نموذج الضربة الأولى

في الإحصاء ، تُعدّ نماذج زمن الوصول الأول نماذج مبسطة تُقدّر مقدار الوقت الذي يمر قبل أن تتجاوز عملية عشوائية أو احتمالية حاجزًا أو حدًا أو تصل إلى حالة محددة، تُسمى زمن الوصول الأول أو زمن المرور الأول . تُقدّم النماذج الدقيقة فهمًا أعمق للنظام الفيزيائي قيد الدراسة، وقد كانت موضوعًا للبحث في مجالات متنوعة للغاية، من الاقتصاد إلى علم البيئة . ^{[ 1 ]}

إن فكرة أن زمن الوصول الأول لعملية عشوائية قد يصف الوقت اللازم لوقوع حدث ما لها تاريخ طويل، بدأ بالاهتمام بزمن المرور الأول لعمليات انتشار وينر في الاقتصاد، ثم في الفيزياء في أوائل القرن العشرين. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} وكان نمذجة احتمالية الإفلاس المالي كزمن مرور أول تطبيق مبكر في مجال التأمين. ^{[ 5 ]} وبرز الاهتمام بالخصائص الرياضية لأزمنة الوصول الأولى والنماذج والأساليب الإحصائية لتحليل بيانات البقاء بشكل مطرد بين منتصف القرن العشرين ونهايته. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

تُعد نماذج وقت الإصابة الأول فئة فرعية من نماذج البقاء .

من الأمثلة الشائعة على نماذج وقت الوصول الأول مشكلة الإفلاس ، مثل إفلاس المقامر . في هذا المثال، تمتلك جهة ما (غالباً ما تُوصف بالمقامر أو شركة التأمين) مبلغاً من المال يتغير عشوائياً مع مرور الوقت، وربما مع بعض الانحراف . يدرس النموذج حدث وصول مبلغ المال إلى الصفر، والذي يمثل الإفلاس. يمكن للنموذج الإجابة عن أسئلة مثل احتمال حدوث ذلك خلال فترة زمنية محددة، أو متوسط ​​الوقت اللازم لحدوثه.

يمكن تطبيق نماذج وقت الوصول الأول على الأعمار المتوقعة للمرضى أو الأجهزة الميكانيكية. فعندما تصل العملية إلى حالة عتبة ضارة لأول مرة، يتوفى المريض أو يتعطل الجهاز.

يُطلق على الوقت اللازم لجزيء للهروب من خلال فتحة ضيقة في حيز ضيق اسم مشكلة الهروب الضيق ، ويتم دراستها بشكل شائع في الفيزياء الحيوية وعلم الأحياء الخلوي .

يُعدّ نظام جسيم براون في بُعد واحد من أبسط الأنظمة العشوائية وأكثرها انتشارًا . يصف هذا النظام حركة جسيم يتحرك عشوائيًا في فضاء أحادي البُعد، باحتمالية متساوية للتحرك يمينًا أو يسارًا. ونظرًا لاستخدام حركة براون غالبًا كأداة لفهم ظواهر أكثر تعقيدًا، فمن المهم فهم احتمالية وصول جسيم براون، خلال مروره الأول، إلى موضع بعيد عن نقطة انطلاقه. ويتم ذلك من خلال الوسائل التالية.

تُحسب دالة كثافة الاحتمال (PDF) لجسيم في بُعد واحد بحل معادلة الانتشار أحادية البُعد . (تنص هذه المعادلة على أن كثافة احتمال الموضع تنتشر للخارج بمرور الوقت. وهذا يُشبه، على سبيل المثال، الكريمة في فنجان قهوة، حيث كانت الكريمة محصورة في مكان صغير في البداية. وبعد فترة طويلة، تنتشر الكريمة في جميع أنحاء المشروب بالتساوي).

${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t\mid x_{0})}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}p(x,t\mid x_{0})}{\partial x^{2}}},}$

بالنظر إلى الحالة الأولية${\displaystyle p(x,t={0}\mid x_{0})=\delta (x-x_{0})}$؛ أين${\displaystyle x(t)}$يمثل موضع الجسيم في وقت معين،${\displaystyle x_{0}}$يمثل الموضع الابتدائي للجسيم الموسوم، و${\displaystyle D}$ثابت الانتشار بوحدات النظام الدولي للوحدات${\displaystyle m^{2}s^{-1}}$(مقياس غير مباشر لسرعة الجسيم). يشير الخط في وسيط الاحتمال اللحظي إلى الاحتمال الشرطي. تنص معادلة الانتشار على أن معدل التغير بمرور الوقت في احتمال وجود الجسيم عند${\displaystyle x(t)}$يعتمد الموقع على التباطؤ على مسافة معينة لهذا الاحتمال عند ذلك الموقع.

يمكن إثبات أن دالة كثافة الاحتمال أحادية البعد هي

${\displaystyle p(x,t;x_{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right).}$

وهذا يعني أن احتمال العثور على الجسيم عند${\displaystyle x(t)}$هي دالة غاوسية، وعرض هذه الدالة يعتمد على الزمن. وبشكل أدق، فإن العرض الكامل عند نصف الارتفاع (FWHM) - وهو في الواقع المدة الكاملة عند نصف الارتفاع لأن المتغير المستقل هو الزمن - يتناسب مع

${\displaystyle {\rm {FWHM}}\sim {\sqrt {t}}.}$

باستخدام دالة كثافة الاحتمال، يمكن استخلاص متوسط ​​دالة معينة.${\displaystyle L}$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$:

${\displaystyle \langle L(t)\rangle \equiv \int _{-\infty }^{\infty }L(x,t)p(x,t)\,dx,}$

حيث يتم حساب المتوسط ​​على كامل المساحة (أو أي متغير قابل للتطبيق).

كثافة زمن المرور الأول ( FPTD) هي احتمال وصول الجسيم إلى نقطة ما لأول مرة${\displaystyle x_{c}}$في الوقت المحدد${\displaystyle t}$(ليس في وقت ما خلال الفترة حتى${\displaystyle t}$يمكن حساب كثافة الاحتمال هذه من احتمال البقاء (وهو مقياس احتمالي أكثر شيوعًا في الإحصاء). ضع في اعتبارك شرط الحدود الممتصة.${\displaystyle p(x_{c},t)=0}$(الرمز السفلي c لنقطة الامتصاص)${\displaystyle x_{c}}$(اختصار لكلمة cliff، وتُستخدم في العديد من النصوص كتشبيه لنقطة امتصاص). دالة كثافة الاحتمال التي تحقق شرط الحدود هذا تُعطى بواسطة

${\displaystyle p(x,t;x_{0},x_{c})={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x-(2x_{c}-x_{0}))^{2}}{4Dt}}\right)\right),}$

ل${\displaystyle x<x_{c}}$احتمالية البقاء، أي احتمالية بقاء الجسيم في موضع معين${\displaystyle x<x_{c}}$لجميع الأوقات حتى${\displaystyle t}$، يتم تحديده بواسطة

${\displaystyle S(t)\equiv \int _{-\infty }^{x_{c}}p(x,t;x_{0},x_{c})\,dx=\operatorname {erf} \left({\frac {x_{c}-x_{0}}{2{\sqrt {Dt}}}}\right),}$

أين${\displaystyle \operatorname {erf} }$هي دالة الخطأ . العلاقة بين احتمال البقاء و FPTD هي كما يلي: احتمال وصول الجسيم إلى نقطة الامتصاص بين الزمنين${\displaystyle t}$و${\displaystyle t+dt}$يكون${\displaystyle f(t)\,dt=S(t)-S(t+dt)}$إذا استخدمنا تقريب تايلور من الدرجة الأولى، فإن تعريف FPTD يتبع):

${\displaystyle f(t)=-{\frac {\partial S(t)}{\partial t}}.}$

باستخدام معادلة الانتشار والتكامل، تكون دالة توزيع زمن الوصول الصريحة هي

${\displaystyle f(t)\equiv {\frac {|x_{c}-x_{0}|}{\sqrt {4\pi Dt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {(x_{c}-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right).}$

وبالتالي فإن زمن المرور الأول لجزيء براوني يتبع توزيع ليفي .

ل${\displaystyle t\gg {\frac {(x_{c}-x_{0})^{2}}{4D}}}$ويترتب على ما سبق أن

${\displaystyle f(t)={\frac {\Delta x}{\sqrt {4\pi Dt^{3}}}}\sim t^{-3/2},}$

أين${\displaystyle \Delta x\equiv |x_{c}-x_{0}|}$تنص هذه المعادلة على أن احتمال وصول جسيم براوني إلى المرور الأول في وقت طويل (محدد في الفقرة أعلاه) يصبح صغيرًا بشكل متزايد، ولكنه دائمًا محدود .

تتباعد اللحظة الأولى لتوزيع FPTD (لأنه توزيع ذو ذيل سميك )، وبالتالي لا يمكن حساب متوسط ​​FPT، لذا يمكن بدلاً من ذلك حساب الوقت النموذجي ، وهو الوقت الذي يكون فيه FPTD في أقصى قيمة له (${\displaystyle \partial f/\partial t=0}$)، أي،

${\displaystyle \tau _{\rm {ty}}={\frac {\Delta x^{2}}{6D}}.}$

تُعدّ أوقات الوصول الأولى سمات أساسية للعديد من عائلات العمليات العشوائية، بما في ذلك عمليات بواسون ، وعمليات وينر ، وعمليات جاما ، وسلاسل ماركوف ، على سبيل المثال لا الحصر. قد تُمثّل حالة العملية العشوائية، على سبيل المثال، قوة نظام فيزيائي، أو صحة فرد، أو الوضع المالي لشركة. يفشل النظام أو الفرد أو الشركة، أو يمرّ بنقطة نهاية حرجة أخرى، عندما تصل العملية إلى حالة عتبة لأول مرة. قد يكون الحدث الحرج حدثًا سلبيًا (مثل عطل في المعدات، أو قصور القلب الاحتقاني، أو سرطان الرئة) أو حدثًا إيجابيًا (مثل التعافي من المرض، أو الخروج من المستشفى، أو الولادة، أو العودة إلى العمل بعد إصابة خطيرة). يُفسّر الوقت المنقضي حتى وقوع هذا الحدث الحرج عادةً بشكل عام على أنه "وقت البقاء". في بعض التطبيقات، تكون العتبة مجموعة من الحالات المتعددة، لذا يُؤخذ في الاعتبار أوقات الوصول الأولى المتنافسة للوصول إلى العتبة الأولى في المجموعة، كما هو الحال عند النظر في الأسباب المتنافسة لعطل في المعدات أو وفاة مريض.

غالبًا ما تتضمن التطبيقات العملية للنماذج النظرية لأوقات الوصول الأولى هياكل انحدار . عندما تُزود نماذج أوقات الوصول الأولى بهياكل انحدار، تستوعب بيانات المتغيرات المصاحبة، يُطلق على هذا النوع من هياكل الانحدار اسم انحدار العتبة . ^{[ 11 ]} قد تعتمد حالة العتبة، ومعلمات العملية، وحتى المقياس الزمني، على المتغيرات المصاحبة المقابلة. ظهر انحدار العتبة، عند تطبيقه على بيانات زمن الحدث، منذ بداية هذا القرن، ونما بسرعة، كما هو موضح في مقالة استقصائية نُشرت عام 2006 ^{[ 11 ]} ومراجعها. تم بحث الروابط بين نماذج انحدار العتبة المشتقة من أوقات الوصول الأولى ونموذج انحدار المخاطر النسبية لكوكس ^{[ 12 ] في [ 13 ]} . تتراوح تطبيقات انحدار العتبة عبر العديد من المجالات، بما في ذلك العلوم الفيزيائية والطبيعية، والهندسة، والعلوم الاجتماعية، والاقتصاد والأعمال، والزراعة، والصحة والطب. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

في العديد من التطبيقات الواقعية، يتكون نموذج وقت الوصول الأول (FHT) من ثلاثة مكونات أساسية: (1) عملية عشوائية أصلية${\displaystyle \{X(t)\}\,\,}$قد يكون هذا المسار كامنًا، (2) عتبة (أو حاجز)، و(3) مقياس زمني . يُعرَّف وقت الوصول الأول بأنه الوقت الذي تصل فيه العملية العشوائية إلى العتبة لأول مرة. من المهم جدًا التمييز بين ما إذا كان مسار العينة للعملية الأصلية كامنًا (أي غير قابل للملاحظة) أو قابلًا للملاحظة، ويُعد هذا التمييز سمة مميزة لنموذج FHT. تُعد العمليات الكامنة هي الأكثر شيوعًا. على سبيل المثال، يمكننا استخدام عملية وينر.${\displaystyle \{X(t),t\geq 0\,\}\,}$باعتبارها العملية العشوائية الأصلية. يمكن تعريف عملية وينر هذه باستخدام معامل المتوسط. ${\displaystyle {\mu }\,\,}$، معامل التباين ${\displaystyle {\sigma ^{2}}\,\,}$، والقيمة الأولية${\displaystyle X(0)=x_{0}>0\,}$.

قد يكون المقياس الزمني للعملية العشوائية هو الوقت التقويمي أو الوقت الفعلي، أو مقياسًا عمليًا آخر لتطور الزمن، مثل عدد الكيلومترات المقطوعة في سيارة، أو التآكل المتراكم على أحد مكونات الآلة، أو التعرض المتراكم للأبخرة السامة. في العديد من التطبيقات، تكون العملية العشوائية التي تصف حالة النظام كامنة أو غير قابلة للملاحظة، ويجب استنتاج خصائصها بشكل غير مباشر من بيانات الوقت حتى الحدث الخاضعة للرقابة، و/أو القراءات المأخوذة بمرور الوقت على عمليات مترابطة، مثل عمليات المؤشرات. يشير مصطلح "الانحدار" في انحدار العتبة إلى نماذج وقت الوصول الأول، حيث يتم إدخال بنية انحدار واحدة أو أكثر في النموذج لربط معلمات النموذج بالمتغيرات التفسيرية أو المتغيرات المصاحبة. قد تكون المعلمات المعطاة لبنى الانحدار معلمات العملية العشوائية، أو حالة العتبة، و/أو المقياس الزمني نفسه.

• مشكلة الهروب الضيق
• تحليل البقاء
• نماذج المخاطر النسبية

• ويتمور، جي إيه (1986). "نماذج زمن المرور الأول لهياكل انحدار بيانات المدة والمخاطر المتنافسة". الإحصائي . 35 (2): 207-219 . doi : 10.2307/2987525 . JSTOR 2987525 . 
• ويتمور، جي إيه (1995). "تقدير التدهور الناتج عن عملية انتشار وينر مع مراعاة خطأ القياس". تحليل بيانات العمر الافتراضي . 1 (3): 307-319 . doi : 10.1007/BF00985762 . PMID 9385107. S2CID 28077957 .  
• ويتمور، جي إيه؛ كراودر، إم جيه؛ لوليس، جيه إف (1998). "استنتاج الفشل من عملية مؤشرية بناءً على نموذج وينر ثنائي المتغيرات". تحليل بيانات العمر الافتراضي . 4 (3): 229-251 . doi : 10.1023/A:1009617814586 . PMID 9787604. S2CID 43301120 .  
• ريدنر، س. (2001). دليل عمليات المرور الأول . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-65248-0.
• لي، م.-ل.ت.؛ ويتمور، ج.أ. (2006). "الانحدار العتبة لتحليل البقاء: نمذجة أوقات الأحداث بواسطة عملية عشوائية". العلوم الإحصائية . 21 (4): 501-513 . arXiv : 0708.0346 . doi : 10.1214/088342306000000330 . S2CID 88518120 . 
• باشيلير، ل. (1900). "Théorie de la Spéculation" . الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة . 3 (17): 21– 86. دوى : 10.24033/asens.476 .
• شرودنغر، إي. (1915). "Zur Theorie der Fall-und Steigver suche an Teilchen mit Brownscher Bewegung". Physikalische Zeitschrift . 16 : 289 - 295.
• سمولوتشوفسكي، إم في (1915). "Notiz über die Berechnung der Brownschen Molekularbewegung bei der Ehrenhaft-millikanschen Ver suchsanordnung". Physikalische Zeitschrift . 16 : 318 - 321.
• لوندبيرغ، ف. (1903). تقريبًا Framställning av Sannolikehetsfunktionen, Återförsäkering av Kollektivrisker . المقفيست وويكسل، أوبسالا.
• تويدي، إم سي كيه (1945). "المتغيرات الإحصائية العكسية" . مجلة نيتشر . 155 (3937): 453. رمز Bibcode : 1945Natur.155..453T . doi : 10.1038/155453a0 .
• تويدي، إم سي كيه (1957). "الخواص الإحصائية لتوزيعات غاوس المعكوسة - الجزء الأول" . حوليات الإحصاء الرياضي . 28 (2): 362-377 . doi : 10.1214/aoms/1177706964 .
• تويدي، إم سي كيه (1957). "الخواص الإحصائية لتوزيعات غاوس المعكوسة - الجزء الثاني" . حوليات الإحصاء الرياضي . 28 (3): 696-705 . doi : 10.1214/aoms/1177706881 .
• ويتمور، جي إيه؛ نيوفيلدت، إيه إتش (1970). "تطبيق النماذج الإحصائية في أبحاث الصحة النفسية". نشرة الرياضيات والفيزياء الحيوية . 32 (4): 563-579 . doi : 10.1007/BF02476771 . PMID 5513393 . 
• لانكستر، ت. (1972). "نموذج احتمالي لمدة الإضراب". مجلة الجمعية الملكية للإحصاء، السلسلة أ . 135 (2): 257-271 . doi : 10.2307/2344321 . JSTOR 2344321 . 
• كوكس، د. ر. (1972). " نماذج الانحدار وجداول الحياة (مع مناقشة)". مجلة الجمعية الملكية للإحصاء، السلسلة ب . 187 : 187-230 . doi : 10.1111/j.2517-6161.1972.tb00899.x
• لي، م.-ل.ت.؛ ويتمور، ج.أ. (2010). "المخاطر النسبية الحدية والانحدار الحدي: صلاتهما النظرية والعملية" . تحليل بيانات العمر . 16 (2): 196-214 . doi : 10.1007/s10985-009-9138-0 . PMC 6447409. PMID 19960249 .  
• آرون، إس دي؛ رامزي، تي؛ فانديمهين، ك؛ ويتمور، جي إيه (2010). "نموذج انحدار العتبة للتفاقمات المتكررة في مرض الانسداد الرئوي المزمن". مجلة علم الأوبئة السريرية . 63 (12): 1324-1331 . doi : 10.1016/j.jclinepi.2010.05.007 . PMID 20800447 . 
• شامباز، أ.؛ شودات، د.؛ هوبر، س.؛ بايرون، ج.؛ فان دير لان، م. ج. (2014). "تحليل التعرض المهني للأسبستوس بناءً على نمذجة الانحدار العتبة لبيانات دراسة الحالات والشواهد" . الإحصاء الحيوي . 15 (2): 327-340 . doi : 10.1093/biostatistics/kxt042 . PMID 24115271 . 
• آرون، إس دي؛ ستيفنسون، إيه إل؛ كاميرون، دي دبليو؛ ويتمور، جي إيه (2015). "نموذج إحصائي للتنبؤ بخطر الوفاة خلال عام واحد لدى مرضى التليف الكيسي". مجلة علم الأوبئة السريرية . 68 (11): 1336-1345 . doi : 10.1016/j.jclinepi.2014.12.010 . PMID 25655532 . 
• هي، إكس؛ ويتمور، جي إيه؛ لو، جي واي؛ هوشبرغ، إم سي؛ لي، إم إل تي (2015). " نموذج لزمن الكسر مع تيار الصدمة المتراكب على التدهور التدريجي: دراسة كسور هشاشة العظام" . الإحصاء في الطب . 34 (4): 652-663 . doi : 10.1002/sim.6356 . PMC 4314426. PMID 25376757 .  
• هو، و.هـ.؛ تشوانغ، هـ.ي.؛ لي، م.ل.ت. (2016). "نموذج انحدار العتبة للتنبؤ بالعودة إلى العمل بعد إصابة الأطراف الرضية". الإصابة . 47 (2): 483-489 . doi : 10.1016/j.injury.2015.11.032 . PMID 26746983 .