاما بطريقة أساسية. كتمثيل لمجموعة الدوران، فإن تحقيق المصفوفات كمتجهات عمودية (معقدة ^[j] ) سيكون إما غير قابل للاختزال إذا كان البعد فرديًا، أو سيتحلل إلى زوج من ما يسمى بتمثيلات "نصف الدوران" أو ويل إذا كان البعد زوجيًا. ^[k]

إن ما يميز المغزليات ويميزها عن المتجهات الهندسية والموترات الأخرى دقيق للغاية. ولنتأمل هنا تطبيق الدوران على إحداثيات نظام ما. فلم يتحرك أي جسم في النظام نفسه، بل تحركت الإحداثيات فقط، لذا فسوف يكون هناك دائمًا تغيير تعويضي في قيم الإحداثيات تلك عند تطبيقها على أي جسم في النظام. على سبيل المثال، تحتوي المتجهات الهندسية على مكونات تخضع لنفس الدوران مثل الإحداثيات. وعلى نطاق أوسع، فإن أي موتر مرتبط بالنظام (على سبيل المثال، إجهاد بعض الوسائط) يحتوي أيضًا على أوصاف إحداثيات تتكيف للتعويض عن التغييرات التي تطرأ على نظام الإحداثيات نفسه.

لا تظهر الدوارات على هذا المستوى من وصف النظام الفيزيائي، عندما يهتم المرء فقط بخصائص دوران معزول واحد للإحداثيات. بل تظهر الدوارات عندما نتخيل أنه بدلاً من دوران واحد، يتم تدوير نظام الإحداثيات تدريجيًا ( مستمرًا ) بين بعض التكوين الأولي والنهائي. بالنسبة لأي من الكميات المألوفة والحدسية ("الموترية") المرتبطة بالنظام، لا يعتمد قانون التحويل على التفاصيل الدقيقة لكيفية وصول الإحداثيات إلى تكوينها النهائي. من ناحية أخرى، يتم إنشاء الدوارات بطريقة تجعلها حساسة لكيفية وصول الدوران التدريجي للإحداثيات إلى هناك: إنها تظهر اعتماد المسار. اتضح أنه بالنسبة لأي تكوين نهائي للإحداثيات، هناك في الواقع دورانان تدريجيان (مستمران) غير متكافئين (" طوبولوجيًا ") لنظام الإحداثيات ينتج عنهما نفس التكوين. يُطلق على هذا الغموض فئة التماثل للدوران التدريجي. تُظهر خدعة الحزام (الموضحة، حيث يتم ربط طرفي الجسم الدوار فعليًا بمرجع خارجي) دورانين مختلفين، أحدهما بزاوية 2π والآخر بزاوية 4π ، لهما نفس التكوينات النهائية ولكن بفئات مختلفة. تُظهر الدوارات في الواقع عكسًا للإشارة يعتمد بشكل حقيقي على فئة التماثل هذه. وهذا يميزها عن المتجهات والموترات الأخرى، والتي لا يمكن لأي منها أن يشعر بالفئة.

يمكن عرض المغزلات كأشياء ملموسة باستخدام اختيار إحداثيات ديكارتية . في ثلاثة أبعاد إقليدية، على سبيل المثال، يمكن إنشاء المغزلات من خلال اختيار مصفوفات دوران باولي المقابلة لـ ( الزخم الزاوي حول) محاور الإحداثيات الثلاثة. هذه هي مصفوفات 2 × 2 ذات مدخلات معقدة ، ومتجهات الأعمدة المعقدة المكونة من مكونين والتي تعمل عليها هذه المصفوفات عن طريق ضرب المصفوفات هي المغزلات. في هذه الحالة، تكون مجموعة المغزل متماثلة مع مجموعة المصفوفات الوحدوية 2 × 2 ذات المحدد واحد، والتي تقع بشكل طبيعي داخل جبر المصفوفات. تعمل هذه المجموعة عن طريق الاقتران على مساحة المتجه الحقيقي الممتدة بواسطة مصفوفات باولي نفسها، ^[m] مما يجعلها مجموعة من الدورات بينها، ^[n] ولكنها تعمل أيضًا على متجهات العمود (أي المغزلات).

بشكل عام، يمكن إنشاء جبر كليفورد من أي فضاء متجه V مزود بصيغة تربيعية (غير متحللة) ، مثل الفضاء الإقليدي مع حاصل ضربه النقطي القياسي أو فضاء مينكوفسكي مع مقياس لورنتز القياسي. فضاء المغزل هو فضاء متجهات العمود مع المكونات. جبر لي المتعامد (أي "الدورانات" اللانهائية في الصغر) ومجموعة الدوران المرتبطة بالشكل التربيعي موجودان (بشكل قانوني) في جبر كليفورد، لذلك فإن كل تمثيل لجبر كليفورد يحدد أيضًا تمثيلًا لجبر لي ومجموعة الدوران. ^[o] اعتمادًا على البعد والتوقيع المتري ، قد يكون هذا الإدراك للمغزل كمتجهات عمودية غير قابل للاختزال أو قد يتحلل إلى زوج من ما يسمى بتمثيلات "نصف الدوران" أو ويل. ^[p] عندما يكون فضاء المتجه V رباعي الأبعاد، يتم وصف الجبر بواسطة مصفوفات جاما . ${\displaystyle 2^{\lfloor \d V/2\rfloor }}$

يتم تعريف مساحة المغزل رسميًا على أنها التمثيل الأساسي لجبر كليفورد . (قد يتحلل هذا أو لا يتحلل إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال.) يمكن أيضًا تعريف مساحة المغزل على أنها تمثيل مغزل لجبر لاي المتعامد . تتميز تمثيلات المغزل هذه أيضًا بأنها تمثيلات إسقاطية محدودة الأبعاد للمجموعة المتعامدة الخاصة التي لا يتم تحليلها من خلال التمثيلات الخطية. على نحو مكافئ، فإن المغزل هو عنصر من تمثيل المجموعة المحدودة الأبعاد للمجموعة المغزلية التي يعمل عليها المركز بشكل غير تافه.

هناك أساسا إطاران لعرض مفهوم المغزل: وجهة نظر نظرية التمثيل ووجهة نظر هندسية .

من وجهة نظر نظرية التمثيل ، يعرف المرء مسبقًا أن هناك بعض تمثيلات جبر لاي للمجموعة المتعامدة التي لا يمكن تكوينها من خلال إنشاءات الموتر المعتادة. تُسمى هذه التمثيلات المفقودة بعد ذلك بتمثيلات الدوران ، ومكوناتها spinors . من هذا الرأي، يجب أن ينتمي spinor إلى تمثيل للغطاء المزدوج لمجموعة الدوران SO( n , )${\displaystyle \mathbb {R} }$ ، أو بشكل عام لغطاء مزدوج للمجموعة المتعامدة الخاصة المعممة SO ⁺ ( p ,  q , )${\displaystyle \mathbb {R} }$ على المساحات ذات التوقيع المتري ( p ,  q ) . هذه الأغطية المزدوجة هي مجموعات Lie ، تسمى مجموعات الدوران Spin( n ) أو Spin( p ,  q ) . تتجلى جميع خصائص spinors وتطبيقاتها والكائنات المشتقة منها أولاً في المجموعة المغزلية. تُنتج تمثيلات الأغطية المزدوجة لهذه المجموعات تمثيلات إسقاطية ذات قيمة مزدوجة للمجموعات نفسها. (وهذا يعني أن تأثير دوران معين على المتجهات في فضاء هيلبرت الكمومي لا يتم تعريفه إلا حتى إشارة معينة.)

باختصار، بالنظر إلى التمثيل المحدد بواسطة البيانات حيث تكون مساحة متجهة على أو وتكون تماثلية ، فإن السبينور هو عنصر من عناصر مساحة المتجه . ${\displaystyle (V,{\text{Spin}}(p,q),\rho )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle K=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho :{\text{الدوران}}(p,q)\rightarrow {\text{GL}}(V)}$${\displaystyle V}$

من وجهة نظر هندسية، يمكن للمرء أن ينشئ بشكل صريح الدوال ثم يفحص كيف تتصرف تحت تأثير مجموعات لاي ذات الصلة. يتمتع هذا النهج الأخير بميزة توفير وصف ملموس وابتدائي لما هو الدوال. ومع ذلك، يصبح مثل هذا الوصف صعبًا عندما تكون هناك حاجة إلى خصائص معقدة للدوال، مثل هويات فيرز .

توفر لغة جبر كليفورد ^[5] (والتي تسمى أحيانًا الجبر الهندسي ) صورة كاملة لتمثيلات الدوران لجميع مجموعات الدوران، والعلاقات المختلفة بين تلك التمثيلات، من خلال تصنيف جبر كليفورد . إنها تزيل إلى حد كبير الحاجة إلى الإنشاءات المخصصة .

بالتفصيل، دع V تكون فضاء متجه معقدًا محدود الأبعاد له شكل خطي متماثل غير متحلل g . جبر كليفورد Cℓ( V ,  g ) هو الجبر الناتج عن V مع علاقة التبديل العكسي xy + yx = 2 g ( x ,  y ) . إنه نسخة مجردة من الجبر الناتج عن مصفوفات جاما أو باولي . إذا كان V = ، مع الشكل القياسي g ( x ,  y ) = x ^T y = x ₁ y ₁ + ... + x _n y _n نرمز إلى جبر كليفورد بـ Cℓ _n ( ). نظرًا لأنه من خلال اختيار أساس متعامد عمودي يكون كل فضاء متجه معقد له شكل غير متحلل متماثلًا لهذا المثال القياسي، فإن هذا الترميز يُساء استخدامه بشكل عام إذا كان dim ( V ) = n . إذا كان n = 2 k زوجيًا، فإن Cℓ _n ( ) متماثل كجبر (بطريقة غير فريدة) للجبر Mat(2 ^k ,  ) لـ 2 ^k  × 2 ^k مصفوفات مركبة (بموجب نظرية Artin–Wedderburn والحقيقة التي يسهل إثباتها وهي أن جبر كليفورد بسيط مركزي ). إذا كان n = 2 k  + 1 فرديًا، فإن Cℓ _{2 k +1} ( ) متماثل للجبر Mat(2 ^k ,  ) ⊕ Mat(2 ^k ,  ) لنسختين من المصفوفات المركبة 2 ^k  × 2 ^k . لذلك، في كلتا الحالتين، يكون لـ Cℓ( V ,  g ) تمثيل فريد (حتى التماثل) غير قابل للاختزال (يُسمى أيضًا وحدة كليفورد البسيطة )، يُشار إليه عادةً بـ Δ، للبعد 2 ^{[ n / 2]} . نظرًا لأن جبر لاي ( V ، ​​g  ) مُضمن كجبر لاي فرعي في Cℓ( V ،  g ) مزود بجبر كليفورد${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$_{${\displaystyle \mathbb {C} }$}${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$إذا كان المبدل قوس لاي، فإن الفضاء Δ هو أيضًا تمثيل جبر لاي لـ ( V ، g  ) يسمى تمثيل الدوران . إذا كان n فرديًا، فإن تمثيل جبر لاي هذا غير قابل للاختزال. إذا كان n زوجيًا، فإنه ينقسم بشكل أكبر ^{[ يحتاج إلى توضيح ]} إلى تمثيلين غير قابلين للاختزال Δ = Δ ₊  ⊕ Δ ₋ يسمى تمثيلات ويل أو نصف الدوران .

إن التمثيلات غير القابلة للاختزال على الأعداد الحقيقية في الحالة التي يكون فيها V عبارة عن فضاء متجه حقيقي تكون أكثر تعقيدًا بكثير، ويُرجى من القارئ الرجوع إلى مقالة جبر كليفورد لمزيد من التفاصيل.

تشكل الدوارات فضاء متجه ، عادةً فوق الأعداد المركبة ، مزودًا بتمثيل مجموعة خطي لمجموعة الدوران لا يتم تحليله من خلال تمثيل مجموعة الدورات (انظر الرسم التخطيطي). مجموعة الدوران هي مجموعة الدورات التي تتبع فئة التماثل. هناك حاجة إلى الدوارات لتشفير المعلومات الأساسية حول طوبولوجيا مجموعة الدورات لأن هذه المجموعة ليست متصلة ببساطة ، ولكن مجموعة الدوران المتصلة ببساطة هي غلافها المزدوج . لذلك لكل دورة يوجد عنصران من مجموعة الدوران يمثلانها. لا يمكن للمتجهات الهندسية والموترات الأخرى الشعور بالفرق بين هذين العنصرين، لكنها تنتج إشارات معاكسة عندما تؤثر على أي دوار تحت التمثيل. عند التفكير في عناصر مجموعة الدوران كفئات تماثلية لعائلات ذات معلمة واحدة من الدورات، يتم تمثيل كل دورة بفئتين تماثليتين متميزتين للمسارات إلى الهوية. إذا تم تصور عائلة من الدورات ذات معامل واحد على أنها شريط في الفضاء، مع كون معامل طول القوس لهذا الشريط هو المعامل (إطاره المماس، الطبيعي، ثنائي الطبيعي يعطي الدوران في الواقع)، فإن فئتي التماثل المميزان هاتين يتم تصورهما في حالتي لغز خدعة الحزام (أعلاه). إن فضاء الدوارات هو فضاء متجه مساعد يمكن إنشاؤه صراحةً في الإحداثيات، ولكنه في النهاية لا يوجد إلا حتى التماثل الشكلي حيث لا يوجد بناء "طبيعي" لها لا يعتمد على خيارات تعسفية مثل أنظمة الإحداثيات. يمكن ربط مفهوم الدوارات، ككائن رياضي مساعد، بأي فضاء متجه مزود بشكل تربيعي مثل الفضاء الإقليدي مع حاصل ضرب النقاط القياسي الخاص به ، أو فضاء مينكوفسكي مع مقياس لورنتز الخاص به . في الحالة الأخيرة، تتضمن "الدورانات" تعزيزات لورنتز ، ولكن بخلاف ذلك تكون النظرية متشابهة إلى حد كبير. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

يمكن اعتبار الإنشاءات المذكورة أعلاه، من حيث جبر كليفورد أو نظرية التمثيل، بمثابة تعريف للمغزلات كأجسام هندسية في الزمكان ذي الأبعاد الصفرية . للحصول على المغزلات الفيزيائية، مثل المغزل ديراك ، يمكن للمرء أن يوسع البناء للحصول على بنية مغزلية في الزمكان رباعي الأبعاد ( فضاء مينكوفسكي ). في الواقع، يبدأ المرء بالمتعدد الظل للزمكان، حيث تكون كل نقطة منه عبارة عن فضاء متجه رباعي الأبعاد مع تماثل SO(3,1)، ثم يبني مجموعة المغزل عند كل نقطة. تتمتع أحياء النقاط بمفاهيم السلاسة والتفاضل: البناء القياسي هو أحد حزم الألياف ، حيث تكون أليافها عبارة عن فضاءات أفينية تتحول تحت مجموعة المغزل. بعد بناء حزمة الألياف، يمكن للمرء بعد ذلك التفكير في المعادلات التفاضلية، مثل معادلة ديراك ، أو معادلة ويل على حزمة الألياف. تحتوي هذه المعادلات (ديراك أو ويل) على حلول عبارة عن موجات مستوية ، لها تناظرات مميزة للألياف، أي لها تناظرات السبينور، كما تم الحصول عليها من نظرية الجبر/تمثيل السبينور (صفرية الأبعاد) لكليفورد الموصوفة أعلاه. يمكن بعد ذلك تسمية مثل هذه الحلول الموجية المستوية (أو الحلول الأخرى) للمعادلات التفاضلية بالفيرميونات ؛ تتمتع الفرميونات بالصفات الجبرية للسبينور. وفقًا للاتفاقية العامة، غالبًا ما يتم استخدام مصطلحي "فيرميون" و"سبينور" بالتبادل في الفيزياء، كمرادفين لبعضهما البعض. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

يبدو أن جميع الجسيمات الأساسية في الطبيعة التي تدور حول -1/2 موصوفة بمعادلة ديراك، باستثناء النيوترينو المحتمل . لا يبدو أن هناك أي سبب مسبق يجعل هذه هي الحالة. سيكون الخيار الصحيح تمامًا للجسيمات الدوارة هو النسخة غير المعقدة من Cℓ _2,2 ( )${\displaystyle \mathbb {R} }$ ، وهو سبينور ماجورانا . ^[6] كما يبدو أنه لا يوجد أي حظر معين لظهور سبينور ويل في الطبيعة كجسيمات أساسية.

ترتبط مغزلات ديراك وويل وماجورانا ببعضها البعض، ويمكن توضيح علاقتها على أساس الجبر الهندسي الحقيقي. ^[7] مغزلات ديراك وويل عبارة عن تمثيلات معقدة بينما مغزلات ماجورانا عبارة عن تمثيلات حقيقية.

لا تكفي سبينورات ويل لوصف الجسيمات الضخمة، مثل الإلكترونات ، لأن حلول الموجة المستوية لويل تنتقل بالضرورة بسرعة الضوء؛ بالنسبة للجسيمات الضخمة، تكون معادلة ديراك ضرورية. يبدأ البناء الأولي للنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات بكل من الإلكترون والنيوترينو كمسبينورات ويل عديمة الكتلة؛ تمنح آلية هيغز الإلكترونات كتلة؛ ظل النيوترينو الكلاسيكي عديم الكتلة، وبالتالي كان مثالاً على سبينور ويل. ^[q] ومع ذلك، بسبب تذبذب النيوترينو الملحوظ ، يُعتقد الآن أنها ليست سبينورات ويل، ولكن ربما بدلاً من ذلك سبينورات ماجورانا. ^[8] ليس من المعروف ما إذا كانت جسيمات سبينور ويل الأساسية موجودة في الطبيعة.

إن الوضع مختلف بالنسبة لفيزياء المادة المكثفة : فمن الممكن بناء "زمكان" ثنائي وثلاثي الأبعاد في مجموعة كبيرة ومتنوعة من المواد الفيزيائية المختلفة، بدءًا من أشباه الموصلات إلى مواد أكثر غرابة. في عام 2015، أعلن فريق دولي بقيادة علماء من جامعة برينستون أنهم وجدوا شبه جسيم يتصرف مثل فرميون ويل. ^[9]

أحد التطبيقات الرياضية الرئيسية لبناء المغزلات هو إتاحة إمكانية البناء الصريح للتمثيلات الخطية لجبر لاي للمجموعات المتعامدة الخاصة ، وبالتالي تمثيلات المغزل للمجموعات نفسها. وعلى مستوى أكثر عمقًا، وجد أن المغزلات تشكل جوهر المناهج المتبعة في نظرية مؤشر عطية-سينجر ، وتوفر إنشاءات خاصة لتمثيلات السلاسل المنفصلة للمجموعات شبه البسيطة .

تتميز تمثيلات الدوران لجبر لاي المتعامد الخاص عن تمثيلات الموتر المعطاة بواسطة بناء ويل بالأوزان . في حين أن أوزان تمثيلات الموتر عبارة عن تركيبات خطية صحيحة لجذور جبر لاي، فإن أوزان تمثيلات الدوران عبارة عن تركيبات خطية نصف صحيحة منها. يمكن العثور على تفاصيل صريحة في مقالة تمثيل الدوران .

يمكن وصف السبينور، بعبارات بسيطة، بأنه "متجهات الفضاء التي ترتبط تحولاتها بطريقة معينة بالدوران في الفضاء المادي". ^[10] وبعبارة أخرى:

توفر المغزلات ... تمثيلًا خطيًا لمجموعة الدورات في مساحة بأي عدد من الأبعاد، حيث يحتوي كل مغزل على مكونات حيث أو . ^[2]${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{\nu }}$${\displaystyle n=2\nu +1}$${\displaystyle 2\nu }$

لقد تمت صياغة عدة طرق لتوضيح القياسات اليومية من حيث خدعة اللوحة ، والخطوط المتعرجة ، وأمثلة أخرى لتشابك التوجيه .

ومع ذلك، يعتبر هذا المفهوم بشكل عام صعب الفهم بشكل كبير، كما يتضح من تصريح مايكل عطية الذي رواها كاتب سيرة ديراك جراهام فارميلو:

لا أحد يفهم المعادلات السبينورية بشكل كامل. إن جبرها مفهوم رسميًا ولكن أهميتها العامة غامضة. فهي تصف "الجذر التربيعي" للهندسة، وكما استغرق فهم الجذر التربيعي لـ -1 قرونًا، فقد ينطبق نفس الشيء على المعادلات السبينورية. ^[11]

تم اكتشاف الشكل الرياضي الأكثر عمومية للدوائر المغزلية بواسطة إيلي كارتان في عام 1913. ^[12] تم صياغة كلمة "دوائر مغزلية" بواسطة بول إيرنفست في عمله في الفيزياء الكمومية . ^[13]

تم تطبيق السبينورات لأول مرة على الفيزياء الرياضية بواسطة ولفجانج باولي في عام 1927، عندما قدم مصفوفات الدوران الخاصة به . ^[14] في العام التالي، اكتشف بول ديراك النظرية النسبية الكاملة لدوران الإلكترون من خلال إظهار العلاقة بين السبينورات ومجموعة لورنتز . ^[15] بحلول ثلاثينيات القرن العشرين، ابتكر ديراك وبيت هاين وآخرون في معهد نيلز بور (المعروف آنذاك باسم معهد الفيزياء النظرية بجامعة كوبنهاجن) ألعابًا مثل تانجلويدز لتعليم ونمذجة حساب السبينورات.

تم تمثيل فضاءات السبينور كمثاليات يسارية لجبر المصفوفات في عام 1930، بواسطة جوستاف جوفيت ^[16] وفريتز سوتر . ^{[17] [18]} وبشكل أكثر تحديدًا، بدلاً من تمثيل السبينور كمتجهات عمودية ثنائية الأبعاد ذات قيمة معقدة كما فعل باولي، فقد مثلوها كمصفوفات ذات قيمة معقدة 2 × 2 حيث تكون عناصر العمود الأيسر فقط غير صفرية. وبهذه الطريقة أصبحت فضاء السبينور مثالية يسارية أدنى في Mat(2,  )${\displaystyle \mathbb {C} }$ . ^{[r] [20]}

في عام 1947، أنشأ مارسيل ريسز فضاءات سبينور كعناصر للمثال الأيسر الأدنى لجبر كليفورد . في عامي 1966/1967، استبدل ديفيد هيستينس ^{[21] [22] فضاءات سبينور بالجبر} الجزئي الزوجي Cℓ ⁰ _1,3 ( ) لجبر الزمكان Cℓ _1,3 ( ). ^{[18] [20]} اعتبارًا من ثمانينيات القرن العشرين، كانت مجموعة الفيزياء النظرية في كلية بيركبيك حول ديفيد بوم وباسيل هيلي تعمل على تطوير مناهج جبرية لنظرية الكم التي تعتمد على تحديد سوتر وريسز للفضاءات ذات المثاليات اليسرى الدنيا. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

تنشأ بعض الأمثلة البسيطة للمغزلات في الأبعاد المنخفضة من النظر في الجبر الجزئي ذي الدرجات الزوجية لجبر كليفورد Cℓ _{p ,  q} ( )${\displaystyle \mathbb {R} }$ . هذا جبر مبني على أساس متعامد عمودي لـ n = p  +  q متجهات متعامدة متبادلة تحت الجمع والضرب، p منها لها معيار +1 و q منها لها معيار −1، مع قاعدة الضرب لمتجهات الأساس $${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}+1&i=j,\,i\in (1,\ldots ,p)\\-1&i=j,\,i\in (p+1,\ldots ,n)\\-e_{j}e_{i}&i\neq j.\end{cases}}}$$

جبر كليفورد Cℓ _2,0 ( ) مبني على أساس وحدة عددية واحدة، 1، ومتجهي وحدة متعامدين، σ ₁ و σ ₂ ، ووحدة سلمية زائفة i = σ ₁ σ ₂ . من التعريفات أعلاه، يتضح أن ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = 1 و ( σ ₁ σ ₂ ) ( σ ₁ σ ₂ ) = − σ ₁ σ ₁ σ ₂ σ ₂ = −1 . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

يحدد الجبر الجزئي الزوجي Cℓ ⁰ _2,0 ( )، الذي يمتد على عناصر أساسية متدرجة زوجية من Cℓ _2,0 ( )، مساحة المغزلات من خلال تمثيلاتها. وهو يتكون من تركيبات خطية حقيقية من 1 و σ ₁ σ ₂ . وباعتباره جبرًا حقيقيًا، فإن Cℓ ⁰ _2,0 ( ) متماثل مع مجال الأعداد المركبة . ونتيجة لذلك، فإنه يسمح بعملية اقتران (مشابهة للاقتران المركب )، والتي تسمى أحيانًا عكس عنصر كليفورد، والذي يتم تعريفه، من خلال علاقات كليفورد، يمكن كتابة ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$  ${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}.}$$$${\displaystyle (a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=ab\sigma _{1}\sigma _{2}.}$$

يتم تحديد تأثير عنصر كليفورد الزوجي γ ∈ Cℓ ⁰ _2,0 ( )${\displaystyle \mathbb {R} }$ على المتجهات، التي تعتبر عناصر ذات درجة 1 من Cℓ _2,0 ( )، عن طريق تعيين متجه عام u = a ₁ σ ₁ + a ₂ σ ₂ إلى المتجه حيث هو مرافق ، والحاصل هو ضرب كليفورد. في هذه الحالة، يكون السبينور ^[s] عددًا مركبًا عاديًا. يتم تحديد تأثير على السبينور عن طريق الضرب المركب العادي: ${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*},}$$${\displaystyle \gamma ^{*}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi .}$$

من السمات المهمة لهذا التعريف التمييز بين المتجهات العادية والمغزليات، والذي يتجلى في كيفية تأثير العناصر ذات الدرجات الزوجية على كل منها بطرق مختلفة. بشكل عام، يكشف الفحص السريع لعلاقات كليفورد أن العناصر ذات الدرجات الزوجية تترافق مع المتجهات العادية: $${\displaystyle \gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u.}$$

من ناحية أخرى، بالمقارنة مع تأثيرها على السبينورات ، فإن تأثيرها على المتجهات العادية يظهر كمربع تأثيرها على السبينورات. ${\displaystyle \gamma (\phi )=\gamma \phi }$${\displaystyle \gamma }$

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك ما يترتب على ذلك من آثار فيما يتعلق بالدوران المستوي. إن تدوير متجه بزاوية θ يتوافق مع γ ² = exp( θ σ ₁ σ ₂ ) ، وبالتالي فإن الإجراء المقابل على الدوارات يكون عبر γ = ± exp( θ σ ₁ σ ₂ /2) . بشكل عام، بسبب التفرع اللوغاريتمي ، من المستحيل اختيار إشارة بطريقة متسقة. وبالتالي فإن تمثيل الدوران المستوي على الدوارات هو ثنائي القيمة.

في تطبيقات المغزل في بعدين، من الشائع استغلال حقيقة أن جبر العناصر ذات الدرجات الزوجية (أي مجرد حلقة الأعداد المركبة) مطابق لفضاء المغزل. لذا، من خلال إساءة استخدام اللغة ، غالبًا ما يتم دمج الاثنين. قد يتحدث المرء بعد ذلك عن "تأثير المغزل على متجه". في إطار عام، مثل هذه العبارات لا معنى لها. ولكن في البعدين 2 و3 (كما هو مطبق، على سبيل المثال، على الرسومات الحاسوبية ) فإنها منطقية.

• يتوافق العنصر ذو الدرجة المتساوية مع دوران متجه بمقدار 90 درجة من σ ₁ نحو σ ₂ ، ويمكن التحقق من ذلك من خلال التأكد من أنه يتوافق مع دوران سبينور بمقدار 45 درجة فقط، مع ذلك:$${\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})}$$$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(1-\sigma _{2}\sigma _{1})=a_{1}\sigma _{2}-a_{2}\sigma _{1}}$$$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}={\frac {a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {-a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}\sigma _{1}\sigma _{2}}$$
• وبالمثل، يتوافق العنصر ذو الدرجة الزوجية γ  = − σ ₁ σ ₂ مع دوران متجه بمقدار 180 درجة: ولكن دوران سبينور بمقدار 90 درجة فقط:$${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}(-\sigma _{2}\sigma _{1})=-a_{1}\sigma _{1}-a_{2}\sigma _{2}}$$$${\displaystyle (-\sigma _{1}\sigma _{2})\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}=a_{2}-a_{1}\sigma _{1}\sigma _{2}}$$
• بالمتابعة، فإن العنصر ذو الدرجة الزوجية γ  = −1 يتوافق مع دوران متجه بمقدار 360 درجة: ولكن مع دوران سبينور بمقدار 180 درجة.$${\displaystyle (-1)\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-1)=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}}$$

تم إنشاء جبر كليفورد Cℓ _3,0 ( ) من أساس وحدة عددية واحدة، 1، وثلاثة متجهات وحدة متعامدة، σ ₁ و σ ₂ و σ ₃ ، ومنصفات الوحدات الثلاث σ ₁ σ ₂ ، σ ₂ σ ₃ ، σ ₃ σ ₁ والعددية الكاذبة i = σ ₁ σ ₂ σ ₃ . من السهل توضيح أن ( σ ₁ ) ² = ( σ ₂ ) ² = ( σ ₃ ) ² = 1 و ( σ ₁ σ ₂ ) ² = ( σ ₂ σ ₃ ) ² = ( σ ₃ σ ₁ ) ² = ( σ ₁ σ ₂ σ ₃ ) ² = −1 . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

يتكون الجبر الفرعي للعناصر ذات الدرجات الزوجية من تمددات قياسية ودورات متجهية حيث $${\displaystyle u'=\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}u\rho ^{\left({\frac {1}{2}}\right)}=\rho u,}$$$${\displaystyle u'=\gamma u\gamma ^{*},}$$

$${\displaystyle \left.{\begin{aligned}\gamma &=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\{a_{1}\sigma _{2}\sigma _{3}+a_{2}\sigma _{3}\sigma _{1}+a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\&=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}+a_{3}\sigma _{3}\}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\&=\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-iv\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{aligned}}\right\}}$$

( 1 )

يتوافق مع دوران المتجه بزاوية θ حول محور محدد بواسطة متجه الوحدة v = a ₁ σ ₁  +  a ₂ σ ₂  +  a ₃ σ ₃ .

كحالة خاصة، من السهل أن نرى أنه إذا كانت v = σ ₃ ، فإن هذا يعيد إنتاج دوران σ ₁ σ ₂ الذي تمت مناقشته في القسم السابق؛ وأن مثل هذا الدوران يترك معاملات المتجهات في اتجاه σ ₃ ثابتة، حيث

$${\displaystyle \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}\left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+i\sigma _{3}\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]=\left[\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]\sigma _{3}=\sigma _{3}.}$$

إن المتجهات الثنائية σ ₂ σ ₃ و σ ₃ σ ₁ و σ ₁ σ ₂ هي في الواقع رباعيات هاملتون i و j و k ، التي تم اكتشافها في عام 1843:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {i} &=-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} &=-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} &=-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}\end{aligned}}}$$

مع تحديد العناصر ذات الدرجات الزوجية باستخدام جبر الرباعيات، كما في حالة البعدين، فإن التمثيل الوحيد لجبر العناصر ذات الدرجات الزوجية هو على نفسه. ^[t] وبالتالي فإن (المغزل الحقيقي ^[u] ) في الأبعاد الثلاثة هو رباعيات، ويتم إعطاء تأثير عنصر ذو درجة زوجية على المغزل عن طريق الضرب الرباعي العادي. ${\displaystyle \mathbb {H} }$

لاحظ أن التعبير (1) لدوران المتجه عبر الزاوية θ ، الزاوية التي تظهر في γ تم تقسيمها إلى النصف . وبالتالي فإن دوران السبينور γ ( ψ ) =  γψ (ضرب رباعي عادي) سوف يدور السبينور ψ عبر زاوية نصف قياس زاوية دوران المتجه المقابل. مرة أخرى، فإن مشكلة رفع دوران المتجه إلى دوران السبينور هي ذات قيمتين: التعبير (1) مع (180° +  θ /2) بدلاً من θ /2 سوف ينتج نفس دوران المتجه، ولكن السالب لدوران السبينور.

أصبح تمثيل الدورانات في شكل سبينور/رباعي الأبعاد شائعًا بشكل متزايد في الهندسة الحاسوبية والتطبيقات الأخرى، بسبب الاختصار الملحوظ لمصفوفة الدوران المقابلة، والبساطة التي يمكن بها ضربها معًا لحساب التأثير المشترك للدوران المتتالي حول محاور مختلفة.

يمكن إنشاء مساحة من المغزلات بشكل صريح باستخدام هياكل ملموسة ومجردة. إن تكافؤ هذه الهياكل هو نتيجة لتفرد تمثيل المغزل لجبر كليفورد المعقد. للحصول على مثال كامل في البعد 3، راجع المغزلات في ثلاثة أبعاد .

بالنظر إلى الفضاء المتجه V والشكل التربيعي g، يمكن تعريف تمثيل مصفوفة صريح لجبر كليفورد Cℓ( V ,  g ) على النحو التالي. اختر أساسًا متعامدًا معايرًا e ¹ ... e ⁿ لـ V ie g ( e ^μ e ^ν ) = η ^μν حيث η ^μμ = ±1 و η ^μν = 0 لـ μ ≠ ν . دع ك = ⌊ ن /2⌋ . أصلح مجموعة من المصفوفات 2 ^k  × 2 ^k γ ¹ ... γ ⁿ بحيث تكون γ ^μ γ ^ν + γ ^ν γ ^μ = 2 η ^μν 1 (أي إصلاح اتفاقية لمصفوفات جاما ). ثم يمتد التعيين e ^μ → γ ^μ بشكل فريد إلى تماثل الجبر Cℓ( V ,  g ) → Mat(2 ^k ,  )${\displaystyle \mathbb {C} }$ عن طريق إرسال أحادي الحد e ^{μ ₁} ⋅⋅⋅ e ^{μ _k} في جبر كليفورد إلى حاصل الضرب γ ^{μ ₁} ⋅⋅⋅ γ ^{μ _k} من المصفوفات وتمتد خطيًا. المساحة التي تعمل عليها مصفوفات جاما هي الآن مساحة من المغزلات. ومع ذلك، يتعين علينا إنشاء مثل هذه المصفوفات صراحةً. في البعد 3، تحديد مصفوفات جاما لتكون سيجما باولي تؤدي المصفوفات إلى ظهور المغزلين المكونين المألوفين المستخدمين في ميكانيكا الكم غير النسبية . وبالمثل ، يؤدي استخدام مصفوفات جاما ديراك 4 × 4 إلى ظهور سبينورات ديراك المكونة من 4 مكونات والمستخدمة في نظرية المجال الكمومي النسبي ثلاثية الأبعاد + 1. وبشكل عام، من أجل تحديد مصفوفات جاما من النوع المطلوب، يمكن للمرء استخدام مصفوفات ويل-براور . ${\displaystyle \Delta =\mathbb {C} ^{2^{k}}}$

في هذا البناء، يعتمد تمثيل جبر كليفورد Cℓ( V ,  g ) ، وجبر لاي so ( V ,  g ) ، ومجموعة الدوران Spin( V ,  g ) ، على اختيار الأساس المتعامد واختيار مصفوفات جاما. يمكن أن يتسبب هذا في حدوث ارتباك بشأن الاتفاقيات، ولكن الثوابت مثل الآثار مستقلة عن الخيارات. على وجه الخصوص، يجب أن تكون جميع الكميات القابلة للملاحظة فيزيائيًا مستقلة عن مثل هذه الخيارات. في هذا البناء، يمكن تمثيل الدوران كمتجه من 2 ^k عدد مركب ويتم الإشارة إليه بمؤشرات الدوران (عادةً α و  β و  γ ). في أدبيات الفيزياء، غالبًا ما تُستخدم مثل هذه المؤشرات للإشارة إلى الدورانات حتى عند استخدام بناء دوران تجريدي.

هناك على الأقل طريقتان مختلفتان، ولكنهما متكافئتان بشكل أساسي، لتعريف المغزليات تجريديًا. يسعى أحد الأساليب إلى تحديد المثل العليا الدنيا للفعل الأيسر لـ Cℓ( V ,  g ) على نفسها. هذه هي فضاءات فرعية لجبر كليفورد من الشكل Cℓ( V ,  g ) ω ، والتي تقبل الفعل الواضح لـ Cℓ( V ,  g ) عن طريق الضرب الأيسر: c  : xω → cxω . هناك نوعان مختلفان من هذا الموضوع: يمكن للمرء إما العثور على عنصر بدائي ω هو عنصر لا يمكن تعويضه في جبر كليفورد، أو عنصر أيديمبوتنت . يعد البناء عبر العناصر اللا يمكن تعويضها أكثر جوهرية بمعنى أنه يمكن بعد ذلك إنتاج أيديمبوتنت منه. ^[23] وبهذه الطريقة، يتم تحديد تمثيلات المغزليات مع فضاءات فرعية معينة لجبر كليفورد نفسه. الطريقة الثانية هي إنشاء فضاء متجه باستخدام فضاء فرعي مميز لـ V ، ثم تحديد عمل جبر كليفورد خارجيًا بالنسبة لفضاء المتجه هذا.

في أي من النهجين، فإن المفهوم الأساسي هو مفهوم الفضاء الفرعي المتساوي الخواص W. ويعتمد كل بناء على حرية أولية في اختيار هذا الفضاء الفرعي. ومن الناحية الفيزيائية، يتوافق هذا مع حقيقة عدم وجود بروتوكول قياس يمكنه تحديد أساس الفضاء المغزلي، حتى إذا تم تقديم أساس مفضل لـ V.

كما هو مذكور أعلاه، فلنجعل ( V ,  g ) فضاء متجه معقد ذو n بعد مزود بشكل خطي ثنائي غير متحلل. إذا كانت V فضاء متجه حقيقي، فإننا نستبدل V بتعقيده ولنجعل g يشير إلى الشكل الخطي الثنائي المستحث على . فليكن W فضاء فرعي متساوي الخواص الأقصى، أي فضاء فرعي أقصى لـ V بحيث g | _W = 0 . إذا كان n = 2 k زوجيًا، فليكن W ′ فضاء فرعي متساوي الخواص مكملًا لـ W . إذا كان n = 2 k + 1 فرديًا، فليكن W ′ فضاء فرعي متساوي الخواص الأقصى مع W ∩  W ′ = 0 ، وليكن U المكمل المتعامد لـ W  ⊕  W ′ . في كل من الحالتين الزوجية والفردية الأبعاد ، يكون W و W ′ لهما بعد k . في الحالة الفردية الأبعاد، يكون U أحادي البعد، ويمتد بواسطة متجه الوحدة u . ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

نظرًا لأن W ′ متساوي الخواص، فإن ضرب عناصر W ′ داخل Cℓ( V ,  g ) يكون منحرفًا . وبالتالي فإن المتجهات في W ′ تتبادل عكسيًا، و Cℓ( W ′ ,  g | _{W ′} ) = Cℓ( W ′ , 0) هي مجرد الجبر الخارجي Λ ^∗ W ′ . وبالتالي، فإن حاصل ضرب W ′ مع نفسه، W ′ ^k ، أحادي البعد. دع ω يكون مولدًا لـ W ′ ^k . من حيث الأساس w ′ ₁ , ..., w ′ _k لـ في W ′ ، فإن أحد الاحتمالات هو تعيين $${\displaystyle \omega =w'_{1}w'_{2}\cdots w'_{k}.}$$

لاحظ أن ω ² = 0 (أي أن ω قابلة للعدم من الدرجة 2)، وعلاوة على ذلك، فإن w ′ ω = 0 لجميع w ′ ∈ W ′ . يمكن إثبات الحقائق التالية بسهولة:

1. إذا n = 2 k ، فإن المثالي الأيسر Δ = Cℓ( V ,  g ) ω هو مثالي أيسر أدنى. علاوة على ذلك، ينقسم هذا إلى فضاءين مغزليين Δ ₊ = Cℓ ^زوجي ω و Δ ₋ = Cℓ ^فردي ω على التقييد بفعل جبر كليفورد الزوجي.
2. إذا كان n = 2 k + 1 ، فإن عمل متجه الوحدة u على المثالي الأيسر Cℓ( V ,  g ) ω يحلل الفضاء إلى زوج من الفضاءات الذاتية غير القابلة للاختزال المتماثلة (كلاهما يُشار إليه بواسطة Δ)، والتي تتوافق مع القيم الذاتية +1 و-1 على التوالي.

بالتفصيل، افترض على سبيل المثال أن n زوجي. افترض أن I هو مثالي أيسر غير صفري موجود في Cℓ( V ,  g ) ω . سنُظهِر أن I يجب أن يكون مساويًا لـ Cℓ( V ,  g ) ω من خلال إثبات أنه يحتوي على مضاعف قياسي غير صفري لـ ω .

قم بتثبيت أساس w _i لـ W وأساس مكمل w _i ′ لـ W ′ بحيث

لاحظ أن أي عنصر من I يجب أن يكون على هيئة αω ، بحكم افتراضنا أن I ⊂ Cℓ( V ,  g )  ω . دع αω ∈ I يكون أي عنصر من هذا القبيل. باستخدام الأساس المختار، يمكننا الكتابة حيث a _{i 1 ... i p} هي أعداد قياسية، و B _j هي عناصر مساعدة لجبر كليفورد. لاحظ الآن أن حاصل ضرب اختر أي أحادية حدود غير صفرية a في توسع α بدرجة متجانسة قصوى في العناصر w _i : (لا يوجد مجموع ضمني)، إذن هو مضاعف قياسي غير صفري لـ ω ، كما هو مطلوب. $${\displaystyle \alpha =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}+\sum _{j}B_{j}w'_{j}}$$$${\displaystyle \alpha \omega =\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{p}}a_{i_{1}\dots i_{p}}w_{i_{1}}\cdots w_{i_{p}}\omega .}$$$${\displaystyle a=a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}w_{i_{1}}\dots w_{i_{\text{max}}}}$$$${\displaystyle w'_{i_{\text{max}}}\cdots w'_{i_{1}}\alpha \omega =a_{i_{1}\dots i_{\text{max}}}\omega }$$

لاحظ أنه بالنسبة لـ n حتى، يُظهر هذا الحساب أيضًا أنه كمساحة متجه. في المساواة الأخيرة، استخدمنا مرة أخرى أن W متساوي الخواص. من الناحية الفيزيائية، يُظهر هذا أن Δ مبني مثل مساحة Fock من خلال إنشاء مغزلات باستخدام مشغلات إنشاء مضادة للتبديل في W تعمل على فراغ ω . $${\displaystyle \Delta =\mathrm {C} \ell (W)\omega =\left(\Lambda ^{*}W\right)\omega }$$

تشير الحسابات باستخدام البناء المثالي الأدنى إلى أنه يمكن أيضًا تعريف تمثيل الدوران بشكل مباشر باستخدام الجبر الخارجي Λ ^∗ W = ⊕ _j Λ ^j W للفضاء الفرعي المتساوي الخواص W. دع Δ = Λ ^∗ W يشير إلى الجبر الخارجي لـ W المعتبر كفضاء متجه فقط. سيكون هذا هو تمثيل الدوران، وسيتم الإشارة إلى عناصره باسم الدوران. ^{[24] [25]}

يتم تعريف فعل جبر كليفورد على Δ أولاً من خلال إعطاء فعل عنصر V على Δ، ثم إظهار أن هذا الفعل يحترم علاقة كليفورد وبالتالي يمتد إلى تماثل جبر كليفورد الكامل في حلقة التماثل End(Δ) بواسطة الخاصية العالمية لجبر كليفورد . تختلف التفاصيل قليلاً وفقًا لما إذا كان بُعد V زوجيًا أم فرديًا.

عندما يكون dim( V ) زوجيًا، فإن V = W ⊕ W ′ حيث W ′ هو المكمل المتساوي الخواص المختار. وبالتالي فإن أي v ∈ V يتحلل بشكل فريد على النحو التالي: v = w + w ′ مع w ∈ W و w ′ ∈ W ′ . يتم إعطاء تأثير v على الدوران من خلال حيث i ( w ′ ) هو حاصل ضرب داخلي مع w ′ باستخدام الشكل التربيعي غير المتحلل لتحديد V مع V ^∗ ، و ε ( w ) يشير إلى الحاصل الخارجي . يُطلق على هذا التأثير أحيانًا حاصل ضرب كليفورد . يمكن التحقق من أن و so c يحترم علاقات كليفورد ويمتد إلى التماثل من جبر كليفورد إلى End(Δ). $${\displaystyle c(v)w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}=\left(\epsilon (w)+i\left(w'\right)\right)\left(w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{n}\right)}$$$${\displaystyle c(u)\,c(v)+c(v)\,c(u)=2\,g(u,v)\,,}$$

يتحلل تمثيل الدوران Δ أيضًا إلى زوج من التمثيلات المعقدة غير القابلة للاختزال لمجموعة الدوران ^[26] (تمثيلات نصف الدوران، أو سبينورات ويل) عبر $${\displaystyle \Delta _{+}=\Lambda ^{\text{even}}W,\,\Delta _{-}=\Lambda ^{\text{odd}}W.}$$

عندما يكون dim( V ) فرديًا، فإن V = W ⊕ U ⊕ W ′ ، حيث يمتد U بواسطة متجه وحدة u متعامد مع W. يتم تعريف فعل كليفورد c كما هو الحال من قبل على W ⊕ W ′ ، بينما يتم تعريف فعل كليفورد لـ (مضاعفات) u بواسطة كما هو الحال من قبل، يتحقق المرء من أن c تحترم علاقات كليفورد، وبالتالي يحث على التماثل. $${\displaystyle c(u)\alpha ={\begin{cases}\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{even}}W\\-\alpha &{\hbox{if }}\alpha \in \Lambda ^{\text{odd}}W\end{cases}}}$$

إذا كان فضاء المتجه V يحتوي على بنية إضافية توفر تحللًا لتعقيده إلى فضائيين فرعيين متساويين الخواص أقصى، فإن تعريف المغزلات (بأي طريقة) يصبح طبيعيًا.

المثال الرئيسي هو الحالة التي يكون فيها فضاء المتجه الحقيقي V هو فضاء متجه هيرميتي ( V ،  ​​h ) ، أي أن V مزود ببنية معقدة J وهي تحويل متعامد بالنسبة للحاصل الداخلي g على V. ثم ينقسم في فضاءات ± i الذاتية لـ J. تكون هذه الفضاءات الذاتية متساوية الخواص لتعقيد g ويمكن تحديدها بفضاء المتجه المعقد ( V ،  J ) ومقترنه المعقد ( V ، − J ) . لذلك، بالنسبة لفضاء المتجه الهرميتي ( V ،  ​​h )، فإن فضاء المتجه (وكذلك مقترنه المعقد) هو فضاء دوار لفضاء المتجه الإقليدي الحقيقي الأساسي. ${\displaystyle V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }{\bar {V}}}$${\displaystyle \Lambda _{\mathbb {C} }^{\cdot }V}$

باستخدام فعل كليفورد كما هو مذكور أعلاه ولكن مع الانكماش باستخدام الشكل الهيرميتي، يعطي هذا البناء مساحة سبينور في كل نقطة من متعدد الشعب الهيرميتي تقريبًا وهو السبب في أن كل متعدد الشعب المعقد تقريبًا (وبشكل خاص كل متعدد الشعب السمبليكتيكي ) له بنية سبين ^c . وبالمثل، تحمل كل حزمة متجهات معقدة على متعدد الشعب بنية سبين ^c . ^[27]

من الممكن إجراء عدد من تحللات كليبس-جوردان على حاصل ضرب الموتر لتمثيل دوران واحد مع آخر. ^[28] تعبر هذه التحللات عن حاصل ضرب الموتر من حيث التمثيلات المتبادلة للمجموعة المتعامدة.

بالنسبة للحالة الحقيقية أو المعقدة، فإن التمثيلات المتبادلة هي

• Γ _r = Λ ^r V ، تمثيل المجموعة المتعامدة على موتر مائل من رتبة r .

بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للمجموعات المتعامدة الحقيقية، هناك ثلاثة أحرف (تمثيلات أحادية البعد)

• σ ₊  : O( p ,  q ) → {−1, +1} يعطى بواسطة σ ₊ (R) = −1 ، إذا عكست R التوجه المكاني لـ V ، +1، إذا حافظت R على التوجه المكاني لـ V. ( الطابع المكاني .)
• σ ₋  : O( p ,  q ) → {−1, +1} تعطى بواسطة σ ₋ (R) = −1 ، إذا عكست R التوجه الزمني لـ V ، +1، إذا حافظت R على التوجه الزمني لـ V. ( الطابع الزمني .)
• σ = σ ₊ σ ₋  . ( الشخصية التوجه .)

يسمح تحليل كليبستش-جوردان بتعريف، من بين أمور أخرى:

• فعل السبينورات على المتجهات.
• مقياس هيرميتي على التمثيلات المعقدة لمجموعات الدوران الحقيقية.
• عامل ديراك على كل تمثيل الدوران.

إذا كان n  = 2 k زوجيًا، فإن حاصل ضرب الموتر لـ Δ مع تمثيل المكون المعاكس يتحلل على النحو التالي والذي يمكن رؤيته صراحةً من خلال النظر (في البناء الصريح) في تأثير جبر كليفورد على العناصر القابلة للتحلل αω  ⊗  βω ′ . تتبع الصيغة الموجودة في أقصى اليمين خصائص التحويل لمشغل نجمة هودج . لاحظ أنه عند التقييد بجبر كليفورد الزوجي، تكون المجاميع المزدوجة Γ _p ⊕ σ Γ _p متماثلة، ولكن تحت جبر كليفورد الكامل فهي ليست كذلك. $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{n}\Gamma _{p}\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\left(\Gamma _{p}\oplus \sigma \Gamma _{p}\right)\oplus \Gamma _{k}}$$

هناك تعريف طبيعي لـ Δ مع تمثيله المتناقض من خلال الاقتران في جبر كليفورد: لذا فإن Δ ⊗ Δ يتحلل أيضًا بالطريقة المذكورة أعلاه. علاوة على ذلك، في ظل جبر كليفورد الزوجي، تتحلل تمثيلات نصف الدوران $${\displaystyle (\alpha \omega )^{*}=\omega \left(\alpha ^{*}\right).}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{+}\otimes \Delta _{+}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}\\\Delta _{+}\otimes \Delta _{-}^{*}\cong \Delta _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}&\cong \bigoplus _{p=0}^{k-1}\Gamma _{2p+1}\end{aligned}}}$$

بالنسبة للتمثيلات المعقدة لجبر كليفورد الحقيقي، فإن بنية الواقع المرتبطة بجبر كليفورد المعقد تنحدر إلى فضاء المغزل (عبر البناء الصريح من حيث المثل الدنيا، على سبيل المثال). بهذه الطريقة، نحصل على المترافق المعقد Δ للتمثيل Δ، ويُرى أن التماثل التالي صحيح: $${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}}$$

على وجه الخصوص، لاحظ أن تمثيل Δ لمجموعة الدوران المتعامدة هو تمثيل موحد . بشكل عام، هناك تحللات كليبس-جوردان $${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\left(\sigma _{-}\Gamma _{p}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{p}\right).}$$

في التوقيع المتري ( p ،  q ) ، تنطبق التماثلات التالية على تمثيلات نصف الدوران المترافقة

• إذا كان q زوجيًا، إذن و${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}}$${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}.}$
• إذا كان q فرديًا، إذن و${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{+}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{-}^{*}}$${\displaystyle {\bar {\Delta }}_{-}\cong \sigma _{-}\otimes \Delta _{+}^{*}.}$

باستخدام هذه التماثلات، يمكن للمرء أن يستنتج تحللات مماثلة لمنتجات الموتر لتمثيلات نصف الدوران Δ _± ⊗ Δ _± .

إذا كان n  = 2 k + 1 فرديًا، ففي الحالة الحقيقية، ينطبق التماثل مرة أخرى وبالتالي يوجد تحلل كليبس-جوردان (مرة أخرى باستخدام نجم هودج للازدواجية) المعطى بواسطة $${\displaystyle \Delta \otimes \Delta ^{*}\cong \bigoplus _{p=0}^{k}\Gamma _{2p}.}$$$${\displaystyle {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Delta ^{*}.}$$$${\displaystyle \Delta \otimes {\bar {\Delta }}\cong \sigma _{-}\Gamma _{0}\oplus \sigma _{+}\Gamma _{1}\oplus \dots \oplus \sigma _{\pm }\Gamma _{k}}$$

هناك العديد من العواقب بعيدة المدى لتحليلات كلبش-جوردان للمساحات السبينور. وأكثر هذه العواقب جوهرية تتعلق بنظرية ديراك للإلكترون، والتي من بين متطلباتها الأساسية:

• طريقة لاعتبار حاصل ضرب اثنين من المغزلين ϕ ψ كمقياس. من الناحية الفيزيائية، يجب أن يحدد المغزل سعة الاحتمال للحالة الكمومية .
• طريقة لاعتبار حاصل الضرب ψ ϕ متجهًا. هذه سمة أساسية لنظرية ديراك، التي تربط صيغة السبينور بهندسة الفضاء الفيزيائي.
• طريقة لاعتبار السبينور مؤثرًا على متجه، من خلال تعبير مثل ψv ψ . من الناحية الفيزيائية، يمثل هذا تيارًا كهربائيًا وفقًا لنظرية ماكسويل الكهرومغناطيسية ، أو بشكل عام تيار احتمالي .

• في البعد الواحد (مثال تافه)، فإن تمثيل السبينور الفردي هو رسميًا ماجورانا، وهو تمثيل حقيقي أحادي البعد لا يتحول.
• في بعدين إقليديين، يكون سبينور ويل الأيسر والأيمن عبارة عن تمثيلات معقدة مكونة من مكون واحد ، أي الأعداد المركبة التي يتم ضربها بواسطة e ^{± iφ /2} تحت دوران بزاوية φ .
• في الأبعاد الإقليدية الثلاثة، يكون تمثيل السبينور الفردي ثنائي الأبعاد ورباعي الأبعاد . وينشأ وجود السبينور في الأبعاد الثلاثة من تماثل المجموعات SU (2) ≅ Spin(3) الذي يسمح لنا بتحديد تأثير Spin(3) على عمود مركب مكون من مكونين (سبينور)؛ ويمكن كتابة مولدات SU(2) كمصفوفات باولي .
• في الأبعاد الإقليدية الأربعة، يكون التماثل المقابل هو Spin(4) ≅ SU(2) × SU(2) . يوجد اثنان من مغزلات Weyl غير المتكافئة المكونة من مكونين رباعيي الأبعاد، وكل منهما يتحول تحت أحد عوامل SU(2) فقط.
• في الأبعاد الإقليدية الخمسة، يكون التماثل ذو الصلة هو Spin(5) ≅ USp(4) ≅ Sp(2)، مما يعني أن تمثيل السبينور الفردي هو رباعي الأبعاد ورباعي الأبعاد.
• في الأبعاد الإقليدية الستة، يضمن التماثل Spin(6) ≅ SU(4) وجود تمثيلين معقدين لـ Weyl رباعيي الأبعاد وهما مترافقان معقدان لبعضهما البعض.
• في الأبعاد الإقليدية السبعة، يكون تمثيل السبينور الفردي ثماني الأبعاد وحقيقيًا؛ ولا توجد تماثلات لجبر لاي من سلسلة أخرى (A أو C) من هذا البعد فصاعدًا.
• في الأبعاد الإقليدية الثمانية، هناك تمثيلان حقيقيان من نوع Weyl-Majorana ثماني الأبعاد مرتبطان بتمثيل المتجه الحقيقي ثماني الأبعاد من خلال خاصية خاصة لـ Spin(8) تسمى الثلاثية .
• في الأبعاد d  + 8 ، يحاكي عدد التمثيلات المغزلية غير القابلة للاختزال وواقعيتها (سواء كانت حقيقية أو شبه حقيقية أو معقدة) البنية في الأبعاد d ، لكن أبعادها أكبر بمقدار 16 مرة؛ وهذا يسمح بفهم جميع الحالات المتبقية. انظر دورية بوت .
• في الزمكانات ذات الاتجاهات المكانية p والاتجاهات الزمنية q ، تتطابق الأبعاد التي يُنظر إليها كأبعاد على الأعداد المركبة مع حالة الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد ( p  +  q ) ، لكن إسقاطات الواقع تحاكي البنية في الأبعاد | p  −  q | الإقليدية. على سبيل المثال، في الأبعاد 3 + 1 يوجد مركبان ويل غير متكافئين (كما هو الحال في البعدين) مكونان من مكونين (كما هو الحال في الأبعاد الأربعة)، وهو ما يتبع من التماثل SL(2,  ) ≅ Spin(3,1)${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

التوقيع المتري	ويل، معقد		الاقتران	ديراك، معقد	ماجورانا-ويل، حقيقي		ماجورانا، حقيقية
	عسراء	اليد اليمنى			عسراء	اليد اليمنى
(2,0)	1	1	مشترك	2	-	-	2
(1,1)	1	1	الذات	2	1	1	2
(3,0)	-	-	-	2	-	-	-
(2,1)	-	-	-	2	-	-	2
(4,0)	2	2	الذات	4	-	-	-
(3,1)	2	2	مشترك	4	-	-	4
(5,0)	-	-	-	4	-	-	-
(4,1)	-	-	-	4	-	-	-
(6,0)	4	4	مشترك	8	-	-	8
(5,1)	4	4	الذات	8	-	-	-
(7,0)	-	-	-	8	-	-	8
(6,1)	-	-	-	8	-	-	-
(8,0)	8	8	الذات	16	8	8	16
(7,1)	8	8	مشترك	16	-	-	16
(9,0)	-	-	-	16	-	-	16
(8,1)	-	-	-	16	-	-	16

• براور، ريتشارد ؛ وايل، هيرمان (1935). "المغزل في n أبعاد". المجلة الأمريكية للرياضيات . 57 (2). مطبعة جامعة جونز هوبكنز: 425-449. doi :10.2307/2371218. JSTOR  2371218.
• كارتان ، إيلي (1913). "Les groupes projectifs qui ne laissent invariante aucune multiplicitéplane" (PDF) . ثور. شركة نفط الجنوب. الرياضيات. الاب . 41 : 53-96. دوى : 10.24033/bsmf.916 .
• Chevalley, Claude (1996) [1954]. The Algebraic Theory of Spinors and Clifford Algebras (طبعة أعيد طبعها). Columbia University Press (1954)؛ Springer (1996). ISBN 978-3-540-57063-9.
• ديراك، بول م. (1928). "النظرية الكمومية للإلكترون". وقائع الجمعية الملكية بلندن أ . 117 (778): 610-624. رمز Bibcode :1928RSPSA.117..610D. doi : 10.1098/rspa.1928.0023 . JSTOR  94981.
• فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (1991). نظرية التمثيل: دورة أولى . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، قراءات في الرياضيات. المجلد 129. نيويورك: دار نشر سبرينغر . doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 0-387-97495-4. السيد  1153249.
• لوسون، هـ. بلين ؛ ميشيلسون، ماري لويز (1989). هندسة الدوران . مطبعة جامعة برينستون. رقم ISBN 0-691-08542-0.
• باولي، وولفجانج (1927). "Zur Quantenmechanik des Magnetischen Elektrons". Zeitschrift für Physik . 43 (9-10): 601-632. بيب كود :1927ZPhy...43..601P. دوى :10.1007/BF01397326. S2CID  128228729.
• توموناجا، سين-إيتيرو (1998). "المحاضرة 7: الكمية التي ليست متجهًا ولا موترًا". قصة الدوران . مطبعة جامعة شيكاغو. ص 129. ISBN 0-226-80794-0.

• كارتان، إيلي (1981) [1966]. نظرية الدوران (طبعة أعيد طبعها). باريس، فرنسا: هيرمان (1966)؛ مطبوعات دوفر (1981). رقم ISBN 978-0-486-64070-9.
• جيلكي، بيتر ب. (1984). نظرية الثبات: معادلة الحرارة، ونظرية مؤشر عطية-سينجر. انشر أو اموت. رقم ISBN 0-914098-20-9.
• هارفي، ف. ريس (1990). Spinors and Calibrations . Academic Press. ISBN 978-0-12-329650-4.
• هيتشين، نايجل جيه. (1974). "المغزلات التوافقية". التقدم في الرياضيات . 14 : 1-55. doi : 10.1016/0001-8708(74)90021-8 . MR  0358873.
• بينروز، روجر ؛ ريندلر، دبليو. (1988). طرق السبينور والتويستور في هندسة الزمكان . السبينور والزمكان. المجلد 2. مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 0-521-34786-6.