درجة امتداد الحقل

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 7 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الحقول ، تُعدّ درجة امتداد الحقل مقياساً تقريبياً لـ"حجم" هذا الامتداد . ويلعب هذا المفهوم دوراً هاماً في العديد من فروع الرياضيات، بما في ذلك الجبر ونظرية الأعداد ، بل وفي أي مجال تبرز فيه الحقول بشكلٍ واضح.

التعريف والترميز

لنفترض أن E / F هو امتداد حقل . عندئذٍ يمكن اعتبار E فضاءً متجهيًا على F (حقل الأعداد القياسية). يُطلق على بُعد هذا الفضاء المتجهي درجة امتداد الحقل ، ويُرمز له بـ [ E : F ].

قد تكون الدرجة منتهية أو غير منتهية، ويُسمى الحقل امتدادًا منتهيًا أو امتدادًا غير منتهٍ تبعًا لذلك. ويُقال أحيانًا إن الامتداد E / F منتهٍ ببساطة إذا كان امتدادًا منتهيًا؛ ويجب عدم الخلط بين هذا وبين كون الحقول نفسها حقولًا منتهية (حقولًا ذات عدد منتهٍ من العناصر).

لا ينبغي الخلط بين الدرجة ودرجة التجاوز للحقل؛ على سبيل المثال، الحقل Q ( X ) للدوال الكسرية له درجة لانهائية على Q ، لكن درجة التجاوز تساوي 1 فقط.

صيغة الضرب للدرجات

بالنظر إلى ثلاثة حقول مرتبة في برج ، ولنقل K حقل فرعي من L والذي بدوره حقل فرعي من M ، توجد علاقة بسيطة بين درجات الامتدادات الثلاثة L / K و M / L و M / K :

[م:ك]=[م:ل]⋅[ل:ك].{\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}

بمعنى آخر، فإن الدرجة المنتقلة من الحقل "السفلي" إلى الحقل "العلوي" هي ببساطة حاصل ضرب الدرجات المنتقلة من الحقل "السفلي" إلى الحقل "الأوسط"، ثم من الحقل "الأوسط" إلى الحقل "العلوي". وهذا يُشابه إلى حد كبير نظرية لاغرانج في نظرية الزمر ، التي تربط رتبة الزمرة برتبة ومؤشر الزمرة الجزئية - بل إن نظرية غالوا تُظهر أن هذا التشابه ليس مجرد مصادفة.

تنطبق هذه الصيغة على كلٍّ من الامتدادات ذات الدرجة المحدودة وغير المحدودة. في حالة الامتدادات غير المحدودة، يُفسَّر الناتج بمعنى نواتج الأعداد الأصلية . على وجه الخصوص، هذا يعني أنه إذا كانت M / K محدودة، فإن كلاً من M / L و L / K محدودتان.

إذا كانت النسبة M / K محدودة، فإن الصيغة تفرض قيودًا صارمة على أنواع الحقول التي يمكن أن تظهر بين M و K ، وذلك من خلال اعتبارات حسابية بسيطة. على سبيل المثال، إذا كانت درجة [ M : K ] عددًا أوليًا p ، فإنه بالنسبة لأي حقل وسيط L ، يمكن أن يحدث أحد أمرين: إما أن [ M : L ] = p و[ L : K ] = 1، وفي هذه الحالة يكون L مساويًا لـ K ، أو أن [ M : L ] = 1 و[ L : K ] = p ، وفي هذه الحالة يكون L مساويًا لـ M. لذلك، لا توجد حقول وسيطة (باستثناء M و K أنفسهما).

برهان صيغة الضرب في الحالة المحدودة

لنفترض أن K و L و M تُشكّل سلسلة من الحقول كما في صيغة الدرجة أعلاه، وأن كلاً من d = [ L : K ] و e = [ M : L ] محدودتان. هذا يعني أنه يُمكننا اختيار أساس { u1 , ..., ud } للحقل L على K ، وأساس { w1 , ..., we } للحقل M على L. سنُبيّن أن العناصر u1 , m2 , ..., w1 , n ، حيث m تتراوح من 1 إلى d و n تتراوح من 1 إلى e، تُشكّل أساسًا للحقل M / K ؛ وبما أن عددها de تحديدًا ، فإن هذا يُثبت أن بُعد M / K هو de ، وهي النتيجة المطلوبة.

أولاً، نتحقق من أنها تولد M / K. إذا كان x أي عنصر من M ، وبما أن w n تشكل أساسًا لـ M على L ، فيمكننا إيجاد عناصر a n في L بحيث

x=∑ن=1هـأنwن=أ1w1+⋯+أهـwهـ.{\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}a_{n}w_{n}=a_{1}w_{1}+\cdots +a_{e}w_{e}.}

ثم، بما أن u و m تشكل أساسًا لـ L على K ، يمكننا إيجاد العناصر b و m و n في K بحيث يكون لكل n ،

أن=∑م=1دبم،نuم=ب1،نu1+⋯+بد،نuد.{\displaystyle a_{n}=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}=b_{1,n}u_{1}+\cdots +b_{d,n}u_{d}.}

ثم باستخدام قانون التوزيع وخاصية التجميع للضرب في M، نحصل على

x=∑ن=1هـ(∑م=1دبم،نuم)wن=∑ن=1هـ∑م=1دبم،ن(uمwن)،{\displaystyle x=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n}=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n}),}

مما يدل على أن x عبارة عن تركيبة خطية من u m w n بمعاملات من K ؛ بعبارة أخرى، فإنها تمتد على M على K.

ثانيًا، يجب علينا التحقق من استقلالها الخطي على K. لذا افترض أن

0=∑ن=1هـ∑م=1دبم،ن(uمwن){\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}(u_{m}w_{n})}

بالنسبة لبعض المعاملات b و m و n في K. باستخدام خاصيتي التوزيع والتجميع مرة أخرى، يمكننا تجميع الحدود على النحو التالي:

0=∑ن=1هـ(∑م=1دبم،نuم)wن،{\displaystyle 0=\sum _{n=1}^{e}\left(\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}\right)w_{n},}

ونلاحظ أن الحدود بين قوسين يجب أن تساوي صفرًا، لأنها عناصر من L ، وأن قيم w n مستقلة خطيًا على L. أي،

0=∑م=1دبم،نuم{\displaystyle 0=\sum _{m=1}^{d}b_{m,n}u_{m}}

لكل قيمة n . وبما أن معاملات b<sub> m , n </sub> تنتمي إلى K ، و u <sub> m </sub> مستقلة خطيًا على K ، فلا بد أن يكون b<sub> m , n</sub> = 0 لجميع قيم m و n . وهذا يُثبت أن العناصر u<sub> m </sub> w<sub> n</sub> مستقلة خطيًا على K. وبذلك يكتمل البرهان.

إثبات الصيغة في الحالة اللانهائية

في هذه الحالة، نبدأ بالقاعدتين uα و wβ للفضاءين L / K و M / L على التوالي ، حيث تُختار α من مجموعة الفهرسة A ، و β من مجموعة الفهرسة B. وباستخدام حجة مماثلة تمامًا للحجة السابقة، نجد أن حاصل ضرب uα و wβ يُشكل أساسًا للفضاء M / K . ويتم فهرسة هذه الأساسات بواسطة حاصل الضرب الديكارتي A × B ، والذي ، بحسب التعريف، يساوي عدد عناصره حاصل ضرب عدد عناصر كل من A و B.

أمثلة

  • الأعداد المركبة هي امتداد حقل على الأعداد الحقيقية بدرجة [ C : R ] = 2، وبالتالي لا توجد حقول غير تافهة بينها.
  • إن امتداد الحقل Q ( √2 , √3 ) ، الذي تم الحصول عليه بضم √2 و√3 إلى حقل الأعداد النسبية Q ، له درجة 4، أي أن [ Q ( √2 , √3 ): Q ] = 4. أما الحقل الوسيط Q ( √2 ) فله درجة 2 على Q ؛ نستنتج من صيغة الضرب أن [ Q ( √2 , √3 ) : Q ( √2 ) ] = 4/2 = 2.
  • الحقل المنتهي (أو حقل غالوا) GF (125) = GF (5 3 ) له درجة 3 على حقله الجزئي GF (5 ). وبشكل أعم، إذا كان p عددًا أوليًا و n و m عددين صحيحين موجبين حيث n يقسم m ، فإن [ GF ( p m : GF ( p n )] = m / n .
  • إنّ امتداد الحقل C ( T )/ C ، حيث C ( T ) هو حقل الدوال الكسرية على C ، له درجة لانهائية (بل هو امتداد متسامٍ بحت ). ويمكن ملاحظة ذلك من خلال ملاحظة أن العناصر 1، T ، T² ، إلخ، مستقلة خطيًا على C.
  • يتمتع امتداد الحقل C ( T² ) بدرجة لانهائية على C. مع ذلك، إذا اعتبرنا C ( T² ) حقلاً جزئياً من C ( T ) ، فإن [ C ( T ): C ( T² )] = 2. وبشكل أعم، إذا كان X و Y منحنيين جبريين على حقل K ، وكان F : X → Y تشاكلاً شاملاً بينهما من الدرجة d ، فإن حقلي الدوال K ( X ) و K ( Y ) كلاهما ذو درجة لانهائية على K ، لكن الدرجة [ K ( X ): K ( Y )] تساوي d . 

تعميم

بفرض وجود حلقتين قسمة E و F، حيث F عنصرٌ في E ، وضرب F وجمعها هما تقييد العمليات في E ، يمكننا اعتبار E فضاءً متجهيًا فوق F بطريقتين: الأولى بجعل الكميات القياسية تعمل من اليسار، مما يُعطي بُعدًا [ E : F ] l ، والثانية بجعلها تعمل من اليمين، مما يُعطي بُعدًا [ E : F ] r . لا يشترط أن يتطابق البُعدان. مع ذلك، يُحقق كلا البُعدين صيغة ضرب لأبراج حلقات القسمة؛ وينطبق البرهان أعلاه على الكميات القياسية التي تعمل من اليسار دون تغيير.

مراجع

  • الصفحة 215، جاكوبسون، ن. (1985). الجبر الأساسي 1. دار دبليو إتش فريمان وشركاه. رقم ISBN 0-7167-1480-9.إثبات صيغة الضرب.
  • الصفحة 465، جاكوبسون، ن. (1989). الجبر الأساسي 2. دار دبليو إتش فريمان وشركاه. رقم ISBN 0-7167-1933-9.يتناول بإيجاز حالة الأبعاد اللانهائية.