خاصية النقطة الثابتة

كائن رياضي​${\displaystyle X}$تتمتع بخاصية النقطة الثابتة إذا كان كل تطبيق حسن السلوك مناسبًا من${\displaystyle X}$يمتلك كل تطبيق متصل نقطة ثابتة . يُستخدم هذا المصطلح عادةً لوصف الفضاءات الطوبولوجية التي تمتلك فيها كل نقطة ثابتة نقطة ثابتة. ولكن يُستخدم أيضًا في نظرية الترتيب ، حيث تكون المجموعة مرتبة جزئيًا${\displaystyle P}$يقال إن الدالة تتمتع بخاصية النقطة الثابتة إذا كانت كل دالة متزايدة على${\displaystyle P}$له نقطة ثابتة.

يترك${\displaystyle A}$أن يكون كائنًا في الفئة الملموسة${\displaystyle \mathbf {C} }$. ثم${\displaystyle A}$تتمتع بخاصية النقطة الثابتة إذا كان كل تشاكل (أي كل دالة )${\displaystyle f:A\to A}$له نقطة ثابتة.

الاستخدام الأكثر شيوعًا هو عندما${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {Top} }$هي فئة الفضاءات الطوبولوجية . إذن، الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$تتمتع بخاصية النقطة الثابتة إذا كانت كل دالة متصلة${\displaystyle f:X\to X}$له نقطة ثابتة.

تراجع​${\displaystyle A}$مساحة${\displaystyle X}$يتمتع العنصر الذي له خاصية النقطة الثابتة بخاصية النقطة الثابتة أيضًا. وذلك لأنه إذا${\displaystyle r:X\to A}$هو تراجع و${\displaystyle f:A\to A}$إذا كانت أي دالة متصلة ، فإن التركيب${\displaystyle i\circ f\circ r:X\to X}$(أين${\displaystyle i:A\to X}$(الاحتواء) له نقطة ثابتة. أي أن هناك${\displaystyle x\in A}$بحيث${\displaystyle f\circ r(x)=x}$. منذ${\displaystyle x\in A}$لدينا ذلك${\displaystyle r(x)=x}$وبالتالي${\displaystyle f(x)=x.}$

تتمتع الفضاءات الطوبولوجية بخاصية النقطة الثابتة إذا وفقط إذا كانت خريطة الهوية الخاصة بها شاملة .

إن حاصل ضرب الفضاءات التي تتمتع بخاصية النقطة الثابتة بشكل عام لا يمتلك خاصية النقطة الثابتة حتى لو كان أحد الفضاءات هو الفترة الحقيقية المغلقة.

إنّ FPP ثابت طوبولوجي ، أي أنه محفوظ بواسطة أي تشاكل طوبولوجي . كما أن FPP محفوظ أيضًا بواسطة أي انكماش .

بحسب نظرية براور للنقطة الثابتة ، فإن كل مجموعة جزئية متراصة ومحدبة من فضاء إقليدي تمتلك نقطة ثابتة. وبشكل أعم، وفقًا لنظرية شاودر-تيكونوف للنقطة الثابتة، فإن كل مجموعة جزئية متراصة ومحدبة من فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا تمتلك نقطة ثابتة. لا يستلزم التراص وحده وجود نقطة ثابتة، والتحدب ليس خاصية طوبولوجية، لذا من المنطقي التساؤل عن كيفية توصيف نقطة ثابتة طوبولوجيًا. في عام ١٩٣٢، تساءل بورزوك عما إذا كان التراص مع قابلية الانكماش شرطًا كافيًا لتحقق نقطة ثابتة. ظلت المسألة مفتوحة لمدة ٢٠ عامًا حتى دحض كينوشيتا هذا التخمين، إذ وجد مثالًا على فضاء متراص قابل للانكماش لا يمتلك نقطة ثابتة. ^{[ ١ ]}

• صموئيل إيلنبرغ، نورمان ستينرود (1952). أسس الطوبولوجيا الجبرية . مطبعة جامعة برينستون.
• شرودر، بيرند (2002). المجموعات المرتبة . بيركهاوزر بوسطن.