سبينور ديراك

لنفترض أن γ ^μ تمثل مجموعة من أربع مصفوفات غاما رباعية الأبعاد، تُسمى هنا مصفوفات ديراك . تحقق مصفوفات ديراك الشروط التالية:

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4},}$[ 4 ]

D1

حيث { , } هو مضاد التبديل ، و _I₄ هي مصفوفة الوحدة 4×4 ، و ημν هو مقياس الزمكان ذو الإشارة (+, ⁻ , − , − ) . هذا هو الشرط المحدد لمجموعة مولدة لجبر كليفورد . تُعطى عناصر الأساس الإضافية ^σμν لجبر كليفورد بواسطة

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right].}$[ 5 ]

ج1

ستة فقط من المصفوفات σ ^μν مستقلة خطيًا. يتبع هذا مباشرة من تعريفهم منذ σ ^μν = − σ ^νμ . إنهم يعملون على الفضاء الفرعي V _γ γ μ ^يمتد بالمعنى السلبي ، وفقًا لـ

${\displaystyle \left[\sigma ^{\mu \nu },\gamma ^{\rho }\right]=-i\gamma ^{\mu }\eta ^{\nu \rho }+i\gamma ^{\nu }\eta ^{\mu \rho }.}$[ 6 ]

C2

في (C2) ، تأتي المساواة الثانية من الخاصية (D1) لجبر كليفورد.

الآن، عرّف تأثيرًا لـ so (3,1) على σ ^μν ، والفضاء الخطي V _σ ⊂ Cl ₄ ( C ) الذي يمتدانه في Cl ₄ ( C ) ≈ M ⁿ _C ، المعطى بواسطة

${\displaystyle \pi \left(M^{\mu \nu }\right)\left(\sigma ^{\rho \sigma }\right)=\left[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \sigma }\right]=i\left(\eta ^{\sigma \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\sigma \nu }\sigma ^{\rho \mu }-\eta ^{\mu \rho }\sigma ^{\nu \sigma }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \sigma }\right).}$

C4

تُظهر المساواة الأخيرة في (C4) ، والناتجة عن (C2) والخاصية (D1) لمصفوفات غاما، أن σ ^μν تُمثل تمثيلًا لـ so (3,1) لأن علاقات التبادل في (C4) هي نفسها علاقات التبادل في so (3,1) . يمكن اعتبار تأثير π(M ^μν ) إما كمصفوفات سداسية الأبعاد Σ ^μν تضرب متجهات الأساس σ ^μν ، لأن الفضاء في M _n ( C ) الذي تُغطيه σ ^μν سداسي الأبعاد، أو كتأثير التبادل على σ ^ρσ . فيما يلي، π ( M ^μν ) = σ ^μν

^تُعدّ كلٌّ من γμ و σμν مجموعتين جزئيتين (منفصلتين) من عناصر أساس Cl₄ ₍ C ) ، مُولَّدتين بواسطة مصفوفات ديراك رباعية الأبعاد γμ في أربعة أبعاد مكانية-زمانية. وبالتالي ^{، فإن} جبر لي لـ so ( 3,1) مُضمَّن في Cl₄ ₍ C ) بواسطة π باعتباره الفضاء الجزئي الحقيقي لـ Cl₄ ₍ C ) المُمتد بواسطة σμν . للاطلاع على وصف كامل لعناصر ^الأساس المتبقية غير γμ ^و σμν ^لجبر كليفورد، يُرجى مراجعة مقالة جبر ديراك .

الآن، لنُعرّف أي فضاء متجهي مُركّب رباعي الأبعاد U حيث تعمل γ و ^μ عن طريق ضرب المصفوفات. هنا ^، U = C⁴ مناسب تمامًا. ليكن Λ = e ^{ω _μν M μν} تحويل لورنتز، ولنُعرّف تأثير مجموعة لورنتز على U على النحو التالي:

${\displaystyle u\rightarrow S(\Lambda )u=e^{i\pi (\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu })}u;\quad u^{\alpha }\rightarrow [e^{\omega _{\mu \nu }\sigma ^{\mu \nu }}]^{\alpha }{}_{\beta }u^{\beta }.}$

بما أن σ ^μν وفقًا لـ (C4) تشكل تمثيلًا لـ so (3,1) ، فإن الخريطة المستحثة

${\displaystyle S:\mathrm {SO} (3,1)^{+}\rightarrow \mathrm {GL} (U);\quad \Lambda \rightarrow e^{i\pi (X)};\quad e^{iX}=\Lambda ,\quad X=\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\in {\mathfrak {so}}(3,1)}$

C5

وفقًا للنظرية العامة، إما أن يكون تمثيلًا أو تمثيلًا إسقاطيًا لـ SO(3,1) ⁺ . وسيتضح أنه تمثيل إسقاطي. تُسمى عناصر U ، عند تطبيق قاعدة التحويل المعطاة بواسطة S ، سبينورات ديراك أو ببساطة سبينورات .

يبقى اختيار مجموعة من مصفوفات ديراك γ ^μ للحصول على تمثيل اللف المغزلي S. أحد هذه الخيارات، المناسب للحد النسبي الفائق ، هو

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&=-i{\biggl (}{\begin{matrix}0&I\\I&0\\\end{matrix}}{\biggr )},\\\gamma ^{i}&=-i{\biggl (}{\begin{matrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\\\end{matrix}}{\biggr )},\quad i=1,2,3\\\end{aligned}}.}$[ 7 ]

E1

حيث تمثل σ _i مصفوفات باولي . في هذا التمثيل لمولدات جبر كليفورد، تصبح σ ^μν

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{i0}&={\frac {i}{2}}{\biggl (}{\begin{matrix}\sigma _{i}&0\\0&-\sigma _{i}\\\end{matrix}}{\biggr )},\\\sigma ^{ij}&={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}{\biggl (}{\begin{matrix}\sigma _{k}&0\\0&\sigma _{k}\\\end{matrix}}{\biggr )}\\\end{aligned}}.}$[ 8 ]

E23

من الواضح أن هذا التمثيل غير قابل للاختزال، لأن جميع المصفوفات قطرية كتلية . ولكن نظرًا لعدم قابلية اختزال مصفوفات باولي، لا يمكن اختزال التمثيل أكثر من ذلك. ولأنه رباعي الأبعاد، فإن الاحتمال الوحيد هو أنه تمثيل ( ⁠ 1 / 2 ⁠ ,0)⊕(0, ⁠ 1 / 2 ⁠ ) ، أي تمثيل سبينور ديراك. الآن، باستخدام طريقة رفع تمثيل جبر لي إلى الأس للحصول على تمثيل لـ SO(3,1) ⁺ ،

${\displaystyle {\begin{aligned}S\left(\Lambda _{B}\right)&=e^{i\pi (\chi \cdot \mathbf {K} )}={\biggl (}{\begin{matrix}e^{-{\frac {1}{2}}\chi \cdot \sigma }&0\\0&e^{{\frac {1}{2}}\chi \cdot \sigma }\\\end{matrix}}{\biggr )},\\S\left(\Lambda _{R}\right)&=e^{i\pi (\phi \cdot \mathbf {J} )}={\biggl (}{\begin{matrix}e^{{\frac {i}{2}}\phi \cdot \sigma }&0\\0&e^{{\frac {i}{2}}\phi \cdot \sigma }\\\end{matrix}}{\biggr )}\\\end{aligned}},}$

E3

يتم الحصول على تمثيل إسقاطي ثنائي القيم. هنا، φ هو متجه معاملات الدوران حيث 0 ≤ φ ⁱ ≤ 2 π ، و χ هو متجه معاملات التعزيز . باستخدام الاصطلاحات المستخدمة هنا، يمكن كتابة

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}},}$

E4

بالنسبة لحقل سبينور ديراك. هنا، يتوافق المكون العلوي مع سبينور فايل الأيمن . لإدراج انعكاس تكافؤ الفضاء في هذه الصيغة، يتم وضع

${\displaystyle \beta =i\gamma ^{0}={\biggl (}{\begin{matrix}0&I\\I&0\\\end{matrix}}{\biggr )},}$[ 9 ]

E5

كمثال تمثيلي لـ P = diag(1, −1, −1, −1) . يُلاحظ أن التمثيل غير قابل للاختزال عند تضمين انعكاس تكافؤ الفضاء.

ليكن X = 2πM ¹² بحيث يُولّد X دورانًا حول المحور z بزاوية 2π . عندئذٍ Λ = e ^iX = I ∈ SO(3,1) + ^ولكن e iπ ^{( X ) =} − I ∈ GL( U ) . هنا، I يرمز إلى العنصر المحايد . إذا تم اختيار X = 0 بدلاً من ذلك، فسيظل Λ = e ^iX = I ∈ SO(3,1) ⁺ ، ولكن الآن e ^{iπ ( X )} = I ∈ GL( U ) .

يوضح هذا الطبيعة ثنائية القيمة لتمثيل الدوران. يتم تحويل العنصر المحايد في SO(3,1) ^{+ إلى إما} −I ∈ GL( U ) أو I ∈ GL( U ) اعتمادًا على اختيار عنصر جبر لي لتمثيله. في الحالة الأولى، يمكن التكهن بأن دورانًا بزاوية 2π ينفي دوران ديراك، وأنه يتطلب دورانًا بزاوية 4π لإعادة دوران ديراك إلى حالته الأصلية. ما يحدث فعليًا هو أن العنصر المحايد في SO(3,1) ⁺ يُحوّل إلى −I في GL ( U ) باختيار غير مناسب لـ X.

يستحيل اختيار X بشكل مستمر لجميع g ∈ SO(3,1) ⁺ بحيث يكون S تمثيلًا مستمرًا. لنفترض أننا نُعرّف S على طول حلقة في SO(3,1) بحيث يكون X ( t ) = 2πtM ¹² ، حيث 0 ≤ t ≤ 1. هذه حلقة مغلقة في SO(3,1) ، أي دورانات تتراوح من 0 إلى 2π حول المحور z تحت تأثير التحويل الأسي، لكنها "نصف" حلقة فقط في GL( U ) ، وتنتهي عند −I . إضافةً إلى ذلك، فإن قيمة I ∈ SO(3,1) غامضة، لأن t = 0 و t = 2π تعطيان قيمًا مختلفة لـ I ∈ SO(3,1) .

يُنتج التمثيل S على سبينورات ديراك تمثيلًا لـ SO(3,1) ⁺ على End( U ) ، وهي مجموعة المؤثرات الخطية على U. يتوافق هذا الفضاء مع جبر كليفورد نفسه، بحيث تكون جميع المؤثرات الخطية على U عناصر من هذا الجبر. هذا التمثيل، وكيفية تحلله كمجموع مباشر لتمثيلات SO(3,1) ⁺ غير القابلة للاختزال ، موصوف في مقالة جبر ديراك . من نتائج ذلك تحلل الأشكال الثنائية الخطية على U × U. يشير هذا التحلل إلى كيفية ربط أي حقل سبينور ديراك بحقول أخرى في لاغرانجيان لإنتاج كميات لورنتز القياسية .

توجد عدة خيارات للتوقيع والتمثيل شائعة الاستخدام في الأدبيات الفيزيائية. تُكتب مصفوفات ديراك عادةً على النحو التالي :${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$أين${\displaystyle \mu }$تتراوح من 0 إلى 3. في هذه الصيغة، يمثل 0 الوقت، وتمثل الأرقام من 1 إلى 3 قيم x و y و z .

يُطلق على التوقيع + − − − أحيانًا اسم مقياس الساحل الغربي ، بينما يُطلق على التوقيع − + + + اسم مقياس الساحل الشرقي . في الوقت الحالي، يُستخدم التوقيع + − − − بشكل أكثر شيوعًا، وسنستخدمه في مثالنا. للانتقال من مثال إلى آخر، اضرب جميع${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$بواسطة${\displaystyle i}$.

بعد اختيار التوقيع، توجد طرق عديدة لإنشاء تمثيل في المصفوفات 4×4، والعديد منها شائع الاستخدام. ولجعل هذا المثال عامًا قدر الإمكان، لن نحدد تمثيلًا إلا في الخطوة الأخيرة. عندئذٍ سنستبدله بالتمثيل "الكيرالي" أو تمثيل فايل .

أولًا، نختار اتجاه دوران الإلكترون أو البوزيترون. وكما هو الحال في مثال جبر باولي المذكور أعلاه، يُحدد اتجاه الدوران بواسطة متجه وحدة في ثلاثة أبعاد، (أ، ب، ج). ووفقًا لاتفاقية بيسكين وشرودر، يُعرَّف مؤثر الدوران في اتجاه (أ، ب، ج) بأنه حاصل الضرب القياسي لـ (أ، ب، ج) مع المتجه.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(i\gamma ^{2}\gamma ^{3},\;\;i\gamma ^{3}\gamma ^{1},\;\;i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)&=-\left(\gamma ^{1},\;\gamma ^{2},\;\gamma ^{3}\right)i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\\sigma _{(a,b,c)}&=ia\gamma ^{2}\gamma ^{3}+ib\gamma ^{3}\gamma ^{1}+ic\gamma ^{1}\gamma ^{2}\end{aligned}}}$

لاحظ أن ما سبق هو جذر للوحدة ، أي أنه مربع يساوي 1. وبالتالي، يمكننا إنشاء عامل إسقاط منه يقوم بإسقاط الجبر الفرعي لجبر ديراك الذي له دوران موجه في اتجاه (a, b, c):

${\displaystyle P_{(a,b,c)}={\frac {1}{2}}\left(1+\sigma _{(a,b,c)}\right)}$

الآن يجب علينا اختيار شحنة، إما +1 (بوزيترون) أو -1 (إلكترون). وفقًا لاصطلاحات بيسكين وشرودر، فإن عامل الشحنة هو${\displaystyle Q=-\gamma ^{0}}$أي أن حالات الإلكترون ستأخذ قيمة ذاتية −1 بالنسبة لهذا العامل بينما ستأخذ حالات البوزيترون قيمة ذاتية +1.

لاحظ أن${\displaystyle Q}$وهو أيضًا الجذر التربيعي للواحد. علاوة على ذلك،${\displaystyle Q}$التنقل مع${\displaystyle \sigma _{(a,b,c)}}$تشكل هذه المؤثرات مجموعة كاملة من المؤثرات التبادلية لجبر ديراك . بالاستمرار في مثالنا، نبحث عن تمثيل للإلكترون ذي اللف المغزلي في الاتجاه ( أ ، ب ، ج ) .${\displaystyle Q}$عند تحويل الشحنة إلى عامل إسقاط، نحصل على:

${\displaystyle P_{-Q}={\frac {1}{2}}\left(1-Q\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)}$

وبالتالي فإن عامل الإسقاط للسبينور الذي نبحث عنه هو ناتج عاملي الإسقاط اللذين وجدناهما:

${\displaystyle P_{(a,b,c)}\;P_{-Q}}$

عند تطبيق عامل الإسقاط المذكور أعلاه على أي سبينور، فإنه يُعطي الجزء من السبينور الذي يُطابق حالة الإلكترون المطلوبة. لذا، يُمكننا تطبيقه على سبينور بقيمة 1 في أحد مكوناته، و0 في المكونات الأخرى، مما يُعطي عمودًا من المصفوفة. وبمتابعة المثال، نضع ( a , b , c ) = (0, 0, 1) فنحصل على

${\displaystyle P_{(0,0,1)}={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma _{1}\gamma _{2}\right)}$

وبالتالي فإن عامل الإسقاط المطلوب هو

${\displaystyle P={\frac {1}{2}}\left(1+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)\cdot {\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{4}}\left(1+\gamma ^{0}+i\gamma ^{1}\gamma ^{2}+i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\right)}$

مصفوفات غاما 4×4 المستخدمة في تمثيل ويل هي

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{0}&={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\\\gamma _{k}&={\begin{bmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

لـ k = 1، 2، 3 وحيث${\displaystyle \sigma ^{i}}$هي مصفوفات باولي المعتادة من الرتبة 2×2 . وباستبدالها بـ P نحصل على

${\displaystyle P={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\\1+\sigma ^{3}&1+\sigma ^{3}\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

إجابتنا هي أي عمود غير صفري في المصفوفة أعلاه. القسمة على اثنين هي مجرد عملية توحيد. يعطي العمودان الأول والثالث نفس النتيجة.

${\displaystyle \left|e^{-},\,+{\frac {1}{2}}\right\rangle ={\begin{bmatrix}1\\0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

وبشكل أعم، بالنسبة للإلكترونات والبوزيترونات ذات اللف المغزلي الموجه في الاتجاه ( أ ، ب ، ج )، يكون عامل الإسقاط هو

${\displaystyle {\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}1+c&a-ib&\pm (1+c)&\pm (a-ib)\\a+ib&1-c&\pm (a+ib)&\pm (1-c)\\\pm (1+c)&\pm (a-ib)&1+c&a-ib\\\pm (a+ib)&\pm (1-c)&a+ib&1-c\end{bmatrix}}}$

حيث تمثل الإشارات العلوية الإلكترون والإشارات السفلية البوزيترون. ويمكن اعتبار السبينور المقابل أي عمود غير صفري.${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1}$تمثل الأعمدة المختلفة مضاعفات لنفس المتجه الدوراني. ويمكن الحصول على تمثيل المتجه الدوراني الناتج في أساس ديراك باستخدام القاعدة الواردة في مقالة متجه ديراك الدوراني.