نظرية بروير للنقطة الثابتة

مبرهنة النقطة الثابتة لبروير هي مبرهنة النقطة الثابتة في الطوبولوجيا ، سميت على اسم LEJ (Bertus) Brouwer . تنص على أنه لأي دالة مستمرة تعين مجموعة محدبة مضغوطة غير فارغة على نفسها، توجد نقطة بحيث . أبسط أشكال مبرهنة بروير هي للدوال المستمرة من فاصل مغلق في الأعداد الحقيقية إلى نفسها أو من قرص مغلق إلى نفسها. الشكل الأكثر عمومية من الأخير هو للدوال المستمرة من مجموعة فرعية مضغوطة محدبة غير فارغة من الفضاء الإقليدي إلى نفسها. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x_{0})=x_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle K}$

من بين مئات من نظريات النقطة الثابتة ، ^[1] تعتبر نظرية بروير معروفة بشكل خاص، ويرجع ذلك جزئيًا إلى استخدامها في العديد من مجالات الرياضيات. في مجالها الأصلي، تعد هذه النتيجة واحدة من النظريات الرئيسية التي تميز طوبولوجيا الفضاءات الإقليدية، إلى جانب نظرية منحنى جوردان ، ونظرية الكرة المشعرة ، وثبات البعد ونظرية بورسوك-أولام . ^[2] وهذا يمنحها مكانة بين النظريات الأساسية في الطوبولوجيا. ^[3] تُستخدم النظرية أيضًا لإثبات نتائج عميقة حول المعادلات التفاضلية ويتم تناولها في معظم الدورات التمهيدية في الهندسة التفاضلية . تظهر في مجالات غير محتملة مثل نظرية الألعاب . في الاقتصاد، تلعب نظرية النقطة الثابتة لبروير وامتدادها، نظرية النقطة الثابتة كاكوتاني ، دورًا محوريًا في إثبات وجود التوازن العام في اقتصادات السوق كما طورها الحائزان على جائزة نوبل في الاقتصاد كينيث أرو وجيرارد ديبرو في الخمسينيات من القرن العشرين .

تمت دراسة النظرية لأول مرة في ضوء العمل على المعادلات التفاضلية من قبل علماء الرياضيات الفرنسيين حول هنري بوانكاريه وتشارلز إميل بيكارد . يتطلب إثبات نتائج مثل نظرية بوانكاريه-بنديكسون استخدام الأساليب الطوبولوجية. فتح هذا العمل في نهاية القرن التاسع عشر العديد من الإصدارات المتعاقبة للنظرية. تم إثبات حالة التعيينات التفاضلية للكرة المغلقة ذات الأبعاد n لأول مرة في عام 1910 بواسطة جاك هادامارد ^[4] والحالة العامة للتعيينات المستمرة بواسطة بروير في عام 1911. ^[5]

تحتوي النظرية على عدة صيغ، اعتمادًا على السياق الذي تُستخدم فيه ودرجة تعميمها. أحيانًا يتم تقديم أبسط صيغة على النحو التالي:

في الطائرة

تحتوي كل دالة مستمرة من قرص مغلق إلى نفسها على نقطة ثابتة واحدة على الأقل. ^[6]

يمكن تعميم هذا على بعد محدود تعسفي:

في الفضاء الإقليدي

كل دالة متصلة من كرة مغلقة في فضاء إقليدي إلى نفسها لها نقطة ثابتة. ^[7]

النسخة الأكثر عمومية هي كما يلي: ^[8]

مجموعة محدبة مدمجة

كل دالة مستمرة من مجموعة فرعية محدبة مضغوطة غير فارغة K من الفضاء الإقليدي إلى K نفسها لها نقطة ثابتة. ^[9]

هناك شكل أكثر عمومية معروف بشكل أفضل تحت اسم مختلف:

نظرية شودر للنقطة الثابتة

كل دالة مستمرة من مجموعة فرعية مضغوطة محدبة غير فارغة K من فضاء باناخ إلى K نفسها لها نقطة ثابتة. ^[10]

تنطبق النظرية فقط على الدوال التي تكون متماثلة الشكل (الدوال التي لها نفس المجموعة مثل المجال والمجال المشترك) والمجموعات غير الفارغة المضغوطة ( وبالتالي، على وجه الخصوص، محدودة ومغلقة) والمحدبة (أو متماثلة الشكل مع المحدبة). توضح الأمثلة التالية سبب أهمية الشروط المسبقة.

ضع في اعتبارك الوظيفة

${\displaystyle f(x)=x+1}$

مع المجال [-1,1]. نطاق الدالة هو [0,2]. وبالتالي، فإن f ليست دالة متماثلة.

ضع في اعتبارك الوظيفة

${\displaystyle f(x)=x+1,}$

وهي دالة متصلة من إلى نفسها. وبما أنها تتحرك كل نقطة إلى اليمين، فلا يمكن أن يكون لها نقطة ثابتة. والفضاء محدب ومغلق، ولكنه غير محدود. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ضع في اعتبارك الوظيفة

${\displaystyle f(x)={\frac {x+1}{2}},}$

وهي دالة متصلة من الفترة المفتوحة (−1,1) إلى نفسها. ونظرًا لأن x = 1 ليست جزءًا من الفترة، فلا توجد نقطة ثابتة لـ f(x) = x. والفضاء (−1,1) محدب ومحدود، ولكنه غير مغلق. ومن ناحية أخرى، فإن الدالة f لها نقطة ثابتة للفترة المغلقة [−1,1]، وهي f (1) = 1.

التحدب ليس ضروريًا تمامًا لنظرية النقطة الثابتة لبروير. نظرًا لأن الخصائص المعنية (الاستمرارية، كونها نقطة ثابتة) ثابتة في ظل التماثلات ، فإن نظرية النقطة الثابتة لبروير تعادل الأشكال التي يتطلب فيها أن يكون المجال كرة وحدة مغلقة . لنفس السبب، فهي تنطبق على كل مجموعة متماثلة مع كرة مغلقة (وبالتالي مغلقة أيضًا ، ومحدودة، ومتصلة ، وبدون ثقوب ، وما إلى ذلك). ${\displaystyle D^{n}}$

يوضح المثال التالي أن نظرية النقطة الثابتة لبروير لا تعمل بالنسبة للمجالات ذات الثقوب. ضع في اعتبارك الدالة ، وهي دالة متصلة من دائرة الوحدة إلى نفسها. نظرًا لأن -x ≠x تنطبق على أي نقطة من دائرة الوحدة، فإن f ليس لها نقطة ثابتة. يعمل المثال التناظري بالنسبة للكرة ذات الأبعاد n (أو أي مجال متماثل لا يحتوي على الأصل). دائرة الوحدة مغلقة ومحدودة، ولكن بها ثقب (وبالتالي فهي ليست محدبة). تحتوي الدالة f على نقطة ثابتة للقرص الوحدوي، لأنها تأخذ الأصل إلى نفسها. ${\displaystyle f(x)=-x}$

يمكن استخلاص تعميم رسمي لنظرية النقطة الثابتة لـ Brouwer للمجالات "الخالية من الثغرات" من نظرية النقطة الثابتة Lefschetz . ^[11]

لا يشترط في الدالة المستمرة في هذه النظرية أن تكون دالة ثنائية أو دالة شاملة .

تحتوي هذه النظرية على العديد من الأمثلة الواقعية. وفيما يلي بعض الأمثلة.

1. خذ ورقتين من ورق الرسم البياني متساويتين في الحجم مع أنظمة إحداثيات عليهما، ضع إحداهما مسطحة على الطاولة وقم بتجعيد (دون تمزيق أو تمزيق) الأخرى وضعها، بأي طريقة، فوق الأولى بحيث لا تصل الورقة المجعدة إلى خارج الورقة المسطحة. سيكون هناك بعد ذلك نقطة واحدة على الأقل من الورقة المجعدة تقع مباشرة فوق النقطة المقابلة لها (أي النقطة التي لها نفس الإحداثيات) من الورقة المسطحة. هذه نتيجة لحالة n = 2 من نظرية بروير المطبقة على الخريطة المستمرة التي تعين لإحداثيات كل نقطة من الورقة المجعدة إحداثيات نقطة الورقة المسطحة الموجودة أسفلها مباشرة.
2. خذ خريطة عادية لبلد ما، وافترض أن هذه الخريطة موضوعة على طاولة داخل هذا البلد. سيكون هناك دائمًا نقطة "أنت هنا" على الخريطة والتي تمثل نفس النقطة في البلد.
3. في الأبعاد الثلاثة، فإن نتيجة نظرية النقطة الثابتة لـ Brouwer هي أنه بغض النظر عن مقدار تحريكك لكوكتيل لذيذ في كوب (أو فكر في ميلك شيك)، عندما يتوقف السائل، فإن نقطة ما في السائل ستنتهي في نفس المكان بالضبط في الكوب كما كان قبل اتخاذ أي إجراء، على افتراض أن الموضع النهائي لكل نقطة هو دالة مستمرة لموضعها الأصلي، وأن السائل بعد التحريك يكون محصورًا داخل المساحة التي احتلها في الأصل، وأن الزجاج (وشكل السطح المتحرك) يحافظان على حجم محدب. إن طلب كوكتيل رجه وليس تحريكه يهزم شرط التحدب (يتم تعريف "الرج" على أنه سلسلة ديناميكية من حالات الاحتواء بالقصور الذاتي غير المحدبة في الفراغ الشاغر تحت الغطاء). في هذه الحالة، لن تنطبق النظرية، وبالتالي فإن جميع نقاط ترتيب السائل قد يتم إزاحتها من الحالة الأصلية. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

يُفترض أن النظرية نشأت من ملاحظة بروير لفنجان من القهوة الفاخرة. ^[12] إذا حرك المرء لإذابة قطعة من السكر، يبدو أنه توجد دائمًا نقطة بلا حركة. استنتج أنه في أي لحظة، توجد نقطة على السطح لا تتحرك. ^[13] النقطة الثابتة ليست بالضرورة النقطة التي تبدو ساكنة، لأن مركز الاضطراب يتحرك قليلاً. النتيجة ليست بديهية، لأن النقطة الثابتة الأصلية قد تصبح متحركة عندما تظهر نقطة ثابتة أخرى.

ويقال إن بروير أضاف: "يمكنني صياغة هذه النتيجة الرائعة بشكل مختلف، فأنا آخذ ورقة أفقية، وأخرى مماثلة أقوم بتجعيدها وتسويتها ووضعها على الورقة الأخرى. ثم تكون نقطة الورقة المجعدة في نفس مكان الورقة الأخرى". ^[13] "يقوم بروير بتسوية" ورقته كما لو كان يستخدم مكواة فرد، دون إزالة الطيات والتجاعيد. وعلى عكس مثال فنجان القهوة، يوضح مثال الورقة المجعدة أيضًا أنه قد توجد أكثر من نقطة ثابتة. وهذا يميز نتيجة بروير عن نظريات النقطة الثابتة الأخرى، مثل نظرية ستيفان باناخ ، التي تضمن التفرد.

في بعد واحد، تكون النتيجة بديهية وسهلة الإثبات. يتم تعريف الدالة المستمرة f على فاصل مغلق [ a ،  b ] وتأخذ قيمًا في نفس الفاصل. إن القول بأن هذه الدالة لها نقطة ثابتة يعادل القول بأن رسمها البياني (الأخضر الداكن في الشكل الموجود على اليمين) يتقاطع مع رسم الدالة المحددة على نفس الفاصل [ a ،  b ] الذي يربط x بـ x (الأخضر الفاتح).

بديهيًا، يجب أن يتقاطع أي خط متصل من الحافة اليسرى للمربع إلى الحافة اليمنى بالضرورة مع القطر الأخضر. لإثبات ذلك، ضع في اعتبارك الدالة g التي تقابل x إلى f ( x ) −  x . إنها ≥ 0 على a و≤ 0 على  b . وفقًا لنظرية القيمة المتوسطة ، فإن g لها صفر في [ a ،  b ]؛ هذا الصفر هو نقطة ثابتة.

ويقال إن بروير عبر عن هذا على النحو التالي: "بدلاً من فحص السطح، سنثبت النظرية الخاصة بقطعة من الخيط. فلنبدأ بالخيط في حالة غير مطوية، ثم نعيد طيه. ولنبسط الخيط بعد إعادة طيه. ومرة ​​أخرى لن يتغير موضع نقطة من الخيط بالنسبة لموضعها الأصلي على الخيط غير المطوي". ^[13]

كانت مبرهنة النقطة الثابتة لبروير أحد الإنجازات المبكرة لطوبولوجيا الجبر ، وهي الأساس لمبرهنات النقطة الثابتة الأكثر عمومية والتي تعتبر مهمة في التحليل الوظيفي . أثبت بيرز بول الحالة n = 3 لأول مرة في عام 1904 (نُشرت في Journal für die reine und angewandte Mathematik ). ^[14] وقد أثبتها لاحقًا LEJ Brouwer في عام 1909. أثبت جاك هادامارد الحالة العامة في عام 1910، ^[4] ووجد بروير دليلاً مختلفًا في نفس العام. ^[5] نظرًا لأن هذه البراهين المبكرة كانت جميعها براهين غير مباشرة غير بناءة ، فقد تعارضت مع المثل العليا الحدسية لبروير . على الرغم من أن وجود نقطة ثابتة ليس بناءً بمعنى البنائية في الرياضيات ، إلا أن الطرق لتقريب النقاط الثابتة التي تضمنها مبرهنة بروير معروفة الآن. ^{[15] [16]}

في نهاية القرن التاسع عشر، عادت المشكلة القديمة ^[17] المتعلقة باستقرار النظام الشمسي إلى بؤرة اهتمام المجتمع الرياضي. ^[18] تطلب حلها أساليب جديدة. وكما لاحظ هنري بوانكاريه ، الذي عمل على مشكلة الأجسام الثلاثة ، فلا أمل في إيجاد حل دقيق: "لا يوجد شيء أكثر ملاءمة لإعطائنا فكرة عن صعوبة مشكلة الأجسام الثلاثة، وبشكل عام عن جميع مشاكل الديناميكيات حيث لا يوجد تكامل موحد وتتباعد سلسلة بوهلين". ^[19] كما لاحظ أن البحث عن حل تقريبي ليس أكثر كفاءة: "كلما سعينا للحصول على تقريبات دقيقة، كلما ابتعدت النتيجة نحو عدم دقة متزايد". ^[20]

درس سؤالًا مشابهًا لسؤال حركة السطح في فنجان قهوة. ماذا يمكننا أن نقول، بشكل عام، عن المسارات على سطح متحرك بتدفق ثابت ؟ [ ^{21] اكتشف بوانكاريه} أن الإجابة يمكن العثور عليها فيما نسميه الآن الخصائص الطوبولوجية في المنطقة التي تحتوي على المسار. إذا كانت هذه المنطقة مضغوطة ، أي مغلقة ومحدودة ، فإن المسار إما يصبح ثابتًا، أو يقترب من دورة حدية . ^[22] ذهب بوانكاريه إلى أبعد من ذلك؛ إذا كانت المنطقة من نفس نوع القرص، كما هو الحال بالنسبة لفنجان القهوة، فيجب بالضرورة أن تكون هناك نقطة ثابتة. هذه النقطة الثابتة ثابتة تحت جميع الوظائف التي تربط كل نقطة من السطح الأصلي بموقعها بعد فترة زمنية قصيرة  t . إذا كانت المنطقة عبارة عن شريط دائري، أو إذا لم تكن مغلقة، ^[23] فإن هذه ليست بالضرورة هي الحالة.

لفهم المعادلات التفاضلية بشكل أفضل، ولد فرع جديد من الرياضيات. أطلق عليه بوانكاريه موقع التحليل . تعرفه الموسوعة الفرنسية العالمية على أنه الفرع الذي "يعالج خصائص الجسم التي لا تتغير إذا تشوه بأي طريقة مستمرة، دون تمزق". ^[24] في عام 1886، أثبت بوانكاريه نتيجة تعادل نظرية النقطة الثابتة لبروير، ^[25] على الرغم من أن الارتباط بموضوع هذه المقالة لم يكن واضحًا بعد. ^[26] بعد ذلك بقليل، طور إحدى الأدوات الأساسية لفهم موقع التحليل بشكل أفضل، والمعروف الآن باسم المجموعة الأساسية أو أحيانًا مجموعة بوانكاريه. ^[27] يمكن استخدام هذه الطريقة لإثبات مضغوط للغاية للنظرية قيد المناقشة.

كانت طريقة بوانكاريه مماثلة لطريقة إميل بيكارد ، وهو عالم رياضيات معاصر قام بتعميم نظرية كوشي-ليبشيتز . ^[28] يعتمد نهج بيكارد على نتيجة سيتم صياغتها لاحقًا بواسطة نظرية أخرى للنقطة الثابتة ، سميت على اسم باناخ . بدلاً من الخصائص الطوبولوجية للمجال، تستخدم هذه النظرية حقيقة أن الدالة المعنية هي انكماش .

في فجر القرن العشرين، لم يمر الاهتمام بتحليل الموقع دون أن يلاحظه أحد. ومع ذلك، لم تكن ضرورة وجود نظرية معادلة لتلك التي تمت مناقشتها في هذه المقالة واضحة بعد. قام بيرس بول ، وهو عالم رياضيات لاتفي ، بتطبيق الأساليب الطوبولوجية لدراسة المعادلات التفاضلية. ^[29] في عام 1904 أثبت الحالة ثلاثية الأبعاد لنظريتنا، ^[14] لكن لم يتم ملاحظة نشره. ^[30]

كان بروير، في النهاية، هو من أعطى النظرية أول براءة اختراع لها. كانت أهدافه مختلفة عن أهداف بوانكاريه. استوحى هذا الرياضياتي إلهامه من أسس الرياضيات، وخاصة المنطق الرياضي والطوبولوجيا . كان اهتمامه الأولي يكمن في محاولة حل مشكلة هيلبرت الخامسة . ^[31] في عام 1909، أثناء رحلة إلى باريس، التقى هنري بوانكاريه وجاك هادامارد وإميل بوريل . أقنعت المناقشات التي تلت ذلك بروير بأهمية فهم أفضل للمساحات الإقليدية، وكانت أصلًا لتبادل مثمر للرسائل مع هادامارد. على مدى السنوات الأربع التالية، ركز على إثبات بعض النظريات العظيمة حول هذه المسألة. في عام 1912، أثبت نظرية الكرة المشعرة للكرة ثنائية الأبعاد، بالإضافة إلى حقيقة أن كل خريطة مستمرة من الكرة ثنائية الأبعاد إلى نفسها لها نقطة ثابتة. ^[32] لم تكن هاتان النتيجتان في حد ذاتهما جديدتين حقًا. وكما لاحظ هادامارد، فقد أظهر بوانكاريه نظرية تعادل نظرية الكرة المشعرة. ^[33] وكان الجانب الثوري في نهج بروير هو استخدامه المنهجي لأدوات تم تطويرها مؤخرًا مثل التماثل ، وهو المفهوم الأساسي لمجموعة بوانكاريه. وفي العام التالي، عمم هادامارد النظرية قيد المناقشة إلى بُعد محدود تعسفي، لكنه استخدم أساليب مختلفة. ويعلق هانز فرويدنثال على الأدوار المختلفة على النحو التالي: "بالمقارنة بأساليب بروير الثورية، كانت أساليب هادامارد تقليدية للغاية، لكن مشاركة هادامارد في ولادة أفكار بروير تشبه مشاركة القابلة أكثر من مجرد المتفرج". ^[34]

أثمر نهج بروير، وفي عام 1910 وجد أيضًا دليلاً صالحًا لأي بُعد محدود، ^[5] بالإضافة إلى نظريات رئيسية أخرى مثل ثبات البعد. ^[35] في سياق هذا العمل، عمم بروير أيضًا نظرية منحنى جوردان على بُعد تعسفي وأسس الخصائص المرتبطة بدرجة التعيين المستمر . ^[36] هذا الفرع من الرياضيات، الذي تصوره في الأصل بوانكاريه وطوره بروير، غير اسمه. في ثلاثينيات القرن العشرين، أصبح موقع التحليل طوبولوجيا جبرية . ^[37]

أثبتت النظرية أهميتها بأكثر من طريقة. فخلال القرن العشرين، تم تطوير العديد من نظريات النقطة الثابتة، وحتى فرع من الرياضيات يسمى نظرية النقطة الثابتة . ^[38] ربما تكون نظرية بروير هي الأكثر أهمية. ^[39] وهي أيضًا من بين النظريات الأساسية في طوبولوجيا المتشعبات الطوبولوجية وغالبًا ما تستخدم لإثبات نتائج مهمة أخرى مثل نظرية منحنى جوردان . ^[40]

بالإضافة إلى نظريات النقطة الثابتة للوظائف المتقلصة إلى حد ما ، هناك العديد من النظريات التي نشأت بشكل مباشر أو غير مباشر من النتيجة قيد المناقشة. لا يمكن أن تكون الخريطة المستمرة من كرة مغلقة من الفضاء الإقليدي إلى حدودها هي الهوية على الحدود. وبالمثل، تقول نظرية بورسوك-أولام أن الخريطة المستمرة من الكرة ذات الأبعاد n إلى R ⁿ لها زوج من النقاط المتقابلة التي يتم تعيينها لنفس النقطة. في حالة الأبعاد المحدودة، قدمت نظرية النقطة الثابتة ليفشيتز منذ عام 1926 طريقة لحساب النقاط الثابتة. في عام 1930، تم تعميم نظرية النقطة الثابتة لبراور على فضاءات باناخ . ^[41] يُعرف هذا التعميم باسم نظرية النقطة الثابتة لشودر ، وهي النتيجة التي تم تعميمها بشكل أكبر بواسطة إس. كاكوتاني على الوظائف ذات القيمة المحددة . ^[42] كما يلتقي المرء بالنظرية ومتغيراتها خارج الطوبولوجيا. يمكن استخدامه لإثبات نظرية هارتمان-جروبمان ، التي تصف السلوك النوعي لبعض المعادلات التفاضلية بالقرب من توازنات معينة. وبالمثل، تُستخدم نظرية بروير لإثبات نظرية الحد المركزي . يمكن أيضًا العثور على النظرية في إثباتات الوجود لحلول بعض المعادلات التفاضلية الجزئية . ^[43]

كما تم التطرق إلى مجالات أخرى. ففي نظرية الألعاب ، استخدم جون ناش النظرية لإثبات وجود استراتيجية رابحة للأبيض في لعبة الهيكس . ^[44] وفي علم الاقتصاد، يوضح ب. بيتش أن بعض التعميمات للنظرية تظهر أن استخدامها مفيد لبعض المشاكل الكلاسيكية في نظرية الألعاب وبشكل عام للتوازنات ( قانون هوتلينج ) والتوازنات المالية والأسواق غير المكتملة. ^[45]

لا ترجع شهرة بروير إلى عمله الطوبولوجي فقط. إن البراهين على نظرياته الطوبولوجية العظيمة ليست بنّاءة ، ^[46] وعدم رضا بروير عن هذا هو ما دفعه جزئيًا إلى التعبير عن فكرة البنائية . لقد أصبح مبتكرًا ومدافعًا متحمسًا عن طريقة لإضفاء الطابع الرسمي على الرياضيات المعروفة باسم الحدس ، والتي اتخذت في ذلك الوقت موقفًا ضد نظرية المجموعات . ^[47] تبرأ بروير من دليله الأصلي على نظرية النقطة الثابتة.

اعتمد برهان بروير الأصلي عام 1911 على مفهوم درجة التعيين المستمر ، والذي نشأ من أفكار في الطوبولوجيا التفاضلية . يمكن العثور على العديد من الروايات الحديثة للبرهان في الأدبيات، ولا سيما ميلنور (1965). ^{[48] [49]}

لنفترض أن وحدة الكرة المغلقة في مركزها الأصل. لنفترض من أجل البساطة أن قابلة للاشتقاق بشكل مستمر. القيمة المنتظمة لـ هي نقطة بحيث يكون محدد جاكوبي لـ غير مفرد عند كل نقطة من الصورة الأولية لـ . وعلى وجه الخصوص، وفقًا لنظرية الدالة العكسية ، فإن كل نقطة من الصورة الأولية لـ تقع في (داخل ). تُعرَّف درجة عند قيمة منتظمة على أنها مجموع علامات محدد جاكوبي لـ على الصور الأولية لـ تحت : ${\displaystyle K={\overline {B(0)}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:K\to K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p\in B(0)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B(0)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p\in B(0)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {deg} _{p}(f)=\sum _{x\in f^{-1}(p)}\operatorname {sign} \,\det(df_{x}).}$

الدرجة هي، تقريبًا، عدد "الصفحات" للصورة الأولية f التي تقع فوق مجموعة صغيرة مفتوحة حول p ، مع حساب الصفحات بشكل معاكس إذا كانت موجهة بشكل معاكس. وبالتالي، فإن هذا تعميم لعدد اللفات إلى أبعاد أعلى.

الدرجة تلبي خاصية ثبات التماثل : ليكن و دالتين قابلتين للاشتقاق بشكل مستمر، و بالنسبة لـ . افترض أن النقطة هي قيمة منتظمة لـ لكل t . عندئذٍ . ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle H_{t}(x)=tf+(1-t)g}$${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H_{t}}$${\displaystyle \deg _{p}f=\deg _{p}g}$

إذا لم تكن هناك نقطة ثابتة لحدود ، فإن الدالة ${\displaystyle K}$

${\displaystyle g(x)={\frac {xf(x)}{\sup _{y\in K}\left|yf(y)\right|}}}$

محددة جيدا، و

${\displaystyle H(t,x)={\frac {x-tf(x)}{\sup _{y\in K}\left|y-tf(y)\right|}}}$

يحدد التماثل من الدالة المتطابقة إليها. تحتوي الدالة المتطابقة على الدرجة الأولى عند كل نقطة. على وجه الخصوص، تحتوي الدالة المتطابقة على الدرجة الأولى عند الأصل، وبالتالي فإن لها أيضًا الدرجة الأولى عند الأصل. ونتيجة لذلك، فإن الصورة الأولية ليست فارغة. عناصر هي على وجه التحديد النقاط الثابتة للدالة الأصلية f . ${\displaystyle g}$${\displaystyle g^{-1}(0)}$${\displaystyle g^{-1}(0)}$

يتطلب هذا بعض العمل لجعله عامًا بالكامل. يجب توسيع تعريف الدرجة ليشمل القيم المفردة لـ f ، ثم إلى الدوال المستمرة. أدى ظهور نظرية التماثل الأكثر حداثة إلى تبسيط بناء الدرجة، وبالتالي أصبح دليلاً قياسيًا في الأدبيات.

تنص نظرية الكرة المشعرة على أنه لا يوجد مجال متجه مماس مستمر يتلاشى في أي مكان على الكرة الوحدوية S في فضاء إقليدي ذي أبعاد فردية، w على S. (شرط المماس يعني أن w ( x ) ⋅ x = 0 لكل متجه وحدوي x .) في بعض الأحيان يتم التعبير عن النظرية من خلال العبارة التالية: "يوجد دائمًا مكان على الكرة الأرضية بدون رياح". يمكن العثور على دليل أولي لنظرية الكرة المشعرة في Milnor (1978).

في الواقع، افترض أولاً أن w قابلة للاشتقاق باستمرار . من خلال القياس، يمكن افتراض أن w عبارة عن متجه ظل وحدوي قابل للاشتقاق باستمرار على S. ويمكن تمديده شعاعيًا إلى غلاف كروي صغير A من S. بالنسبة إلى t صغير بدرجة كافية، يُظهر الحساب الروتيني أن التعيين f _t ( x ) = x + t w ( x ) هو تعيين انكماش على A وأن حجم صورته هو متعدد الحدود في t . من ناحية أخرى، كتعيين انكماش، يجب أن يقتصر f _t على تماثل S على (1 + t ² ) ^⁠1/2⁠ S و A على (1 + t ² ) ^⁠1/2أ . وهذا يعطي تناقضًا، لأنه إذا كان البعد n في الفضاء الإقليدي فرديًا، فإن (1 + t ² ) ^{n / 2} ليست كثيرة حدود.

إذا كان w مجرد متجه مماس وحدوي متصل على S ، فبموجب نظرية تقريب فايرستراس ، يمكن تقريبه بشكل موحد بواسطة خريطة متعددة الحدود u لـ A في الفضاء الإقليدي. يُعطى الإسقاط المتعامد على الفضاء المماس بواسطة v ( x ) = u ( x ) - u ( x ) ⋅ x . وبالتالي فإن v متعددة الحدود ولا تتلاشى في أي مكان على A ؛ وبإنشاء v /|| v || هو حقل متجه مماس وحدوي سلس على S ، وهو تناقض.

يمكن الآن استخدام النسخة المستمرة من نظرية الكرة المشعرة لإثبات نظرية النقطة الثابتة لبروير. افترض أولاً أن n زوجي. إذا كان هناك رسم تخطيطي ذاتي مستمر بدون نقطة ثابتة f للكرة الوحدوية المغلقة B من الفضاء الإقليدي V ذي الأبعاد n ، فإن المجموعة

${\displaystyle {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })=(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {f} }({\mathbf {x} }))\ ,{\mathbf {x}} -(1- {\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {x} })\,{\mathbf {f} }({\mathbf {x} }).}$

نظرًا لأن f ليس لها نقاط ثابتة، فمن الطبيعي أن يكون المتجه w ( x ) بالنسبة إلى x داخل B غير صفر؛ وبالنسبة إلى x في S ، يكون حاصل الضرب القياسي x ⋅ w ( x ) = 1 – x ⋅ f ( x ) موجبًا تمامًا. من الفضاء الأصلي ذي الأبعاد n الفضاء الإقليدي V ، أنشئ فضاءً مساعدًا جديدًا ( n + 1 ) الأبعاد W = V x R ، مع إحداثيات y = ( x ، t ) .

${\displaystyle {\mathbf {X} }({\mathbf {x} },t)=(-t\,{\mathbf {w} }({\mathbf {x} }),{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })).}$

من خلال البناء، فإن X هو حقل متجه مستمر على الكرة الوحدوية لـ W ، مما يلبي شرط التماس y ⋅ X ( y ) = 0. علاوة على ذلك، فإن X ( y ) لا يتلاشى في أي مكان (لأنه إذا كان لـ x معيار 1، فإن x ⋅ w ( x ) ليس صفراً؛ بينما إذا كان لـ x معيار أقل تمامًا من 1، فإن t و w ( x ) كلاهما ليسا صفراً). يثبت هذا التناقض نظرية النقطة الثابتة عندما يكون n زوجيًا. بالنسبة لـ n فردي، يمكن للمرء تطبيق نظرية النقطة الثابتة على الكرة الوحدوية المغلقة B في أبعاد n + 1 والتعيين F ( x ، y ) = ( f ( x )، 0). تتمثل ميزة هذا الإثبات في أنه يستخدم تقنيات أولية فقط؛ تتطلب النتائج الأكثر عمومية مثل نظرية بورسوك-أولام أدوات من الطوبولوجيا الجبرية . ^[50]

يستخدم الدليل الملاحظة التي تفيد بأن حدود القرص n - D ⁿ هي S ^{n −1 ،} الكرة ( n − 1)- .

افترض، على سبيل التناقض، أن الدالة المستمرة f  : D ⁿ → D ⁿ ليس لها نقطة ثابتة. وهذا يعني أنه بالنسبة لكل نقطة x في D ⁿ ، فإن النقطتين x و f ( x ) متميزتان. ولأنهما متميزتان، بالنسبة لكل نقطة x في D ⁿ ، يمكننا إنشاء شعاع فريد من f ( x ) إلى x وتتبع الشعاع حتى يتقاطع مع الحد S ^{n −1} (انظر الرسم التوضيحي). من خلال تسمية نقطة التقاطع هذه F ( x )، فإننا نحدد دالة F  :  D ⁿ  →  S ^{n −1} بإرسال كل نقطة في القرص إلى نقطة التقاطع المقابلة لها على الحد. وكحالة خاصة، كلما كانت x نفسها على الحد، فيجب أن تكون نقطة التقاطع F ( x ) هي x .

وبالتالي، فإن F هو نوع خاص من الدالة المستمرة المعروفة باسم الانكماش : كل نقطة من المجال المشترك (في هذه الحالة S ^{n −1} ) هي نقطة ثابتة لـ F.

يبدو بديهيًا أنه من غير المحتمل أن يكون هناك انكماش لـ D ⁿ على S ^{n −1} ، وفي الحالة n = 1، فإن الاستحالة أكثر أساسية، لأن S ⁰ (أي نقاط النهاية للفاصل المغلق D ¹ ) ليست متصلة حتى. الحالة n = 2 أقل وضوحًا، ولكن يمكن إثباتها باستخدام الحجج الأساسية التي تنطوي على المجموعات الأساسية للمساحات المعنية: سيؤدي الانكماش إلى تماثل المجموعة الفوقية من المجموعة الأساسية لـ D ² إلى مجموعة S ¹ ، ولكن المجموعة الأخيرة متماثلة مع Z بينما المجموعة الأولى تافهة، لذلك هذا مستحيل. يمكن أيضًا إثبات الحالة n = 2 عن طريق التناقض بناءً على نظرية حول حقول المتجهات غير المتلاشية .

بالنسبة لـ n > 2، فإن إثبات استحالة الانكماش أكثر صعوبة. إحدى الطرق هي الاستفادة من مجموعات التماثل : التماثل H _{n −1} ( D ⁿ ) تافه، بينما H _{n −1} ( S ^{n −1} ) دوري لا نهائي . يوضح هذا أن الانكماش مستحيل، لأنه مرة أخرى سيؤدي الانكماش إلى تماثل مجموعة حقن من المجموعة الأخيرة إلى المجموعة الأولى.

يمكن أيضًا إظهار استحالة الانكماش باستخدام تماثل دي رام للمجموعات الفرعية المفتوحة من الفضاء الإقليدي E ⁿ . بالنسبة إلى n ≥ 2، فإن تماثل دي رام لـ U = E ⁿ – (0) يكون أحادي البعد في الدرجة 0 و n – 1، ويختفي بخلاف ذلك. إذا كان الانكماش موجودًا، فيجب أن تكون U قابلة للانكماش ويجب أن يتلاشى تماثل دي رام الخاص بها في الدرجة n – 1، وهو تناقض. ^[51]

كما هو الحال في إثبات نظرية النقطة الثابتة لـ Brouwer للخرائط المستمرة باستخدام التماثل، يتم تقليصها إلى إثبات عدم وجود انكماش مستمر F من الكرة B إلى حدودها ∂ B. في هذه الحالة، يمكن افتراض أن F ناعمة، حيث يمكن تقريبها باستخدام نظرية تقريب Weierstrass أو عن طريق الالتفاف مع وظائف نتوء ناعمة غير سلبية ذات دعم صغير بما فيه الكفاية ومتكامل (أي التخفيف ). إذا كان ω شكل حجم على الحدود، فوفقًا لنظرية ستوكس ،

${\displaystyle 0<\int _{\partial B}\omega =\int _{\partial B}F^{*}(\omega )=\int _{B}dF^{*}(\omega )=\int _{B}F^{*}(d\omega )=\int _{B}F^{*}(0)=0,}$

مما يعطي تناقضًا. ^{[52] [53]}

بشكل عام، يوضح هذا أنه لا يوجد انكماش سلس من أي متعدد شعب مضغوط موجه سلس غير فارغ M إلى حدوده. يرتبط الإثبات باستخدام نظرية ستوكس ارتباطًا وثيقًا بالإثبات باستخدام التماثل، لأن الشكل ω يولد مجموعة تماثل دي رام H ^{n -1} (∂ M ) والتي تكون متماثلة مع مجموعة التماثل H _{n -1} (∂ M ) بواسطة نظرية دي رام . ^[54]

يمكن إثبات BFPT باستخدام مبرهنة سبيرنر . نقدم الآن مخططًا لإثبات الحالة الخاصة التي تكون فيها f دالة من n - simplex القياسي ، إلى نفسها، حيث ${\displaystyle \دلتا ^{n},}$

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{P\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1{\text{ and }}P_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.}$

لكل نقطة أيضًا وبالتالي فإن مجموع إحداثياتهما يساوي: ${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$${\displaystyle f(P)\in \Delta ^{n}.}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1=\sum _{i=0}^{n}{f(P)_{i}}}$

ومن ثم، وفقًا لمبدأ الحمامة، يجب أن يكون لكل مؤشر بحيث يكون إحداثي th أكبر من أو يساوي إحداثي th لصورته تحت f : ${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$${\displaystyle j\in \{0,\ldots ,n\}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle P}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle P_{j}\geq f(P)_{j}.}$

علاوة على ذلك، إذا كان يقع على وجه فرعي ذو أبعاد k لـ، فباستخدام نفس الحجة، يمكن اختيار المؤشر من بين إحداثيات k + 1 التي ليست صفرًا على هذا الوجه الفرعي. ${\displaystyle P}$${\displaystyle \Delta ^{n},}$${\displaystyle j}$

نستخدم هذه الحقيقة الآن لإنشاء تلوين سبيرنر. لكل مثلث للون كل رأس يوجد مؤشر بحيث${\displaystyle \Delta ^{n},}$${\displaystyle P}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}.}$

من حيث البنية، هذا تلوين سبيرنر. وبالتالي، وفقًا لمبرهنة سبيرنر، يوجد مجسم بسيط ذو أبعاد n ، رؤوسه ملونة بالمجموعة الكاملة من الألوان المتاحة n + 1 .

نظرًا لأن f متصلة، يمكن جعل هذا المتغير البسيط صغيرًا بشكل تعسفي عن طريق اختيار مثلث دقيق بشكل تعسفي. وبالتالي، يجب أن تكون هناك نقطة تلبي شرط التسمية في جميع الإحداثيات: لجميع${\displaystyle P}$${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}}$${\displaystyle j.}$

نظرًا لأن مجموع إحداثيات و يجب أن يكون متساويًا، فإن كل هذه المتباينات يجب أن تكون في الواقع متباينات. لكن هذا يعني أن: ${\displaystyle P}$${\displaystyle f(P)}$

${\displaystyle f(P)=P.}$

أي أنها نقطة ثابتة${\displaystyle P}$${\displaystyle f.}$

هناك أيضًا دليل سريع، من قبل موريس هيرش ، بناءً على استحالة الانكماش القابل للاشتقاق. يبدأ الدليل غير المباشر بملاحظة أنه يمكن تقريب الخريطة f بواسطة خريطة ناعمة تحتفظ بخاصية عدم تثبيت نقطة؛ يمكن القيام بذلك باستخدام نظرية تقريب فايرستراس أو عن طريق الالتفاف باستخدام وظائف النتوء السلس . ثم يتم تعريف الانكماش على النحو الوارد أعلاه والذي يجب أن يكون الآن قابلاً للاشتقاق. يجب أن يكون لمثل هذا الانكماش قيمة غير مفردة، وفقًا لنظرية سارد ، والتي هي أيضًا غير مفردة بالنسبة للقيود على الحدود (وهي مجرد هوية). وبالتالي فإن الصورة العكسية ستكون متعدد شعب 1 مع حدود. يجب أن يحتوي الحد على نقطتين نهائيتين على الأقل، وكلاهما يجب أن يقع على حدود الكرة الأصلية - وهو أمر مستحيل في الانكماش. ^[55]

قام كل من آر. بروس كيلوج، وتيان يين لي، وجيمس أ. يورك بتحويل برهان هيرش إلى برهان قابل للحساب من خلال ملاحظة أن الانكماش محدد في الواقع في كل مكان باستثناء النقاط الثابتة. ^[56] بالنسبة لأي نقطة تقريبًا، q ، على الحد، (بافتراض أنها ليست نقطة ثابتة)، فإن المتشعب الوحيد ذو الحد المذكور أعلاه موجود والاحتمال الوحيد هو أنه يؤدي من q إلى نقطة ثابتة. إنها مهمة عددية سهلة لمتابعة مثل هذا المسار من q إلى النقطة الثابتة، لذا فإن الطريقة قابلة للحساب بشكل أساسي. ^[57] قدم نسخة تتبع مسارًا مفاهيميًا مشابهًا لبرهان التماثل والذي يمتد إلى مجموعة واسعة من المشكلات ذات الصلة.

لا يستخدم أحد أشكال الإثبات السابق نظرية سارد، ويسير على النحو التالي. إذا كان هناك انكماش سلس، فيجب أن نأخذ في الاعتبار التشوه السلس والدالة السلسة ${\displaystyle r\colon B\to \partial B}$${\displaystyle g^{t}(x):=tr(x)+(1-t)x,}$

${\displaystyle \varphi (t):=\int _{B}\det Dg^{t}(x)\,dx.}$

بالتفاضل تحت إشارة التكامل ليس من الصعب التحقق من أن φ ′ ( t ) = 0 لجميع t ، لذا فإن φ هي دالة ثابتة ، وهو تناقض لأن φ (0) هو حجم الكرة ذي الأبعاد n ، بينما φ (1) يساوي صفرًا. الفكرة الهندسية هي أن φ ( t ) هي المساحة الموجهة لـ g ^t ( B ) (أي مقياس لوبيج لصورة الكرة عبر g ^t ، مع مراعاة التعدد والتوجيه) ، ويجب أن تظل ثابتة (كما هو واضح جدًا في الحالة أحادية البعد). من ناحية أخرى ، عندما ينتقل المعامل t من 0 إلى 1 ، تتحول الخريطة g ^t باستمرار من خريطة الهوية للكرة ، إلى الانكماش r ، وهو تناقض لأن المساحة الموجهة للهوية تتطابق مع حجم الكرة ، بينما المساحة الموجهة لـ r هي بالضرورة 0 ، حيث أن صورتها هي حدود الكرة ، وهي مجموعة من القياسات الصفرية. ^[58]

هناك دليل مختلف تمامًا قدمه ديفيد جيل يعتمد على لعبة Hex . النظرية الأساسية المتعلقة بـ Hex، والتي أثبتها لأول مرة جون ناش، هي أنه لا يمكن لأي لعبة Hex أن تنتهي بالتعادل؛ فلاعب الأول لديه دائمًا استراتيجية فائزة (على الرغم من أن هذه النظرية غير بناءة، ولم يتم تطوير استراتيجيات صريحة بالكامل لأحجام اللوحات ذات الأبعاد 10 × 10 أو أكبر). اتضح أن هذا يعادل نظرية النقطة الثابتة لـ Brouwer للبعد 2. من خلال النظر في إصدارات Hex ذات الأبعاد n ، يمكن للمرء أن يثبت بشكل عام أن نظرية Brouwer تعادل نظرية التحديد لـ Hex. ^[59]

تنص نظرية النقطة الثابتة ليفشيتز على أنه إذا كانت الخريطة المستمرة f من مركب بسيط محدود B إلى نفسها تحتوي على نقاط ثابتة معزولة فقط، فإن عدد النقاط الثابتة المحسوبة بمضاعفات (قد تكون سلبية) يساوي رقم ليفشيتز

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n}(-1)^{n}\operatorname {Tr} (f|H_{n}(B))}$

وعلى وجه الخصوص، إذا كان عدد ليفشيتز غير صفري، فيجب أن يكون لـ f نقطة ثابتة. إذا كانت B كرة (أو بشكل عام قابلة للانكماش)، فإن عدد ليفشيتز يساوي واحدًا لأن المجموعة المتجانسة التبسيطية الوحيدة غير الصفرية هي: وتعمل f كهوية على هذه المجموعة، لذا فإن لـ f نقطة ثابتة. ^{[60] [61]}${\displaystyle H_{0}(B)}$

في الرياضيات العكسية ، يمكن إثبات نظرية بروير في النظام WKL ₀ ، والعكس صحيح في النظام الأساسي RCA _0. تشير نظرية بروير للمربع إلى مبرهنة كونيغ الضعيفة ، لذا فإن هذا يعطي وصفًا دقيقًا لقوة نظرية بروير.

تشكل نظرية النقطة الثابتة لبروير نقطة البداية لعدد من نظريات النقطة الثابتة الأكثر عمومية .

التعميم المباشر للأبعاد اللانهائية، أي استخدام الكرة الوحدوية لفضاء هيلبرت التعسفي بدلاً من الفضاء الإقليدي، ليس صحيحًا. تكمن المشكلة الرئيسية هنا في أن الكرات الوحدوية لفضاء هيلبرت اللانهائي الأبعاد ليست مضغوطة . على سبيل المثال، في فضاء هيلبرت ℓ ² للمتتاليات الحقيقية (أو المركبة) القابلة للجمع التربيعي، ضع في اعتبارك الخريطة f  : ℓ ² → ℓ ² التي ترسل تسلسلًا ( x _n ) من الكرة الوحدوية المغلقة لـ ℓ ² إلى المتتالية ( y _n ) المحددة بواسطة

${\displaystyle y_{0}={\sqrt {1-\|x\|_{2}^{2}}}\quad {\text{ and}}\quad y_{n}=x_{n-1}{\text{ for }}n\geq 1.}$

ليس من الصعب التحقق من أن هذه الخريطة متصلة، ولها صورتها في المجال الوحدوي ℓ ² ، لكنها لا تحتوي على نقطة ثابتة.

لذلك فإن التعميمات التي تخص نظرية النقطة الثابتة لبروير في الفضاءات اللانهائية الأبعاد تشمل جميعها افتراضًا من نوع ما للاكتناز، وغالبًا ما تتضمن أيضًا افتراضًا للتحدب . راجع نظريات النقطة الثابتة في الفضاءات اللانهائية الأبعاد لمناقشة هذه النظريات.

يوجد أيضًا تعميم محدود الأبعاد لفئة أكبر من المساحات: إذا كان حاصل ضرب عدد محدود من المتصلات المتسلسلة، فإن كل دالة متصلة لها نقطة ثابتة، ^[62] حيث يكون المتصل المتسلسلة عبارة عن فضاء هاوسدورف مضغوط (عادةً ولكن ليس بالضرورة متريًا في هذه الحالة ) حيث يكون لكل غطاء مفتوح تحسين مفتوح محدود ، بحيث إذا وفقط إذا . تشمل أمثلة المتصلات المتسلسلة المساحات المدمجة المتصلة المرتبة خطيًا وبشكل خاص الفواصل المغلقة للأعداد الحقيقية. ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \{U_{1},\ldots ,U_{m}\}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$${\displaystyle |i-j|\leq 1}$

تُعمم نظرية النقطة الثابتة لكاكوتاني نظرية النقطة الثابتة لبروير في اتجاه مختلف: فهي تظل في R ⁿ ، لكنها تأخذ في الاعتبار الدوال المتصلة العليا ذات القيمة المحددة للمجموعة (الدوال التي تعين لكل نقطة من المجموعة مجموعة فرعية من المجموعة). كما تتطلب أيضًا تماسك المجموعة وتحدبها.

تنطبق نظرية النقطة الثابتة ليفشيتز على (تقريبًا) مساحات طوبولوجية مضغوطة تعسفية، وتعطي شرطًا من حيث التماثل المفرد الذي يضمن وجود نقاط ثابتة؛ يتم تلبية هذا الشرط بسهولة لأي خريطة في حالة D ⁿ .

هناك العديد من نظريات النقطة الثابتة والتي تأتي في ثلاثة أشكال متكافئة: شكل طوبولوجيا جبري ، وشكل تركيبي، وشكل يغطي المجموعة. يمكن إثبات كل شكل على حدة باستخدام حجج مختلفة تمامًا، ولكن يمكن أيضًا اختزال كل شكل إلى الأشكال الأخرى في صفه. بالإضافة إلى ذلك، يمكن استنتاج كل نتيجة في الصف العلوي من النتيجة الموجودة أسفلها في نفس العمود. ^[63]

الطوبولوجيا الجبرية	التركيبات	مجموعة التغطية
نظرية بروير للنقطة الثابتة	معضلة سبيرنر	كناستر-كوراتوفسكي-مازوركيفيتش ليما
نظرية بورسوك-أولام	مبرهنة توكر	نظرية لوستيرنيك-شنيريلمان

• نظرية باناخ للنقطة الثابتة
• حساب النقطة الثابتة
• تركيبات لا نهائية من الدوال التحليلية
• توازن ناش
• نظرية بوانكاريه-ميراندا – معادلة لنظرية النقطة الثابتة لبروير
• التركيبات الطوبولوجية

• Boothby, William M. (1971). "حول نظريتين كلاسيكيتين في الطوبولوجيا الجبرية". Amer. Math. Monthly . 78 (3): 237–249. doi :10.2307/2317520. JSTOR  2317520. MR  0283792.
• Boothby, William M. (1986). مقدمة إلى المتشعبات القابلة للتفاضل والهندسة الريمانية . الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 120 (الطبعة الثانية). Academic Press. ISBN 0-12-116052-1. السيد  0861409.
• بريدون، جلين إي. (1993). الطوبولوجيا والهندسة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 139. دار نشر سبرينغر . رقم ISBN 0-387-97926-3. السيد  1224675.
• تشاو، شوي ني؛ ماليت-باريت، جون؛ يورك، جيمس أ . (1978). "إيجاد أصفار الخرائط: طرق التماثل البنّاءة مع الاحتمال واحد". رياضيات الحوسبة . 32 (143): 887-899. doi : 10.1090/S0025-5718-1978-0492046-9 . MR  0492046.
• ديودوني ، جان (1982). 8. نظرية بروير. عناصر التحليل . المجلات العلمية (بالفرنسية). المجلد. تاسعا. باريس: غوتييه فيلار. ص 44-47. رقم ISBN 2-04-011499-8. السيد  0658305.
• ديدونيه، جان (1989). تاريخ الطوبولوجيا الجبرية والتفاضلية، 1900-1960 . بيركهاوزر . ص 166-203. رقم ISBN 0-8176-3388-X. السيد  0995842.
• جيل، د. (1979). "لعبة السداسي ونظرية النقطة الثابتة بروير". المجلة الرياضية الأمريكية . 86 (10): 818-827. doi :10.2307/2320146. JSTOR  2320146.
• هيرش، موريس دبليو. (1988). الطوبولوجيا التفاضلية . نيويورك: سبرينغر. رقم ISBN 978-0-387-90148-0.(انظر ص 72-73 لإثبات هيرش باستخدام عدم وجود انكماش قابل للتفاضل)
• هيلتون، بيتر جيه؛ وويلي، شون (1960). نظرية التماثل: مقدمة إلى الطوبولوجيا الجبرية . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 0521094224. السيد  0115161.
• استراتسكو، فاسيلي آي. (1981). نظرية النقطة الثابتة . الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد 7. دوردرخت-بوسطن، ماساتشوستس: د. رايدل. ISBN 978-90-277-1224-0. السيد  0620639.
• كارامارديان، س.، محرر. (1977). النقاط الثابتة: الخوارزميات والتطبيقات . أكاديميك بريس. رقم ISBN 978-0-12-398050-2.
• كيلوج، ر. بروس؛ لي، تيان-يين؛ يورك، جيمس أ. (1976). "إثبات بنّاء لنظرية النقطة الثابتة لبروير والنتائج الحسابية". مجلة سيام للتحليل العددي . 13 (4): 473-483. رمز المرجع : 1976SJNA...13..473K. doi : 10.1137/0713041. MR  0416010.
• كولبا، فلاديسلاف (1989). “نظرية التكامل وتطبيقاتها على نظريات الصدفة”. اكتا جامعة كارولينا. الرياضيات والفيزياء . 30 (2): 83-90.
• ليوني، جيوفاني (2017). دورة أولى في فضاءات سوبوليف: الطبعة الثانية . دراسات عليا في الرياضيات . 181. الجمعية الرياضية الأمريكية. ص. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8 
• مادسن، إي بي؛ تورنيهاف، يورجن (1997). من حساب التفاضل والتكامل إلى علم التماثل: علم التماثل دي رام والفئات المميزة . مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 0-521-58059-5. السيد  1454127.
• ميلنور، جون دبليو . (1965). الطوبولوجيا من وجهة نظر التفاضل. شارلوتسفيل: مطبعة جامعة فرجينيا . MR  0226651.
• ميلنور، جون دبليو. (1978). "الأدلة التحليلية لنظرية الكرة المشعرة ونظرية النقطة الثابتة لبروير" (PDF) . Amer. Math. Monthly . 85 (7): 521–524. JSTOR  2320860. MR  0505523. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2022-10-09.
• سوبوليف، فلاديمير الأول. (2001) [1994]، "نظرية بروير"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS
• سبانير، إدوين هـ. (1966). الطوبولوجيا الجبرية . نيويورك-تورنتو-لندن: ماكجرو هيل.

• نظرية النقطة الثابتة لبروير للمثلثات عند قطع العقدة
• مبرهنة بروير أرشيف 2007-03-19 على موقع Wayback Machine ، من PlanetMath مع الإثبات المرفق.
• إعادة بناء بروير في MathPages
• نظرية النقطة الثابتة لبروير في صور الرياضيات.