الهيمنة العشوائية

الهيمنة العشوائية هي ترتيب جزئي بين المتغيرات العشوائية . ^{[ 1 ] [ 2 ]} وهي شكل من أشكال الترتيب العشوائي . يُستدل على هذا المفهوم في نظرية القرار وتحليل القرار كما يلي: وفقًا لنظرية القرار القياسية، يمتلك صانع القرار دالة منفعة .${\displaystyle U(x)}$التي تُشفّر تفضيلاتهم ، وإذا احتاج صانع القرار للاختيار بين عدة مخاطرات، فإن نتيجة كل مخاطرة هي توزيع احتمالي على النتائج الممكنة (المعروفة أيضًا باسم الاحتمالات)، ويمكن كتابتها على النحو التالي:${\displaystyle X_{0},X_{1},\dots }$ثم ينبغي على صانع القرار أن يختار بشكل عقلاني${\displaystyle X_{i}}$الذي يحقق أقصى قدر${\displaystyle \mathbb {E} [U(X_{i})]}$.

في الحالات الأكثر عمومية، قد لا تكون دالة المنفعة لصانع القرار معروفة بدقة، وبالتالي لا يمكن تطبيق الإجراء المذكور أعلاه. ومع ذلك، إذا توفرت لدينا بعض التفاصيل الجزئية حول دالة المنفعة، فقد يكون ذلك كافيًا لاستنتاج شيء من قبيل "أي دالة منفعة".${\displaystyle U}$يجب أن يحقق الشرط المحدد ما يلي${\displaystyle \mathbb {E} [U(X_{i})]\geq \mathbb {E} [U(X_{j})]}$في هذه الحالة، نقول إن${\displaystyle X_{i}}$"يهيمن بشكل عشوائي"${\displaystyle X_{j}}$إن النفور من المخاطرة لا يُعد عاملاً إلا في الهيمنة العشوائية من الدرجة الثانية. ^{[ 3 ]}

لا يُعطي الهيمنة العشوائية ترتيبًا كليًا ، بل ترتيبًا جزئيًا فقط . ففي بعض أزواج الرهانات، لا يهيمن أي منهما عشوائيًا على الآخر، إذ يختلف أعضاء فئة صناع القرار فيما بينهم حول أي الرهانين أفضل، دون أن يُعتبر أي منهما جذابًا بنفس القدر.

طوال المقال،${\displaystyle \rho ,\nu }$تمثل التوزيعات الاحتمالية على${\displaystyle \mathbb {R} }$، بينما${\displaystyle A,B,X,Y,Z}$تمثل متغيرات عشوائية محددة${\displaystyle \mathbb {R} }$. الترميز${\displaystyle X\sim \rho }$هذا يعني أن${\displaystyle X}$يتم توزيعها${\displaystyle \rho }$.

توجد سلسلة من ترتيبات الهيمنة العشوائية، بدءًا من الصفر.${\displaystyle \succeq _{0}}$، إلى الأول${\displaystyle \succeq _{1}}$، إلى الثاني${\displaystyle \succeq _{2}}$، إلى مراتب أعلى${\displaystyle \succeq _{n}}$كل واحدة منها أكثر شمولاً من سابقتها. أي، إذا${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$، ثم${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$للجميع${\displaystyle k\geq n}$علاوة على ذلك، يوجد${\displaystyle \rho ,\nu }$بحيث${\displaystyle \rho \succeq _{n+1}\nu }$لكن ليس${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$كل مستوى من مستويات الهيمنة العشوائية يتوافق مع افتراضات أقوى حول دالة منفعة صانع القرار. وكلما كانت هذه الافتراضات أقوى، زاد عدد أزواج المخاطرات التي يمكن ترتيبها.

يمكن إرجاع مفهوم الهيمنة العشوائية إلى (بلاكويل، 1953)، ^{[ 4 ]} ولكن لم يتم تطويره حتى عامي 1969-1970. ^{[ 3 ]}

أبسط حالات الهيمنة العشوائية هي الهيمنة على مستوى الولاية (المعروفة أيضًا بالهيمنة على مستوى كل ولاية على حدة ). الفكرة هي أن أي شخص يفضل المزيد على الأقل (أي لديه تفضيلات متزايدة بشكل رتيب ) سيفضل دائمًا (بشكل ضعيف) رهانًا مهيمنًا على مستوى الولاية. ويتم تعريفها على النحو التالي:

متغير عشوائي${\displaystyle A}$هي مهيمنة على مستوى الحالة على المتغير العشوائي${\displaystyle B}$لو${\displaystyle A}$يعطي نتيجة جيدة على الأقل في كل حالة (كل مجموعة ممكنة من النتائج).

بالرموز،${\displaystyle P(A\geq B)=1}$يُكتب هذا على النحو التالي:${\displaystyle A\succeq _{0}B}$.

لتحقيق الهيمنة الصارمة على مستوى الدولة، يلزم شرط إضافي:${\displaystyle A}$يُعطي نتيجة أفضل بشكل واضح في حالة واحدة على الأقل. بالرموز،${\displaystyle P(A\geq B)=1}$و${\displaystyle P(A>B)>0}$يُكتب هذا على النحو التالي:${\displaystyle A\succ _{0}B}$.

وبالمثل، إذا${\displaystyle P(A=B)=1}$ثم كلاهما${\displaystyle A\succeq _{0}B}$و${\displaystyle B\succeq _{0}A}$، لذا${\displaystyle A\sim _{0}B}$وهما متكافئان من حيث الهيمنة على مستوى الدولة.

على سبيل المثال، إذا أُضيف دولار واحد إلى جائزة أو أكثر في اليانصيب، فإن اليانصيب الجديد يتفوق على اليانصيب القديم لأنه يُحقق عائدًا أفضل بغض النظر عن الأرقام التي فاز بها اليانصيب. وبالمثل، إذا كانت وثيقة تأمين ضد المخاطر ذات قسط أقل وتغطية أفضل من وثيقة أخرى، فإن النتيجة ستكون أفضل سواءً مع وقوع ضرر أو بدونه.

الهيمنة على مستوى الحالة تعني الهيمنة العشوائية من الدرجة الأولى (FSD) ، ^{[ 5 ]} والتي تُعرَّف على النحو التالي:

يتمتع المتغير العشوائي A بهيمنة عشوائية من الدرجة الأولى على المتغير العشوائي B إذا كان، لأي نتيجة x ، يُعطي A احتمالًا للحصول على x على الأقل مساويًا لاحتمال B، وبالنسبة لبعض قيم x ، يُعطي A احتمالًا أعلى للحصول على x على الأقل . (بصيغة الترميز،${\displaystyle P[A\geq x]\geq P[B\geq x]}$لكل x.

هذا مكتوب على النحو التالي:${\displaystyle A\succeq _{1}B}$على غرار حالة الرتبة الصفرية،${\displaystyle A\succ _{1}B}$يتطلب الشرط الإضافي: بالنسبة لبعض قيم x ،${\displaystyle P[A\geq x]>P[B\geq x]}$.

فيما يتعلق بدوال التوزيع التراكمي ،${\displaystyle A\succeq _{1}B}$هذا يعني أن${\displaystyle F_{A}(x)\leq F_{B}(x)}$لكل x .${\displaystyle A\succ _{1}B}$يتطلب الشرط الإضافي التالي:${\displaystyle F_{A}(x)<F_{B}(x)}$بالنسبة للبعض${\displaystyle x}$.

لو${\displaystyle A,B}$إذا كانت قابلة للمقارنة وفقًا لهيمنة الدرجة الأولى،${\displaystyle \forall x,F_{A}(x)\leq F_{B}(x)}$أو${\displaystyle \forall x,F_{A}(x)\geq F_{B}(x)}$في كلتا الحالتين، نقول إن "توزيعات${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$لا تتقاطع.

متى${\displaystyle A,B}$تُعتبر قابلة للمقارنة وفقًا لـ${\displaystyle \succeq _{1}}$يختبر اختبار ويلكوكسون لمجموع الرتب الهيمنة العشوائية من الدرجة الأولى. ^{[ 6 ]}

النوع الآخر الشائع الاستخدام من الهيمنة العشوائية هو الهيمنة العشوائية من الدرجة الثانية . ^{[ 1 ] [ 8 ] [ 9 ]} وبعبارة أخرى، بالنسبة لمقامرتين${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle \nu }$المقامرة${\displaystyle \rho }$يتمتع بهيمنة عشوائية من الدرجة الثانية على المقامرة${\displaystyle \nu }$إذا كان الخيار الأول أكثر قابلية للتنبؤ (أي ينطوي على مخاطر أقل) وله متوسط ​​لا يقل عن المتوسط ​​الأعلى. يُفضل جميع من يسعون إلى تعظيم المنفعة المتوقعة مع تجنب المخاطر (أي أولئك الذين لديهم دوال منفعة متزايدة ومقعرة) المقامرة المهيمنة عشوائيًا من الدرجة الثانية على المقامرة الخاضعة. يصف الهيمنة من الدرجة الثانية التفضيلات المشتركة لفئة أصغر من صناع القرار (أولئك الذين يرون أن المزيد أفضل والذين يتجنبون المخاطر، وليس جميع أولئك الذين يرون أن المزيد أفضل) مقارنةً بالهيمنة من الدرجة الأولى.

من حيث دوال التوزيع التراكمي${\displaystyle F_{\rho }}$و${\displaystyle F_{\nu }}$،${\displaystyle \rho }$مهيمنة عشوائية من الدرجة الثانية على${\displaystyle \nu }$إذا وفقط إذا${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\geq 0}$للجميع${\displaystyle x}$، مع وجود تفاوت صارم في بعض${\displaystyle x}$أو بعبارة أخرى،${\displaystyle \rho }$يهيمن${\displaystyle \nu }$في الرتبة الثانية إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]}$لجميع دوال المنفعة غير المتناقصة والمقعرة${\displaystyle u(x)}$.

يمكن التعبير عن الهيمنة العشوائية من الدرجة الثانية أيضًا على النحو التالي: المقامرة${\displaystyle \rho }$تهيمن احتمالية الرتبة الثانية${\displaystyle \nu }$إذا وفقط إذا كانت هناك بعض المخاطرات${\displaystyle y}$و${\displaystyle z}$بحيث ${\displaystyle x_{\nu }{\overset {d}{=}}(x_{\rho }+y+z)}$، مع${\displaystyle y}$دائماً أقل من أو يساوي الصفر، ومع${\displaystyle \mathbb {E} (z\mid x_{\rho }+y)=0}$لجميع قيم${\displaystyle x_{\rho }+y}$هنا يتم إدخال المتغير العشوائي${\displaystyle y}$اصنع${\displaystyle \nu }$يهيمن عشوائياً من الدرجة الأولى بواسطة${\displaystyle \rho }$(تحضير${\displaystyle \nu }$(غير مرغوب فيه من قبل أولئك الذين لديهم دالة منفعة متزايدة)، وإدخال المتغير العشوائي${\displaystyle z}$يُقدّم هذا البحث تباينًا يحافظ على المتوسط ​​في${\displaystyle \nu }$وهو ما لا يروق لأصحاب المنفعة المقعرة. لاحظ أنه إذا${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle \nu }$يكون لها نفس المتوسط ​​(بحيث يكون المتغير العشوائي${\displaystyle y}$إذا تدهورت إلى العدد الثابت 0)، فعندئذٍ${\displaystyle \nu }$هو انتشار يحافظ على المتوسط ​​لـ${\displaystyle \rho }$.

يترك${\displaystyle F_{\rho }}$و${\displaystyle F_{\nu }}$لتكن دوال التوزيع التراكمي لاستثمارين مختلفين${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle \nu }$.${\displaystyle \rho }$يهيمن${\displaystyle \nu }$في الرتبة الثالثة إذا وفقط إذا كان كلاهما

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}\left(\int _{-\infty }^{z}[F_{\nu }(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\right)dz\geq 0{\text{ for all }}x,}$
• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)}$.

وبعبارة أخرى،${\displaystyle \rho }$يهيمن${\displaystyle \nu }$في الرتبة الثالثة إذا وفقط إذا${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }U(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }U(x)}$للجميع${\displaystyle U\in D_{3}}$.

المجموعة${\displaystyle D_{3}}$له تعريفان متكافئان:

• مجموعة دوال المنفعة غير المتناقصة والمقعرة ذات التوزيع الموجب المنحرف (أي أن مشتقتها الثالثة غير سالبة في جميع أجزائها). ^{[ 10 ]}
• مجموعة دوال المنفعة غير المتناقصة والمقعرة، بحيث يكون لأي متغير عشوائي${\displaystyle Z}$دالة المخاطرة مقابل القسط${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$هي دالة غير متزايدة بشكل رتيب لـ${\displaystyle x}$[ ^{11 ]​}

هنا،${\displaystyle \pi _{u}(x,Z)}$يُعرَّف بأنه حل المشكلة$${\displaystyle u(x+\mathbb {E} [Z]-\pi )=\mathbb {E} [u(x+Z)].}$$للاطلاع على مزيد من التفاصيل، يرجى زيارة صفحة قسط التأمين ضد المخاطر .

تم تحليل مستويات أعلى من الهيمنة العشوائية، بالإضافة إلى تعميمات للعلاقة الثنائية بين ترتيبات الهيمنة العشوائية وفئات دوال التفضيل. ^{[ 12 ]} ولعلّ أقوى معايير الهيمنة يعتمد على الافتراض الاقتصادي المقبول بتناقص النفور المطلق من المخاطرة . ^{[ 13 ] [ 14 ]} وينطوي هذا على العديد من التحديات التحليلية، ويجري العمل حاليًا على بذل جهود بحثية لمعالجة هذه التحديات. ^{[ 15 ]}

بشكل رسمي، يتم تعريف الهيمنة العشوائية من الرتبة n على النحو التالي ^{[ 16 ]}

• لأي توزيع احتمالي${\displaystyle \rho }$على${\displaystyle [0,\infty )}$، تعريف الدوال استقرائياً:

$${\displaystyle F_{\rho }^{1}(t)=F_{\rho }(t),\quad F_{\rho }^{2}(t)=\int _{0}^{t}F_{\rho }^{1}(x)dx,\quad \cdots }$$

• لأي توزيعين احتماليين${\displaystyle \rho ,\nu }$على${\displaystyle [0,\infty )}$يُعرَّف الهيمنة العشوائية من الرتبة n، سواء كانت صارمة أو غير صارمة، على النحو التالي:$${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad F_{\rho }^{n}\leq F_{\nu }^{n}{\text{ on }}[0,\infty )}$$$${\displaystyle \rho \succ _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad \rho \succeq _{n}\nu {\text{ and }}\rho \neq \nu }$$

هذه العلاقات متعدية وتزداد شمولاً بشكل متزايد. هذا إذا${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$، ثم${\displaystyle \rho \succeq _{k}\nu }$للجميع${\displaystyle k\geq n}$علاوة على ذلك، يوجد${\displaystyle \rho ,\nu }$بحيث${\displaystyle \rho \succeq _{n+1}\nu }$لكن ليس${\displaystyle \rho \succeq _{n}\nu }$.

عرّف العزم النوني كما يلي:${\displaystyle \mu _{k}(\rho )=\mathbb {E} _{X\sim \rho }[X^{k}]=\int x^{k}dF_{\rho }(x)}$، ثم

يمكن استخدام علاقات الهيمنة العشوائية كقيود في مسائل التحسين الرياضي ، وخاصة البرمجة العشوائية . ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} في مسألة تعظيم دالة حقيقية${\displaystyle f(X)}$حول المتغيرات العشوائية${\displaystyle X}$في مجموعة${\displaystyle X_{0}}$قد نطلب أيضًا ما يلي:${\displaystyle X}$يهيمن بشكل عشوائي على معيار عشوائي ثابت${\displaystyle B}$في هذه المسائل، تؤدي دوال المنفعة دور مُضاعِفات لاغرانج المرتبطة بقيود الهيمنة العشوائية. وفي ظل شروط مناسبة، يكون حل المسألة أيضًا حلاً (محليًا على الأرجح) للمسألة التي تهدف إلى تعظيم ${\displaystyle f(X)+\mathbb {E} [u(X)-u(B)]}$زيادة${\displaystyle X}$في${\displaystyle X_{0}}$، أين${\displaystyle u(x)}$هي دالة منفعة معينة. إذا تم استخدام قيد الهيمنة العشوائية من الدرجة الأولى، فإن دالة المنفعة${\displaystyle u(x)}$غير متناقصة ؛ إذا تم استخدام قيد الهيمنة العشوائية من الدرجة الثانية،${\displaystyle u(x)}$دالة غير متناقصة ومقعرة . يمكن لنظام المعادلات الخطية اختبار ما إذا كان حل معين فعالاً لأي دالة منفعة من هذا القبيل. ^{[ 20 ]} يمكن التعامل مع قيود الهيمنة العشوائية من الدرجة الثالثة باستخدام البرمجة المحدبة المقيدة تربيعيًا (QCP). ^{[ 21 ]}

• نظرية المحفظة الحديثة
• الهيمنة العشوائية الشرطية الهامشية
• توسيع المجموعة المستجيبة - يعادل الهيمنة العشوائية في سياق علاقات التفضيل.
• المحفز الكمي
• كفاءة باريتو الترتيبية
• الهيمنة المعجمية