نظرية المحفظة الحديثة

تفترض نظرية المحفظة الحديثة (MPT) أن المستثمرين المتجنبين للمخاطر لن يقبلوا بتقلبات أعلى إلا إذا تم تعويضهم بعوائد متوقعة أعلى. ^{[ 6 ]} عائد الأصل الفردي${\displaystyle R_{i}}$يُعرَّف بأنه إجمالي صافي العائد .

بحسب فئة الأصول، فإن عنصر الدخل${\displaystyle D_{t}}$والسعر${\displaystyle P}$يتم تعريفها بشكل محدد:

• بالنسبة للأسهم:${\displaystyle D_{t}}$يمثل أرباح الأسهم.
• للسندات:${\displaystyle D_{t}}$تمثل هذه المدفوعات قيمة القسائم، والأسعار${\displaystyle P}$تُعامل على أنها أسعار غير نظيفة (السعر النظيف + الفائدة المستحقة)${\displaystyle S=K\cdot {\frac {f}{100}}\cdot {\frac {A}{D}}}$).

حساب إجمالي العائد الصافي

عنصر	صيغة
إجمالي صافي العائد (${\displaystyle R_{i}}$)	${\displaystyle R_{i}={\frac {(P_{t}+S_{t}-C_{sale})-(P_{t-1}+S_{t-1}+C_{buy})+D_{t}}{P_{t-1}+S_{t-1}+C_{buy}}}}$

تعريف المتغيرات (حسب ترتيب الصيغة)

ولعكس الأداء الصافي الواقعي، تم تعريف مكونات معادلة العائد على النحو التالي:

• ${\displaystyle P}$(سعر السوق): السعر المعلن للأصل في نهاية الفترة (${\displaystyle P_{t}}$) والبداية (${\displaystyle P_{t-1}}$).
• ${\displaystyle S}$(الفائدة المستحقة): تُحسب على النحو التالي${\displaystyle K\cdot {\frac {f}{100}}\cdot {\frac {A}{D}}}$، أين${\displaystyle K}$هي القيمة الاسمية،${\displaystyle f}$هو معدل الكوبون، و${\displaystyle A/D}$^{[ 7 ]} هو جزء من عدد الأيام.
• ${\displaystyle C_{sale}}$/${\displaystyle C_{buy}}$(تكاليف المعاملات): تشمل عمولات الوساطة، ورسوم الصرف، وضرائب المعاملات المالية، ورسوم الحفظ التي يتم توزيعها بالتناسب على فترة الاحتفاظ. ^{[ 8 ]}
• ${\displaystyle D_{t}}$(التوزيعات): الرمز العالمي للدخل الدوري، مثل أرباح الأسهم أو مدفوعات الكوبونات للسندات.

مقاييس مخاطر وعوائد المحفظة

تعقيد	العائد المتوقع${\displaystyle \operatorname {E} (R_{p})}$	التباين (المخاطرة)${\displaystyle \sigma _{p}^{2}}$
أصل واحد	${\displaystyle \operatorname {E} (R_{A})}$	${\displaystyle \sigma _{A}^{2}}$
أصلان	${\displaystyle w_{A}\operatorname {E} (R_{A})+w_{B}\operatorname {E} (R_{B})}$	${\displaystyle \underbrace {w_{A}^{2}\sigma _{A}^{2}+w_{B}^{2}\sigma _{B}^{2}} _{\text{مكون التباين}}+\underbrace {2w_{A}w_{B}\sigma _{A}\sigma _{B}\rho _{AB}} _{\text{مكون الارتباط}}}$
ثلاثة أصول	${\displaystyle \sum _{i=A}^{C}w_{i}\operatorname {E} (R_{i})}$	${\displaystyle \underbrace {\sum w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}} _{\text{التباين}}+\underbrace {2w_{A}w_{B}\sigma _{AB}+2w_{A}w_{C}\sigma _{AC}+2w_{B}w_{C}\sigma _{BC}} _{\text{التغايرات الزوجية}}}$
أصول N	${\displaystyle \mathbf {w} ^{\intercal }{\boldsymbol {\mu }}}$	${\displaystyle \mathbf {w} ^{\intercal }\Sigma \mathbf {w} }$

نظرية المحفظة الحديثة (MPT) هي نظرية المتوسط ​​والتباين، وتقارن العائد المتوقع (المتوسط) لمحفظة استثمارية بالانحراف المعياري لنفس المحفظة. يوضح الرسم البياني العائد المتوقع على المحور الرأسي، والانحراف المعياري على المحور الأفقي (التقلب). يُوصف التقلب بالانحراف المعياري، ويُستخدم كمقياس للمخاطر. ^{[ 10 ]}

يُطلق على " مساحة العائد مقابل الانحراف المعياري " أحيانًا اسم مساحة "العائد المتوقع مقابل المخاطرة". ويمكن تمثيل كل توليفة ممكنة من الأصول الخطرة في هذه المساحة، وتُحدد مجموعة جميع هذه المحافظ الاستثمارية الممكنة منطقةً ضمن هذه المساحة.

الحد الأيسر لهذه المنطقة قطع زائد، ^{[ 11 ]} والجزء العلوي من هذا الحد يمثل الحد الأمثل في غياب أصل خالٍ من المخاطر (يُسمى أحيانًا "رصاصة ماركويتز"). تمثل التوليفات على طول هذا الحد العلوي محافظ استثمارية (لا تتضمن أي أصول خالية من المخاطر) ذات أدنى مستوى من المخاطر لعائد متوقع محدد. وبالمثل، تمثل المحفظة الواقعة على الحد الأمثل التوليفة التي توفر أفضل عائد متوقع ممكن لمستوى مخاطرة محدد. المماس للجزء العلوي من الحد الزائد هو خط تخصيص رأس المال (CAL) . يمثل رأس القطع الزائد محفظة الحد الأدنى العالمي للتباين (GMVP) ، وهي المحفظة ذات أدنى مستوى ممكن من المخاطر بين جميع توليفات الأصول الخطرة.

تُفضل المصفوفات لحسابات الحدود الفعالة.

في شكل مصفوفة، بالنسبة لـ "مستوى معين من تحمل المخاطر"${\displaystyle q\in [0,\infty )}$يتم إيجاد الحد الأمثل عن طريق تقليل التعبير التالي:

${\displaystyle w^{T}\سيجما w-qR^{T}w}$

أين

• ${\displaystyle w\in \mathbb {R} ^{N}}$هو متجه لأوزان المحفظة و${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1.}$(يمكن أن تكون الأوزان سالبة)؛
• ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {R} ^{N\times N}}$هي مصفوفة التغاير لعوائد الأصول في المحفظة؛
• ${\displaystyle q\geq 0}$هو عامل "تحمل المخاطر"، حيث ينتج عن القيمة 0 محفظة استثمارية ذات مخاطر ضئيلة و${\displaystyle \infty }$ينتج عن ذلك محفظة استثمارية بعيدة للغاية على الحدود، حيث يكون كل من العائد المتوقع والمخاطر غير محدودين؛
• ${\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{N}}$هو متجه للعوائد المتوقعة.
• ${\displaystyle w^{T}\Sigma w\in \mathbb {R} }$هو تباين عائد المحفظة الاستثمارية.
• ${\displaystyle R^{T}w\in \mathbb {R} }$هو العائد المتوقع على المحفظة.

تُحدد عملية التحسين المذكورة أعلاه النقطة على الحدّ الذي يكون عنده مقلوب ميل الحدّ مساويًا لـ q إذا تم تمثيل تباين عائد المحفظة أفقيًا بدلًا من الانحراف المعياري. الحدّ بأكمله مُعامل على q .

طوّر هاري ماركويتز إجراءً خاصًا لحل المشكلة المذكورة أعلاه، يُسمى خوارزمية الخط الحرج ^{[ 12 ]} ، وهو قادر على التعامل مع قيود خطية إضافية، وحدود عليا وسفلى للأصول، وقد ثبتت فعاليته مع مصفوفة تباين شبه موجبة محددة. توجد أمثلة لتطبيق خوارزمية الخط الحرج في لغة فيجوال بيسك للتطبيقات ^{[ 13 ]} ، وفي جافا سكريبت ^{[ 14 ]} ، وفي عدد قليل من اللغات الأخرى.

كما أن العديد من حزم البرامج، بما في ذلك MATLAB و Microsoft Excel و Mathematica و R ، توفر إجراءات تحسين عامة بحيث يكون من الممكن استخدامها لحل المشكلة المذكورة أعلاه، مع وجود محاذير محتملة (ضعف الدقة العددية، ومتطلبات التحديد الإيجابي لمصفوفة التغاير ...).

يتمثل أحد الأساليب البديلة لتحديد الحدود الكفؤة في القيام بذلك بشكل بارامتري بناءً على العائد المتوقع للمحفظة${\displaystyle R^{T}w.}$يتطلب هذا الإصدار من المشكلة أن نقوم بتقليل

${\displaystyle w^{T}\Sigma w}$

رهناً بـ

${\displaystyle R^{T}w=\mu }$

و

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=1}$

للمعامل${\displaystyle \mu }$يمكن حل هذه المشكلة بسهولة باستخدام مضاعف لاغرانج الذي يؤدي إلى نظام المعادلات الخطية التالي:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\Sigma &-R&-{\bf {1}}\\R^{T}&0&0\\{\bf {1}}^{T}&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\\mu \\1\end{bmatrix}}}$

من النتائج الأساسية لتحليل ماركويتز نظرية الصندوقين الاستثماريين (المعروفة أيضًا بنظرية الفصل). ^{[ 15 ]} تنص هذه النظرية رياضيًا على أنه يمكن بناء أي محفظة استثمارية على الحد الأمثل للكفاءة كمزيج خطي من أي محفظتين استثماريتين مختلفتين موجودتين بالفعل على هذا الحد.

رياضياً، إذا${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle P_{2}}$إذا كان لدينا محفظتان كفؤتان، فإن أي محفظة كفؤة ثالثة ستكون كافية.${\displaystyle P_{target}}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

$${\displaystyle P_{target}=\alpha P_{1}+(1-\alpha )P_{2}}$$أين${\displaystyle \alpha }$هو عامل الترجيح. لأن الأصول الأساسية في${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle P_{2}}$يتم تقييمها بناءً على إجمالي صافي العائد (بما في ذلك مكاسب رأس المال والأرباح الموزعة والفوائد، بعد خصم تكاليف المعاملات)، والمزيج الناتج${\displaystyle P_{target}}$يشمل ذلك بشكل أساسي جميع مصادر الدخل والمصروفات.

هذا يعني أنه في حال عدم وجود أصل خالٍ من المخاطر، يمكن للمستثمر تحقيق أي مستوى مثالي من المخاطر والعوائد باستخدام صندوقين استثماريين فقط (المحفظتين الأساسيتين). ويعتمد تكوين المحفظة على الموقع المستهدف بالنسبة للصندوقين.

• مراكز الشراء (${\displaystyle 0<\alpha <1}$): إذا كانت المحفظة المستهدفة${\displaystyle P_{target}}$يقع على الجزء الحدودي بين${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle P_{2}}$، يخصص المستثمر نسبة موجبة${\displaystyle \alpha }$إلى الصندوق 1 و${\displaystyle 1-\alpha }$لتمويل 2. لا حاجة للاقتراض أو البيع على المكشوف.
• البيع على المكشوف والرافعة المالية: إذا كان الهدف يقع على منحنى الحدود ولكنه خارج الشريحة بين الصندوقين، فيجب على المستثمر استخدام البيع على المكشوف :
  • صندوق البيع على المكشوف 2 (${\displaystyle \alpha >1}$): لتحقيق عائد أعلى من كليهما${\displaystyle P_{1}}$و${\displaystyle P_{2}}$(بافتراض${\displaystyle E(R_{1})>E(R_{2})}$)، يقوم المستثمر ببيع الصندوق 2 على المكشوف (وزن سلبي) ويستثمر أكثر من 100% من رأس ماله في الصندوق 1.
  • صندوق البيع على المكشوف 1 (${\displaystyle \alpha <0}$): لتحقيق عائد أقل من كلا الصندوقين (أو لتقليل المخاطر خارج النطاق المحدد)، يقوم المستثمر ببيع الصندوق 1 بيعاً مكشوفاً ويستثمر العائدات في الصندوق 2.

تكتسب هذه النظرية أهمية بالغة لأنها تبسط مسألة التحسين المعقدة: فبمجرد تحديد الحد الأمثل، لم يعد المستثمر بحاجة إلى تحليل كل أصل على حدة (سهم، سند، إلخ)، بل يكفيه اختيار المزيج الأمثل من محفظتين استثماريتين على الحد الأمثل لتلبية مستوى تحمله للمخاطر. ^{[ 9 ]}

الأصل الخالي من المخاطر هو الأصل النظري الذي يدفع معدل فائدة ثابتًا وخاليًا من المخاطر . ^{[ 8 ]} عمليًا، تُستخدم الأوراق المالية الحكومية قصيرة الأجل، مثل سندات الخزانة الأمريكية ، كبديل للأصل الخالي من المخاطر نظرًا لمدفوعات الفائدة الثابتة وانخفاض مخاطر التخلف عن السداد . ^{[ 7 ]} بحسب التعريف، يتميز الأصل الخالي من المخاطر بانعدام التباين في العوائد عند الاحتفاظ به حتى تاريخ استحقاقه، ويظل غير مرتبط بأي أصل أو محفظة استثمارية خطرة. ^{[ 9 ]} بالتالي، عند دمجه مع محفظة استثمارية خطرة، يكون التغير الناتج في العائد المتوقع مرتبطًا خطيًا بالتغير في المخاطر مع تغير نسب التخصيص. ^{[ 16 ]}

يؤدي إدخال أصل خالٍ من المخاطر إلى تحويل الحد الأمثل إلى نصف خط مستقيم مماس لنقطة ماركويتز عند المحفظة ذات أعلى نسبة شارب . ^{[ 8 ]} يمثل التقاطع الرأسي لهذا الخط محفظة مخصصة بنسبة 100% للأصل الخالي من المخاطر${\displaystyle R_{F}}$^{[ 17 ]} تشير نقطة التماس إلى محفظة استثمارية بنسبة 100% في أصول عالية المخاطر، بينما تمثل القطاعات الواقعة بين نقطة التقاطع ونقطة التماس محافظ إقراض (طويلة الأجل) .${\displaystyle R_{F}}$^{[ 9 ]} تمثل النقاط الممتدة خارج نقطة التماس محافظ الاقتراض، حيث يستفيد المستثمر من محفظة التماس عالية المخاطر عن طريق بيع الأصل الخالي من المخاطر على المكشوف. [ ^{8 ] يُعرَّف} هذا الموضع الفعال بخط تخصيص رأس المال (CAL)، ويُعبَّر عنه بالصيغة التالية:

صيغة خط تخصيص رأس المال (CAL)

عنصر	معادلة
العائد المتوقع (${\displaystyle E(R_{C})}$)	${\displaystyle E(R_{C})=R_{F}+\sigma _{C}{\frac {E(R_{P})-R_{F}}{\sigma _{P}}}}$

في هذا السياق، يُمثل P محفظة الأصول الخطرة، بينما يُمثل F الأصل الخالي من المخاطر، و C المحفظة المُجمعة. ^{[ 16 ]} إدخال${\displaystyle R_{F}}$يُحسّن هذا النهج مجموعة فرص الاستثمار، إذ يوفر منحنى العائد المشروط (CAL) عائدًا متوقعًا أعلى لكل مستوى من المخاطر مقارنةً بالمنحنى الزائد الذي يعتمد على الأصول الخطرة فقط. ^{[ 8 ]} يُعرف مبدأ إمكانية تحقيق جميع المستثمرين لأفضل عائد مقابل المخاطر باستخدام أصل خالٍ من المخاطر وصندوق استثماري واحد فقط بنظرية فصل صناديق الاستثمار المشتركة ، وتحديدًا نظرية الصندوق الواحد. ^{[ 17 ]}

يمكن تصوير الحدود الكفؤة كمسألة في منحنيات تربيعية . ^{[ 15 ]} في السوق، لدينا الأصول${\displaystyle R_{1},R_{2},\dots ,R_{n}}$لدينا بعض الأموال، والمحفظة الاستثمارية هي طريقة لتقسيم أموالنا إلى أصول. ويمكن تمثيل كل محفظة استثمارية كمتجه.${\displaystyle w_{1},w_{2},\dots ,w_{n}}$بحيث${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$ونحن نحتفظ بالأصول وفقًا لـ${\displaystyle w^{T}R=\sum _{i}w_{i}R_{i}}$.

رصاصة ماركويتز

بما أننا نرغب في تعظيم العائد المتوقع مع تقليل الانحراف المعياري للعائد، فعلينا حل مسألة تحسين تربيعية:$${\displaystyle {\begin{cases}E[w^{T}R]=\mu \\\min \sigma ^{2}=Var[w^{T}R]\\\sum _{i}w_{i}=1\end{cases}}}$$المحافظ الاستثمارية هي نقاط في الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$تنص المعادلة الثالثة على أن المحفظة يجب أن تقع على مستوى محدد بواسطة${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$تنص المعادلة الأولى على أن المحفظة يجب أن تقع على مستوى محدد بواسطة${\displaystyle w^{T}E[R]=\mu }$أما الشرط الثاني فينص على أن المحفظة يجب أن تقع على سطح الكفاف لـ${\displaystyle \sum _{ij}w_{i}\rho _{ij}w_{j}}$أي أقرب ما يمكن إلى نقطة الأصل. وبما أن المعادلة تربيعية، فإن كل سطح كفافي من هذا القبيل هو قطع ناقص (بافتراض أن مصفوفة التغاير${\displaystyle \rho _{ij}}$(قابلة للعكس). لذلك، يمكننا حل مسألة التحسين التربيعي بيانيًا برسم خطوط كونتورية بيضاوية على المستوى.${\displaystyle \sum _{i}w_{i}=1}$ثم قم بتقاطع الخطوط الكنتورية مع المستوى${\displaystyle \{w:w^{T}E[R]=\mu {\text{ and }}\sum _{i}w_{i}=1\}}$مع تقلص الخطوط الإهليلجية، سيصبح أحدها في النهاية مماساً تماماً للمستوى، قبل أن تنفصل الخطوط تماماً عن المستوى. تمثل نقطة التماس المحفظة المثلى عند هذا المستوى من العائد المتوقع.

بينما نختلف${\displaystyle \mu }$، وتختلف نقطة التماس أيضًا، ولكنها تقع دائمًا على خط واحد (هذه هي نظرية الصناديق المشتركة ).

لنفترض أن الخط مُعَلمٌّ بالمعاملات التالية:${\displaystyle \{w+w't:t\in \mathbb {R} \}}$نجد أنه على طول الخط،$${\displaystyle {\begin{cases}\mu &=(w'^{T}E[R])t+w^{T}E[R]\\\sigma ^{2}&=(w'^{T}\rho w')t^{2}+2(w^{T}\rho w')t+(w^{T}\rho w)\end{cases}}}$$إعطاء قطع زائد في${\displaystyle (\sigma ,\mu )}$المستوى. للقطع الزائد فرعان، متناظران بالنسبة إلى${\displaystyle \mu }$المحور. ومع ذلك، الفرع الذي يحتوي فقط على${\displaystyle \sigma >0}$له معنى. وبسبب التناظر، يتقاطع خطا التقارب للقطع الزائد عند نقطة واحدة.${\displaystyle \mu _{MVP}}$على${\displaystyle \mu }$المحور. النقطة${\displaystyle \mu _{mid}}$يمثل ارتفاع النقطة اليسرى للقطع الزائد، ويمكن تفسيره على أنه العائد المتوقع لمحفظة الحد الأدنى من التباين العالمي (global MVP).

محفظة تانجنسي

توجد محفظة التماس إذا وفقط إذا${\displaystyle \mu _{RF}<\mu _{MVP}}$.

وعلى وجه الخصوص، إذا كان العائد الخالي من المخاطر أكبر من أو يساوي${\displaystyle \mu _{MVP}}$إذاً، لا توجد محفظة مماسية . يصبح خط سوق رأس المال (CML) موازياً لخط التقارب العلوي للقطع الزائد. تصبح النقاط الواقعة على خط سوق رأس المال مستحيلة الوصول إليها، على الرغم من إمكانية الاقتراب منها من الأسفل.

يُفترض عادةً أن العائد الخالي من المخاطر أقل من عائد القيمة السوقية العالمية الدنيا، لكي توجد محفظة التماس. ومع ذلك، حتى في هذه الحالة،${\displaystyle \mu _{RF}}$الأساليب${\displaystyle \mu _{MVP}}$من الأسفل، يتحول نموذج محفظة التماس إلى محفظة ذات عائد وتباين لا نهائيين. ونظرًا لوجود عدد محدود من الأصول في السوق، يجب أن تتضمن هذه المحفظة بيعًا مكثفًا لبعض الأصول وشراءً مكثفًا لأصول أخرى. عمليًا، يستحيل تحقيق محفظة التماس هذه، لأنه لا يمكن بيع أي أصل بكميات كبيرة بسبب قيود البيع على المكشوف ، وأيضًا بسبب تأثير السعر ، أي أن شراء كمية كبيرة من أصل ما سيرفع سعره، مما يخالف افتراض أن أسعار الأصول لا تعتمد على المحفظة.

ينقسم إجمالي مخاطر الأصل الفردي أو المحفظة إلى عنصرين متميزين: المخاطر المحددة والمخاطر النظامية. ^{[ 19 ]}

• يرتبط الخطر المحدد (المعروف أيضًا بالخطر القابل للتنويع، أو الخطر الفريد، أو الخطر الخاص) بالأصول الفردية. ويمكن التخفيف من هذه المخاطر ضمن المحفظة الاستثمارية من خلال التنويع ، حيث تميل تحركات الأسعار الفريدة للأصول غير المترابطة إلى إلغاء بعضها البعض. ^{[ 20 ]}
• يشير مصطلح المخاطر النظامية (المعروفة أيضًا باسم مخاطر السوق أو المخاطر غير القابلة للتنويع) إلى المخاطر المشتركة بين جميع الأوراق المالية في سوق معينة، والناجمة عن عوامل الاقتصاد الكلي. ^{[ 21 ]}

لأن المستثمرين العقلانيين يستطيعون التخلص من المخاطر الفريدة دون أي تكلفة من خلال التنويع، فإن السوق لا يوفر سوى علاوة مخاطرة لتحمل المخاطر النظامية. ^{[ 22 ]} وهذا يعني أن العائد المتوقع للأصل لا يتحدد بتباينه الكلي، بل بتباينه المشترك مع محفظة السوق. ^{[ 23 ]} وبالتالي، يجب أن يتغير سعر التوازن للأصل حتى يتوافق عائده المعدل حسب المخاطر مع خط سوق الأوراق المالية الموضح في الرسم البياني. ^{[ 24 ]} وبناءً على هذه الافتراضات، يجب أن تقدم الأصول ذات معامل بيتا نفسه العائد المتوقع نفسه، بغض النظر عن خصائص المخاطر الفردية الخاصة بها. ^{[ 25 ]} هذا التمييز الجوهري هو أساس إدارة المحافظ الحديثة، حيث يتمثل الهدف في تحسين التعرض للعوامل النظامية المُكافَأة مع تحييد الضوضاء الفردية غير المُكافَأة. ^{[ 26 ]}

تحليل المخاطر المتقدم (نموذج المؤشر الواحد)

المكون (الرمز)	الصيغة الرياضية	وصف
إجمالي المخاطر (${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$)	${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=\beta _{i}^{2}\sigma _{M}^{2}+\sigma ^{2}(\epsilon _{i})}$	مجموع مكونات التباين المنتظم والخاص.
المكون المنهجي (${\displaystyle \beta _{i}^{2}\sigma _{M}^{2}}$)	${\displaystyle \underbrace {\left({\frac {\operatorname {Cov} (R_{i},R_{M})}{\sigma _{M}^{2}}}\right)^{2}} _{\beta _{i}^{2}}\sigma _{M}^{2}}$	المخاطر المنسوبة إلى حساسية الأصل لتحركات السوق (تباين السوق)${\displaystyle \sigma _{M}^{2}}$).
مكون محدد (${\displaystyle \sigma ^{2}(\epsilon _{i})}$)	${\displaystyle \sigma ^{2}(\epsilon _{i})}$	التباين المتبقي (حد الخطأ)${\displaystyle \epsilon _{i}}$(خاصة بالشركة؛ الجزء القابل للتنويع من المخاطر).
عامل بيتا (${\displaystyle \beta _{i}}$)	${\displaystyle \beta _{i}={\frac {\operatorname {Cov} (R_{i},R_{M})}{\sigma _{M}^{2}}}=\rho _{i,M}{\frac {\sigma _{i}}{\sigma _{M}}}}$	حساسية الأصول بالنسبة للسوق (يتم تحديدها عن طريق التباين المشترك)${\displaystyle \sigma _{i,M}}$والارتباط${\displaystyle \rho _{i,M}}$). [ 8 ]
النسبة النظامية (${\displaystyle R^{2}}$)	${\displaystyle R^{2}={\frac {\beta _{i}^{2}\sigma _{M}^{2}}{\sigma _{i}^{2}}}}$	معامل التحديد (الذي يوضح النسبة المئوية للمخاطر الإجمالية التي تعتبر منهجية). [ 9 ]

يستمد نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (CAPM) العائد المتوقع النظري المطلوب لأصل ما، مع الأخذ في الاعتبار معدل العائد الخالي من المخاطر ومخاطر السوق ككل. ويتم تعريفه رسميًا بواسطة خط سوق الأوراق المالية (SML) .

معادلة نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (خط سوق الأوراق المالية)
$${\displaystyle \operatorname {E} (R_{i})=R_{f}+\beta _{i}(\operatorname {E} (R_{m})-R_{f})}$$
عامل وصف ${\displaystyle R_{f}}$ معدل العائد الخالي من المخاطر (العائد على استثمار بدون مخاطر، مثل وديعة مصرفية أو سند مدعوم من الحكومة). ${\displaystyle \beta _{i}}$(بيتا) مقياس حساسية الأصول للسوق بشكل عام؛ تم التوصل إليه من خلال تحليل الانحدار على البيانات التاريخية. ${\displaystyle E(R_{m})-R_{f}}$ علاوة السوق (العائد الزائد المتوقع لمحفظة السوق مقارنة بسعر الفائدة الخالي من المخاطر)${\displaystyle R_{f}}$).

اشتقاق معادلة نموذج تسعير الأصول الرأسمالية

يوضح الجدول التالي الأثر الهامشي لإضافة أصل a إلى محفظة السوق m . في حالة التوازن، يجب أن يكون المكسب الهامشي في العائد المتوقع لكل وحدة من المخاطرة الهامشية متطابقًا لجميع الأصول. ^{[ 18 ]}

خطوات الاشتقاق الرياضي

خطوة	صيغة	المنطق / الافتراض
1. المخاطرة الهامشية	${\displaystyle \Delta \sigma _{P}\approx 2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}}$	بما أن الوزن${\displaystyle w_{a}}$صغير جدًا، الحد التربيعي (${\displaystyle w_{a}^{2}}$يختفي.
2. العائد الهامشي	${\displaystyle \Delta E(R_{P})=w_{a}(E(R_{a})-R_{f})}$	العائد الإضافي الذي تم الحصول عليه من خلال التخصيص${\displaystyle w_{a}}$(مقارنةً بالمعدل الخالي من المخاطر)${\displaystyle R_{f}}$).
3. نسبة التوازن	${\displaystyle {\frac {w_{a}(E(R_{a})-R_{f})}{2w_{m}w_{a}\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}}}={\frac {E(R_{m})-R_{f}}{2\sigma _{m}^{2}}}}$	يجب أن يتناسب التحسن الناتج عن الأصل مع نسبة العائد إلى المخاطرة في السوق.
4. حل المعادلة لـ${\displaystyle E(R_{a})}$	${\displaystyle E(R_{a})=R_{f}+[E(R_{m})-R_{f}]{\frac {\rho _{am}\sigma _{a}\sigma _{m}}{\sigma _{m}^{2}}}}$	إعادة الترتيب الجبري (عزل العائد المتوقع)${\displaystyle E(R_{a})}$).
5. النسخة التجريبية النهائية	${\displaystyle E(R_{a})=R_{f}+\beta _{a}(E(R_{m})-R_{f})}$	استبدال تعريف بيتا (${\displaystyle \beta _{a}={\frac {\sigma _{am}}{\sigma _{m}^{2}}}}$(باستخدام هوية التغاير).

التقدير والتطبيق

يتم تقدير معادلة CAPM إحصائياً باستخدام خط خصائص الأوراق المالية (SCL) ، والذي يقوم بتحليل انحدار العائد الزائد للسهم مقابل العائد الزائد للسوق:

معادلة SCL (التقدير الإحصائي)
$${\displaystyle {\text{SCL}}:R_{i,t}-R_{f}=\alpha _{i}+\beta _{i}(R_{M,t}-R_{f})+\epsilon _{i,t}}$$
المتغير (الرمز) وصف ${\displaystyle \alpha _{i}}$(ألفا) يمثل التقاطع العائد غير الطبيعي. نظريًا، قيمة ألفا المتوقعة تساوي صفرًا (${\displaystyle \alpha =0}$). ${\displaystyle \beta _{i}}$(بيتا) ميل خط الانحدار، الذي يمثل المخاطر النظامية للأصل. ${\displaystyle R_{i,t},R_{M,t}}$ عوائد الأصل والسوق في نقطة زمنية محددة (${\displaystyle t}$). ${\displaystyle R_{f}}$ معدل العائد الخالي من المخاطر (على سبيل المثال، عائد الودائع المصرفية أو السندات الحكومية). ${\displaystyle \epsilon _{i,t}}$(مصطلح الخطأ) العائد المتبقي أو الخاص (المخاطر المحددة) الفريد للشركة.

بمجرد تحقيق العائد المتوقع المطلوب${\displaystyle E(R_{i})}$عند تحديدها، يتم استخدامها كمعدل خصم لتحديد القيمة الجوهرية للأصل بناءً على التدفقات النقدية المستقبلية (CF):

التقييم الأساسي (القيمة الحالية)
$${\displaystyle {\text{Value}}_{0}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {E(CF_{t})}{(1+E(R_{i}))^{t}}}}$$
عامل وصف ${\displaystyle Value_{0}}$ السعر العادل النظري (القيمة الحالية) اليوم. ${\displaystyle E(CF_{t})}$ التدفق النقدي المتوقع خلال الفترة${\displaystyle t}$. ${\displaystyle E(R_{i})}$ معدل العائد المطلوب المشتق من نموذج تسعير الأصول الرأسمالية (معدل الخصم). ${\displaystyle n}$ إجمالي عدد الفترات (الأفق الزمني).

يُعتبر الأصل **مُقوَّمًا بأقل من قيمته الحقيقية** إذا تم حسابه${\displaystyle Value_{0}}$أعلى من سعر السوق الحالي، و**مبالغ في قيمته** إذا تجاوز السعر هذه القيمة الجوهرية.

يطبق بعض الخبراء نظرية المحفظة الحديثة على محافظ المشاريع والأصول الأخرى إلى جانب الأدوات المالية. ^{[ 46 ] [ 47 ]} وعند تطبيق هذه النظرية خارج نطاق المحافظ المالية التقليدية، يجب مراعاة بعض الفروقات بين أنواع المحافظ المختلفة.

1. تُعتبر الأصول في المحافظ المالية، عمليًا، قابلة للتجزئة بشكل مستمر، بينما تُعتبر محافظ المشاريع غير منتظمة. فعلى سبيل المثال، بينما يُمكننا حساب أن التوزيع الأمثل لثلاثة أسهم هو، على سبيل المثال، 44%، 35%، 21%، فإن التوزيع الأمثل لمحفظة مشروع قد لا يسمح لنا ببساطة بتغيير المبلغ المُنفق على المشروع. قد تكون المشاريع إما استثمارًا كليًا أو لا شيء، أو على الأقل، لها وحدات منطقية غير قابلة للفصل. لذا، يجب أن تأخذ طريقة تحسين المحفظة في الاعتبار الطبيعة المنفصلة للمشاريع.
2. تتميز أصول المحافظ المالية بالسيولة، إذ يمكن تقييمها أو إعادة تقييمها في أي وقت. إلا أن فرص إطلاق مشاريع جديدة قد تكون محدودة، وقد تظهر خلال فترات زمنية قصيرة. ولا يمكن التخلي عن المشاريع التي بدأت بالفعل دون خسارة التكاليف الغارقة (أي أن قيمة استرداد/إنقاذ مشروع غير مكتمل ضئيلة أو معدومة).

لا يُلغي أيٌّ من هذين الأمرين بالضرورة إمكانية استخدام نظرية المحفظة الحديثة (MPT) ومحافظ الاستثمار المماثلة. إنما يُشيران فقط إلى ضرورة إجراء عملية التحسين مع مجموعة إضافية من القيود المُصاغة رياضياً والتي لا تنطبق عادةً على محافظ الاستثمار المالية.

علاوة على ذلك، فإن بعض أبسط عناصر نظرية المحفظة الحديثة قابلة للتطبيق على أي نوع من المحافظ الاستثمارية تقريبًا. ويمكن تطبيق مفهوم تحديد مدى تقبّل المستثمر للمخاطر من خلال توثيق مقدار المخاطر المقبولة مقابل عائد معين على مجموعة متنوعة من مشاكل تحليل القرار. تستخدم نظرية المحفظة الحديثة التباين التاريخي كمقياس للمخاطر، ولكن محافظ الأصول، مثل المشاريع الكبرى، لا تمتلك "تباينًا تاريخيًا" محددًا بدقة. في هذه الحالة، يمكن التعبير عن حدود الاستثمار في نظرية المحفظة الحديثة بعبارات أكثر عمومية، مثل "احتمالية أن يكون العائد على الاستثمار أقل من تكلفة رأس المال" أو "احتمالية خسارة أكثر من نصف الاستثمار". عندما تُعرَّف المخاطر من حيث عدم اليقين بشأن التوقعات والخسائر المحتملة، يصبح المفهوم قابلاً للتطبيق على أنواع مختلفة من الاستثمارات. ^{[ 46 ]}