عملية جاما

الموسوعة الحرة
عمليتان جاما مختلفتان من الوقت 0 حتى الوقت 4. العملية الحمراء لها عدد مرات حدوث أكبر في الإطار الزمني مقارنة بالعملية الزرقاء لأن معلمة شكلها أكبر من معلمة شكل العملية الزرقاء.

عملية غاما ، وتُسمى أيضًا مُرَافِق موران-غاما ، [ 1 ] هي عملية عشوائية ذات مُعاملين تُنمذج تراكم الجهد أو التآكل بمرور الوقت. تتميز عملية غاما بزيادات مستقلة وثابتة تتبع توزيع غاما ، ومن هنا جاءت التسمية. تُدرس عملية غاما في الرياضيات والإحصاء ونظرية الاحتمالات والإحصاء العشوائي ، مع تطبيقات خاصة في نمذجة التدهور [ 2 ] والتمويل الرياضي . [ 3 ]

الترميز

غالبًا ما يتم اختصار عملية جاما إلىX(ت)≡Γ(ت؛γ،λ){\displaystyle X(t)\equiv \Gamma (t;\gamma ,\lambda )}أينت{\displaystyle t}يمثل الوقت من 0. معامل الشكلγ{\displaystyle \gamma }يتحكم (عكسيًا) في حجم القفزة، ومعامل المعدلλ{\displaystyle \lambda }يتحكم في معدل وصول القفزات، على غرار توزيع جاما. [ 4 ] كلاهماγ{\displaystyle \gamma }وλ{\displaystyle \lambda }يجب أن تكون القيمة أكبر من صفر. نستخدم دالة جاما وتوزيع جاما في هذه المقالة، لذا ينبغي على القارئ التمييز بينهما.Γ(⋅){\displaystyle \Gamma (\cdot )}(دالة غاما)،Γ(γ،λ){\displaystyle \Gamma (\gamma ,\lambda )}(توزيع جاما)، وΓ(ت؛γ،λ){\displaystyle \Gamma (t;\gamma ,\lambda )}(عملية جاما).

تعريف

العملية عبارة عن عملية ليفي متزايدة ذات قفزة خالصة مع قياس الكثافةν(x)=γx-1خبرة⁡(-λx)،{\displaystyle \nu (x)=\gamma x^{-1}\exp(-\lambda x),}لكل الإيجابياتx{\displaystyle x}يُفترض أن العملية تبدأ من القيمة 0 عندت=0{\displaystyle t=0}معنىX(0)=0{\displaystyle X(0)=0}وبالتالي، فإن القفزات التي يقع حجمها في الفترة[x،x+دx){\displaystyle [x,x+dx)}يحدث ذلك كعملية بواسون ذات شدةν(x)دx.{\displaystyle \nu (x)\,dx.}

ويمكن تعريف هذه العملية أيضاً بأنها عملية عشوائيةX(ت)،ت≤0{\displaystyle X(t),t\leq 0}معX(0)=0{\displaystyle X(0)=0}والزيادات المستقلة، التي يتم توزيعها الهامشيو{\displaystyle f}المتغير العشوائيX(ت)-X(s){\displaystyle X(t)-X(s)}لزيادةل=ت-s≥0{\displaystyle l=ts\geq 0}يتم تحديده بواسطة [ 4 ]و(x؛ل،γ،λ)=Γ(γل،λ)=λγلΓ(γل)xγل-1هـ-λx.{\displaystyle f(x;l,\gamma ,\lambda )=\Gamma (\gamma l,\lambda )={\frac {\lambda ^{\gamma l}}{\Gamma (\gamma l)}}x^{\gamma l-1}e^{-\lambda x}.}

عملية غير متجانسة

من الممكن أيضًا السماح بمعامل الشكلγ{\displaystyle \gamma }أن يتغير كدالة للزمن،γ(ت){\displaystyle \gamma (t)}[ 4 ]​

ملكيات

المتوسط ​​والتباين

لأن القيمة في كل وقتت{\displaystyle t}له معنىγت/λ{\displaystyle \gamma t/\lambda }والتباينγت/λ2،{\displaystyle \gamma t/\lambda ^{2},}[ 5 ] يتم أحيانًا تحديد معلمات عملية جاما بدلالة المتوسط ​​(μ{\displaystyle \mu }) والتباين (v{\displaystyle v}) من الزيادة لكل وحدة زمنية. هذه تحققγ=μ2/v{\displaystyle \gamma =\mu ^{2}/v}وλ=μ/v{\displaystyle \lambda =\mu /v}.

التوسع

ضرب عملية غاما بثابت قياسيα{\displaystyle \alpha }وهي مرة أخرى عملية جاما بمعدل زيادة متوسط ​​مختلف. αΓ(ت؛γ،λ)≃Γ(ت؛γ،λ/α){\displaystyle \alpha \Gamma (t;\gamma ,\lambda )\simeq \Gamma (t;\gamma ,\lambda /\alpha )}

إضافة عمليات مستقلة

إن مجموع عمليتين مستقلتين من نوع جاما هو أيضاً عملية جاما. Γ(ت؛γ1،λ)+Γ(ت؛γ2،λ)≃Γ(ت؛γ1+γ2،λ){\displaystyle \Gamma (t;\gamma _{1},\lambda )+\Gamma (t;\gamma _{2},\lambda )\simeq \Gamma (t;\gamma _{1}+\gamma _{2},\lambda )}

لحظات

تساعد دالة العزم علماء الرياضيات في إيجاد القيم المتوقعة والتباينات والالتواء والتفرطح. هـ⁡(Xتن)=λ-ن⋅Γ(γت+ن)Γ(γت)، ن≥0،{\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}^{n})=\lambda ^{-n}\cdot {\frac {\Gamma (\gamma t+n)}{\Gamma (\gamma t)}},\ \quad n\geq 0,} أينΓ(z){\displaystyle \Gamma (z)}هي دالة جاما .

دالة توليد العزوم

دالة توليد العزوم هي القيمة المتوقعة لـخبرة⁡(تX){\displaystyle \exp(tX)}حيث X هو المتغير العشوائي . هـ⁡(خبرة⁡(θXت))=(1-θλ)-γت، θ<λ{\displaystyle \operatorname {E} {\Big (}\exp(\theta X_{t}){\Big )}=\left(1-{\frac {\theta }{\lambda }}\right)^{-\gamma t},\ \quad \theta <\lambda }

علاقة

يُظهر الارتباط العلاقة الإحصائية بين أي عمليتين من عمليات جاما. مراسل⁡(Xs،Xت)=sت، s<ت{\displaystyle \operatorname {Corr} (X_{s},X_{t})={\sqrt {\frac {s}{t}}},\ s<t}، لأي عملية جاماX(ت).{\displaystyle X(t).}

تُستخدم عملية غاما كتوزيع للتغير الزمني العشوائي في عملية غاما التباينية . تحديدًا، ينتج عن دمج الحركة البراونية مع عملية غاما عملية غاما تباينية، [ 6 ] ويمكن كتابة عملية غاما التباينية على أنها الفرق بين عمليتي غاما. [ 3 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

مراجع

  • أبلباوم، ديفيد (2004). عمليات ليفي وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . كامبريدج، المملكة المتحدة؛ نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-83263-2.
  • فو، مايكل؛ مادان، ديليب ب. (2007). التطورات في التمويل الرياضي . بوسطن: بيركهاوزر. ISBN 978-0-8176-4545-8.
  • كلينك، آخيم (2008). نظرية الاحتمالات: دورة شاملة . لندن: سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-84800-048-3_24 . ISBN 978-1-84800-048-3.
  • سانشيز-سيلفا، ماوريسيو؛ كلوتكي، جورجيا-آن (2016). موثوقية وتحليل دورة حياة الأنظمة المتدهورة . تشام: سبرينغر. ISBN 978-3-319-20946-3.