توزيع فيشر الهندسي الفائق غير المركزي

تنطبق علاقات التناظر التالية:

${\displaystyle \operatorname {fnchypg} (x;n,m_{1},N,\omega )=\operatorname {fnchypg} (nx;n,m_{2},N,1/\omega )\,.}$

${\displaystyle \operatorname {fnchypg} (x;n,m_{1},N,\omega )=\operatorname {fnchypg} (x;m_{1},n,N,\omega )\,.}$

${\displaystyle \operatorname {fnchypg} (x;n,m_{1},N,\omega )=\operatorname {fnchypg} (m_{1}-x;Nn,m_{1},N,1/\omega )\,.}$

علاقة التكرار:

${\displaystyle \operatorname {fnchypg} (x;n,m_{1},N,\omega )=\operatorname {fnchypg} (x-1;n,m_{1},N,\omega ){\frac {(m_{1}-x+1)(n-x+1)}{x(m_{2}-n+x)}}\omega \,.}$

يُطلق على هذا التوزيع اسم "الخنزير الصغير" على سبيل المودة، وذلك بناءً على اصطلاح الاختصار المذكور أعلاه.

يمكن اشتقاق التوزيع الهندسي الفائق غير المركزي أحادي المتغير كتوزيع شرطي في سياق متغيرين عشوائيين موزعين توزيعًا ثنائيًا، على سبيل المثال عند دراسة الاستجابة لعلاج معين في مجموعتين مختلفتين من المرضى المشاركين في تجربة سريرية. ومن التطبيقات المهمة للتوزيع الهندسي الفائق غير المركزي في هذا السياق حساب فترات الثقة الدقيقة لنسبة الأرجحية عند مقارنة الاستجابة للعلاج بين المجموعتين.

لنفترض أن X و Y متغيران عشوائيان موزعان توزيعًا ثنائيًا، يمثلان عدد المستجيبين في مجموعتين متناظرتين بحجم m _X و m _Y على التوالي.

${\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (m_{X},\pi _{X}),\quad Y\sim \operatorname {Bin} (m_{Y},\pi _{Y})\,}$.

نسبة احتمالاتهم هي

${\displaystyle \omega ={\frac {\omega _{X}}{\omega _{Y}}}={\frac {\pi _{X}/(1-\pi _{X})}{\pi _{Y}/(1-\pi _{Y})}}}$.

انتشار المستجيبين${\displaystyle \pi _{i}}$يتم تحديدها بالكامل من حيث الاحتمالات${\displaystyle \omega _{i}}$،${\displaystyle i\in \{X,Y\}}$والتي تتوافق مع تحيز أخذ العينات في مخطط الجرة المذكور أعلاه، أي

${\displaystyle \pi _{i}={\frac {\omega _{i}}{1+\omega _{i}}}}$.

يمكن تلخيص التجربة وتحليلها من خلال جدول الطوارئ التالي.

في الجدول،${\displaystyle n=x+y}$يمثل هذا العدد الإجمالي للمستجيبين في جميع المجموعات، بينما يمثل N العدد الإجمالي للمرضى الذين تم تجنيدهم في التجربة. تشير النقاط إلى عدد التكرارات المقابلة التي لا علاقة لها بالموضوع.

توزيع عينة المستجيبين في المجموعة X بناءً على نتيجة التجربة ومعدلات الانتشار، ${\displaystyle Pr(X=x\;|\;X+Y=n,m_{X},m_{Y},\omega _{X},\omega _{Y})}$، هي دالة هندسية فائقة غير مركزية:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(X,\omega ):&=Pr(X=x\;|\;X+Y=n,m_{X},m_{Y},\omega _{X},\omega _{Y})\\&={\frac {Pr(X=x,X+Y=n\;|\;m_{X},m_{Y},\omega _{X},\omega _{Y})}{Pr(X+Y=n\;|\;m_{X},m_{Y},\omega _{X},\omega _{Y})}}\\&={\frac {Pr(X=x\;|\;m_{X},\omega _{X})Pr(Y=n-x\;|\;m_{Y},\omega _{Y},X=x)}{Pr(X+Y=n\;|\;m_{X},m_{Y},\omega _{X},\omega _{Y})}}\\&={\frac {{\binom {m_{X}}{x}}\pi _{X}^{x}(1-\pi _{X})^{m_{X}-x}{\binom {m_{Y}}{n-x}}\pi _{Y}^{n-x}(1-\pi _{Y})^{m_{Y}-(n-x)}}{Pr(X+Y=n\;|\;m_{X},m_{Y},\omega _{X},\omega _{Y})}}\\&={\frac {{\binom {m_{X}}{x}}\omega _{X}^{x}(1-\pi _{X})^{m_{X}}{\binom {m_{Y}}{n-x}}\omega _{Y}^{n-x}(1-\pi _{Y})^{m_{Y}}}{Pr(X+Y=n\;|\;m_{X},m_{Y},\omega _{X},\omega _{Y})}}\\&={\frac {{\binom {m_{X}}{x}}{\binom {m_{Y}}{n-x}}\omega ^{x}(1-\pi _{X})^{m_{X}}\omega _{Y}^{n}(1-\pi _{Y})^{m_{Y}}}{(1-\pi _{X})^{m_{X}}\omega _{Y}^{n}(1-\pi _{Y})^{m_{Y}}\sum _{u=\max(0,n-m_{Y})}^{\min(m_{X},n)}{\binom {m_{X}}{u}}{\binom {m_{Y}}{n-u}}\omega ^{u}}}\\&={\frac {{\binom {m_{X}}{x}}{\binom {m_{Y}}{n-x}}\omega ^{x}}{\sum _{u=\max(0,n-m_{Y})}^{\min(m_{X},n)}{\binom {m_{X}}{u}}{\binom {m_{Y}}{n-u}}\omega ^{u}}}\end{aligned}}}$

لاحظ أن المقام هو في الأساس نفس البسط، بعد جمعه على جميع أحداث فضاء العينة المشترك.${\displaystyle (X,Y)}$ولذلك يرى أن${\displaystyle X+Y=n}$يمكن إخراج الحدود المستقلة عن X من المجموع وحذفها من البسط.

ترتيب الألوان عشوائي بحيث يمكن تبديل أي لون.

يمكن تغيير حجم الأوزان بشكل تعسفي:

${\displaystyle \operatorname {mfnchypg} (\mathbf {x} ;n,\mathbf {m} ,{\boldsymbol {\omega }})=\operatorname {mfnchypg} (\mathbf {x} ;n,\mathbf {m} ,r{\boldsymbol {\omega }})\,\,}$للجميع${\displaystyle r\in \mathbb {R} _{+}.}$

يمكن حذف الألوان ذات الرقم الصفري ( m _i = 0) أو الوزن الصفري (ω _i = 0) من المعادلات.

يمكن دمج الألوان ذات الوزن نفسه:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\operatorname {mfnchypg} \left(\mathbf {x} ;n,\mathbf {m} ,(\omega _{1},\ldots ,\omega _{c-1},\omega _{c-1})\right)\\&{}=\operatorname {mfnchypg} \left((x_{1},\ldots ,x_{c-1}+x_{c});n,(m_{1},\ldots ,m_{c-1}+m_{c}),(\omega _{1},\ldots ,\omega _{c-1})\right)\,\cdot \\&\qquad \operatorname {hypg} (x_{c};x_{c-1}+x_{c},m_{c},m_{c-1}+m_{c})\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \operatorname {hypg} (x;n,m,N)}$هو احتمال التوزيع الهندسي الفائق (أحادي المتغير، المركزي).